Bài 3 Dòng chảy iê âm của hí hi vận ốc dòng ăng liên ục(dòng chảy Pan-ơ Mai-ơ) Ở bài này, a ẽ xem xé dạng đơn giản nhấ của dòng chảy iê âm của hí dòng chảy ịnh iến đề Khi đó các phần ử chấ lỏng chyển động heo những đường ong ong với vận ốc hông đổi Qỹ đạo của các phần ử hí chính là những đường dòng hông cắ nha Nế dòng hông gặp phải bấ cứ vậ cản nào dưới dạng vậ ắn hoặc ấm chắn hì nó ẽ hông chị bấ cứ mộ ảnh hưởng nào Ví dụ đơn giản nhấ là mộ ấm chắn ắn phẳng có hể làm biến đổi đặc ính của dòng ịnh iến đề Tước iên a xem xé ường hợp đối với ấm chắn được đặ ong ong với hướng dòng, hay nói cách hác nó ùng với mộ ong các đường dòng Nế dòng hí động choán phần hông gian ấ lớn phía ên ấm chắn và bản hân ấm chắn có chiề dài vô cùng lớn hì nó ẽ hông gây a bấ cứ ảnh hưởng nào lên dòng ) Nói chng, ể cả hi đường dòng là đường cong nhưng vẫn đảm bảo ằng ấm chắn ùng với mộ ong các đường dòng hì nó ẽ hông gây ảnh hưởng lên dòng hí động Nế như ại mộ điểm A nào đó của ấm chắn (h 4) xấ hiện mộ vậ cản nhỏ hì nó ẽ làm nhiễ dòng chảy đề ở mức độ nhỏ Tong dòng chảy iê âm đề, qá ình nhiễ động lan yền heo đường đặc ưng hợp với hướng dòng mộ góc được xác định ừ điề iện in Nó được gọi là góc lan yền nhiễ động yế ) Ta hông ính đến ảnh hưởng gây a bởi độ nhớ của hí
Hình 4 Dòng hí chảy ong ong với ốc độ hông đổi Hình 4 Sự đổi hướng dòng iê âm hi chảy bao qanh góc ACB Lúc này a có hể đưa a hình minh họa ự chảy bao phía ngoài góc ù, giả ử ằng ại mộ điểm C nào đó ên ấm chắn, nó xoay góc o với hướng ban đầ (h 4) Khi dòng hí iê âm chảy bao phía ngoài góc ù ACB, hí bị giãn a, bởi vì vùng hông gian bị choán bởi nó được mở ộng; éo heo vận ốc dòng ăng lên Dọc heo mặ AC hì vận ốc dòng hông đổi Tong ường hợp này, điểm C đóng vai ò như mộ vậ cản, nó là ngồn phá inh a những nhiễ động yế ong dòng Tong dòng chảy đề, những nhiễ động này lan yền heo đường hẳng đường đặc ưng CK, nó phân cách vùng hông nhiễ và vùng nhiễ ong dòng Dọc heo mặ CB, vận ốc hí lại có giá ị hông đổi và lớn hơn vận ốc dòng ban đầ dọc heo mặ AC Điề này có nghĩa là, qá ình nhiễ động xấ hiện do ự chảy bao điểm góc C ẽ ế húc ên đường hẳng đặc ưng xoay dòng ang hướng mới xảy a bên ong góc mà a đã nê Bởi vì bên ong góc CL Do đó, qá ình KCL ở giữa hai đường đặc ưng KCL xảy a ự giãn hí liên ục, cho nên để dễ hiể hơn a ẽ chia vùng hông gian này hành ấ nhiề góc nhỏ, ong đó các hông ố ong mỗi góc hay đổi y hông đáng ể nhưng mang giá ị ời ạc Sự độ biến nhỏ đầ iên về vận ốc và áp ấ xảy a hi dòng hí đi qa mặ chứa đường CK ; bởi vì áp ấ giảm nên heo lý hyế về ự độ biến dòng, hành phần vận ốc vông góc với mặ CK ăng lên; mặ hác hành phần vận ốc iếp yến hông đổi nên hướng đổi dòng hi có ự độ biến giãn ẽ ngược lại hướng đổi dòng hi xảy a qá ình độ biến nén Như vậy dòng hí chị ự độ
biến giãn nhỏ hi đi qa mặ CK, vận ốc dòng ăng lên hông nhiề và hướng dòng có ự hay đổi nhỏ về phía ương ứng, còn áp ấ, mậ độ và nhiệ độ dòng giảm nhẹ Qá ình nhiễ động lan yền ừ vùng có áp ấ bé hơn ẽ bị chặn bởi đường đặc ưng dòng và ố Mach ăng nên CK, bởi vì a qá ình độ biến giãn hì xấ hiện ự đổi hướng qá ình nhiễ động hông đi qa đường đặc ưng đường hông đổi CK nằm phía phải o với đường đặc ưng CK Bởi vì CK ừ phía ái nên dọc heo CK cũng như đối với đường CK, các hông ố của hí và vận ốc dòng Nế vận ốc dòng chỉ ăng nhẹ a lần độ biến giãn đầ iên hì hi chiế vận ốc dòng heo phương iếp yến và ong ong với đường hành phần vận ốc iếp yến ẽ nhỏ hơn( CK, a hấy ằng ), còn hành phần vận ốc ong ong (heo hướng đường ốc lên đường CK CK ) lớn hơn ( ), hi o với các hình chiế vận Sự độ biến giãn hứ hai ương ứng với mặ phẳng CK iếp ục gây a ự đổi hướng dòng về phía CB và ự giãn hí, do vậy vận ốc dòng iếp ục ăng lên Qá ình đổi hướng dòng ẽ ngừng lại hi dòng ong ong với CB (h 4), hi đó veco vận ốc cũng ong ong với CB Hơn nữa, ấ cả các đường đặc ưng đề xấ phá ừ điểm C đề là đường hẳng nên vận ốc (và các hông ố còn lại của hí) dọc heo chúng hông đổi, do vậy dọc heo đường đặc ưng cối cùng CL, veco vận ốc ) có giá ị hông đổi (heo độ lớn và heo hướng) Do vậy, a đường đặc ưng cối cùng CL, dòng hí lại ở hành dòng ịnh iến Mặ hác, a đó dòng hông chị bấ cứ ảnh hưởng nào Cho nên, a hi đi qa góc ACB, dòng ẽ ở về ạng hái ban đầ giống hệ như dòng ên mặ AC, ức là a h được dòng ịnh iến với vận ốc Đường đặc ưng cối cùng bởi CL hợp với mặ CB góc được xác định ) Điểm C là điểm đặc biệ bởi vì đó là nơi xấ phá của ấ cả các đường đặc ưng Tại ừng đường, vận ốc và áp ấ hông đổi, y nhiên các đại lượng hông đổi đó hác nha đối với ừng đường
in Tương ự, đường đặc ưng đầ iên hợp với mặ AC góc được xác định, bởi ong đó, in ; ố ương ứng với vận ốc ước và a hi đổi hướng dòng Như a đã biế, các qá ình độ biến giãn đoạn nhiệ hữ hạn hông hể xảy a Ty nhiên, nế chia góc KCL hành vô ố góc nhỏ, a ẽ h được ơ đồ mô ả ự giãn nở liên ục của hí hay cho ơ đồ qy ước với những qá ình độ biến giãn nhỏ; hay cho ố lượng hữ hạn các đường đặc ưng a ẽ nhận được vô ố đường đặc ưng chùm đường đặc ưng Do đó, ự đổi hướng dòng gần góc ù ACB và ự giãn nở hí (giảm áp ấ) có hể được coi như là dãy các nhiễ động yế ế iếp nha được gây a bởi đỉnh C, chúng lan yền heo các đường hẳng đặc ưng đi ừ đỉnh góc Những lập lận ên đây chỉ a ằng, nế có ự đổi hướng dòng iê âm gần phía ngoài góc ù hì vận ốc, áp ấ và mậ độ hí hông đổi nế a xé các hông ố này ên mộ đường đặc ưng bấ ỳ Vì vậy hi xem xé ự chảy bao qanh góc ù, ẽ hận iên hơn nế a ử dụng hệ ọa độ cực với gốc ọa độ chính là đỉnh góc ù Tong ường hợp này, những đường ọa độ chính là các ia xấ phá ừ gốc ọa độ và những đường òn đồng âm cũng lấy đỉnh góc làm âm Tọa độ của mỗi điểm ên mặ phẳng có hai hành phần là veco-bán ính nối điểm đó với gốc ọa độ và góc hợp bởi veco-bán ính với mộ hướng cố định mà a ẽ xác định a Ta ẽ coi ấ cả các hông ố của hí là hàm phụ hộc vào và : (, ), p p(, ), (, ) Bởi vì ong ường hợp này, các hông ố hông đổi hi a xé dọc heo các ia, nên đạo hàm iêng của các hàm, p và
heo bằng hông (hi di chyển dọc heo ia, các hông ố hí hông đổi) Do đó,, p, () Ta ý hiệ các hành phần vận ốc heo hướng veco-bán ính và heo hướng vông góc với nó lần lượ là Bởi vì, nên và Khi đó vận ốc bằng và () Như chúng a đã biế, ính chấ cơ bản của đường đặc ưng hể hiện ở chỗ, hành phần vận ốc vông góc với nó bằng vận ốc âm hanh a, mặ hác đường đặc ưng lại ùng với veco-bán ính, nên ong hệ ọa độ cực, hành phần vận ốc pháp yến được xác định ừ điề iện a (3) Hình 4 Điề iện hông xấ hiện độ xoáy Dòng hí gần phía ngoài góc ù được gia ốc liên ục (đề đề), vì vậy có hể coi ằng đó là dòng hế Ty nhiên, hi đó lư ố heo mộ ch yến ín bấ ỳ bằng hông Ta ẽ xác định lư ố heo ch yến MRNK được giới hạn bởi hai đoạn MR và NK, và hai cng MK và RN Chiề của ch ình hận heo chiề im đồng hồ (h 4):
; Bởi vì dọc heo veco-bán ính (đồng hời cũng là đường đặc ưng), vận ốc hông đổi, nên (4) Đây chính là điề iện hông xấ hiện độ xoáy ong dòng iê âm chảy bao phía ngoài góc ù Ta cũng có hể nhận được nó ực iếp ừ công hức (3) chương Có hể giả hiế ằng các ia của dòng hí hông ao đổi năng lượng với nha, hơn nữa phương ình năng lượng có hể viế dưới dạng động học (công hức (48) chương ): a (5) Ở ường hợp này, ong dòng được gia ốc liên ục, độ iê hao áp ấ oàn phần hường hì hông đáng ể, vì vậy có hể coi qá ình nhiệ động lực học xảy a hi dòng chảy bao góc ù là qá ình đẳng enopy, hay nói cách hác, nó hỏa mãn phương ình đoạn nhiệ lý ưởng: p con (6) Bốn phương ình (3) (6) ạo hành hệ phương ình mà lời giải của nó cũng chính là lời giải cho bài oán chảy bao phía ngoài góc ù đối với dòng iê âm Từ phương ình (3) và (5) a có ương đương với (7)
Sử dụng phương ình (4), a có phương ình vi phân 3 ): (8) Tách iêng hai biến và, a có d d, ương đương với d d a ìm được Lấy ích phân cả hai vế, a h được acin c, Tong đó c hằng ố ích phân Chyển biể hức ên về hàm đối với in ( c) Khi đó ừ phương ình (4), a dễ dàng nhận được biể hức cho co ( c ), 3 ) Bởi vì các hông ố của hí hông đổi nế a xé dọc heo đường con, hi dòng chảy bao phía ngoài góc ù, do đó chúng chỉ phụ hộc vào góc phương vị Vì vậy, ong phương ình (8) và về a đạo hàm iêng heo được hay bằng đạo hàm oàn phần
Bây giờ, a ẽ xác định hằng ố c Xé ường hợp vận ốc dòng hông nhiễ (ước hi xảy a ự đổi hướng dòng) bằng vận ốc âm hanh ( ) Tức là đường đặc ưng đầ iên KC vông góc với mặ AC, bởi vì in, Góc phương vị cần được ính ừ hướng vông góc với hướng vận ốc dòng hông nhiễ Khi đó, do vậy,, hế vào biể hức đối với và : in ( c ) Do đó c Tương ự, a nhận được biể hức cho các hành phần vận ốc : in, co Sử dụng biể hức (35) và (4) ong chương, a h được mối liên hệ giữa vận ốc ối đa và vận ốc ới hạn a h Khi đó biể hức đốivới và được viế dưới dạng a: a in, (9) h a co h ()
Nế a có,, h a ức là vận ốc dòng hông nhiễ bằng vận ốc ới hạn của âm hanh Lúc này, a ẽ ìm đại lượng vận ốc oàn phần ên ừng ia Từ các phương ình (9) và () a có in co in a a h h Do đó, vận ốc ú gọn bằng: in a h () Tấ cả các hông ố còn lại của hí được biể diễn qa vận ốc ú gọn heo các công hức đã h được ong chương :, * p p (), * (3), * T T (4) (5) Như vậy, a hi ìm được đại lượng heo góc, hi ử dụng các công hức ()-(5), a có hể hoàn oàn xác định ạng hái của hí ên ừng đường ia (đường đặc ưng) Khi a h được, nế hì Khi góc phương vị ăng, vận ốc dòng ăng, còn áp ấ, mậ độ và nhiệ độ giảm
Từ biể hức (), a hấy ằng ồn ại mộ góc phương vị nào đó để vận ốc ú gọn đạ giá ị lớn nhấ, Khi đó vận ốc, nhiệ độ và mậ độ đề bằng hông Dễ hấy ằng vận ốc hông hể ăng được hêm, do vậy qá ình đổi hướng dòng ngừng lại Hay nói cách hác, ồn ại giá ị giới hạn của góc phương vị và nó được xác định bởi điề iện in Do đó (6) Ta nhận hấy ằng, lời giải vừa nhận được hông những phù hợp hi mà nó còn hỏa mãn đối với ấ cả các giá ị vận ốc iê âm của dòng hông nhiễ Nế vận ốc dòng hông nhiễ lớn hơn vận ốc âm hanh hì góc phương vị ong công hức () cần phải ính ừ góc chứ hông phải ừ góc ương ứng với vận ốc ú gọn của dòng hông nhiễ( ) Từ công hức () a có Góc acin (7) Lời giải mà a nhận được hỏa mãn với mọi giá ị vận ốc bởi vì hi xé dọc heo mộ đường đặc ưng bấ ỳ, vận ốc và các hông ố còn lại hông đổi, hay nói cách hác, ên mộ đường đặc ưng bấ ỳ, a h được dòng chảy đề và ong ong (các đường dòng ong ong với nha) Vì vậy, đối với ự đổi hướng dòng bên phải đường đặc ưng đang xé, a hông hể xác định những gì xảy a bên ái nó, cụ hể hơn a hông biế ằng liệ dòng hí có đạ được vận ốc a qá ình
ăng ốc dòng ừ và ới và (do ự đổi hướng ban đầ của dòng) hay là ự đổi hướng xảy a ngay a hi vận ốc ú gọn đạ giá ị Do vậy, ong ường hợp, nế hì dòng ẽ giữ ạng hái hông nhiễ, ức là ấ cả các hông ố của hí hông đổi Nế hì các hông ố của hí được ính heo các công hức ()-(5) Hình 43(ái) Giá ị góc phương vị phụ hộc vào vận ốc ới hạn Hình 44 (phải) Sự xác định đường dòng hi dòng chảy bao phía ngoài góc ù Ta biế ằng, nế vận ốc dòng hông nhiễ lớn hơn vận ốc âm hanh hì góc được ính ừ đường hợp với hướng dòng hông nhiễ mộ góc chứ hông ính ừ đường vông góc với hướng dòng, ở đây acin (h 43) là góc lan yền nhiễ động yế, ức là góc giữa đường đặc ưng và hướng dòng hông nhiễ mà a đang xé Để nhận được hình ảnh ực qan về qá ình chảy bao phía ngoài góc ù, a ẽ ìm hình dạng đường dòng Do đó, chúng a ẽ lập phương ình vi phân cho đường dòng ong hệ ọa độ cực Ta biế ằng, hướng veco vận ốc ùng với hướng iếp yến ại ừng điểm ên đường dòng Lấy hai veco-bán ính nằm cách nha mộ hoảng vô cùng bé và hợp với nha góc d Tại điểm A của bán ính hứ nhấ, ẻ đoạn dòng AC, veco vận ốc AE ùng với hướng iếp yến của đường dòng (ại điểm A) và cng AB của đường òn bán ính (h 44) Xé am giác cong vông ABC có ích hước vô cùng bé Khi đó
ga BC AB d d Mặ hác, góc giữa hai đường cong AB và AC bằng góc giữa hai iếp yến AF và AE, ức là g( EAF) d d Phân ích veco vận ốc hành hai hành phần và DEA EAF Do vậy, Xé am giác ADE, a hấy g DEA) Mặ hác, ( d d (8) ọa độ cực Phương ình (8) chính là phương ình vi phân của đường dòng ong hệ Tong ường hợp chảy bao góc ù, và hức (9) và (), vì vậy phương ình vi phân (8) có dạng được xác định bởi các công d in co d Nó còn có hể được viế dưới dạng a: d d co co Lấy ích phân hai vế a có ln ln co ln Tong đó ln là hằng ố ích phân Lấy lũy hừa cơ ố e cả hai vế a h được
co (9) Phương ình (9) cũng chính là phương ình đường dòng ong hệ ọa độ cực Tong đó độ dài veco-bán ính đường dòng hi, ương ứng với dòng hông nhiễ Từ phương ình (9) dễ hấy ằng, ấ cả các đường dòng chính là ập hợp những đường cong đồng dạng với âm đồng dạng nằm ở đỉnh góc Khoảng cách pháp yến giữa hai đường cong ề nha ăng heo hướng dòng Bây giờ a ẽ ìm góc hợp bởi iếp yến với đường dòng và hướng dòng hông nhiễ (chyển động với vận ốc âm hanh), hay nói cách hác, đó là góc qay của dòng hi nó đi ới ia CE (hình 45) Hình 45 Mối liên hệ giữa các góc, và ong dòng chảy bao góc ù Xé h 45, ở đây veco vận ốc ại điểm B, nó hướng heo iếp yến với đường dòng ại điểm đang xé Góc góc cục bộ của qá ình lan yền các nhiễ động yế Như a đã biế, góc bằng góc hợp bởi hướng của vận ốc và đường đặc ưng BE ại điểm đang xé Góc góc đổi hướng dòng mà a cần ìm Từ hình vẽ hấy ằng, ABD, còn góc ABC Xé hai am giác ABC và ABD, a có Do đó, A và A
, ương đương với (3) Góc lan yền các nhiễ động yế acin (3) Do vậy, để ính góc đổi hướng dòng heo góc cho ước, a cần hực hiện các bước a: ) xác định vận ốc ú gọn dựa vào công hức () heo góc cho ước, ) xác định ố heo công hức (5), 3) xác định góc heo công hức (3) và cối cùng là, 4) xác định góc heo công hức (3) đối với góc cho ước Do đó a xác định được góc đổi hướng dòng là hàm phụ hộc vào góc phương vị Đến hời điểm này, góc phương vị là biến ự do còn ấ cả các hông ố của hí đề là hàm phụ hộc vào nó Tên hực ế, hường hì a biế được giá ị của góc ù, có nghĩa là a ẽ biế được góc đổi hướng dòng và vận ốc dòng đến Dựa vào những giá ị ên, cần xác định mọi hông ố của hí (vận ốc, áp ấ, nhiệ độ vv) a qá ình đổi hướng dòng Vì vậy ong các bài oán hực ế, ẽ hận iện hơn hi ính oán nế a lập mộ bảng với hông ố cơ bản là góc đổi hướng dòng, và ấ cả các hông ố còn lại của hí được xác định heo góc này Những hông ố ong bảng này được ính heo các công hức ()-(5), (3) và (3) được đưa a ong phụ lục ở 566-568
hông nhiễ Hình 46 Đường dòng của dòng iê âm chảy bao phía ngoài góc ù Ta cần ử dụng bảng này heo cách a: dựa vào vận ốc cho ước của dòng, a xác định vận ốc ú gọn Sa đó, ìm được góc ảo (phụ) của qá ình đổi hướng dòng ương ứng với (đây là góc mà dòng cần đổi hướng để đạ được vận ốc cho ước) Ta ẽ xác định được góc, ong đó góc cho ước góc đổi hướng dòng (h 46) Khi biế giá ị a xác định được các đại lượng p T,,, và, ương ứng với vận ốc ú gọn, áp ấ, mậ p T độ, nhiệ độ và ố a qá ình đổi hướng dòng gần góc ù Các đường cong p ( ), ( ), ( ) và f ( ) * được biể diễn ên h 47 Nế cần, a có p hể ìm hình dạng của đường dòng heo công hức (9), nó được xác định hông qa bán ính và dãy các giá ị ừ ới (h 46) Để xác định góc đổi hướng dòng heo vận ốc ban đầ và cối cùng, a có hể ử dụng công hức đơn giản của A Ya Cheez, nó ấ phù hợp với các ố liệ của bảng hi,4 : 3 3 7,6( ) (3)
Tong đó và ương ứng là vận ốc ú gọn của dòng ước và a p qá ình đổi hướng Thông hường, nế, 3(, 5 ) hì ai ố hi xác * p định góc heo công hức ên hông vượ qá Hình 47 Những đường phụ ong ính oán đối với dòng chảy iê âm ở phía ngoài góc ù Lý hyế về ự chảy vòng qa phía ngoài góc ù của dòng iê âm được áp dụng để giải ấ nhiề bài oán cụ hể ong động lực học chấ hí, a ẽ xem xé mộ ong ố đó ong những bài a