I. Kh i iö vò tr¹g th i øg sêt Tr¹g th i øg sêt t¹i ét ió cña vët thó μ håi chþ lùc lμ tëp hîp têt c c c øg sêt t c dôg trª têt c c c Æt v«cïg bð i qa ió ã, Æc tr g bëi te èi øg cêp cã 6 thμh phç øg sêt éc lëp (h h 3.): z z (3.) z z z h bió thþ trª c c Æt cña ph tè to¹ é Cdddz. Qa ió ta l«t ba Æt v«g gãc víi ha cã H h 3. øg sêt tiõp b»g, c c Æt ã lμ Æt chýh, ph p tõ Æt chýh gäi lμ ph g chýh, øg sêt ph p trª c c Æt chýh gäi lμ øg sêt chýh, vμ 3 : > > 3 (3.) C cø vμo c c øg sêt chýh ta ph lo¹i tr¹g th i øg sêt h sa: Tr¹g th i øg sêt khèi (h h 3.a), tr¹g th i øg sêt ph¼g (h h 3.b), tr¹g th i øg sêt (h h 3.c). H h 3. 9
II. Tr¹g th i øg sêt ph¼g. øg sêt trª Æt ghiªg bêt k T ch ét ph tè t¹i ió K khái vët thó μ håi chþ lùc (h h 3.3a). Gi thiõt Æt v«g gãc víi trôc z lμ Æt chýh ( z z z ), c c Æt cß l¹i cã c øg sêt ph p vμ øg sêt tiõp. d dz d H h 3.3 XÐt sù c b»g cña ph tè h h l g trô lμ ta gi c, Æt bª ghiªg. Ph g tr h tæg «e c c lùc víi O: d d MO ddz dzd (3.3) LËt èi øg cña øg sêt tiõp, ph t bió h sa: NÕ trª Æt c¾t μo ã cã øg sêt tiõp th trª Æt c¾t v«g gãc víi ã còg ph i cã øg sêt tiõp cã cïg trþ sè h g èi chiò. Gäi diö tých Æt AB lμ df, khi ã diö tých Æt AC lμ dfcosα vμ diö tých Æt BC lμ dfsiα. LËp c c ph g tr h h h chiõ sa cña ph tè ABC lª c c trôc vμ v ta cã: U df ( df cos α)cos α+ ( dfcos α)si α - ( df si α)si α+ ( df si α)cosα V vdf ( df cos α)si α ( dfcos α)cosα+ +( df si α)cos α+ ( df si α)si α Sa khi rót gä, sö dôg Þh lët èi øg øg sêt tiõp ta îc gi trþ cña vμ v : + + cosα si α (3.4) v si α+ cosα (3.5) 3
Râ rμg lμ khi α (hoæc π/) th vμ v cã gi trþ b»g, (hoæc, ).. øg sêt chýh vμ ph g chýh MÆt chýh îc c Þh th«g qa gãc ghiªg α, sao cho øg sêt tiõp trª ã b»g : si α + cosα tg α ( tg β) (3.6) β π α + k. Ta thê α cã hai ghiö lμ α vμ α (øg víi k vμ k ) löch ha 9 ta l«cã hai ph g chýh v«g gãc víi ha. Tha α vμ α vμo (3.4) ta sï îc c c øg sêt chýh cç t, ã lμ h g øg sêt ph p cùc trþ, v d si α cos α v dα + Tha α vμo (3.6) ta cã : a ± + i (3.7) øg sêt tiõp cùc trþ c Þh b»g d v /dα : d v cosα siα tgα dα So s h víi (3.7), ta îc: π tgα cot gα αα + k. tgα 4 (3.8) KÕt lë: h g Æt cã øg sêt tiõp cùc trþ t¹o víi Æt chýh ét gãc 45. Tha (3.8) vμo (3.5) víi cosα±, ta îc: + tg α a ± ( ) + 4 i (3.9) a i TÝh theo øg sêt chýh ta cã: a ± (3.) i 3
III. Vßg trß Mo (Mohr) øg sêt. C së cña ph g ph p vμ c ch vï vßg trß MO øg sêt XÐt ét ph tè víi c c øg sêt,, cho h h h 3.4a. LËp hö to¹ é O (h h 3.4b) theo tû lö hêt Þh. Trª trôc hoμh Æt c c o¹ O vμ OF. Tõ dùg o¹ D v«g gãc víi O. VÏ vßg trß cã t C lμ trg ió cña o¹ F + OC vßg trß Mo øg sêt (Mohr). vμ b kýh CD (CD R + ), gäi lμ H h 3.4 Ó c Þh c c øg sêt vμ v trª Æt iª cã ph g lμ víi trôc ét gãc α cho tr íc (h h 3.4a) h lê trª vßg trß võa vï ét ió P (th êg gäi lμ ió cùc) cã hoμh é vμ tg é (h h 3.4b), råi tõ P vï tia sog sog víi ph g cho c¾t vßg trß t¹i ió M. To¹ é cña M chýh lμ c c øg sêt vμ v cç t. 3
. X c Þh øg sêt chýh vμ ph g chýh C c giao ió A vμ B cña vßg trß Mo víi trôc hoμh O lμ h g ió cã hoμh é lí hêt vμ há hêt, tg é b»g : + a ± + i (3.) Ph g cña c c tia PA vμ PB lμ c c ph g chýh cç t cña ph tè (h h 3.4a). Theo h h 3.4b dô thê l«l«cã: a + i OC + z h»g (3.) Tæg øg sêt ph p trª hai Æt v«g gãc víi ha lμ h»g sè. Gäi α vμ α lμ gãc cña ph g chýh thø hêt vμ ph g chýh thø hai èi víi trôc. Theo h h 3.4b, cã: tgα FP FA a ; tgα FP FB i (3.3) Tr êg hîp kðo (Ð) óg t øg sêt tiõp lí hêt: a i z (3.4) ã lμ hai Æt v«g gãc víi ha, lç l ît lμ víi trôc z ét gãc 45 o vμ 35 o. 3. Hai tr êg hîp Æc biöt Tr¹g th i tr ît thç tý: ph tè μ trª c c Æt chø cã øg sêt tiõp (h h 3.5a). Lóc μ vßg trß Mo cã t trïg víi gèc to¹ é (h h 3.5b). C c øg sêt chýh (øg sêt ph p cùc trþ) kh c dê ha vμ cã gi trþ b»g gi trþ cña øg sêt tiõp: 3, (3.5) C c ph g chýh iª gãc 45 so víi øg sêt tiõp (h h 3.5a). H h 3.5 H h 3.6 Tr¹g th i øg sêt ph¼g Æc biöt lμ tr¹g th i cã ét thμh 33
phç øg sêt ph p, vý dô, (h h 3.6a). Vßg Mo cña TT S μ vï trª h h 3.6b. TrÞ sè øg sêt chýh (øg sêt ph p cùc trþ) lμ,, 3 + + + IV. Liª hö gi a øg sêt - biõ d¹g (3.6). BiÕ d¹g dμi ( Þh lët Hóc tæg q t) XÐt ph tè chýh h h h 3.7, h t biõ d¹g dμi t g èi theo ph g I cña ph tè. BiÕ d¹g do sih ra: BiÕ d¹g do sih ra: μ μ BiÕ d¹g do 3 sih ra: 3 3 BiÕ d¹g dμi (t g èi) theo ph g I do c c ba øg sêt, vμ 3 sih ra: + + 3. Lμ t g tù ta îc biõ d¹g (t g èi) theo ph g II vμ ph g III cña ph tè: μ( + ) 3 ( ) μ +z μ( 3 +) ( ) μ z + hoæc (3.6) μ( + ) 3 3 μ( + ) z z : «μ håi cña vët liö, [lùc/(chiò dμi) ]. μ: hö sè Po t-«g cña vët liö, cã gi trþ,5. C c hö thøc bëc hêt (3.6) trª gi a biõ d¹g dμi vμ øg sêt ph p lμ éi dg cña Þh lët Hóc tæg q t èi víi vët r¾ μ håi tõ týh.. BiÕ d¹g gãc ( Þh lët Hóc vò tr ît) H h 3.7 XÐt biõ d¹g cña ph tè. D íi t c dôg cña øg sêt tiõp ph tè bþ biõ æi h h d g vμ trë thμh h h b h hμh (h h 3-8). Theo Þh lët Hóc, gi a øg sêt tiõp vμ gãc tr ît γ cã 34
liª hö sa: ij Gγ ij ( i, j,, 3) (3.8) trog ã G lμ hö sè tû lö gäi lμ «μ håi khi tr ît [lùc/chiò dμi ij ], ã lμ h»g sè vët liö, îc c Þh tõ thý ghiö. M«G liª hö víi vμ μ h sa: ij γ ij G ( +μ ) γ ij ij XÐt ph tè víi hö trôc täa é,, vμ z. ij Qa hö øg sêt vμ biõ d¹g gãc lμ: H h3.8 z z γ ; γ z ; γ z (3.9) G G G Qa hö gi a øg sêt vμ biõ d¹g (3.6), (3.7) hoæc (3.8) bió diô b»g Þh lët Hóc tæg q t. 3. BiÕ d¹g thó tých tû èi ( Þh lët Hóc khèi) Gäi d, d vμ dz lμ c c c¹h cña ph tè vμ V lμ thó tých ba Ç cña ph tè, ta cã: V dddz Sa khi biõ d¹g, chiò dμi c c c¹h tha æi sï lμ (d + Δd), (d + Δd) vμ (dz + Δdz). ThÓ tých sa khi biõ d¹g: V V + ΔV (d + Δd).(d + Δd).(dz + Δdz) Δd Δd Δdz dddz + + + dddz( + )( + )( +z) d d dz V biõ d¹g lμ bð ª cã thó bá qa c c ¹i l îg v«cïg bð bëc trë lª. Cèi cïg ta îc: V V ( + + Y + z ) Gäi θ lμ biõ d¹g thó tých t g èi cña ph tè, ta cã: V V θ μ μ V + Y + z ( + + z) Σ Tæg øg sêt ph p lμ: Σ μ θ (3.) C«g thøc trª bió diô liª hö bëc hêt gi a biõ d¹g thó tých t g èi vμ tæg c c øg sêt ph p, gäi lμ Þh lët Hóc khèi. 35
V. VÝ dô p dôg VÝ dô 3.. øg sêt toμ phç trª Æt c¾t - i qa ét ió cña ét vët thó trog tr¹g th i øg sêt ph¼g p 3 N/c cã ph g t¹o thμh ét gãc 6 víi Æt c¾t. Trª Æt v«g gãc víi Æt c¾t μ chø cã øg sêt tiõp (h h 3.9). TÝh øg sêt ph p vμ øg sêt tiõp trª Æt c¾t t¹o thμh gãc 45 víi Æt c¾t -. TÝh øg sêt ph p lí hêt t¹i ió ã. Gi i Ta thiõt lëp hö trôc trª Æt c¾t - vμ hö trôc v trª Æt c¾t ghiªg h h h 3.9. Khi ã c c thμh phç øg sêt trª c c Æt cña ph tè ë tr¹g th i øg sêt ph¼g: p si 6 3.,86,6kN / c pcos6 5.,5,5kN / c H h 3.9 p dôg c«g thøc týh øg sêt trª Æt c¾t ghiªg víi α -35, ta cã: + + cosα si α,8kn / c v siα + cosα,3 kn/c øg sêt ph p lí hêt t¹i ió ã lμ: v 45 6 p a + + + 3,8 kn/c VÝ dô 3.. T¹i ét ió trª Æt ét vët thó chþ lùc g êi ta o îc biõ d¹g tû èi theo c c ph g o, o, o h sa:,8. -4 ; -,8. -4 ;,65. -4 X c Þh ph g chýh vμ øg sêt chýh t¹i ió Ê. Cho biõt μ,3;. 4 kn/c. 45 45 O H h 3. 36
Gi i øg sêt ph p ph g, : 4 ( μ ) (,3 ),8. 4. 4 ( μ ) (,3 ),8. 4. 4,3 kn/c ; 4,3 kn/c BiÕ d¹g theo ph g : μ( + ),3( 4,3 4,3 ) 4. 4 Theo Ç bμi ta cã,65.,5 kn/c øg sêt tiõp t h tõ c«g thøc: + + cosα si α 4,3 4,3 4,3 + 4,3,5 + cos.45 si.45,5 kn/c Gi trþ øg sêt chýh t¹i ió cho tr íc: + a ± ( ) + 4 i 4,3 4,3 ± ( 4,3 4,3) + 4.,5 a 5kN / c i 5kN / c Ph g chýh:.,5 α tgα 4,3 + 4,3 3 5 α 5 37