½µ Ò Ø ÒØ ÖÚØÚ º ÔÓÒØ»ÔÖص µ cosh2x + 3)) ËÓÐÙØÓÒ ÇÒ ÖÚÛ Ø Í Ò Ø Ò ÖÙÐ Ò Ø ÖÚØÚ Ó coshx) cosh2x + 3)) sinh2x + 3)2 2sinh2x + 3). µ x 2 lnx) ) ËÓÐÙØÓÒ ÇÒ ÖÚÛ Ø ËØÖØ ÛØ Ø ÔÖÓÙØ ÖÙÐ ÓÒ Ø ÓÒº x 2 lnx) ) 2xlnx) + x 2 1 x 2xlnx) + x. µ sin 1 x 2 ) ) ÖÑÑÖ sin 1 x) Ø ÒÚÖ Ò Ó x ÓÖ arcsinx)µ ËÓÐÙØÓÒ ÇÒ ÖÚÛ Ø sin 1 x 2 ) ) 1 1 x 2 ) 22x) 2x 1 x 4. ¾µ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÐÑØ º ÂÙ ØÝ ØÔº ÔÓÒØ»ÔÖص tan2x) µ lim x 0 sinh5x) ËÓÐÙØÓÒ ËÑÐÖ ØÓ Ó ÖÚÛ Ø ÔÔÐÝ Ð³ÀÔØг ÖÙÐ Ò Ø Ó Ø ÓÖÑ 0 0 º µ lim x ) e 1/x 1 lim x 0 tan2x) sinh5x) lim x 0 2sec 2 2x) 5cosh5x) 2 5. ËÓÐÙØÓÒ ÓÒ ½ ÜÑ Ì Ò ÒØÖÑÒÒØ ÓÖÑ ÙØ Ó Ø ÓÖØ 0º ËÓ ÒÚÖØ Ø x Ò ÔÙØ Ø Ò Ø ÒÓÑÒØÓÖ ØÓ Ñ Ø ÑÒÐ ØÓ Ð³ÀÔØг ÖÙк lim x e 1/x 1 ) lim e 1/x 1 ) 1 x) lim e 1/x 1 x 2 ) 1 x 2 ) lim e1/x 1. ½
¾ sinx) x µ lim x 0 x 3 ËÓÐÙØÓÒ ËÑÐÖ ØÓ ÓÒ ÖÚÛ Ø ÀÖ ÝÓÙ Ú ØÓ ÔÔÐÝ Ð³ÀÔØг ÖÙÐ ÚÖÐ ØÑ Ò ÚÒ ØÖ ÔÔÐÝÒ Ø ØÛ Ø ØÐÐ Ó Ø ÓÖÑ 0 0 º µ Ò Ø ÔÓÒØ ÓÒ Ø ÙÖÚ sinx) x cosx) 1 lim x 0 x 3 lim x 0 3x 2 sinx) lim, ØÐÐ Ó ÓÖÑ 0 x 0 6x 0, cosx) lim x 0 6 1 6. x 2 + 2xy + 4y 2 3 ÛÖ Ø ÙÖÚ ÓÖÞÓÒØÐ ØØ ÛÖ dy/dx 0º ½¼ ÔÓÒØ µ ËÓÐÙØÓÒ Í ÑÔÐØ ÖÒØØÓÒ ØÓ Ò dy/dx x 2 + 2xy + 4y 2 3 2x + 2y + 2x dy dy + 8y dx dx 0 2x + 2y + 2x + 8y) dy dx 0 + 2x + 8y) dy dx dy dx ÌÒ Ø ØØ ØÓ ¼ ØÓ Ò ÛÖ Ø ÕÙ ØÓÒ 2x + 2y) 0 2x + 8y) 0 2x + 2y y x, 2x + 2y) 2x + 2y) 2x + 8y), ØÒ ÙÖ ÓÙØ ÛØ ÔÓÒØ ÓÒ Ø ÙÖÚ x 2 + 2xy + 4y 2 3 Ø Ý y xº x 2 + 2xy + 4y 2 3 x 2 2xx + 4 x) 2 3 3x 2 3, Ó x ±1º ËÓ Ø ÔÓÒØ ÛÖ Ø ÙÖÚ ÓÖÞÓÒØÐ Ö Ø ÔÓÒØ 1, 1) Ò 1, 1)º µ ÙÖÒ Ø ÖÐÝ Ø Ó ÓÙØÖ Ø ÖØ Ó ÒÖ Ó Ø ÒÙÑÖ Ó ÒØ ÔÓÔÐ Ò ÓÑÑÙÒØÝ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐ ØÓ Ø ÒÙÑÖ ÛÓ Ö ÐÖÝ Òغ Á ØÖ Û Ó ØÖ ÛÖ ¼ ÔÓÔÐ ÓÒ Ä³ ÑÔÙ ÒØ ÛØ Ø À½Æ½ Ù Ò ØÛÓ Û Ó ØÖ ÛÖ 100 ÓÛ ÑÒÝ ÔÓÔÐ Ö ØÖ ÒÓÛ ÛÓ Ö ÒØ ÛØ Ø À½Æ½ Ù ½¼ ÔÓÒØ µ
ËÓÐÙØÓÒ ËÑÐÖ ØÓ Ò ÓÒ Ø ÖÚÛ Ø Ò ÓÒ Ø ¾¼¼ ÜÑ ËØ t 0 ØÖ Û Ó Ø ÝÓÙÖ Ö Ø Ø ÔÓÒغ ËÒ Û ÙÑ ØØ Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ Pt) Ó ÒØ ÒÚÙÐ Ø P kp ÖØ Ó ÒÖ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐ ØÓ Ø ÔÓÔÙÐØÓÒµ Ò ÖÐÝ P Ae kt ÓÖ ÓÑ ÓÒ ØÒØ A Ò kº ÙØ ÝÓÙ Ú P0) 30, Ó 30 P0) Ae 0 A. ËÓ Pt) 30e kt º ÓÙ Ð Ó Ú 100 P1) 100 30 30e k 1, ÓÖ e k k ln ) 10, 3 Ó P 30e ln10/3)t 30 ) 10 tº 3 Ì ÕÙ ØÓÒ ØÒ ØÓ Ò Ø ÒÙÑÖ ÙÖÖÒØÐÝ ÒØ Û ÛÓÙÐ P3)º ) 10 3 P3) 30 3 30,000 27 10,000 9 1,111 1 9, Ó ØÓ Ø ÒÖ Ø ÛÓÐ ÔÖ ÓÒ ØÖ ÛÓÙÐ ½ ½½½ ÔÓÔÐ ÙÖÖÒØÐÝ Òغ µ ÇÖ ÖØ ØÖÚÐÒ Ù ÆÓÖØ ÓÒ ÊÓÙØ ½ ÑÓÚÒ Ø ¼ ѺԺº À Ô ÑÓØÓÖ Ø ÖÚÒ Ø ÓÒ ÊÓÙØ ¾º ÏÒ ¼º ÑÐ ËÓÙØ Ó Ø ÒØÖ ØÓÒ ÛØ ÊÓÙØ ¾ Û Ù Ø Ò Ï Ø Ø ÖØ ÒÐ ØÓ ÊÓÙØ ½µ Ø ÑÓØÓÖ Ø ¼º ÑÐ Ô Ø Ø ÒØÖ ØÓÒ Ø Ó Ø ÒØÖ ØÓÒµ ÛØ ÊÓÙØ ½ Ò ÇÖ ÖØ ØÖÒ ÖÖ ÙÒ ÓÒ Ø Ö Û ØÐÐ Ñ ØØ Ø ÖØ Ó Ò Ó Ø ØÒ ØÛÒ
ÕÙ Ö Ò Ø ÑÓØÓÖ Ø ÜØÐÝ ¼º ÀÓÛ Ø Ø ÑÓØÓÖ Ø ÖÚÒ ½¼ ÔÓÒØ µ Motorist Rte 2 Rte 1 N Officer Egbert ËÓÐÙØÓÒ ËÑÐÖ ØÓ ½½ Ò ½¾ ÓÒ Ø ÖÚÛ Ø ÓÖ ¾ ÓÒ Ø ¾¼¼ ÜÑ ÓÖ ÓÒ Ø ¾¼¼ ÜÑ ËØ x ØÓ Ø ØÒ ÖÓÑ Ø ÑÓØÓÖ Ø ØÓ Ø ÒØÖ ØÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÛÝ Ò y ØÓ Ø ØÒ ÖÓÑ ÇÖ ÖØ ØÓ Ø ÒØÖ ØÓÒº ÒÐÐÝ Ø s ØÓ Ø ØÒ ØÛÒ Ø ØÛÓ Ö º Ï Ö ØÓÐ ØØ dy/ 60 ÛÒ x 0.3 Ò y 0.4 Ò ds/ 0 Ø ØØ ØѺ Ï ÛÒØ ØÓ ÒÓÛ dx/ Ø ØØ ØѺ ËÒ Û ÖÒØØ ÓØ x 2 + y 2 s 2, 2x dx + 2ydy 2sds. Á ÝÓÙ ÔÐÙ Ò ds/ 0 Ø Ø ÛÒ ÝÓÙ ÓÒ³Ø ÚÒ Ò ØÓ Ò s Ó ÔÐÙ ØØ Ò ÐÓÒ ÛØ x 0.3, y 0.4 Ò dy 60 20.3) dx 2x dx + 2ydy 2s ds + 20.4) 60) 2s 0, Ó 20.3) dx dx 20.4) 60), ÓÖ 20.4) 60) 20.3) 460) 3 80,
µ Ó Ø ÑÓØÓÖ Ø Û ÓÒ ¼ÑÔº ÆÓØ ØØ ÐÓÒ ØÑ Û ÓÒ Ö Ò ØÖÑ Ó ÓÙÖ Ò ØÒ Ò ÑÐ Û ÙØÓÑØÐÐÝ Ø Ø ÙÒØ Ò ÑлÓÙÖº µ ËØØ Ø ÅÒ ÎÐÙ ÌÓÖѺ ÔÓÒØ µ ËÓÐÙØÓÒ ¾ ÓÒ ÖÚÛ Ø Á fx) ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ ÓÒ [a,b] Ò ÖÒØÐ ÓÒ a,b) ØÒ ØÖ ÔÓÒØ c a,b) Ó ØØ fb) fa) b a f c). µ Í Ø ÅÒ ÎÐÙ ÌÓÖÑ ØÓ ÓÛ ØØ Ø ÙÒØÓÒ fx) : x 3 + 4x 5 ÓÒÐÝ ÖÓÓØ Ø x 1 Ò ÒÓÛÖ Ð º ÔÓÒØ µ ËÓÐÙØÓÒ ¾ ÓÒ ÖÚÛ Ø Ò ÓÒ ¾¼¼ ÜÑ Ò ÓÒ Ø ¾¼¼ ÜѺ Á ØÖ ÛÖ ØÛÓ ÖÓÓØ Ó ØØ ÙÒØÓÒ ØÛÓ ÔÓÒØ a Ò b Ø Û fa) fb) 0 ØÒ Ý ÅÎÌ ØÖ ÔÓÒØ c ØÛÒ a Ò b Ø Û f c) fb) fa) b a 0 b a 0º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò f x) 3x 2 + 4 Û ÐÛÝ Ø Ð Ø Ó ÒÚÖ ¼º ËÓ Ù c Ò³Ø Ü Ø Û ÑÒ ØØ Ø ÙÑÔØÓÒ ØØ ØÖ ÛÖ ØÛÓ ÖÓÓØ Ð º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò f1) 0, Ó Ø Ó Ò Ú ÓÒÐÝ ØØ ÓÒ ÖÓÓغ µ Í ÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ Ò Ò ÔÔÖÓÜÑØ ÚÐÙ Ó 25) 1/3 Ø Ù ÖÓÓØ Ó ¾º ½¼ ÔÓÒØ µ ËÓÐÙØÓÒ ËÑÐÖ ØÓ ½ ½ Ò ½ ÓÒ ÖÚÛ Ø Ò ÓÒ Ø ½ ÜÑ Ò ÓÒ Ø ¾¼¼ ÜÑ ÓÙ Ø Ø ÙÒØÓÒ fx) x 1/3 Ò a 27 Ù ÝÓÙ Ò Ò Ø Ù ÖÓÓØ ØÖ Ò Ø ÐÓ ØÓ ¾µº ÌÒ Ý ÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÒÓØÒ ØØ f x) 1 3x 2/3 fx) fa) + f a)x a) 25 1/3 27 1/3 1 + 25 27) 3 272/3 3 + 1 3 9 2) 3 2 27 79 27. µ ÄØ fx) x2 1 x 2 ØÒ ¾¼ ÔÓÒØ µ ËÑÐÖ ØÓ Ò ÐÐ ÔÖØ Ó ÓÒ Ø ÖÚÛ + 3 Ø ÔÐÙ ÓÒ Ø ¾¼¼ ÜÑ ÓÒ Ø ½ ÜÑ Ò ½¼ ÓÒ Ø ¾¼¼ ÜÑ µ Ò Ø ÓÑÒ Ó fx)º ËÓÐÙØÓÒ Ì ÓÑÒ ÐÐ ÖÐ ÒÙÑÖ º ÆÓØ ØØ Ø ÒÓÑÒØÓÖ ÒÚÖ ¼º µ Ò ÐÐ x¹ Ò y¹ ÒØÖÔØ º ËÓÐÙØÓÒ Ì y¹òøöôø 0,f0)) 0, 1/3)º Ì x¹òøöôø Ö x,0) ÓÖ ØÓ x ÛÖ Ø ÒÙÑÖØÓÖ ¼ Ó 1,0) Ò 1,0)º µ Ò ÒÝ ÓÖÞÓÒØÐ ÓÖ ÚÖØÐ ÝÑÔØÓØ º
ËÓÐÙØÓÒ ÌÖ ÒÓ ÚÖØÐ ÝÑÔØÓØ Ò Ø ÒÓÑÒØÓÖ ÒÚÖ ¼º ÌÖ ÓÖÞÓÒØÐ ÝÑÔØÓØ Ò x 2 1 lim x 2 + 3 1, Ò ØØ ÝÑÔØÓØ ÔÔÖÓ Ý Ø ÖÔ ÓÒ ÓØ Ò º ÓÖ ÒÝ x ØÓÙ Ø ÒÙÑÖØÓÖ Ð ØÒ Ø ÒÓÑÒØÓÖ Ó Ø ÖÔ ÔÔÖÓ Ø ÓÖÞÓÒØÐ ÝÑÔØÓØ ÖÓÑ ÐÓÛ ÓÒ ÓØ Ò º ÓÒØÒÙÒ ÛØ ÔÖÓÐÑ º ÊÐÐ ØØ fx) x2 1 x 2 + 3 µ Ò ÛÖ Ø ÙÖÚ ÒÖ Ò Ò Ö Ò Ò Ò ÒÝ ÖØÐ ÔÓÒØ º ËÓÐÙØÓÒ f x) 2xx2 + 3) 2xx 2 1) x 2 + 3) 2 8x x 2 + 3) 2, Ó Ø ÙÖÚ ÒÖ Ò f x) > 0µ ÛÒ x > 0 Ò Ö Ò f x) < 0µ ÛÒ x < 0º ÌÒÐÐÝ ÝÓÙ ÓÙÐ Ý ØØ f ÒÖ Ò ÛÒ x 0 Ò Ö Ò ÛÒ x 0 ÙØ ØÖ ÛÝ Çú ÌÖ ÓÒÐÝ ÓÒ ÖØÐ ÔÓÒØ Ø x 0 ÛØ ÚÐÙ f0) 1/3 Ò ØØ ÐÓÐ ÑÒÑÙÑ Ý Ø Ö Ø ÖÚØÚ Ø Øº ÓÙ Ò Ð Ó ØØ Ø ÐÓÐ ÑÒÑÙÑ ÖÓÑ Ø ÓÒ ÖÚØÚ Ø Ø Û ÝÓÙ ÛÐÐ Ò Ø ÒÜØ ÔÖغ x 0 Ð Ó Ò ÓÐÙØ ÓÖ ÐÓе ÑÒÑÙÑ Ò ØÖ ÓÒÐÝ ÓÒ ÖØÐ ÔÓÒØ Û ÐÓÐ ÑÒÑÙÑ Ò Ò ÓÐÙØ ÑÒÑÙѺ ÓÙ ÛÖÒ³Ø ØØ ØÓÙ ÓÒÐÝ ØÓ Ò Ø ÖØÐ ÔÓÒغ µ Ò ÓÒ ÛØ ÖÓÒ Ø ÙÖÚ ÓÒÚ ÙÔ Ò ÛÖ Ø ÓÒÚ ÓÛÒ Ò Ò ÒÝ ÔÓÒØ Ó ÒØÓÒº ËÓÐÙØÓÒ ) f 8x x) x 2 + 3) 2 8x2 + 3) 2 2x 2 + 3)2x ) 8x x 2 + 3) 4 8x2 + 3) 2 2x) 8x x 2 + 3) 3 24 24x2 x 2 + 3) 3 241 x2 ) x 2 + 3) 3, Ó Ø ÒØÓÒ ÔÓÒØ Ö Ø x ±1º ÓÖ x > 1 f x) < 0 Ò ÓÖ x < 1, f x) < 0 ÙØ ÓÖ 1 < x < 1 f x) > 0 Ó Ø ÙÖÚ ÓÒÚ ÙÔ ÓÒ 1,1) Ò ÓÒÚ ÓÛÒ ÓÒ, 1) 1, ) ÛØ ÒØÓÒ ÔÓÒØ Ø 1,0) Ò 1,0) ÓÙ ÐÖÝ ÓÙÒ Ø y¹úðù Ò ØÝ Ö Ø x¹òøöôø µº ÓÒØÒÙÒ ÛØ ÔÖÓÐÑ º ÊÐÐ ØØ fx) x2 1 x 2 + 3 µ ÌÒ Ø Ø ÙÖÚ ÓÛÒ Ó Ø ØÙÖ º
ËÓÐÙØÓÒ ÀÖ Ø Ø ØØ ÅÔÐ ÔÖÓÙ