ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN Cao học phương pháp Toán Sơ Cấp K5 Thực hiện : Nguyễn Hạ Thi Giang BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Đà Nẵng - 0
BÀI TẬP : (Tuần hoàn cộng tính) Cho f(x), g(x) liên tục và tuần hoàn chu kỳ cơ sở tương ứng a và b trên R. Biết F (x) := f(x) + g(x) cũng tuần hoàn trên R. CMR : a b Q. Giả sử a b Q thì Hay : m, n N; (m, n) = sao cho : a b = m n m, n N; (m, n) = sao cho : an = bm Đặt : T = an = bm. Xét : F (x + T ) = f(x + T ) + g(x + T ) = f(x + an) + g(x + bm) = f(x) + g(x) = F (x) Vậy T R thỏa mãn : F (x + T ) = F (x) (mâu thuẫn vì F (x) tuần hoàn) Suy ra : a b Q BÀI TẬP : (Tuần hoàn nhân tính) Cho hàm số g(x) xác định trên R. Xác định tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn : f(x) + f(x) = g(x) + g(x), x R () Từ () ta có : * Đặt u(x) = f(x) g(x), ta có : Ta sẽ tìm nghiệm u(x) : Ta có : u(4x) = u(x) = u(x). f(x) g(x) = [f(x) g(x)]. u(x) = u(x)
Theo bài toán (phần THNT. sách PTH - Nguyễn Văn Mậu), ta được kết quả trong đó : Thật vậy, nếu u(x) có dạng () thì : u(x) = [v(x) v(x)] () v(4x) = v(x), x R u(x) = [v(x) v(4x)] = [v(x) v(x)] = u(x), x R. Ngược lại, nếu u(x) = u(x), chọn v(x) = u(x). Khi đó v(4x) = v(x), x R Vậy : [v(x) v(x)] = [u(x) u(x)] = [u(x) + u(x)] = u(x), x R Theo bài toán (phần THNT. sách PTH - Nguyễn Văn Mậu), ta được kết quả : u(x) = [v(x) v(x)], Trong đó : Vậy : h (.log x) khi x > 0 v(x) = k tùy ý khi x = 0 h (.log x ) khi x < 0 f(x) = g(x) + [v(x) v(x)] BÀI TẬP : (Hàm số chuyển đổi các phép tính số học) Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện : f(x y) = f(x) f(y), x, y R. * Đặt t = x y x = t + y. Khi đó ta có : f( t + y f(t) + f(y) ) =,
* Theo bài toán "Chuyển đổi từ TBC sang TBC", ta được kết quả : f(t) = at + b. * Thử lại : f(x y) = a(x y) + b = ax ay + b = (ax + b) (ay + b) = (ax + b) (ay + b) = f(x) f(y). Vậy nghiệm là : f(x) = ax + b, x R, a tùy ý, BÀI TẬP 4 : (Bất phương trình hàm) Cho hàm số f : R R thỏa mãn các điều kiện : { f(x) x, x R CMR : f(x) x, x R f(x + y) f(x) + f(y), x, y R. * Ta cần chứng minh bài toán phụ sau : Cho hàm số f : R R thỏa mãn các điều kiện : { f(x) 0, x R CMR : f(x) 0, x{ R () f(0) 0 - Với x = 0, ta có : f(0) 0 f(x + y) f(x) + f(y), x, y R f(0) = 0. - Vậy 0 = f(0) = f[x + ( x)] f(x) + f( x) 0. mà f(x) 0, f( x) 0, x R. Suy ra : f(x) 0 - Thử lại : thỏa mãn. * Quay lại bài toán trên, ta đặt : g(x) = x f(x) 0, x R. Khi đó : g(x + y) = x + y f(x + y), g(x) = x f(x), g(y) = y f(y). Vậy : g(x + y) g(x) + g(y), x R.
Theo (), g(x) 0, x, y R. Suy ra : f(x) x, x R. BÀI TẬP 5 : Xác định các hàm số f liên tục trên R thỏa mãn điều kiện : f(xy) = f(x)f(y)f(), x, y, R * Với y = =, ta có : f(x) = f(x)[f()] f(x)[f() ][f() + ] = 0 * Nếu f() ± thì f(x) 0, x R(thỏa mãn). * Nếu f() = thì f() = f(x. x ) = f(x).f( ), x R. x Vậy f(x) 0, x R. Khi đó, f(xy) = f(xy.) = f(x)f(y)f() = f(x)f(y), x, y R Theo bài toán "chuyển đổi từ phép (.) sang (.)", ta có nghiệm : 0 x R x f(x) = { a, x R \ 0, a R tùy ý x b, x R + b R tùy ý x b, x R * Nếu f() = thì tương tự như trên f(x) 0, x R, khi đó f(xy) = f(xy.) = f(x)f(y).f() = f(x)f(y), x, y R f(xy) = f(x)f(y) = [ f(x)].[ f(y)], x, y R 4
Đặt g(x) = f(x), ta được : g(xy) = g(x)g(y), x, y R Và g(x) liên tục trên R nên theo bài toán "chuyển đổi từ phép (.) sang (.)", ta có nghiệm : 0 x R x g(x) = { α, x R \ 0, α R tùy ý x β, x R + b R tùy ý x β, x R * Nghiệm của phương trình là : 0 x R x a, x R \ { 0 } {, a R tùy ý x b, x R + f(x) = b R tùy ý x b, x R { x β, x R + β R tùy ý x β, x R BÀI TẬP 6 : (Hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình) Xác định tất cả các hàm số f liên tục trên R thỏa mãn điều kiện : f( x + y + ) = f(x) + f(y) + f(), x, y, R * Đặt g(x) = f(x) f(0) (dịch chuyển hệ số b), ta có : g(0) = 0 g( x + y + g(x) + g(y) + g() ) =, x, y, R * Khi đó, Với y = = 0, ta có : g( x ) = g(x) 5
Với x = = 0, ta có : g( y ) = g(y) Với x = y = 0, ta có : g( ) = g() Vậy ta được : * Đặt u(x) = g( x ), ta có : g( x + y + ) = g( x ) + g(y ) + g( ), x, y, R u(x + y + ) = u(x) + u(y) + u(), x, y, R Với = 0, ta có u(x + y) = u(x) + u(y), x, y R. Đây là phương trình Cauchy, u(x) liên tục trên R nên u(x) có dạng : u(x) = ax a tùy ý. Từ đó ta có : g( x ) = ax g(t) = at f(t) = at + f(0) = At + B, a, b R tùy ý. * Thử lại : f( x + y + ) = A( x + y + ) + B = Ax + B + Ay + B + A + B f(x) + f(y) + f() = (thỏa mãn) BÀI TẬP 7 : (Tương tự bài tập 6 : Kỹ thuật đưa từ TBC sang TBC) Xác định tất cả các hàm số f liên tục trên R thỏa mãn điều kiện : f( x + y ) = f(x) + f(y), x, y, R * Đặt g(x) = f(x) f(0), ta có : g(0) = 0 g( x + y ) = g(x) + g(y) * Khi đó, 6
Vậy Với y = 0 thì g( x ) = g(x) Với x = 0 thì g( y ) = g(y) ) g( x ) + g(y ) = g(x) + g(y) x, y R Suy ra : * Đặt u = x, v = y g( x + y ) = g( x ) + g(y ) x, y R, ta được : g(u + v) = g(u) + g(v) u, v R. Đây là phương trình dạng Cauchy, g(x) liên tục trên R, nên nghiệm có dạng : g(x) = at a R tùy ý, Khi đó : f(x) = ax + f(0) = Ax + B A, B R tùy ý. BÀI TẬP 8 : (Kỹ thuật đưa từ TBC sang TBN) Xác định tất cả các hàm số f liên tục trên R thỏa mãn điều kiện : f( x + y ) = [f(x)].[f(y)], x, y R () * Giả sử x 0 = 0 thì : f( x 0 + y ) = [f(x 0 )]. [f(y)] = 0, y R Vậy f(x) = 0 x R hay f(x) 0 (thỏa mãn). 7
* Xét f(x) > 0, x R ta có : ln[f( x + y )] = ln[f(x)] + ln[f(x)] + ln[f(y)] ln[f(y)] = Đặt g(x) = ln[f(x)], ta được : g( x + y ) = g(x) + g(y) g(x) liên tục trên R nên theo bài toán 7, g(x) có dạng : Vậy nghiệm của phương trình () là : * Xét f(x) < 0, x R ta có : g(x) = Ax + B, A, B R. f(x) = e Ax+B f( x + y Đặt h(x) = ln[ f(x)], ta được : Tương tự như trên ta có : Vậy nghiệm là : h( x + y ) = A, B R x, y R ) = [f(x)].[ f(y)] h(x) + h(y) h(x) = αx + β f(x) = e αx+β α, β R α, β R x, y R BÀI TẬP 9 : Xác định tất cả các hàm số f liên tục trên R \ { 0 } thỏa mãn điều kiện : f( x + y + ) = f(x)f(y)f() x, y, 0 8
* Nếu x 0 : f(x 0 ) = 0 thì Vậy f(x) 0, x R (thỏa mãn) * Xét f(x) > 0, x 0, ta có : f( + x 0 y + ) = f(x 0 )f(y)f() = 0 y, R ln[f( x + y + )] = ln[f(x)] + ln[f(y)] + ln[f()] Đặt u = x, v = y, w =, g(x) = ln[f(x)] ta có : g( u + v + w ) = g( u ) + g( v ) + g( w ) Đặt h(t) = g( ), ta có : t h( u + v + w ) = Theo bài toán 6, ta có : h(u) + h(v) + h(w) u, v, w 0 g( ) = h(u) = au + b u 0; a, btùy ý u Khi đó, g(x) = a x + b x 0; a, b tùy ý Hay : a f(x) = ex +b x 0; a, b tùy ý. * Xét f(x) < 0, x 0, ta có : f( x + y + ) = [ f(x)].[ f(y)].[ f()] x, y, 0 Đặt g(x) = ln[ f(x)], tương tự như trên ta có : f(x) = e a x +b x 0; a, b tùy ý. 9
BÀI TẬP 0 : Xác định tất cả các hàm số f liên tục trên R + thỏa mãn điều kiện : [f(x)] + [f(y)] + [f()] f( x + y + ) = x, y, R + * Xét f(x) 0 x R + : thỏa mãn * Xét f(x) 0 x R +, ta có : Đặt u = x, v = y, w =, ta có : [f( x + y + )] = [f(x)] + [f(y)] + [f()] [f( u + v + w )] = [f( u )] + f( v ) + f( w ), u, v, w R + Đặt g(u) = [f( u )], ta có : Theo bài toán 6, ta có : Hay g( u + v + w ) = g(u) + g(v) + g(w) g(u) = Au + B u R +, A, B tùy ý. f(x) = A x + B x R+, A, B tùy ý. o0o Hết o0o 0