Pijanìthtec I. Ask seic 5 Suneqeic katanomec. An h tuqaða metablht X èqei puknìthta f X (x = x x, na brejeð h puknìthta thc Y := X.. An h tuqaða metablht X èqei puknìthta f X (x = e x x, na brejeð h puknìhthta thc X an X, Y := /X an X >. 3. An h tuqaða metablht X èqei puknìthta f X (x = λe λx x ìpou λ eðnai mia jetik stajerˆ (dhlad h X akoloujeð thn ekjetik katanom me parˆmetro λ, na deiqjeð ìti h Y = [X] (akèraio mèroc tou X akoloujeð thn gewmetrik katanom. Poiˆ eðnai h mèsh tim thc Y? 4. H tuqaða metablht X èqei puknìthta f X (x = cx r x, ìpou oi c, r eðnai jetikèc stajerèc. (a Poièc eðnai oi epitreptèc timèc tou r? (b Na brejeð h tim thc stajerˆc c sunart sei tou r. (g Gia poièc timèc tou r isqôei EX <? 5. (a An h U akoloujeð thn omoiìmorfh katanom sto diˆsthma (,, tìte gia a < b h akoloujeð thn omoiìmorfh sto (a, b. X := a + (b a U (b An h X akoloujeð omoiìmorfh katanom sto diˆsthma (a, b, ìpou a < b, tìte h akoloujeð thn omoiìmorfh katanom sto (,. U := X a b a 6. 'Estw θ >. Upojètoume ìti h tuqaða metablht U akoloujeð thn omoiìmorfh katanom sto diˆsthma (,. (a ApodeÐxte ìti h tuqaða metablht X := log(u/θ akoloujeð thn ekjetik katanom me parˆmetro θ. (b BreÐte thn puknìthta thc tuqaðac metablht c Y := log ( U U. 7. An h X akoloujeð omoiìmorfh katanom se kˆpoio diˆsthma (a, b, X U(a, b, kai èqei mèsh tim µ = 5 kai diasporˆ = 3 na breðte touc arijmoôc a, b. EpÐshc na upologðsete akrib c Aut n pou metrˆei to arijmì apotuqi n wc thn pr th epituqða se mia akoloujða peiramˆtwn. Sto biblðo tou k. KoÔtra, gewmetrikh onomˆzetai aut pou metrˆei arijmì prospajei n wc thn pr th epituqða, h opoða isoôtai me thn prohgoômenh auxhmènh katˆ èna. H sugkekrimènh Y lème ìti akoloujeð thn Logistik (Logistic katanom.
thn pijanìthta P ( X µ > kai na thn sugkrðnete me to ˆnw frˆgma pou dðnei h anisìthta Chebychev. 8. RÐqnoume èna zˆri kai an emfanisteð h èndeixh i tìte dialègoume tuqaða ènan arijmì, èstw X, apì to diˆsthma (, i (sômfwna me thn omoiìmorfh katanom U(, i. BreÐte thn puknìthta thc X. Katˆ mèso ìro poion arijmì dialègoume? 9. (Katanom Weibul 'Estw c >. 'Otan h X akoloujeð ekjetik katanom me parˆmetro θ > tìte lème ìti h tuqaða metablht Y = X /c akoloujeð thn katanom Weibul me paramètrouc c kai θ. BreÐte thn sunˆrthsh puknìthtac thc Y.. H tuqaða metablht X akoloujeð thn ekjetik katanom me kˆpoia parˆmetro θ >. H X paristˆnei to qrìno zw c (se èth enìc hlektronikoô exart matoc. O kataskeuast c prosfèrei eggôhsh a = et n, kai autì eðnai to mègisto a ètsi ste toulˆqiston to 95% twn exarthmˆtwn na leitourgoôn toulˆqiston mèqri to qrìno eggôhshc ( ste na mhn qreiˆzetai na ta antikatast sei. Poiìc eðnai o mèsoc qrìnoc zw c twn exarthmˆtwn, kai poia h diasporˆ tou qrìnou zw c twn exarthmˆtwn?. To bˆroc X enìc koutioô anayuktikoô akoloujeð kanonik katanom me mèsh tim µ = 33gr kai tupik apìklish = gr. BreÐte (a Thn pijanìthta ìpwc èna tuqaða epilegmèno koutð èqei bˆroc megalôtero twn 34gr. (b Thn pijanìthta ìpwc èna tuqaða epilegmèno koutð èqei bˆroc mikrìtero twn 3gr. (g Thn pijanìthta ìpwc èna tuqaða epilegmèno koutð èqei bˆroc metaxô twn 3gr kai twn 34gr. (d Thn pijanìthta ìpwc metaxô dèka tuqaða epilegmènwn kouti n, to polô 8 apì autˆ èqoun bˆroc mikrìtero twn 34gr. (e Ton anamenìmeno arijmì kouti n, metaxô dèka tuqaða epilegmènwn kouti n, pou èqoun bˆroc mikrìtero twn 34gr.. Gia mia suneq katanom, o arijmìc a lègetai diˆmesoc thc katanom c an P (X a = P (X a, ìpou h tuqaða metablht X akoloujeð thn dedomènh katanom. (a Na deiqjeð ìti kˆje suneq c katanom èqei toulˆqiston èna diˆmeso. (b Poiìc eðnai ènac diˆmesoc gia thn katanom N(µ,? EÐnai monadikìc? 3. Na brejeð ènac diˆmesoc gia thn ekjetik katanom me parˆmetro λ. 4. An X exp(λ, na deiqjeð ìti gia k N isqôei E(X k = k! λ k. 5. 'Estw ìti X N(µ,. An P (X >.85 =. kai P (X >.7 =.9 na brejoôn ta µ,. DÐnetai ìti Φ (.8 =.85, Φ (.9 =.9
3 6. An X N(,, na deiqjeð ìti X Γ(/, /. *7. An Z N(, kai f : R R eðnai paragwgðsimh me suneq parˆgwgo kai me {x R : f(x } fragmèno, na deiqjeð ìti E(f (X = E(Xf(X. 8. UpologÐste tic apìlutec ropèc E Z p, p >, ìtan h Z akoloujeð tupopoihmènh kanonik N(, sunart sei thc sunˆrthshc Gˆmma, kai deðxte ìti E X µ = π ìtan X N(µ,. *9. An h F eðnai sunˆrthsh katanom c miac tuqaðac metablht c, tìte xèroume ìti ikanopoieð ta ex c: (i eðnai aôxousa, (ii eðnai dexiˆ suneq c, (iii lim x F (x =, (iv lim x F (x =. AntÐstrofa t ra, upojètoume ìti mia F : R R ikanopoieð tic (i-(iv, kai epiplèon ìti eðnai gnhsðwc aôxousa kai suneq c. Kai èstw U tuqaða metablht me katanom thn omoiìmorfh sto (,. OrÐzoume thn tuqaða metablht X := F (U. Na deiqjeð ìti h X èqei sunˆrthsh katanom c F. Sqìlio: H upìjesh ìti h F eðnai gnhsðwc aôxousa kai suneq c den qreiˆzetai. QwrÐc aut n, orðzei kaneðc gia t [, ] F (t := inf{x R : F (x t}. Kai apodeiknôetai pˆli ìti h F (U èqei sunˆrthsh katanom c F. SumperaÐnoume loipìn ìti (a Kˆje F pou ikanopoieð tic (i-(iv eðnai sunˆrthsh katanom c kˆpoiac tuqaðac metablht c, p.q., thc F (U. Kai epomènwc oi sunj kec (i-(iv eðnai ikanèc kai anagkaðec ste mia sunˆrthsh na eðnai sunˆrthsh katanom c miac tuqaðac metablht c. (b An èqoume èna mhqanismì pou parˆgei mða tuqaða metablht U me katanom omoiomorfh sto (,, tìte mporoôme na paragˆgoume opoiad pote ˆllh tuqaða metablht mèsw tou metasqhmatismoô F (U. ArkeÐ bèbaia na mporoôme na upologðsoume thn F. Autì kˆname sthn ˆskhsh 6(a.
4 Apant seic. UpologÐzoume thn sunˆrthsh katanom c thc Y. Gia t R èqoume F Y (t := P (Y t = P (X t, to opoðo eðnai gia t < giatð h X paðrnei me pijanìthta timèc me apìluth tim. Gia t, P (X t = P ( X t t = f X (x dx = x dx + x dx = t. x t 'Ara h F Y eðnai suneq c (sto R kai diaforðsimh sto R\{} me suneq parˆgwgo sto Ðdio sônolo. Apo gnwst prìtash (blèpe fullˆdio sumplhrwmˆtwn jewrðac, èpetai ìti h katanom thc Y èqei puknìthta f Y (t = t t. t. 'Omoia ìpwc sthn prohgoômenh ˆskhsh, F Y (t = gia t < kai F Y (t = gia t >, en gia t [, ] èqoume F Y (t = P (Y t = P (Y t, X + P (Y t, X > = P (X t + P (/X t = F X (t + F X (/t. ProkÔptei ìti h F Y eðnai suneq c (sto R, kai gia t (, h teleutaða sqèsh gia thn F Y dðnei me parag gish F Y (t = f X (t + t f X (/t = e t + t e /t. Dhlad h F Y upˆrqei kai eðnai suneq c sto sumpl rwma enìc peperasmènou sunìlou (tou {, }. Apo gnwst prìtash èpetai ìti mia puknìthta gia thn Y eðnai h e t + t e /t an t (,, f Y (t = an t R \ (,. 3. Epeid P (X =, èqoume ìti o Y eðnai me pijanìthta ènac mh arnhtikìc akèraioc. Gia k Z, k, P ([X] = k = P (k X < k + = λ Gewmetrik me parˆmetro p = e λ. k+ k e λx dx = e λk e λ(k+ = e λk ( e λ. 4. (a r >. (b c = r. (g r >. 6. (b Gia t R, F Y (t = P ( U U et = P (U et = + e t + e t. Puknìthta f Y (t = F Y (t = e t ( + e t gia kˆje t R. 7. a =, b = 8. H zhtoômenh pijanìthta eðnai /6=/3. To frˆgma apì thn anisìthta Chebyshev eðnai 3/4.
5 8. 'Eqoume peðrama se dôo b mata. Wc sun jwc, desmeôoume wc proc to ti ègine sto pr to b ma. 'Estw N h tuqaða metablht pou katagrˆfei to apotèlesma thc rðyhc tou zarioô. F X (t = gia t < kai F X (t = gia t > 6, en gia t [, 6] èqoume P (X t = 6 P (X t N = ip (N = i = 6 i= 6 i= min{i, t} i = 6 ( [t] + t 6 t<i 6 Profan c. i H trðth èkfrash èkfrash gia thn sunˆrthsh katanom c thc X deðqnei ìti aut eðnai suneq c. H teleutaða deðqnei ìti h F X eðnai diaforðsimh sto R \ {,,..., 6} me suneq parˆgwgo sto Ðdio dônolo. 'Ara mia puknìthta gia thn X eðnai h f X (t = 6 6 t<i 6 i diaforetikˆ. an t (, 6, 'Epeita, E(X = R tf Y (t dt =... = 7/4. O upologismìc autìc eðnai pio ˆmesoc me qr sh thc desmeumènhc mèshc tim c, thn opoða den èqoume kalôyei akìmh. 9. 'Omoia ìpwc sthn 'Askhsh, F Y (t = gia t <, en gia t èqoume F Y (t = P (X /c t = P (X t c = F X (t c. ProkÔptei ìti h F Y eðnai suneq c (sto R, kai gia t > h teleutaða sqèsh gia thn F Y dðnei me parag gish Dhlad h F Y F Y (t = f X (t c c t c. upˆrqei kai eðnai suneq c sto sumpl rwma enìc peperasmènou sunìlou (tou {} an c kai tou an c >. Apo gnwst prìtash èpetai ìti mia puknìthta gia thn Y eðnai h f Y (t = θce θtc t c t>.. To mègisto a pou ikanopoieð thn P (X a.95, dhlad thn e aθ.95, eðnai to a = log.95. Apì ta dedomèna, autì eðnai to. Epomènwc θ log.95 θ =.564. O mèsoc ìroc thc kai h diasporˆ thc X eðnai antðstoiqa /θ 39, /θ 5.. Ja qrhsimopoi soume to ìti h tuqaða metablht Z := (X µ/ = (X 33/ akoloujeð thn tupik kanonik katanom gia na ekfrˆsoume ìlec tic zhtoômenec pijanìthtec sunart sei thc sunˆrthshc katanom c, Φ, thc N(,. (a P (X > 34 = P (Z > = Φ(.58 (b P (X < 3 = P (Z < = Φ(.3 (g P (3 < X < 34 = P ( < Z < = Φ( Φ(.88 (d O arijmìc N twn kouti n apo ta pou èqoun bˆroc mikrìtero apì 34gr akoloujeð thn diwnumik katanom me paramètrouc n =, kai p := P (X < 34 = Φ(.84. 'Ara P (N 8 = P (N > 8 = P (N = 9 P (N = = p 9 ( p p.
6 (e E(N = np 8.4. (a An o a eðnai diˆmesoc, tìte epeid h katanom eðnai suneq c, èqoume P (X = a =, P (X a = P (X > a. 'Ara = P (X a + P (X > a = P (X a + P (X a = P (X a = F (a. Sthn trðth isìthta qrhsimopoi same thn idiìthta tou diˆmesou. Epeid h F eðnai suneq c (antistoiqeð se suneq katanom, den èqei ˆlmata kai F ( = < / < = F (, apì to je rhma endiˆmeshc tim c, upˆrqei a R me F (a = /. Gia autì to a èqoume P (X a = P (X < a = P (X a = / = P (X a. 'Ara toulˆqiston ènac diˆmesoc upˆrqei. (b Apo ta epiqeir mata sto (a prokôptei ìti o a R eðnai ènac diˆmesoc an kai mìno an F (a = /. Sthn perðptwsh thc katanom c N(µ,, h F eðnai gnhsðwc aôxousa (èqei puknìthta jetik se ìlo to R, opìte upˆrqei mìno ènac diˆmesoc. tim µ. 'Eqoume ( X µ F (µ = P (X µ = P Ja deðxoume ìti isoôtai me thn mèsh =. H teleutaða isìthta isqôei giatð h (X µ/ èqei katanom N(,, kai gia aut n xèroume ìti èqei puknìthta ˆrtia sunˆrthsh. 3. An o a eðnai ènac diˆmesoc, tìte P (X a = P (X a = e λa = e λa = a = log λ. 'Ara upˆrqei mìno ènac diˆmesoc, to opoðo tan anamenìmeno giatð h sunˆrthsh katanom c F thc ekjetik c eðnai gnhsðwc aôxousa sto [, me F ( =, F ( =. 4. Gia k = isqôei profan c. An isqôei gia ènan k fusikì, tìte E(X k+ = = k + λ x k+ λe λx dx = x k+ ( e λx dx = (k + x k λe λx dx = k + λ E(Xk = (k +! λ k+. Sthn paragontik olokl rwsh, qrhsimopoi same to ìti lim x x k+ e λx =. x k e λx dx 5. H tuqaða metablht Z := (X µ/ akoloujeð thn katanom N(,. Apo ta dedomèna (. = P Z >.85 µ ( (.85 µ.85 µ = Φ = Φ =.8 = Φ(.85. Kai epeid h Φ eðnai -, paðrnoume 'Omoia, brðskoume ìti.85 µ =.85 ( (.7 µ Φ =. =.9 = Φ(.9 = Φ(.9.
7 O teleutaðoc upologismìc upagoreôetai apo thn grafik parˆstash thc puknìthtac thc N(,. 'Ara.7 µ =.9 ( BrÐskoume apì tic (, ( ìti µ.79,.7 6. 'Estw Y = X. H sunˆrthsh katanom c thc Y isoôtai me sto (, giatð P (Y < = P ( =. 'Omoia, F Y ( = P (Y = P (X = = giatð h X èqei suneq katanom. Gia x >, F Y (x = P (X x = P ( x X x = Φ( x Φ( x. An f eðnai h puknìthta thc N(,, paragwgðzoume thn teleutaða isìthta, kai paðrnoume F Y (x = ( f( x + f( x = f( x = x / e x/. x x π Apì ta parapˆnw prokôptei ìti h F Y eðnai suneq c, kai h F Y R \ {} (to opoðo èqei peperasmèno sumpl rwma. 'Ara h Y èqei puknìthta f Y (x = π x / e x/ x> = (/ Γ(/ x e x/ x>, upˆrqei kai eðnai suneq c sto h opoða eðnai h puknìthta thc Γ(/, /. Qrhsimopoi same to ìti Γ(/ = π. 7. Estw a < b pragmatikoð ste f = f = sto (, a] [b,. Tìte E(f (X = b f (xe x / dx = x=b f(x e x / π π b f(x(e x / dx π a = b f(xxe x / dx = E(Xf(X. π a Sthn paragontik olokl rwsh, qrhsimopoi same to ìti f(a = f(b =. x=a a 8. UpologÐzoume E Z p = R = p/ π Γ x p π e x / dx = ( p +. π x p e x / dx x= y = p/ π y (p / e y dy (3 Eidikèc perðptwseic: (a p = k, me k mh arnhtikì akèraio. QrhsimopoioÔme thn sqèsh Γ(x + = xγ(x pou isqôei gia kˆje x >, kai thn Γ(/ = π. ( E(Z k = k Γ k + π = (k (k 3 3. ( = k k ( k 3 π Γ ( Autìn ton arijmì ton èqoume sunant sei sto Fullˆdio, ˆskhsh (i. EÐnai to pl joc twn diaforetik n zeugarwmˆtwn k diaforetik n antikeimènwn. Autì den eðnai tuqaðo.
8 (b p = k +, me k mh arnhtikì akèraio. QrhsimopoioÔme pˆli thn sqèsh Γ(x + = x Γ(x kai to ìti Γ( =. E( Z k+ = k+ π Γ(k + = k+ π k! T ra, an X N(µ,, èqoume ìti Z := (X µ/ N(,, opìte E X µ = E Z = π. Qrhsimopoi same thn (3 gia p =. 9. Gia t R èqoume F X (t := P (X t = P (F (U t = P (U F (t = F (t. Sthn teleutaða isìthta qrhsimopoi same to ìti h U akoloujeð thn omoiìmorfh katanom sto (, kai ìti o F (t eðnai ènac arijmìc sto (,. Sthn trðth isìthta qrhsimopoi same to ìti h F eðnai gnhsðwc aôxousa me sônolo tim n to (,, opìte gia t R kai U (, èqoume F (U t U F (t.