. C c kiõn thøc cçn n¾m.. C c hö thøc c b n π sin tg ( kπ tg. cotg ( cotg sin ( kπ.. C«ng thøc céng gãc ( ± β β sin sinβ sin( ± β sin β ± sinβ tg ± tgβ π tg ( ± β ( ; β tg tgβ kπ cot g.cot gβ cotg( ± β cot g ± cot gβ ( ; β k π.. C«ng thøc nh n sin sin - sin - - sin tg π π tg ( k tg cot g kπ cotg ( cot g sin sin - sin - tg tg π π tg ( k tg 6.. C«ng thøc h¹ bëc sin π tg ( kπ.5. C«ng thøc biõn æi tæng thµnh tých: β β β β β - β - sin sin β β sin sinβ sin β β sin - sinβ - sin
sin( ±β π tg ± tgβ ( β ; kπ.β.6. C«ng thøc biõn æi tých thµnh tæng:.β [( β ( β ] sin.sinβ [( β ( β ] sin.β [sin( β sin( β ] BiÓu thøc ¹i sè BiÓu thøc l îng gi c t ng tù C«ng thøc l îng gi c tn t tn t t - t - t t - t t - t - t - t tn t tn t tn t tn t tn t tn t tn t tn t tn tn tn tn tnt sint tn tn tn(β tn tn - tn......... mét sè ph ng ph p l îng gi c Ó chøng minh bêt ¼ng thøc ¹i sè I. D¹ng : Sö dông hö thøc sin Ph ng ph p: NÕu thê th Æt sin víi [0, π] b NÕu thê r (r > 0 th Æt. C c vý dô minh ho¹: r sin r VD: Cho sè, b, c, d tho m n: b c d Chøng minh r»ng: (cd b(c-d víi [0, π]
Æt sinu b u vµ c sin v S sinu(sinvv u(sinv-v d v P (cd b(c-d (sinuvusinv - (uv - sinusinv sin(uv - (uv π S sin (u v [, ] S (c d b(c d ( pcm VD: Cho b. Chøng minh r»ng: b b Æt vµ b sin víi 0 π. ThÕ vµo bióu thøc võ tr i råi biõn æi. b b sin sin sin sin sin sin.sin.sin ( sin [( sin sin ].sin sin 6 sin ( 6 7 5 5 ( pcm B giê t È bµi to n lªn møc é co h n mét b íc n Ó uêt hiön b VD: Cho b - - b 0. Chøng minh r»ng: A b b ( ( b BiÕn æi iòu kiön: b - - b 0 (- (b- sin sin Æt A sin b b sin π A sin sin sin( 6 ( pcm VD: Cho, b tho m n : 5 b 7
Chøng minh r»ng: b (b- - BiÕn æi bêt ¼ng thøc: b (b- - (- (b Æt R sin víi R 0 b R b R sin ( R (b T cã: 5 b 7 5(R sin (R 7 R 5 5 5Rsin R R sin Rsin rc R Tõ ã (- (b R b (b - - ( pcm II. D¹ng : Sö dông tëp gi trþ sin ;. Ph ng ph p: NÕu thê th Æt b NÕu thê m ( m 0 th Æt. C c vý dô minh ho¹: sin khi ; khi [ 0; ] msin khi ; m khi [ 0; ] VD: Chøng minh r»ng: ( p (- p p ; P. Æt víi [0, π], khi ã ( p ( - p ( p (- p p p p p p p sin sin sin VD: Chøng minh r»ng: Tõ k - 0 nªn Æt víi 0 π sin. Khi ã t cã: P sin ( sin p ( pcm
π sin sin A ( pcm VD: Chøng minh r»ng: [ ( ( ] ( Tõ k nªn Æt víi [0,π] ( sin. sin sin sin ; ; sin sin sin sin sin sin sin sin sin óng ( pcm VD: Chøng minh r»ng: S ( ( ( Tõ k nªn: Æt víi [0, π] S (sin ( sin sin. Khi ã biõn æi S t cã: (sin sin ( π sin sin ( pcm VD5: Chøng minh r»ng A b b ( b ( ( b Tõ iòu kiön: - 0 ; - b 0 ; b nªn. Æt sin, b sin β víi, β π π ; Khi ã A sin β sin β ( β sin( ( β π β sin( β ( β sin ( β ( pcm VD6: Chøng minh r»ng: A - 5-6 [; ] 5
Do [, ] nªn - nªn t Æt -. T cã: A ( ( 5 ( 6 VD7: Chøng minh r»ng: A [0, ] Do [0, ] nªn - nªn t Æt - víi [0, π]. T cã: A ( pcm ( ( ( π sin sin sin ( pcm III. D¹ng : Sö dông c«ng thøc: tg π tg ( kπ Ph ng ph p: NÕu hoæc bµi to n cã chø bióu thøc th Æt π víi 0; π π, b NÕu m hoæc bµi to n cã chø bióu thøc th Æt. C c vý dô minh ho¹: VD: Chøng minh r»ng A Do nªn : Æt m π π víi 0; π, m π π víi 0; π, tg tg. Khi ã: π A (tg sin sin ( pcm 5 VD: Chøng minh r»ng: - A 9 6
Do nªn: Æt π π víi 0; π, tg tg. Khi ã: 5 5( A (5-tg 5 -sin 6sin 5 5 5 5 sin rc 5-5 5 5 ( A rc. 9 ( pcm VD: Chøng minh r»ng: A b b ; b Do ; b nªn. Æt ; b β π π víi 0 ; π,. Khi ã t cã: A ( tg tg β sin β sin β β sin( β ( pcm VD: Chøng minh r»ng: Do > nªn: Æt π víi 0; >. tg. Khi ã: sin.. ( pcm sin sin sin VD5: Chøng minh r»ng 6 ; BÊt ¼ng thøc 6 ( Do ; nªn Æt ; β víi, β 0, π. 7
Khi ã: ( S sin (sinβ β 6 T cã: S sin ( (sin β β sin 5 ( 5 (sin 6 ( pcm IV. D¹ng : Sö dông c«ng thøc tg. Ph ng ph p: NÕu R vµ bµi to n chø ( π π th Æt tg víi, b NÕu R vµ bµi to n chø ( m π π th Æt mtg víi,. C c vý dô minh ho¹: VD: Chøng minh r»ng: S ( Æt tg víi π π,, khi ã biõn æi S t cã: S tg. - tg. sin - sin sin ( pcm 8 VD: T m gi trþ lín nhêt vµ nhá nhêt cñ bióu thøc A ( Æt π π tg víi, th t cã: A tg tg ( tg sin sin (sin sin ( sin sin 5 sin 0 - A Víi 0 0 th MA ; Víi π th MinA 5 VD: Chøng minh r»ng: ( b( b ( ( b, b R 8
Æt tg, b tgβ. Khi ã ( ( sin( β β...β b( b ( b. sin( ( β β sin[ ( β ] VD: Chøng minh r»ng: (tg ( β sin.sin β.β tg ( β tg ( pcm b b c ( ( b ( b ( c Æt tg, b tgβ, c tgγ. Khi ã bêt ¼ng thøc ( tg tg tgβ ( tg β sin( β β..β ( tg tg β tgγ β( tg γ sin( β γ β γ. β. γ ( ( tg tgβ tg β c ( c ( tg tg γ tg γ( tg,b, c sin( γ γ. γ. sin(-β sin(β-γ sin(γ-. BiÕn æi bióu thøc võ ph i t cã: sin(γ- sin[(-β(β-γ] sin(-β(β-γsin(β-γ(-β sin(-β(β-γ sin(β-γ(-β sin(-β (β-γ sin(β-γ (-β sin(-β. sin(β-γ. sin(-β sin(β-γ ( pcm VD5: Chøng minh r»ng: b cd ( c(b d (,b,c,d > 0 cd ( b cd b ( c(b d ( c(b d c b c b d d Æt tg c, tg β b d víi,β π 0, BiÕn æi bêt ¼ng thøc tg.tg β β sin sin β ( tg ( tg β ( tg ( tg β β sin sinβ (-β óng ( pcm DÊu b»ng r (-β β c VD6: T m gi trþ lín nhêt vµ nhá nhêt cñ bióu thøc A b d 6 9
6tg tg tg tg Æt tg. Khi ã A.. tg tg tg A sin sin.0 sin.(- - Sö dông bêt ¼ng thøc Cuch - Schwr t cã: A (sin ( (sin 5 A 5 sin Víi sin th MinA - ; víi th MA 5 V. D¹ng 5: æi biõn sè vò bêt ¼ng thøc tm gi c Ph ng ph p: NÕu ;; > 0 b NÕu ;; > 0 th th c NÕu ;, > 0 th. C c vý dô minh ho¹: π A;B;C (0; ABC: A; B; C π A;B;C (0; ABC: tga; tgb; tgc π A;B;C (0; cot ga; cot gb; ABC: A;B;C (0; π A B tg ; tg ; C tg cot gc VD: Cho,, > 0 vµ. T m gi trþ nhá nhêt cñ bióu thøc. S ( Tõ 0 <,, < nªn Æt tg ; tg β ; tg γ víi, β, γ Do nªn tg tg β tg β tg γ tg γ tg π 0, 0
tg β γ tg tg - β γ π β γ π tg tg β γ tg β tg tg γ tg β γ tg cot g β γ tg tg tg β γ π β γ π β γ β γ S ( cotg cotg cotg - tg tg tg S cot g tg S (cotgcotgβcotgγ - β β γ γ β γ cot g tg cot g tg tg tg tg β γ tg tg tg S (cotgcotgβ-tg γ (cotgβcotgγ-tg (cotgcotgβ-tg β Ó ý r»ng: cotg cotgβ sin( β sin γ sin γ sin.sinβ sin.sinβ ( β ( β γ γ sin sin γ sin γ γ γ tg cot g cot g β tg 0 ( β γ γ T ã su r S 0. Víi th MinS 0 VD: Cho 0 <,, < vµ ( ( ( T m gi trþ nhá nhêt cñ bióu thøc S Do 0 <,, < nªn Æt tg ; tg β ; tg γ víi, β, γ Khi ã tg ; tgβ ; tgγ ( 8 ( ( π 0, vµ ¼ng thøc ë gi thiõt tgtgβtgγ tg.tgβ.tgγ
tg tgβ tg tgβ - tgγ(-tg.tgβ - tgγ tg(β tg(-γ tg.tgβ Do, β, γ π 0, nªn β π - γ β γ π. Khi ã t cã: tg tg β tg β tg γ tg γ tg. MÆt kh c: ( - ( [( ( ( ] 0 S. Víi th MinS VD: Cho,, > 0. Chøng minh r»ng: S Æt tg ; β tg ; γ π tg víi, β, γ 0, 9 Do.... nªn tg tg β tg β tg γ tg γ tg β γ β γ π β γ π tg cotg tg tg - S β γ π β γ π ( β γ [(. β( β sin sinβ ]
(( β (sin. C c bµi to n r tr¾c nghiöm sin β β 9 ( pcm Tr íc khi t«i d¹ thö nghiöm néi dung s ng kiõn cñ t«i cho häc sinh cñ líp A vµ A ë tr êng t«i, t«i r bµi vò nhµ cho c c em, cho c c em chuèn bþ tr íc trong thêi gin tuçn. Víi c c bµi tëp su: Bµi :Cho b. CMR: 0-5 6b - 8b. Bµi :Cho (- (b- 5. CMR: b 0. Bµi :Cho ;b 0 CMR: b b b Bµi :Cho ; b ; c CMR: b c b c b c b c Bµi 5:Cho 8 b c ; ; > 0 CMR: d e Bµi 6:CMR: b b, b (0, ] Bµi 7:CMR: ( (b (c 9 (b bc c, b, c > 0 Bµi 8:Cho Bµi 9:Cho,, > 0 CMR :,, > 0 CMR :
Bµi 0: Cho : CMR 0,, >