NGUYÊN HÀM

Bản ghi

1 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI NGUYÊN HÀM Ví du : Tìm nguyân høm cùc høm soá su: ) f() = + ) f() = >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất! + c) f() = ( + ) d) f() = sin cos ) f ( ) d ( - + ) d d d d ln C ) f ( ) d ( + ) d d d C ln ln d( ) ( ) c) f ( ) d (+ ) d (+ ) C sin d) f ( ) d sin cosd sin d(sin ) C Ví du ï: Tìm moät nguyân høm F() cuû høm soá f()=+ sin iát F( )=. T coù F()= cos + C. Do F( ) = - cos + C = C = -. Väy nguyân høm càn tìm lø: F()= cos -. Bøi täp ñà nghò:. T m nguyªn hµm c c hµm sè su y.. ( ) d.. d. c. sin d. d. ( ) d.. d.tìm moät nguyân høm F() cuû høm soá f()=sin.cos, iát giù trò cuû nguyân høm èng 8. Tìm moät nguyân høm F() cuû høm soá f() = -, iát F( ). Tìm moät nguyân høm F() cuû høm soá f() =, iát F( ) TÍCH PHÂN Ví duï: Tìm tích phân cùc høm soá su: / ( ) d / ( sin ) d c/ cos d khi =

2 c/ / / ( ) d = 8 d d ( ) ( ) ( ) ( sin ) sin ( tn cos ) cos d cos d d = ( tn cos ) [ tn( ) cos( )] = 8 d = d + d = ( ) d + ( ) d =(- ) ( ) = Dïng : Tính tích phân èng phöông phùp ñoåi ián dïng : Phöông phùp giûi: : Ñët = u(t) (ñiàu kiän cho t ñå chïy töø ñán ) d = u (t). dt : Ñoåi cän: = u(t) = t = = u(t) = t = ( choïn, thoû ñk ñët ôû trân) : Viát f()d và tích phân môùi tho ián môùi, cän môùi roài tính tích phân. Ví duï: Tính : d Æt = sint d = cost.dt. Víi [;] t cã t [; ] æi cën: t sint VËy d = cos t.dt ( cost).dt= ( t ) Chuù yù: Khi gëp tích phân mø iåu thöùc döôùi dáu tích phân coù dïng : thì ñët = sint t [ ; ] thì ñët = tgt t ( ; ) thì ñët = t [ ; ]\ sin t Dïng : Tính tích phân f[ ()] '()d èng phöông phùp ñoåi ián. Phöông phùp giûi: : Ñët t = () dt = '( ). d : Ñoåi cän: = t = () ; = t = () >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất! = : Viát tích phân ñõ cho tho ián môùi, cän môùi roài tính tích phân tìm ñöôïc. Ví duï : Tính tích phân su : / I d / J.. d / Ñët t = + + dt = (+) d :

3 Ñoåi cän: Väy I= t / Ñët t= t = + tdt = d Ñoåi cän: t Väy J = Bøi täp ñà nghò: Bµi. TÝnh cùc tích phân su: /I= /J= ( cos ). d ( ) d /K= ( ) d Bµi. Tính cùc tích phân su: / / d / ln d sin.cos. d / ( ) d Chú ý: đổi iến thì phải đổi cận Dấu hiệu : Chứ (iểu thức) n Đặt u = iểu thức Chứ Đặt u = >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất! dt ln t t t Chứ mẫu Đặt u = mẫu Chứ sin.d Đặt u = cos Chứ cos.d Đặt u = sin Chứ d Đặt u = ln Dấu hiệu: d Đặt = sint, t ; d Đặt =.sint, t ; d Đặt = tnt, t ; d Đặt =.tnt, t ; Tính tích phân èng phöông phùp tuøng phàn: Coâng thöùc töøng phàn : u. dv u. v v. du ln t dt (8 ) hoặc u. v'. d u. v v. u' d Ví duï : Tính cùc tích phân su: / I=.cos. d /J=.ln. d

4 u u' / Ñët : v' cos v sin Väy J= ln. Väy I = cos - (chuù yù: v lø moät nguyân høm cuû cos ) sin. d = cos = - u' u ln / Ñët : v' v. d d - Tính tích phân cuû moät soá høm höõu tæ thöôøng gëp: ) Dïng äc cuû töû lôùn hôn hy èng äc cuû mãu: Phöông phùp giûi:t chi töû cho mãu tùch thønh toång cuû moät phàn nguyân vø moät phàn phân soá roài tính. Ví duï: Tính cùc tích phân su: / / d ( ) d [ ln ] ln = ln. d d ( ) [ ln ] ln ) Dïng äc trân äc : Phöông phùp giûi: Tùch thønh toång cùc tích phân roài tính. *Tröôøng hôïp mãu soá coù nghiäm phân iät: d Ví duï: Tính cùc tích phân : CI: A B A( ) B( ) Ñët = ( )( ) ( )( ) A(-)+B(+)=- cho =- A=. cho = B=. Väy t coù: d = * Tröôøng hôïp mãu soá coù nghiäm kùp: ( ) d Ví duï: Tính cùc tích phân : d 7 ( ) (ln ln ) ln ( ) d d( ) ( ) d d ( ) =(ln ) ln >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất!

5 A B A( ) B CII: Ñët ( ) ( ) ( ) A A A -A+B= A B B Väy T coù d [ ] d = ( ) *Tröôøng hôïp mãu soá voâ nghiäm: ( ) d Ví duï: Tính cùc tích phân :I= I (ln - - ) - : ( ) d d d ( ) d( ) = ln/ ++/ ln ln ln Tình J= ( ) d A( ) B >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất! ln Ñët += tgt (t ; ) d= ( tg t) dt. Khi = - thí t = ; khi = thí t= J= ( tg t) dt dt ( tg t). Väy I= ln ( ) / Tính tích phân høm voâ tæ: Dïng: (, n R ) d Ñët t= n Dïng : (, R n ) d c d Ví duï: Tính tích phân I = d Ñët t= n c d Ñët t = t = - = -t d= -t dt. Ñoåi cän: t Väy I= t.( t ) dt t dt t / Tính tích phân cuû moät soá høm löôïng giùc thöôøng gëp J Dïng: sin.cos d, sin.sin d, cos.cos d Phöông phùp giûi: Duøng coâng thöùc ián ñoåi tích thønh toång ñå tùch thønh toång hoëc hiäu cùc tích phân roài giûi. Dïng: sin n d; cos n d

6 Phöông phùp giûi: Náu n chün duøng coâng thöùc hï äc, n lû duøng coâng thöùc ñoåi ián. Ví duï : / d/j = / n n n sin d sin sin d ( cos ) sin d Ñët t =cos n n cos (cos ) cos d d d Dïng: R(sin ).cos d Ñëc iät: n n k sin.cos d Phöông phùp giûi: Ñët t =sin Dïng: R(cos ).sin d Ñëc iät: sin n k.cos d Phöông phùp giûi: Ñët t =cos Cùc tröôøng hôïp coøn lïi ñët =tgt Ví duï: Tính cùc tích phân su: / sin.cos. d / sin d c/ cos d d/ sin.cos. d = cos cos (sin sin ) d ( ) cos sin sin d d ( ) c/ I= cos d = Đët t =sin dt = cos d. Đổi cận t cos.cos. d ( sin ).cos. d cos t Väy: I= ( t ). dt ( t ) cos sin d = cos sin.cos. d ( sin )sin.cos. d sin Đët t = sin dt = cos d. Đổi cận t t VËy: J= ( t ) t. dt ( t t ). dt ( ) t Bøi täp ñà nghò: Tính cùc tích phân su: Bµi : / Bµi : / I=. d / cos d d / J= / ln. d /.ln( ). d / d d.cos. d >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất!

7 Bµi : / I= Bµi : / Bµi : / d. d / cos. d / / I= d d 9 / I= sin.cos. d / sin.cos. d d 8 / sin d. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG /Các kiến thức căn ản : ) Dïng toùn: Diän tích hình phúng giôùi hïn ôûi ñöôøng cong vø ñöôøng thúng. Coâng thöùc: Cho høm soá y=f() liân tuïc trân ñoïn [;] khi ñoù diän tích hình phúng giôùi hïn ôûi ñöôøng cong (C) :y=f() vø cùc ñöôøng thúng = ; =; y= lø : S f ( ) d ) Dïng toùn: Diän tích hình phúng giôùi hïn ôûi ñöôøng cong vø ñöôøng thúng. Coâng thöùc: Cho høm soá y=f() coù ñoà thò (C) vø y=g() coù ñoà thò (C ) liân tuïc trân ñoïn [;] khi ñoù diän tích hình phúng giôùi hïn ôûi ñöôøng cong (C), (C ) vø cùc ñöôøng thúng = ; = lø : S f ( ) g( ) d Phöông phùp giûi toùn: B: Läp phöông trình hoønh ñoä gio ñiåm giöõ (C) vø (C ) B: Tính diän tích hình phúng càn tìm: Cách tính S f ( ) d TH: Náu phöông trình f() = voâ nghiäm trong (;). Khi ñoù diän tích hình phúng càn tìm lø: S f ( ) d TH: Náu phöông trình f() = coù nghiäm lø (;). Khi ñoù diän tích hình phúng càn tìm lø: S f ( ) d f ( ) d TH: Náu phöông trình hoønh ñoä gio ñiåm coù cùc nghiäm lø ; (;). Khi ñoù diän tích hình phúng càn tìm lø: S f ( ) d f ( ) d f ( ) d Chuù yù: * Náu phöông trình hoønh ñoä gio ñiåm coù nhiàu hôn nghiäm løm töông töï tröôøng hôïp. * Dïng toùn lø tröôøng hôïp ñëc iät cuû dïng toùn khi ñöôøng cong g()= Ví duï ï: Tính diän tích hình phúng giôùi hïn ôûi ñoà thò cuû høm soá y = sin trân ñoïn [; ] vø O. : ; väy diän tích hình phúng càn tìm lø: T coù :sin = coù nghiäm = S = sin d sin d sin d = cos cos = >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất! 7

8 Ví dụ: Tính diän tích hình phúng giôùi hïn ôûi (P ): y =, vø (P ) y= + vø cùc ñöôøng thúng = - ; =. Pthñgñ : = + += = -/. Do ñoù :S= = / ( ) ( ) d [( ) ( )] d [( ) ( )] d / / d d = / >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất! 8 = (dvdt) Ví dụ : Tính diän tích hình phúng giôùi hïn ôûi (P): y =, vø ñöôøng thúng (d): +y- =. T coù (P): y y = = vø (d): +y- = = y. y y y Phöông trình tung ñoä gio ñiåm cuû (P) vø ñöôøng thúng (d) lø: = y Väy diän tích hình phúng càn tìm lø: S= y y y y y y ( ) dy ( ) ( ) 9 dy y / Bài tập tương tự : Bøi. TÝnh diön tých h nh ph¼ng giíi h¹n ëi å thþ (C) cñ hµm sè y = - víi êng th¼ng (d): y =. Bøi. Cho hµm sè y = (C). TÝnh diön tých h nh ph¼ng giíi h¹n ëi (C) vµ ph ng tr nh tiõp tuyõn cñ nã t¹i A(,). Bøi. Cho hµm sè y = (C). TÝnh diön tých h nh ph¼ng giíi h¹n ëi (C) vµ c c trôc O; Oy vµ êng th¼ng =. Bøi. TÝnh diön tých h nh ph¼ng giíi h¹n ëi c c êng (C): y vµ c c êng th¼ng (d): + y - = ; y =. Bøi. TÝnh diön tých h nh ph¼ng giíi h¹n ëi c c êng (P): y = - + ;tiõp tuyõn (d) cñ nã t¹i ióm M(;) vµ Oy. Bøi. Cho hµm sè y = (C). TÝnh diön tých h nh ph¼ng giíi h¹n ëi (C); tiöm cën cñ nã vµ = ; =. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY /Các kiến thức căn ản : Thå tìch cuû vät thå troøn oy sinh r khi hính phúng giôùi hïn ôûi ñöôøng cong (C) coù phöông trính y= f() vø cùc ñöôøng thúng =, =, y= quy moät voøng ung qunh truïc O lø: V f ( ) d / Bài tập áp dụng : Ví duï : Tính thå tích khoái càu sinh r do quy hình troøn coù tâm O ùn kính R quy ung qunh truïc O. : Ñöôøng troøn tâm O ùn kính R coù phöông trình : + y = R y = R - Thå tích khoái càu lø : V= R R d = R R R R R = R = R (ñvtt)

9 Ví duï : Tính thå tích cuû vät thå troøn oy, sinh r ôûi moãi hình phúng giôùi hïn ôûi cùc ñöôøng su khi noù quy ung qunh truïc O: = ; = ; y = ; y =. : Thå tích cuû vät thå troøn oy càn tìm lø : S ( ) d ( ) d ( ) = = 8 (ñvtt) Bµi TÝnh thó tých vët thó trßn oy sinh r khi h nh ph¼ng giíi h¹n ëi c c êng su : y =, y = sin, =, =. Gi i: V = sin d Æt : u v' sin u ' v cos V = sin d = ( cos ) cos d =. Bµi. TÝnh thó tých cñ vët thó trßn oy sinh r ëi phðp quy ung qunh trôc Oy cñ h nh giíi h¹n ëi c c êng y =, y =, y = vµ =. Gi i: V = ydy ( ( y ) =. Bài tập đề nghị : Bài : Tình diện tìch hính phẳng giới hạn ởi các đường:. Trục hoành, y,,.. Prol: y, các đường thẳng = -, = và trục hoành.. y s in, y,,... y, y. y y,. Bài : Tình thể tìch khối tròn oy tạo nên khi hính phẳng giới hạn ởi các đường su quy qunh trục hoành:. y và y.. y s in, y,, /.. y cot, y,,. Bài : Tình diện tìch hính phẳng giới hạn ởi các đường:. Trục hoành, y,,.. Prol : y, các đường thẳng = -, = và trục hoành.. y cos, y,,.. y, y. Bài : Cho hính phẳng giới hạn ởi đồ thị hàm số y = cos( ) và hi trục toạ độ. Tình thể tìch khối tròn oy được tạo thành khi quy hính đó qunh trục O. >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất! 9

10 Bài : Tình thể tìch khối tròn oy tạo nên khi hính phẳng giới hạn ởi các đường su quy qunh trục hoành:. y v à y.. y, y,, m Bài : Cho hàm số y = (C m ), (m là thm số). ) Khảo sát sự iến thiên và vẽ đồ thị (C) củ hàm số khi m =. ) Tình diện tìch hính phẳng giới hạn ởi (C), tiệm cận ngng và các đường =, =. >> Truy cập trng để học Toán Lý Hó Sinh Văn Anh tốt nhất!