SkriptInterpolationstheorieSoSe11.dvi

Ò ÜØ Ð ÑÑ º ÇÒ Ø ÔÖÓÚ m(d x ) L(L p (R n )) ÓÖ ÐÐ < p 2 Ý Ø Å Ö Ò Û Þ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ØÓÖ Ñ Ò Ø 2 < p < Û ÐÐ ÓÐÐÓÛ Ý Ù Ð Øݺ Ä ÑÑ º½ Ä Ø M m(d x ) Ò ÌÓÖ Ñ º½º ÌÒ {x R n : Mf(x) > t} C f L (R n ) t ÓÖ ÐÐ t > 0 ÓÖ ÓÑ C > 0 ÒÔ ÒÒØ Ó t > 0 º º M L(L (R n ),L weak (Rn ))º º½µ ÁÒ ÓÖÖ ØÓ ÔÖÓÚ Ä ÑÑ º½ Ò ÒØÐ Ò ÖÒØ Û ÐÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÖÒ Ð Ø Ñ Ø ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Ä Ø m: R n \{0} C Ò ÌÓÖ Ñ º½º ÌÒ ØÖ ÐÓ ÐÐÝ ÒØÖÐ ÙÒØ ÓÒ k: R n \{0} C Ù ØØ m(d x )f(x) = k(x y)f(y)dy ÓÖ ÐÐ x suppf, º¾µ R n Û Ø ÓÖ ÐÐ z 0º k(z) C z n k(z) C z n º µ Ï ÔÓ ØÔÓÒ Ø ÔÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ ØÓ Ø Ò Ó Ø Ø ÓÒº ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Ä Ø Q Ù Ò a L (R n ) Û Ø suppa Q Ò a(x)dx = 0º ÌÒ ØÖ ÓÒ Ø ÒØ C > 0 ÒÔ ÒÒØ Ó a Ò Q Q Ù ØØ m(d x )a(x) dx B K a, R n \ Q ÛÖ Q = Q 2 n ÒÓØ Ø Ù Û Ø Ñ ÒØ Ö Q Ò 2 n Ø Ñ Ø ¹Ð Ò Ø Ó Qº ÈÖÓÓ Ä Ø a ÒÓØ Ø ÒØ Ö Ó Qº ÌÒ x Q = Q 2 n Ò y Q ÑÔÐ x a > 2 y a º ÌÖÓÖ m(d x )a(x) dx = k a(x) dx R n \ Q R n \ Q k(x y) k(x a) dx a(y) dy Q x a >2 y a C a(y) dy, Q

Ò a(x)dx = 0 ÔÖÓÚ ØØ Q k(x y) k(x) dx C ÓÖ ÐÐ y R n. x >2 y º µ ÁÒ ÓÖÖ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ð ØØ Ö Ø Ñ Ø Û Ù Á x > 2 y ØÒ k(x y) k(x) = 0 y k(x ty)dt. k(x y) k(x) sup x k(x ty) y C x n y t [0,] Ò x ty x ÓÖ ÐÐ t [0,]º À Ò 2 k(x y) k(x) dx C x >2 y ÙÒÓÖÑÐÝ Ò y 0º x >2 y x n dx y C ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø f L (R n ) ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ð Ø t > 0º ÌÒ ØÖ Ö Ù Q j j N 0 Û Ø Ó ÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø Ü Ù ØØ ½º t < f(y) dy 2 n t. Q j Q j º µ ¾º f(x) t ÓÖ ÐÑÓ Øµ ÐÐ x j N 0 Q j º ÈÖÓÓ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò D k k Z ÒÓØ Ø Ø Ó ÐÐ Ý Ù Û Ø Ð Ò Ø 2 k ÑÒ Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÐÓ µ Ù Q Û Ø ÓÖÒ Ö ÓÒ Ò ÓÖ Ò ÔÓ ÒØ Ó Ø Ð ØØ 2 k Z n º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Ø D = k Z D kº Ä Ø C t ÓÖ Ú Ò t > 0 Ø Ø Ó ÐÐ Q D Ø Ý Ò Ø ÓÒØ ÓÒ t < Q Q f(x) dx Ò Ð Ø C t Ø Ù Ø Ó ÐÐ Q C t ØØ Ö Ñ Ü Ñ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÒÐÙ ÓÒ ÒC tº Ú ÖÝ Q C t ÓÒØÒ Ò ÓÑ Q C t Ò Q t f

ÓÖ ÐÐ Q C tº Æ ÜØ Q C t D k Ò Q Q D k ØÒ Ý Ø Ñ Ü Ñ Ð ØÝ Ó Q Û Ú Q C t º º f(x) dx t. Q Q ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Q = 2 n Q Û Ø t < f(x) dx 2n f(x) dx 2 n t ÓÖ ÐÐ Q C Q Q Q t. Q À Ò C t = {Q j : j N 0 } ÛÖ Q j,j N 0, Ö ÒÓÒ¹ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ò º µ Ø ÓÖ ÐÐ j N 0 º ÆÓÛ Ð Ø F := R n \ Q jº Á x F ØÒ f(y)dy t ÓÖ Ú ÖÝ Q Q Q D Ù ØØ x Qº À Ò ÓÓ Ò ÕÙ Ò Ó Ù Q k D k Û Ø x Q k Û Ó ØÒ f(x) = lim k f(y)dy Q k t ÓÖ ÐÐ x F. Q k Ê Ñ Ö º Ì Ð ØØ Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÐ ÓÖ Ò Ö Ð f L (R n ) ÓÒ ÔÔÐ Ä Ù ³ Ö ÒØØ ÓÒ ØÓÖ Ñ Ò Ø Ð Ø Ø Ô Ó Ø ÔÖÓÓ º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º½ Ö Ø Ó ÐÐ Ò C0 (Rn ) Ò Ò L (R n ) Ø ÒÓÙ ØÓ ÓÒ Ö f C0 (Rn )º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ð Ø t > 0 Ü Ò Ð Ø Q j j N 0 Ø Ù Ù ØÓ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ω = j N 0 Q j Ò F = R n \Ωº Ï Ò g,b L (R n ) L 2 (R n ) Ý { f(x) x F g(x) = Q j Q j f(y) dy x Q j Ò b(x) = f(x) g(x)º ÆÓØ ØØ Ø ÑÔÐ ½º g(x) 2 n t ÐÑÓ Ø Ú ÖÝ Ò R n ¾º b(x) = 0 ÓÖ Ú ÖÝ x F Ò Q j b(x)dx = 0 ÓÖ j N 0 º ¼

ÌÒ {x : Tf(x) > t} {x : Tg(x) > t/2} + {x : Tb(x) > t/2} Ò Ø Ù ÒØ ØÓ Ø Ñ Ø Ø ÖÑ Ô Ö Ø Ðݺ ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ø Ñ Ø Tg Û Ù ØØ g(x) 2 n t ÓÖ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝ x R n f(x) = g(x) ÓÖx F t Ω f Ò ØØT L(L 2 (R n ))º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ {x : Tg(x) > t/2} 4 Tg(x) 2 dx 4 t 2 t 2 m g(x) 2 dx ( ) C m t 2 t f(x) dx+t 2 Ω Ct f ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ø Ñ Ø Tb Û ÔÔÐÝ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º ØÓ b j (x) := b(x)χ Qj (x) Ò ÓÒÐÙ Tb j (x) dx C b j 2C f(x) dx R n \ Q j Q j ÛÖ Q j = Q 2 n j º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Ò b L 2 (R n ) b j Ò ØÖÓÖ Tb j ÓÒÚ Ö Ò L 2 (R n ) ØÓ b Ò Tb Ö Ô Ø Ú Ðݺ À Ò F Tb(x) Tb j (x) ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛÖ Ò R n \ Ω Tb(x) dx 2C ÛÖ Ω = Q j º Ò ÐÐÝ {x : Tb(x) > t/2} Ω + 2 t Q j f(x) dx 2C f, R n \ Ω Tb(x) dx C t f, ÛÖ Û Ú Ù ØØ Ω Q j (2 n) n Q j C t Q j f(x) dx C t f ½

Ì Ò Ø ÔÖÓÓ Ó º½µº ÈÖÓÓ Ó ÌÓÖ Ñ º½ Ë Ò m(d x ) L(L 2 (R n )) m Ò Ù Ó º½µ Û Ò ÔÔÐÝ Ø Å Ö Ò Û Þ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ØÓÖ Ñ ØÓ ÓÒÐÙ m(d x ) L(L p (R n )) ÓÖ ÐÐ < p 2º Ì Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ 2 < p < ÓÐÐÓÛ Ý Ù Ð ØÝ Ò m(d x )f(x)g(x)dx = m(ξ)ˆf(ξ)ĝ(ξ)dξ R (2π) n n R n = ˆf(ξ)m(ξ)ĝ(ξ)dξ (2π) n R n = f(x)m(d x )g(x)dx R n ÓÖ ÐÐ f,g C 0 (R n ) Ù ØÓ º½µ ÛÖ m(ξ) = m(ξ) Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø m(ξ)º ÌÖÓÖ m(d x ) = m(d x ) L(L p (R n )) 2 < p < Ý Ø Ö Ø Ô Öغ ÁØ Ö ÑÒ ØÓ ÔÖÓÚ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º ÌÓ Ø Ò Û Û ÐÐ Ù Ø Ó¹ ÐÐ Ä ØØÐ ÛÓÓ ¹È Ð Ý Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ Û ÒÓÛ Ý Ø ÒÖ ØÓÓÐ Ò Ø ØÓÖÝ Ó ÙÒØ ÓÒ Ô Ò ÖÑÓÒ Ò ÐÝ º ÁØ Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ù ØÓ Ò ÐÝÞ Ñ ÔÔ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÖØÒ ÓÔ Ö ØÓÖ º Í Ù ÐÐÝ Ä ØØÐ ÛÓÓ ¹È Ð Ý ÓÖ Ý Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÓÒ R n \ {0} ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ϕ j (ξ) j Z Ó R n \{0} Ù ØØ suppϕ j (ξ) {ξ R n : c2 j ξ C2 j } ÓÖ ÐÐ j Z. À Ö c,c > 0 Ö ÓÑ Ù ØÐ Ü ÒÙÑÖ Ó Ø Ò Ó Ò ØÓ c =,C = 2 2 Û Û Û ÐÐ ÙÑ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º ËÙ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ý ÓÓ Ò ÓÑ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ψ C0 (Rn ) Ù ØØ ψ(ξ) > 0 Ò ÓÒÐÝ < ξ < 2º ÌÒ Ò Ò ψ 2 j(ξ) := ψ(2 j ξ) j Z Û Ú Φ(ξ) = j Z ψ j (ξ) > 0 ÓÖ ÐÐ ξ 0, ÛÖ Û ÒÓØ ØØ ÓÖ ξ 0 Ø ÙÑ ÓÚ ÓÒØÒ Ø ÑÓ Ø ØÛÓ ÒÓÒ¹Ú Ò Ò Ø ÖÑ º À Ò ϕ j (ξ) = Φ(ξ) ψ j (ξ) ¾

Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ Û Ø Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Ø ϕ j (ξ) = ϕ 0 (2 j ξ) Ò Φ(2 j ξ) = Φ(ξ) Û ÑÔÐ ØØ α ξ ϕ j(ξ) C α ξ ϕ 0 L (R n )2 α j º µ ÓÖ ÐÐ α N n 0 Ò j Zº Ì Ó Ø ÔÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ ØÓ ÓÑÔÓ m(ξ) = j Z m j (ξ), ξ 0, ÛÖ m j (ξ) = ϕ j (ξ)m(ξ)º ÌÒ ξm α j (ξ) ( ) α α β ξ ϕ j (ξ) β ξ β m(ξ) C2 j α º µ 0 β α Ù Ó º¾µ º µ Ò Ò 2 j ξ 2 j+ ÓÒ suppϕ j º ÓÖ Ô ÖØ m j (ξ) Û Ú ] m j (D x )f = F [m j (ξ)ˆf(ξ) = k j (x y)f(y)dy, R n ÛÖ k j (x) = F [m j ](x) C 0 (R n ) Ò m j (ξ) L (R n )º À Ö Û Ú Ù ØØ À Ò ÓÖÑ ÐÐÝ F[f g](ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ) ÓÖ ÐÐ ξ R n,f,g L (R n ). m(d x )f = j Z R n k j (x y)f(y)dy, ÛÖ Ø Ö ÑÒ ØÓ ÓÛ ØØ Ø ÙÑ ÓÒ Ø Ö Ø¹Ò ÓÒÚ Ö ÓÖ x suppf Ò ØØ k(z) = j Z k j (z), z 0, ÓÒÚ Ö ØÓ ÙÒØ ÓÒ Ø Ý Ò º µº ÌÓ Ø Ò Û Ò ÓÑ Ù ØÐ ÙÒÓÖÑ Ø Ñ Ø Ó k j (z)º Ì Ö ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÔÐ Ð ÑÑ

Ä ÑÑ º Ä Ø N N 0 Ò Ð Ø g: R n C Ò N¹Ø Ñ Ö ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ N N 0 Û Ø ÓÑÔ Ø ÙÔÔÓÖغ ÌÒ F [g](x) C N suppg x N sup β ξ g L (R n ) β =N º µ ÙÒÓÖÑÐÝ Ò x 0 Ò gº ÈÖÓÓ Ä Ø β N n 0 Û Ø β = Nº ÌÒ Ò ØÖÓÖ ( ix) β F [g] = F [ β ξ g] x β F [g](x) β ξ g L (R n ) suppg sup β ξ g L (R n ). β =N Ë Ò β N n 0 Û Ø β = N Û ÖØÖ ÖÝ x N F [g](x) C N suppg sup β ξ g L (R n ) β =N ÓÖ ÐÐ x R n Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Ä Ø m Ò Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÌÓÖ Ñ º½ Ò Ð Ø m j (ξ) = m(ξ)ϕ j (ξ) j Z ÛÖ ϕ j,j Z Ø Ý ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ Ó R n \{0} ÓÚ º ÌÒ k j (x) := F ξ x [m j] Ø ÓÖ ÐÐ M = 0,...,n+2 α N n 0 º ÈÖÓÓ Ö Ø Ó ÐÐ α zk j (z) C2 j(n+ α M) z M º µ α z k j(z) = F [(iξ) α m j (ξ)]. Í Ò º µ Ò 2 j ξ 2 j+ ÓÒ suppϕ j ÓÒ ÐÝ Ú Ö β ξ ((iξ)α m j (ξ)) C α,β 2 j( α β ) ÓÖ ÐÐ β n+2º À Ò ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ º ØÓ (iξ) α m j Û Ø N = M = 0,...,n+2 Û Ó ØÒ α z k j(z) C n,m suppϕ j 2 j( α M) z M C n,m 2j(n+ α M) z M,

Û Ò Ø ÔÖÓÓ º ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Ö ØÐÝ Û Û ÐÐ ÓÛ ØØ j Z α zk j (z) α ÓÒÚ Ö ÓÐÙØ ÐÝ Ò ÙÒÓÖÑÐÝ ÓÒ Ú ÖÝ ÓÑÔ Ø Ù Ø Ó R n \{0} ØÓ ÙÒØ ÓÒ z α k(z) Ø Ý Ò º µº Ì ÑÒ Ó Ø ÔÖÓÓ ØÓ ÔÐ Ø ÓÖ Ú Ò z 0 Ø ÙÑ j Z k j(z) ÒØÓ Ø ØÛÓ Ô ÖØ 2 j z α z k j(z) Ò 2 j > z α z k j(z) Ò ØÓ ÓÛ ÓÒÚ ÖÒ Ò Ø Ø Ñ Ø º µ Ô Ö Ø Ðݺ ÓÖ Ø Ö Ø ÙÑ Û Ù º µ Û Ø α Ò M = 0º ÌÒ zk α j (z) C 2 j(n+ α ) C z n α N j ld z N j ld z ÓÖ ÐÐ N N ÛÖ ld ÒÓØ Ø ÐÓÖ Ø Ñ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ 2º ÓÖ Ø ÓÒ ÙÑ Û ÔÔÐÝ º µ Û Ø α Ò M = n+ α + Ò Ó ØÒ zk α j (z) 2 2 j z n α C z n α ld z <j N ld z <j N ÓÖ ÐÐ N Nº À Ò j Z α z k j(z) ÓÒÚ Ö ÓÐÙØ ÐÝ Ò ÙÒÓÖÑÐÝ ÓÒ Ú ÖÝ ÐÓ Ù Ø Ó R n \{0} ØÓ ÙÒØ ÓÒ k(z) ØØ Ø º µ ÓÖ ÐÐ α º Ò ÐÐÝ Ø Ö ÑÒ ØÓ ÓÛ ØØ k(z) Ø º¾µº Ö Ø Ó ÐÐ m(ξ)ˆf(ξ) = j Z m j (ξ)ˆf(ξ), f C 0 (Rn ) Ò j Z ϕ j(ξ) ÐÓ ÐÐÝ Ò Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò m j (ξ) ÙÒÓÖÑÐÝ ÓÙÒ ÛºÖºØº ξ Ò ˆf(ξ) L 2 (R n ) Ø ÙÑ ÓÒ Ø Ö Ø¹Ò ÓÒÚ Ö Ò L 2 (R n ) ØÓ Ø ÐØ¹Ò Ý Ä Ù ³ ØÓÖ Ñ ÓÒ ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö¹ Ò º À Ò m(d x )f = lim m j (D x )f = lim k k j N k j N k R n k j (x y)f(y)dy, Ò L 2 (R n ) Ò ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛÖ ÓÖ Ú ÖÝ f C 0 (R n ) Ò ÓÑ N k k Ò ÓÙÖÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÓÑ L 2 (R n ) ØÓ

L 2 (R n )º ÌÖÓÖ Ø ÓÒÐÝ Ö ÑÒ ØÓ ÒØ ÖÒ Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ Ò ÒØ ¹ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ø ÖÑ ÓÚ ÔÖÓÚ ØØ x suppfº ÙØ Ø Ò ÓÒ Ò j Z k j(z) ÓÒÚ Ö ÓÐÙØ ÐÝ Ò ÙÒÓÖÑÐÝ ÓÒ Ú ÖÝ ÐÓ Ù Ø Ó R n \{0} ÓÛÒ ÓÚ º À Ò º¾µ ÓÐÐÓÛ º ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ú ØÓÖ¹Ú ÐÙ ÁÒ Ø ØØ m: R n \{0} L(H 0,H ) Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÌÓÖ Ñ º½ ÓÖ Ò Ö Ð À ÐÖØ Ô H 0,H Û Ø ÐÐ ÓÒÐÙ ÑÑØ ÐÝ ØØ m(d x ): L 2 (R n ;H 0 ) L 2 (R n ;H ) ÓÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù ÈÐ ÒÖ Ð ØÓÖ Ñº Ì Ö Ø Ó Ø ÔÖÓÓ Ò ÑÓ Ò ØÖع ÓÖÛ Ö Ñ ÒÒ Ö ØÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ¹Ú ÐÙ Ò ÐÐ Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÒ Ö Ø Ø Ñ Ø ÒÚÓÐÚ Ò ÓÒÐÝ Ø Þ Ó f(x) m(ξ) Ò k(z)º ÇÒ Ù Ø ØÓ Ö ÔÐ Ø ÔÓ ÒØÛ ÓÐÙØ Ú ÐÙ. Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÒÓÖÑ º º. H0. H Ò. L(H0,H )º Ò ÐÐÝ Û ÒÓØ ØØ Ø Å Ö Ò Û Þ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ØÓÖ Ñ ÓÐ ÓÖ Ò Ö Ð X¹Ú ÐÙ L p ¹ Ô ÓÖ Ò Ö Ð Ò Ô X Ò Ø ÔÖÓÓ ÓÒÐÝ ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ ÒÚÓÐÚ Ò Ø Þ Ó Ø ÙÒØ ÓÒº ØÙ ÐÐÝ Ø Ø ÓÒÐÝ Ø Ô Ò Ø ÔÖÓÓ ÛÖ Ø Ò ØØ H 0,H Ö À ÐÖØ Ô Ò ÒÓØ Ò Ö Ð Ò Ô º