Untitled

Ð Ó Ö Ô Ý ½ ÍÊÊ Àº Ò Ò ÐÝ Ó ÐÓ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒº Ñ Ö Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó Å Ø Ñ Ø ½µ ½ ¾ º ¾ ÍÊÊ Àº Ì ÓÑ Ò ØÓÖÝ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð ÐÓ º ÂÓÙÖÒ Ð Ó ËÝÑ ÓÐ ÄÓ µ ½ ¾º ÍÊÊ Àº Ë Êº ÓÑ Ò ØÓÖÝ ÄÓ ÚÓÐÙÑ ½º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò ÈÙ Ð Ò ÓÑÔ ÒÝ Ñ Ø Ö Ñ Ö Ø ÓÒ ½ º ÇË Æ Ãº Á ÒØ ØÝ Ó ÔÖÓÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ò Ö¹ Ð Øݺ Ì ÙÐÐ Ø Ò Ó ËÝÑ ÓÐ ÄÓ µ ¼ Ñ Ö ¾¼¼ º ÃÅ Æ Âº ÆÓÖÑ Ð ÈÖÓÓ Ò Ë Ø Ì ÓÖݺ È Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓØ ÓÖ ½ º ÀÇÏ Ê Ïº º Ì ÓÖÑÙÐ ¹ ¹ØÝÔ ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº ÁÒ ÌÇ Àº º ÍÊÊ ËË Ë ÇÆ ÇÅ ÁÆ ÌÇÊ ÄÇ Á Ä Å Ä ÍÄÍË Æ ÇÊÅ ÄÁËÅ Ôº ¼º Ñ ÈÖ ÁÆ º ½ ¼º Ä Å Ã Âº ÙØ Ú Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÖ º º Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÐÓ Ø ÓÖ º Ø ÓÖÝ Ì ÓÖÝ ÀÓÑÓÐÓ Ý Ì ÓÖÝ ÔÔк ÈÖÓº ÓÒ º Ë ØØÐ Ê º ÒØ Ö ØØ ÐРŠѺ ÁÒ Øº ½ ½ ¹½¾¾ ½ µº Ä Å Ã Âº ÙØ Ú Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÖ º ÝÒØ Ø Ð¹ ÙÐÙ Ò Ö Ù Ø Ø ÓÖ º Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò ËÝ Ø Ñ ¾ µ ¾ ½ Ñ Ö ½ º Ä Å Ã Âº ÙØ Ú Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÖ º º ÖØ Ò ÐÓ Ø ÓÖ ÒØÙ Ø ÓÒ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÙÐÙ Ò ÓÑ ¹ Ò ØÓÖÝ ÐÓ º ÌÓÔÓ Ð Ö ÓÑ ØÖÝ Ò ÄÓ Ð ÓÙ ÍÒ Úº À Ð Ü ½ ½ Ä Øº ÆÓØ Å Ø º ¾ ¹ ¾ ½ ¾µº ½ ¾º

½¼ Ä Å Ã Âº Ë ÇÌÌ Èº º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ À Ö ÇÖ Ö Ø Ó¹ Ö Ð ÄÓ º ÆÙÑ Ö Ò Ñ Ö ËØÙ Ò Ú Ò Å Ø Ñ Ø º Ñ Ö Ö Ø Ø ÓÒ ½ º ½½ Å ÆÆ º ʺ ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÈÖÓÓ Ì ÓÖÝ Ò Ø ÓÖÝ Ì ÓÖݺ È Ø ÇÜ ÓÖ ½ º ½¾ Å ÆÆ º ʺ Ì ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÕÙ Ú Ð Ò Ó ÔÖÓÓ Ò ÖØ Ò ÐÓ Ø ÓÖ º ÈÖÓº ÄÓÒ ÓÒ Å Ø º ËÓº ½ µ ¾ ½¼ ½ º ½ È Ê ÁÊ Äº º À ÍËÄ Ê Àº ËØÖÙØÙÖ Ö ÙØ ÓÒ Ò Ø ÒØ ØÝ ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÍÆÁÄÇ ¾¼¼ º ½ ÈÊ ÏÁÌ º ÓÚ Ö ½ º Æ ØÙÖ Ð ÙØ ÓÒ ÈÖÓÓ ¹Ì ÓÖ Ø Ð ËØ٠ݺ ½ ÈÊ ÏÁÌ º Á Ò Ö ÙÐØ Ò ÔÖÓÓ Ø ÓÖݺ ÁÒ Ò Ø Âº ØÓÖ ÈÊÇ º ¾Æ Ë Æ ÁÆ ÎÁ Æ ÄÇ Á Ë ÅÈÇËÁÍÅ Ôº ¾ ¼ º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò ½ ½º ½ Ë À Æ ÁÆÃ Ä Åº ÇÒ Ø Ù Ð Ò ÐÓ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð ÐÓ º ÁÒ ÊÇÅ Ê ÌÇ Ä ËÇÍÊ ÇÇà ÁÆ Å ÌÀ Š̹ Á Ä ÄÇ Á ½ ¹½ ½ Ôº º Ñ Ö Å º À ÖÚ Ö ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ ÈÖ ½ ¾ º ½ Ë Ä Êº Ï Ó ÒØÒ Ò ÔÖÓÓ Ø ÓÖݺ ÁÒ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆË Ç ËÀ Î Ë ÈÊÇ º Ê Ëº Ë ÅÈÇ˺ ÈÈĺ ËÀ ÌÀ ÇÊ ÌÇ ÄÇ Á Ä Ê Æ Æ Äº ÍÆÁκ ÍÊÀ Å ÍÊÀ Å ½ µ ÒÙÑ Ö Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò Å Ø º Ôº ¼½º ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ½ º ½ Ë Ê ÆË Æ Åº Àº º ÍÊ Æ Èº ÓÛ Ö ÓÑÓÖÔ Ñ ½ º Ä ØÙÖ ÓÒ Ø ÙÖÖݹ ½ ÏÁ à º Á ÒØ ØÝ Ó ÈÖÓÓ º È Ø ËØÓ ÓÐÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾¼¼½º

ÔÔ Ò Ü ÌÓ Ý Ø Ø Ø Ø ÓÖ Hom Cat (, X) Ò 1 Ø Ø ÖÑ Ò Ð Ø ÓÖÝ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ñ ØÓ Ý Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò ÖÖÓÛ ÖÓÑ ØÓ X Ò ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö Ó ÖÖÓÛ f, g: X Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ ÖÖÓÛ ÖÓÑ f ØÓ g Û Ò ÓÑÓÖÔ Ñº ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ä Ø F: Hom Cat (, X) 1 Ø ÙÒØÓÖ Ø Ø Ø Ú ÖÝ Ó Ø ½¹ Ðе X ØÓ Ø ÙÒ ÕÙ 1¹Ó Ø Ò Ú ÖÝ ÑÓÖÔ Ñ ¾¹ Ðе ØÓ Ø ÒØ ØÝ ÖÖÓÛ Ò Ð Ø G: 1 Hom Cat (, X) Ø ÙÒØÓÖ Ø Ø Ø Ø 1¹Ó Ø ØÓ Ò Ó Ø Ó Hom Cat (, X) Ð Ø Ù Ý h Ò Ø ÒØ ØÝ ÖÖÓÛ ØÓ id h : h hº Ï ÓÛ Ø Ø id HomCat = G Fº Hom Cat (, X) ÒÒÓØ ÑÔØÝ ÓØ ÖÛ Ø Ö ÛÓÙÐ ÒÓØ Ú Ò Ü Ø Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ò 1º Ä Ø τ : Hom Cat (, X) Hom Cat (, X) ÑÓÖÔ Ñ Ø Ø Ø Ú ÖÝ Ó Ø ØÓ h Ò Ú ÖÝ ÑÓÖÔ Ñ ØÓ id h Ò σ Ø ÒÚ Ö º Ì Ò f X τ f σ f h X ¹½µ α FG(α)=id h g X τ g σ g h X Ú Ò Ô Ö f, g Ó Ó Ø Ø Ö Ü Ø ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÑ f ØÓ g Ú Þº σ g id h τ f º Ï ÓÛ ÒÓÛ Ø Ø Ø ÑÓÖÔ Ñ ÙÒ ÕÙ ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ØÛÓ ÑÓÖÔ Ñ α Ò βµ ÖÓÑ f ØÓ gº Ø ÓÚ Ö Ñ ÓÑÑÙØ ÓÖ Ú ÖÝ ÖÖÓÛ ÖÓÑ f ØÓ g Û Ú id h τ f = τ g α Ò id h τ f = τ g β º º τ g α = τ g β Ò τ g Ò ÓÑÓÖÔ Ñ α = βº ÆÓÛ Û ÓÛ Ø ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖÑ Ø Ò Ø ÓÒ Hom Cat (, X) Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø Û Ò Ò ÙÒØÓÖ F Ò G Ò Ø Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓÓ º Ø Ö Ü Ø ÖÖÓÛ ØÛ Ò Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ó Ø Û Ò Ò Ö Ñ Ð ¹½µ Ò Ø ÖÖÓÛ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ù Ö ÒØ ØÓ Ù Ø Ø

Ú ÖÝ ÖÖÓÛ ÖÓÑ f ØÓ g ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÙÒ ÕÙ ÖÖÓÛ ÖÓÑ h ØÓ h Ò ÓÒÚ Ö Ðݺ

ÔÔ Ò Ü ÌÓ Ý Ø Ø Ø Ø ÓÖ Hom Cat (X, A B) Ò Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B) Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ñ ØÓ Ý Ø Ø ÓÖ ÒÝ f : X A Ò g: X B Ø Ö Ü Ø h: X A B Ò ÓÑÓÖÔ Ñ π 1 h = f Ò π 1 h = g Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ k: X A B Ò ¾¹ ÐÐ α: π 1 h π 1 k Ò β : π 2 h π 2 k Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ γ: h k Ù Ø Ø id π1 ; γ = α Ò id π2 ; γ = βº ÈÖÓÓ º Ö Ø Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó ¾¹ÔÖÓ ÙØ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÕÙ Ú¹ Ð Ò Ó Ø ÓÖ Ø ÓÖ Ø Ø ÓÖ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ö Ö ÙÒØÓÖ F: Hom Cat (X, A B) Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B) Ò G: Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B) Hom Cat (X, A B) Ù Ø Ø id = Ò id = º Ä Ø Ù Ò Ø ÙÒØÓÖ Ø Ø Ø h ØÓ (π 1 h, π 2 h) Ò γ ØÓ (id π1 ; γ, id π2 ; γ) ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ø ½¹ Ðе h Ò ÖÖÓÛ ¾¹ Ðе γ Ó Hom Cat (X, A B) Ò Ð Ø Ù Ò Ø ÙÒØÓÖ Ø Ø Ø (f, g) ØÓ f, g Ò (α, β) ØÓ α β ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ø (f, g) Ò ÖÖÓÛ (α, β) Ó Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B)º Ä Ø f Ò g Ó Ø Ù Ø Ø f Hom Cat (X, A) Ò g Hom Cat (X, B)º Ì Ò f, g Hom Cat (X, A B)º Ä Ø Ù Ø h = f, g º id = Ø Ò id(f, g) = (f, g) = F (f, g) = ( f, g ) = (π1 h, π 2 h) º º f = π 1 h Áµ Ò g = π 2 h ÁÁµ Ä Ø k Ò Ó Ø Ó Hom Cat (X, A B) α Ò ÖÖÓÛ Ó Hom Cat (X, A) Ù Ø Ø α: π 1 h π 1 k Ò β Ò ÖÖÓÛ Ó Hom Cat (X, B) Ù Ø Ø β : π 2 h π 2 kº Ø Ö Ò ÖÖÓÛ ÖÓÑ f ØÓ π 1 h ÖÓÑ Áµµ Ò α: π 1 h π 1 k Ø Ö Ò ÖÖÓÛ ÖÓÑ f ØÓ π 1 kº Ø Ö Ò ÖÖÓÛ ÖÓÑ g ØÓ π 2 h ÖÓÑ ÁÁµµ Ò β : π 2 h π 2 k Ø Ö Ò ÖÖÓÛ ÖÓÑ g ØÓ π 2 kº Ì Ù f, g π 1 k, π 2 k = k º º h kº

Ì Ò ÖÓÑ Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÑÓÖÔ Ñ Û Ú Ø Ø Ð Ø Ó ÒØ ØÓ º ( (f, g), k) = ((f, g), k) ( f, g, k) = ((f, g), (π1 k, π 2 k)) Í Ò Áµ Ò ÁÁµ Û Ú Ø Ø ( f, g, k) = ((π1 h, π 2 h), (π 1 k, π 2 k)) ÓÖ Ú ÖÝ ÖÖÓÛ Ò ( f, g, k) Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÖÖÓÛ Ò ((π 1 h, π 2 h), (π 1 k, π 2 k)) Ò ÓÒÚ Ö ÐÝ Û Ú Ø Ø γ ÙÒ ÕÙ Ò ÓØ (α, β) Ò (id π1 ; γ, id π2 ; γ) Ö ÖÖÓÛ Ò ((π 1 h, π 2 h), (π 1 k, π 2 k)) Û Ú Ø Ø α = id π1 ; γ Ò β = id π2 ; γº ÆÓÛ Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÕÙ Ú Ð Ò ÓÑ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ¾¹ ÔÖÓ Ùغ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ¾¹ÔÖÓ ÙØ Û Ò Ò ÙÒØÓÖ F Ò G Ù Ø Ø G(f, g) = h ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ø (f, g) Ò Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B) Ò G(α, β) = γ ÓÖ Ú ÖÝ ÖÖÓÛ (α, β) Ò Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B) Ò F(h) = (id π1 h, id π2 h) ÓÖ Ú ÖÝ h Ò Hom Cat (X, A B) Ò F(γ) = (id π1 ; γ, id π2 ; γ) ÓÖ Ú ÖÝ γ Hom Cat (X, A B)º Ä Ø Ù Ò τ : Hom Cat (X, A B) Hom Cat (X, A B) Ø ÖÖÓÛ Ø Ø Ø h ØÓ π 1 h, π 2 h Ò γ ØÓ id π1 ; γ id π2 ; γ ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ø h Ò ÖÖÓÛ γ Ó Hom Cat (X, A B)º ÁØ Ý ØÓ Ø Ø Ø ÖÖÓÛ Ò ÒÚ Ö Ò Ø Ø h τ h π 1 h, π 2 h γ id π1 ;γ id π2 ;γ k τ k π 1 k, π 2 k ÓÑÑÙØ º ËÓ Ø Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÑÓÖÔ Ñ id = G Fº Ä Ø Ù Ò σ: Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B) Hom Cat (X, A) Hom Cat (X, B) Ø ÖÖÓÛ Ø Ø Ø (f, g) ØÓ (π 1 f, g, π 1 f, g ) Ò (α, β) ØÓ (id π1 ; (α β), id π2 ; (α β)) ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ø f Ò ÖÖÓÛ α Ó Hom Cat (X, A) Ò Ú ÖÝ Ó Ø g Ò ÖÖÓÛ β Ó Hom Cat (X, B)º ÁØ Ý ØÓ Ø Ø Ø

¼ ÖÖÓÛ Ò ÒÚ Ö Ò Ø Ø (f, g) σ (f,g) (α,β) (π 1 h, π 2 h) (id π1 ;γ,id π2 ;γ) (f, g ) σ(f,g ) (π 1 k, π 2 k) ÓÑÑÙØ º ËÓ Ø Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÑÓÖÔ Ñ id = F Gº