Estimation par plug-in du tau d entropie d un processus markovien de sauts à espace d état fini Philippe Regnault o cite this version: Philippe Regnault. Estimation par plug-in du tau d entropie d un processus markovien de sauts à espace d état fini. 41èmes Journées de Statistique, SFdS, Bordeau, 2009, Bordeau, France, France. inria-00386587 HAL Id: inria-00386587 https://hal.inria.fr/inria-00386587 Submitted on 22 May 2009 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. he documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
ØÑØÓÒ ÔÖ ÔÐÙ¹Ò Ù ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÑÖÓÚÒ ÙØ Ô ³ØØ Ò ÈÐÔÔ ÊÒÙÐØ ÄÓÖØÓÖ ÅØÑØÕÙ ÆÓÐ ÇÖ Ñ ÍÒÚÖ Ø Ò È ½ ½¼ ¾ Æ Ü Ê ÙÑ Ä³ÒØÖÓÔ ³ÙÒ ÐÓ ÚÐÙÖ Ò ÙÒ Ò ÑÐ Ò Ø ÐÖÑÒØ ÙØÐ Ò ØÓÙØ Ð ÔÔÐØÓÒ ÑÔÐÕÙÒØ ÚÖÐ ÐØÓÖ º ijÕÙÚÐÒØ ÒØÙÖÐ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓ Ù ÐØÓÖ Ø ÓÒ ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ³ÜÔÖÑÒØ ÓÑÑ ÙÒ ÓÒØÓÒ Ð ÔÖÓÐØ ÒÚÖÒØ Ø Ù ÒÖØÙÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓ Ù ÑÖÓÚÒ ÙØ ÓÑÓ¹ Ò ÖÓÕÙ Ô ³ØØ Òº ÇÒ ÓÒ ØÖÙØ ÙÒ ØÑØÙÖ ÔÖ ÔÐÙ¹Ò ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ Ò Ð Ð³Ó Ö¹ ÚØÓÒ ³ÙÒ ØÖØÓÖ Ù ÔÖÓ Ù ÙÖ ÙÒ ÐÓÒÙ ÔÖÓ ØÑÔ º ÇÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ø ØÑØÙÖ ÓÒÒ ÔÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ð Ø ÓÒÚÖÒØ Ø ÝÑÔ¹ ØÓØÕÙÑÒØ ÒÓÖÑÐ ÚÖÒ ÝÑÔØÓØÕÙ Ø ÜÔÐØ Ò Ð ÔÐÙÔÖØ º Ä ÔÖÓ Ù ÙÜ ØØ ÔÖØÙÐÖÑÒØ Ð Ð³ØÙ ÙÖ Ú ÓÙ Ð ÐØ ³ÙÒ Ý ØÑ Ø Ð³ÓØ ³ÙÒ ØÙ ÒÙÑÖÕÙ ØÐк ØÖØ Ì ÒØÖÓÔÝ Ó ØÖÙØÓÒ ÛØ ÒØ ÙÔÔÓÖØ ÛÐÝ Ù Ò ÐÐ ÔÔÐØÓÒ ÒÚÓÐÚÒ ÖÒÓÑ ÚÖÐ º ÒØÙÖÐ ÕÙÚÐÒØ ÓÖ ÖÒÓÑ ÔÖÓ Ø ÒØÖÓÔÝ Öغ ÓÖ ÖÓ ÔÙÖ¹ÙÑÔ ÒØ ØØ ÅÖÓÚ ÔÖÓ Ø ÖØ Ò ÜÔÐØ ÙÒØÓÒ Ó Ø ÝÑÔØÓØ ØÖÙØÓÒ Ò Ø ÒÒØ ÑÐ ÒÖØÓÖ º Ï ØÑØ Ø ÒØÖÓÔÝ ÖØ Ý ÔÐÙ¹Ò ÖÓÑ Ø Ó ÖÚØÓÒ Ó ÓÒ ÐÓÒ ØÖØÓÖÝ Ó Ø ÔÖÓ º Ì ØÑØÓÖ ÔÖÓÚÒ ØÓ ØÖÓÒÐÝ ÓÒ ØÒØ Ò ÝÑÔØÓØÐÐÝ ÒÓÖÑÐ ÛØ ÜÔÐØ ÚÖÒ Ò ÑÓ Ø Ó Ø º Ì Ó ØÛÓ¹ ØØ ÅÖÓÚ ÔÖÓ ÛÐÝ Ù Ò ÖÐÐØÝ ÓÖ ÙÖÚÚÐ Ø ÒÐÝ ØÐÐ Ò ÐÐÙ ØÖغ ÅÓØ ¹Ð ËØØ ØÕÙ ÑØÑØÕÙ ØØ ØÕÙ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù ÑÖ¹ ÓÚÒ ÙØ ÖÓØ ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ØÑØÓÒ ÔÖÑØÖÕÙº ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ä³ÒØÖÓÔ ³ÙÒ ÐÓ P ÙÖ ÙÒ Ò ÑÐ Ò E H(P) = E P()log P() Ø ÒØÖÓÙØ ÔÖ ËÒÒÓÒ Ò ½ Ò Ð Ö Ð³ØÙ Ó ÓÑÔÖ ÓÒ Ð ÑÓÒØÖ ÕÙ (X n ) n N Ø ÙÒ Ò ÅÖÓÚ ÖÓÕÙ Ô ³ØØ Ò Ð ÕÙÓØÒØ 1 n H(P (X 1,...,X n)) ÑØ ÙÒ ÐÑØ H(X) ÐÓÖÕÙ n ØÒ ÚÖ Ð³ÒÒ ÔÔÐ ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ Ð Ò ÖÔÖ ÒØÒØ Ð ØÙÜ ÓÑÔÖ ÓÒ ÓÔØÑÐ Ó ÓÑÔÖ ÓÒº ½
ijÙØÐ ØÓÒ Ð³ÒØÖÓÔ Ô ÐÖÑÒØ Ö ÙÐØØ ÓÖÒÐ ÙÒ ÓØ ÓÙØÐ ØØ ØÕÙ ÓÑÔÐØ Ø ÚÐÓÔÔ Ø ÔÔÐÕÙ Ò ÙÒ ÖÒ ÒÓÑÖ ÓÑÒ ÚÓÖ µº Ä ÒÓØÓÒ ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ÒØÖÓÙØ ÔÖ ËÒÒÓÒ ³ÔØ ÙÜ ÔÖÓ Ù ÑÖÓÚÒ ÙØ ÖÓÕÙ Ô ³ØØ Ò ÓÑÑ Ùغ ËÓØ X = (X t ) t R+ ÙÒ ÔÖÓ Ù ÑÖÓÚÒ ÙØ ÖÓÕÙ ÚÐÙÖ Ò ÙÒ Ò ÑÐ Ò Eº ÇÒ ÒÓØ X () Ð Ö ØÖØÓÒ X гÒØÖÚÐÐ [0, ]º ÒØÓÒ Ä³ÒØÖÓÔ ÔÖØÐÐ X Ø H (X) = f X() log ( f X() ) dm Ó fx() Ø Ð ÚÖ ÑÐÒ P X() ÔÖ ÖÔÔÓÖØ ÙÒ Ñ ÙÖ ÓÑÒÒØ mº Ä ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ H(X) X Ø Ð ÐÑØ 1 H (X) ÐÓÖ ÕÙ ØÒ ÚÖ Ð³ÒÒº 1 2 3 4 5 º ½ ÍÒ ØÖØÓÖ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÑÖÓÚ ÒÕ ØØ ÍÒ Ñ ÙÖ ÓÑÒÒØ m P X() Ø ÓÒ ØÖÙØ ÔÖ ÐÖØ Ò ½ Ø ÖÔÖ ÔÖ ÙÑØÖ Ù Ò º Ä ÚÖ ÑÐÒ Ó Ý Ø ÜÔÐØ ÔÖÑØØÒØ ³ØÐÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÜÔÐØ Ù ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÅÖÓÚ ÖÓÕÙ ÓÒØÓÒ ÓÒ ÒÖØÙÖ A = (a i,j ) (i,j) E 2 Ø ÔÖÓÐØ ÒÚÖÒØ π ÓØ H(X) = i E π(i) j E,j i a i,j log a i,j + i E π(i) j E,j i a i,j. ½µ ¾ ØÑØÓÒ Ù ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ Ä³ ØÑØÓÒ Ù ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ³ÙÒ Ò ÅÖÓÚ Ø ÓÖ ÔÖ º ÙÔÖ Ø Îº ÖÖÒ Ò ¾ ÔÙ ÔÖ Îº ÖÖÒ Ø º Ë Ó Ò º Ä ÙØÙÖ Ý ÔÖÓÔÓ ÒØ ÙÒ ØÑØÙÖ ÔÖ ÔÐÙ¹Ò Ù ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ÙÖ Ð³ ØÑØÓÒ Ð ÑØÖ ØÖÒ ØÓÒ Ð Ò Ø ÐÓ ØØÓÒÒÖº ÇÒ ÔØ ØØ ÑÖ Ù ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ØÑÔ ÓÒØÒÙº ¾
Ä ÔÖÓÐØ ÒÚÖÒØ π ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÅÖÓÚ ÖÓÕÙ Ø Ö¹ ØÖ ÔÖ Ð³ÐØ π.a = 0º Ä ÔÖÓÐØ ÒÚÖÒØ Ø ÓÒ ÙÒ ÓÒØÓÒ Ù ÒÖØÙÖº º ÐÖØ ØÐ Ò ½ ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÜÔÐØ ÔÖ ÑÒØ π(i) = a (i,i) k E a(k,k) Ó a (i,i) Ø Ð (i, i)¹ñ ÓØÙÖ Aº Ö ÙÐØØ ÓÒØ Ù ØÓÖÑ ÙÑØÖ Ù ÑÔÐÕÙ ÕÙ Ð ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ Ù ÒÖØÙÖ H(X) = h(a)º ÇÒ ÓÒ ØÖÙØ ÐÓÖ ÙÒ ØÑØÙÖ ÔÖ ÔÐÙÒ H(X) Ĥ = h(â) Ó Â Ø ÙÒ ØÑØÙÖ Ù ÒÖØÙÖº º ÐÖØ ½ µ ÓÒ ØÖÙØ ÙÒ ØÑØÙÖ Â ÔÖ ÑÜÑÙÑ ÚÖ ÑÐÒ Ù ÒÖØÙÖ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÖÓÕÙº ÜÔÐØÑÒØ n (i, j) i j Ø r (i) 0,  (i, j) = r (i) 0 i j Ø r (i) = 0,  (i, j) i = j. j i Ó n (i, j) Ø Ð ÒÓÑÖ ØÖÒ ØÓÒ Ð³ØØ i гØØ j Ø r (i) Ø Ð ØÑÔ ÓÙÖ Ò i ÙÖÒØ Ð³ÒØÖÚÐÐ ØÑÔ [0, ]º Ø ØÑØÙÖ ÔÓ ÓÒÒ ÔÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕÙ Â ÓÒÚÖ ÔÖ ÕÙ ÖÑÒØ ÚÖ A ) L ( A N(0, Σ 2 A ) Ó Σ 2 A Ø ÙÒ ÑØÖ ÓÒÐ ÓÒØ Ð Ó¹ ÒØ ÓÒÙÜ ÓÒØ a i,j ρ/a i,i Ó ρ Ø Ð ÔÖÓÙØ ÚÐÙÖ ÔÖÓÔÖ ÒÓÒ ÒÙÐÐ Aº ÈÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕ٠г ØÑØÙÖ Ä³ ØÑØÙÖ Ĥ = h(â) ÖØ ÐÓÖ ÔÖÓÔÖØ Â º ÌÓÖÑ Ú Ð ÒÓØØÓÒ ÓÒÒ ÔÐÙ ÙØ Ôº º ½º Ĥ Ø ÓÖØÑÒØ ÓÒ ØÒØ ÓØ Ĥ H(X) ¾º Ð ÖÚ D h (A) h Ò A Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ Ĥ Ø ÝÑÔØÓØÕÙÑÒØ ÒÓÖÑÐ Ø ÚÖÒ ÝÑÔØÓØÕÙ ÜÔÐØ ÓØ ) L ( ) (Ĥ H(X) N(0, Σ 2 H ) Ó Σ 2 a i,j h H = a ρ (A) 2 (i,i) a i,j (i,j) E 2,i j ) L º Ë D h (A) = 0 ÐÓÖ 2 (Ĥ H(X) λ i,j χ 2 (1) Ú λ i,j = a i,j ρ/a (i,i) º (i,j) E,i j
ÑÓÒ ØÖØÓÒ ½º ÈÙ ÕÙ Â ÓÒÚÖ ÔÖ ÕÙ ÖÑÒØ ÚÖ A Ø ÕÙ h Ø ÓÒØÒÙ Ĥ = h(â) ÓÒÚÖ ÔÖ ÕÙ ÖÑÒØ ÚÖ h(a) = H(X)º ¾º º ÈÓÙÖ Ð ØÖÙØÓÒ ÝÑÔØÓØÕÙ ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ð ÑÓÒ ØÖØÓÒ Ù ÔÖØÙÐÖ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÙÜ ØØ Ò Ð ØÓÒ ÙÚÒغ Ä ÐØÙÖ ÔÓÙÖÖ ÖÔÓÖØÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓÒ ØÖØÓÒ Ò Ð ÒÖк Ò Ð Ó D h (A) Ò ³ÒÒÙÐ Ô Ð ÚÖÒ ÝÑÔØÓØÕÙ Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ÜÔÐØ Ù ÒÖØÙÖ A ÓØ Σ 2 H = s(a)º ËÓÒ ØÑØÙÖ ÔÖ ÔÐÙ¹Ò Σ 2 H = s(â) Ø ÓÖØÑÒØ ÓÒ ØÒØ ³Ó Ð Ö ÙÐØØ ÙÚÒغ ÓÖÓÐÐÖ Ë D h (A) 0 ÐÓÖ (Ĥ H(X))/ Σ H L N(0, 1)º ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÙÜ ØØ Ò Ð ÔÖØÙÐÖ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÙÜ ØØ ÓÒ ÔÙØ ÔÖ Ö Ð Ö¹ ÙÐØØ Ù ØÓÖÑ ÔÖÒØ ÓÑÑ Ùغ ÌÓÖÑ ½º Ë Ð ÒÖØÙÖ Ò³ Ø Ô ÙÒÓÖÑ ÐÓÖ (Ĥ H(X)) N(0, Σ 2 H) ÕÙÒ ØÒ ÚÖ Ð³ÒÒ Ó Σ 2 a 1,2 a 2,1 ( H = ( a1,2 (a 1,2 + a 2,1 ) 3 a 2,1 log(a 1,2 a 2,1 ) + a 2,1 ) 2 +( a 2,1 + a 1,2 a 1,2 log(a 1,2 a 2,1 ) 2 ) ) º ¾º Ë Ð ÒÖØÙÖ Ø ÙÒÓÖÑ ÐÓÖ 2(H(X) Ĥ) χ 2 (2) ÕÙÒ ØÒ ÚÖ Ð³ÒÒº ÑÓÒ ØÖØÓÒ ½º Ä ÖÚ h Ò A Ø ÒÙÐÐ Ø ÙÐÑÒØ Ð ÒÖØÙÖ Ø ÙÒÓÖÑ a 1,2 = a 2,1 = 1µº Ò Ø Ð ÓÖÑÙÐ ½µ ÚÒØ ÔÓÙÖ n = 2 Ó A = ÓÒ H(X) = a 1,2a 2,1 (2 log(a 1,2 a 2,1 )) a 1,2 + a 2,1 ( ) a1,2 a 1,2 Ø a a 2,1 a 1,2, a 2,1 > 0 2,1 h a 1,2 (a 1,2, a 2,1 ) = a 1,2a 2,1 + a 2 2,1 a2 2,1 log a 1,2a 2,1 (a 1,2 + a 2,1 ) 2, h (a 1,2, a 2,1 ) = a 1,2a 2,1 + a 2 1,2 a2 1,2 log a 1,2a 2,1 a 2,1 (a 1,2 + a 2,1 ) 2. Ä Ý ØÑ ³ÕÙØÓÒ { a1,2 a 2,1 + a 2 2,1 a2 2,1 log a 1,2a 2,1 = 0 a 1,2 a 2,1 + a 2 1,2 a 2 1,2 log a 1,2 a 2,1 = 0
ÑØ ÔÓÙÖ ÙÒÕÙ ÓÐÙØÓÒ (a 1,2, a 2,1 ) = (1, 1)º ¾º Ë A Ò³ Ø Ô ÙÒÓÖÑ Ð Ö ÙÐØØ Ø ÙÒ ÓÒ ÕÙÒ Ð ÑØÓ Ðغ º Ë A Ø ÙÒÓÖÑ [ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÌÝÐÓÖ h гÓÖÖ 2 ÓÒÒ 2 ) ] 2 Ĥ H(X) = 1 4 ( (1, 2) a 1,2) + ( (2, 1) a 2,1 ( + o  A 2), Ð ÖÚ ÖÓ ØÒØ ÒÙÐÐ ÔÓÙÖ Ð ÒÖØÙÖ ÙÒÓÖѺ ÇÖ ( ba ) (1,2) a 1,2 A Σ A(1,2), b (2,1) a 2,1 L Σ A(2,1) N(0, Id) ÓÒ ) 2 ( (1, 2) a 1,2 ) 2 ( (2, 1) a 2,1 Σ 2 A (1, 2) + Σ 2 A (2, 1) L χ 2 (2). Ä Ö ÙÐØØ Ò ÓÙÐ ÑÑØÑÒØ ÔÙ ÕÙ Σ 2 A (1, 2) = Σ2 A (2, 1) = 2º Ä ÙÖ 2 Ø 3 ÐÐÙ ØÖÒØ Ö ÔØÚÑÒØ Ð ÓÒÚÖÒ ÔÓÒØÙÐРг ØÑØÙÖ Ĥ Ò Ð ³ÙÒ ÒÖØÙÖ ÒÓÒ ÙÒÓÖÑ Ø Ò Ð Ù ÒÖØÙÖ ÙÒÓÖѺ ij ØÑØÙÖ Ø ÐÙÐ ÔÖØÖ Ð ÑÙÐØÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÅÖÓÚ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ØÑÔ [0, 5000]º Ò Ð ÙÜ Ð ÓÒÚÖÒ Ø ØÖ ÖÔ ³ÙØÒØ ÔÐÙ ÕÙ Ð ÒÖØÙÖ Ø ÔÖÓ Ù ÒÖØÙÖ ÙÒÓÖÑ Ð ÓÒÚÖÒ Ý ØÒØ ÔÐÙ ÖÔ ÔÙ ÕÙ Ð ÖÚ Ý Ø ÒÙÐеº cvh 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 cvh 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 0 100 200 300 400 500 Inde 0 100 200 300 400 500 Inde º ¾ ÓÒÚÖÒ Ĥ ÔÓÙÖ (a 1,2, a 2,1 ) = (2, 3) º ÓÒÚÖÒ Ĥ ÔÓÙÖ (a 1,2, a 2,1 ) = (1, 1) Ä ÙÖ 4 Ø 5 ÐÐÙ ØÖÒØ Ö ÔØÚÑÒØ Ð ÓÒÚÖÒ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒ ÑÔÖÕÙ (Ĥ H(X))/Σ H ÚÖ ÐÐ ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑÐ ÔÓÙÖ Ð ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÒÖØÙÖ ÒÓÒ ÙÒÓÖÑ Ø Ð ÓÒÚÖÒ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒ ÑÔÖÕÙ 2(Ĥ H(X)) ÚÖ ÐÐ ³ÙÒ ÐÓ Ù χ 2 ÙÜ Ö ÐÖØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓ Ù ÒÖØÙÖ ÙÒÓÖѺ Ò Ð ÙÜ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒ ÑÔÖÕÙ ÓÒØ Ø ÓØÒÙ ÔÖ Ð ÑÙÐØÓÒ 200 ØÖØÓÖ ÙÖ Ð ÒØÖÚÐÐ ØÑÔ [0, 1000] [0, 2000] Ø [0, 3000]º
4 2 0 2 4 0 1 2 3 4 4 2 0 2 4 0 1 2 3 4 4 2 0 2 4 0 1 2 3 4 =1000 =2000 =3000 function() pnorm() () function() pnorm() () function() pnorm() () º ÓÒÚÖÒ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒ ÑÔÖÕÙ (Ĥ H(X))/Σ H ÚÖ ÐÐ Ð ÐÓ ÒÓÖÑÐ ÒØÖ ÖÙØ ÔÓÙÖ (a 1,2, a 2,1 ) = (2, 3) =1000 =2000 =3000 function() pchisq(, 2) () 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 function() pchisq(, 2) () 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 function() pchisq(, 2) () 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 º ÓÒÚÖÒ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒ ÑÔÖÕÙ 2(Ĥ H(X)) ÚÖ ÐÐ Ð ÐÓ Ù χ 2 (2) ÔÓÙÖ (a 1,2, a 2,1 ) = (1, 1) ÊÖÒ ½ º ÐÖغ ØÑØÒ Ì ÁÒÒØ ÑÐ ÒÖØÓÖ Ó ÓÒØÒÓÙ ÌÑ ÒØ ËØØ ÅÖÓÚ ÈÖÓ º ÒÒÐ Ó ÑØÑØÐ ØØ Ø ÎÓк Ôº¾¹ º ½¾º ¾ º ÙÔÖ Ò Îº ÖÖÒº ØÑØÓÒ Ó Ø ÒØÖÓÔÝ ÊØ Ó ÓÙÒ¹ ØÐ ÅÖÓÚ Òº ÓÑÑÙÒØÓÒ Ò ËØØ Ø ¹ ÌÓÖÝ Ò ÅØÓ ÎÓк Ôº ½¹½º ¾¼¼º ̺ ź ÓÚÖ Ò Âº º ÌÓÑ º ÐÑÒØ Ó ÁÒÓÖÑØÓÒ ÌÓÖݺ ØÓÒ ÏÐݺ ½½º ź ÙÑØÖ Ùº ËÓÑ ÁÒÓÖÑØÓÒÐ ÈÖÓÔÖØ Ó ÅÖÓÚ ÈÙÖ¹ ÂÙÑÔ ÈÖÓ º ÓÔ ÈÖÓ È ØÓÚÒ ÅØÑØÝ ÎÓк Ôº ¾¹ º ½º κ ÖÖÒ Ò º Ë Óº ÓÑÔÖØÚ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó ÈÐÙ¹Ò Ø¹ ÑØÓÖ Ó Ø ÒØÖÓÔÝ ÊØ Ó ÌÛÓ¹ ØØ ÅÖÓÚ Ò º ÔÖØÖ Ò ÅØÓÓÐÓÝ Ò ÓÑÔÙØÒ Ò ÔÔÐ ÈÖÓÐØݺ ¾¼¼º Ⱥ ÊÒÙÐغ ØÙ Ø ØÑØÓÒ Ù ØÙÜ ³ÒØÖÓÔ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù ÅÖÓÚº ÅÑÓÖ Ò Ñ ØÖº ÍÒÚÖ Ø ÈÖ ¹ËÙº ¾¼¼º ºº ËÒÒÓÒº ÅØÑØÐ ÌÓÖÝ Ó ÓÑÑÙÒØÓÒº Ì ÐÐ ËÝ ¹ ØÑ ÌÒÐ ÂÓÙÖÒÐ ÎÓк ¾ Ôº ¹¾ ¾ ¹º ½º