PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm cơ ản. = + C. + = + C +. = ln + C. = + C ln 5. = + C ( ). cos. = sin + C 7. sin. = cos + C 8. = ( + tg ) = tg + C cos 9. = ( + cot g ) = cot g + C sin. = + C Nguyên hàm mở rộng + ( + ). ( + ) = + C, +. = ln + + C ( ) + + +. = + C ( ). cos( + ) = sin( + ) + C ( ) 5. sin( + ) = cos( + ) + C ( ). = ( + tg ( + )) cos ( + ) = tg( + ) + C ( ) 7 = ( + cot g ( + )) sin ( + ) = cot g( + ) + C ( ) 8. = + + C ( ) + 9. = ln + C ( ) + ( ). = ln + + + C + B. PHƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ I. Tích phân hàm đ thức ) Tích phân dạng ( ) A= P Sử dụng công thức nguyên hàm cơ ản. ) Tích phân củ hàm số chứ giá trị tuyệt đối Xét dấu iểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối su đó chuyển tích phân trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng qun thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm. II. Tích phân hàm hữu tỷ P( ) ) Tích phân dạng A= n Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
Chi P() cho n để đư tích phân về dạng A= Q, trong đó Q() là một hàm đ thức. Chú ý: +) Hàm số y = có một nguyên hàm là hàm số y = ln +) Hàm số y = (n nguyên dương, n>) có một nguyên hàm là hàm n sốy = n n ( ) ) Tích phân dạng ( ) P A= + Chi P() cho (+) để đư tích phân về dạng ( ) trong đó Q() là một hàm đ thức. Chú ý: +) Hàm số y = có một nguyên hàm là hàm số + P( ) ) Tích phân dạng A= ( N, > ) + ( ). Đặt t = + t có: t +) = dt +) dt = =. Đổi cận củ tích phân. Thy các ết quả trên vào tích phân A t đư A về dạng Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5 A= Q + + y = ln + ' ( ) ' Q t A= dt t ) Tích phân dạng A = (trong đó f() = + + c có hi nghiệm, ) + + c Thực hiện iến đổi tích phân như su: A = = + + c = ( ) ( ) = ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ln ln Chú ý: +) Nếu tm thức ậc hi f ( ) = + + c có nghiệm, thì hi đó f() được iểu diễn dưới dạng tích như su: f() = ( )( ). = m n m n m n +) ( )( ) 5) Tích phân dạng A = (trong đó f() = + + c vô nghiệm) + + c T iến đổi tích phân như su:
A = = = ( C > ) + + c + + C + + C. Đặt + = C tnu = C ( + tn u) du. Đổi cận củ tích phân ' ' C ( + tn u) du. Thy vào A được A = du = C tn u + C C Chú ý: +) Nếu tm thức ậc hi ' f ( ) c Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5 ' = + + vô nghiệm, hi đó t luôn iểu diễn tm thức về dạng f ( ) = + + C (C>). ) Tích phân dạng A = (trong đó f() = + + c có nghiệm ép) + + c T iến đổi tích phân như su: A = = = = + + + c + + ( m + n) 7) Tích phân dạng A = (trong đó f() = + + c có hi nghiệm, ) + + c T iến đổi tích phân như su: ( m + n) ( m + n) ( m + n) A = = = + + c ( )( ) ( )( ) ( ) + + ( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) m n m m m n = = + m m + n = + ( )( ) ( m + n) 8) Tích phân dạng A = (trong đó f() = + + c vô nghiệm) + + c T iến đổi tích phân như su: ( m + n) ( m + n) ( m + n) A = = = ( C > ) + + c + + C + + C. Đặt + = C tnu = C ( + tn u) du, = C tnu. Đổi cận củ tích phân. Thy vào A. ( m + n) 9) Tích phân dạng A = (trong đó f() = + + c có nghiệm ép) + + c T iến đổi tích phân như su:
m m m + + n n ( m + n) ( m + n) m A = = = = + + + c + + + + III. Tích phân hàm vô tỷ n ) Tích phân dạng: f ( +,, C) A = n n. Đặt u = n n u n. u + u = + = = du. Đổi cận tho iến mới.. Thy các ết quả trên vào A, t đư về tích phân hàm hữu tỷ. ) Tích phân dạng: A = (Hệ số dương) + + c Đặt u = + + + c + + + c + + du = + = + + c + + c ( + + c + ) + u+ = = + + c + + c du = + + c u+ ) Tích phân dạng: A = (Hệ số âm) + + c. Biến đổi: A = > + m ( ) ( ). Đặt + m = sin t t = cos tdt. Tính các giá trị cận tho iến mới. ) Tích phân dạng:. Thy vào A được: A = + + c ' ' ' cos tdt cos tdt cos tdt A = = = sin t sin t cos t ' ' ' (Hệ số dương) Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
T có: + du = u = + + c Đặt: + + c dv = v = + ( + ) + A = c + + + + + c ( ) + + C = + + + + + c c ( + ) + C ( + + c) + ( C c) A = = + + c + + c C c = A + + + c C c Vậy t được: A = + + + c A + + + c C c A = + + + c + + c Tính A = (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thy vào A. + + c 5) Tích phân dạng: A = + + c T iến đổi như su: (Hệ số âm) c A = = C +. Đặt + = C sin t t = C cos tdt. Đổi cận tích phân.. Thy vào A được: 5) Tích phân dạng: A = ( m + ) ' A = C C sin t cos tdt ' ' C sin t.costdt = ' ' C cos t.costdt = ' ' C cos tdt = n + + c T iến đổi như su: ' (Hệ số dương) Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 5/5
Tính: A = A m m ( + ) + n + + c ( ) m m n + + + + c + + c ( + ) = đặt + + c u = + + c Tính A = (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên). + + c ) Tích phân dạng: A = ( m + ) n + + c (Hệ số âm) T iến đổi như su: ( m + n) ( m + n) A = = c C +. Đặt + = C sin t t = C cos tdt. Đổi cận tích phân. ' [ m( C sin t ) + n] C cos tdt. Thy vào A được: A = ' C C sin t ' [ m( C sin t ) + n] C cos tdt = cos t + 7) Tích phân dạng: A = c + d T iến đổi như su: Tính ' ' m = ( m C sin t + n ) dt + + A = = c + d + c + d n ( m + n) + ( ) + = m m = m + n + m + n + ( m ) ' + n n m + m m + n + m + n + ( m + ) n A = đặt m + n + u = m + n + Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
Tính A = m + n + c (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên). A A Chú ý: +) Khi dùng tính chất = t nên ét m A và B cùng dấu dương hy B B cùng dấu âm để vận dụng cho chính ác. 8) Tích phân dạng: = ( + +, ) A f c Đây là dạng tích phân há phức tạp nên t chỉ ét một số dạng đơn giản mà t có thể vận dụng phương pháp đổi iến số nhằm đạt mục đích su: +) Đại số hó iểu thức dưới dấu tích phân. +) Lượng giác hó iểu thức dưới dấu tích phân. Cụ thể:. Cách : Đặt t = + + c. Cách, trong một số trường hợp đặc iệt, t sử dụng phương pháp lượng giác hó iểu thức dưới dấu tích phân. Dạng tích phân Đổi iến số Điều iện iến số f (, f (, f (, + = sin t t ; = t ; ; cos t = tn t t ; IV. Tích phân hàm lượng giác. Tích phân dạng: A = sin n hoặc A cos n ) Trường hợp n là số chẵn (n =, N), t iến đổi như su: = Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 7/5 cos A = sin = ( sin ) = = ( cos ) T tiếp tục hi triển và hạ ậc cho đến hi thu được các số hạng đều là ậc nhất. ) Trường hợp n là số lẻ (n = +, N), t iến đổi như su: Trường hợp đối với + ( ) ( ) A = sin = sin.sin = sin.sin = cos.sin d. Đặt u = cos du = sin sin = du. Đổi cận tích phân.. Thy các ết quả vào A để đư về tích phân củ hàm đ thức. A = cos n giải tương tự.. Tích phân dạng: A = tn n hoặc A cot n =
) Trường hợp n = hoặc n = t giải trực tiếp như su: (Tử là đạo hàm củ mẫu) sin A = tn = = ln cos cos A = tn d = ( tn ) + = [ tn ] ) Trường hợp n, t iến đổi như su: n n n A = tn = tn.tn d = tn. + tn n n ( ) = tn. + tn tn n Tính = tn.( + tn ) Tính hoặc ậc hi. ( ) A dặt u = tn để đư về dạng đ thức. = t lặp lại quá trình trên cho đến hi thu được ết quả ậc nhất A tn n Trường hợp đối với A = cot n t giải tương tự.. Tích phân dạng: A = hoặc A sin n = cos n ) Trường hợp n là số chẵn (n =, là số nguyên và > ). T iến đổi như su: A = =.. ( cot ). sin = sin sin = + sin sin sin Đến đây, t đặt u = cot du =, đổi cận và thy các ết quả vào A để đư về dạng sin tích phân củ hàm đ thức. ) Trường hợp n là số lẻ (n = +, là số nguyên và > ). T iến đổi như su: sin sin sin A = = = = + sin + sin ( sin ) ( cos ) Đến đây, t đặt u = cos du = sin, đổi cận và thy các ết quả vào A để đư vè dạng tích phân củ hàm hữu tỷ Trường hợp đối với A = t giải tương tự. cos n. Tích phân dạng: A =. Đặt tn t = cos + sin + c, hi đó t có: Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 8/5
dt dt = + tn = ( + t ) = + t t t cos =, sin = + t + t. Đổi cận tích phân.. Thy các ết quả ở trên vào A để đư A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ. sin cos 5. Tích phân dạng: A = ; B = cos + sin cos + sin T nên ết hợp cả hi dạng trên để hỗ trợ tính một trong hi tích phn ằng cách dùng các tổ hợp ết quả su: sin cos cos + sin A + B = + = = cos + sin cos + sin cos + sin cos sin cos sin B A = = = ln cos + sin cos + sin cos + sin cos + sin Từ hi ết quả trên, t giải tìm A hoặc tìm B tùy tho yêu cầu củ ài toán. n m. Tích phân dạng: A sin.cos = ) Trường hợp có ít nhất một trong hi số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = +), t iến đổi như su: n n sin.cos.cos sin. cos.cos ( ) n = sin. sin.cos Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 9/5 ( ) A = = Đến đây, t đặt u = sin du = cos, đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích phân củ hàm đ thức. ) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: T thực hiện iến đổi như su: ' A = sin.cos = sin. cos ( ) ( ) ' Đến đây t đặt u = tn, hi đó: du du = ( + tn ) = + t cos = + u, u sin = + u Đổi cận tích phân, thy các ết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ. 7. Tích phân dạng: A = f ( cos + sin + c).sin. Đặt u = cos + sin + c, hi đó t có:
( ) ( ) du =.sin.cos = sin. Đổi cận tích phân.. Thy các ết quả trên vào A và đư A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. 8. Tích phân dạng: A = m n cos.sin ) Trường hợp hi số m và n đều là số chẵn (m =, n = ') T thực hiện iến đổi như su: A = = =.. cos.sin cos.sin.sin cos sin sin ' ' ' ' ( tn ).( cot ).. ( cot ). sin cot sin = + + = + + Đến đây, t đặt u = cot = du, đổi cận và thy các ết quả trên vào A để chuyển sin A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. ) Trường hợp có ít nhất một trong hi số m, n là số lẻ (giả sử m = + ) T thực hiện iến đổi như su: cos cos cos A = = + n n cos.sin cos.sin cos n = + = + +.sin sin n.sin ' ( ) ( ) Đến đây, t đặt u = sin du = cos, đổi cận và thy các ết quả trên vào A để chuyển A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. V. Tích phân hàm mũ và logrit. Tích phân dạng: A = f ( ), = ( ) B f. Đổi iến u =, tính tho u và du.. Đổi cận tích phân.. Thy các ết quả vừ tính được vào A t thu được tích phân củ hàm số đ thức hoặc hàm số hữu tỷ. B = f tương tự. Trường hợp tích phân ( ). Tích phân dạng: A f (ln ) B f =, = ( log ) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần u = ln du = Đặt: dv = v = Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm đ thức hoặc hàm hữu tỷ. Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
B = f log tương tự. Trường hợp tích phân ( ) VI. Phương pháp tích phân từng phần. Tích phân dạng: A P( )cos B P =, = ( )sin u = P( ) du = P' ( ) Đặt: dv = cos v = sin Tho công thức tích phân từng phần t có: = ( ) ( ) A P sin P ' sin d Để tính tích phân '( ) được ết quả cần tìm. Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5 P sin d t thực hiện lại cách làm như trên cho đến hi thu Trường hợp tích phân. Tích phân dạng: A P( )ln B = P( )sin tương tự. B P =, = ( )log u = ln du = Đặt: dv = P( ) v = P = Q Tho công thức tích phân từng phần t có: Q( ) A = Q( ) ln Tích phân ( ) Trường hợp tích phân ( ) ( ) Q : sẽ có dạng tích phân củ hàm số đ thức t đã iết cách tính.. Tích phân dạng: ( ) A B = P( )log tương tự. P =, B = ( ) u = P( ) du = P '( ) Đặt: dv = v = Tho công thức tích phân từng phần t có: A = P( ) P '( ) P
Để tính tích phân P '( ) ết quả cần tìm. Trường hợp tích phân t thực hiện lại cách làm như trên cho đến hi thu được B = P tương tự. ( ). Tích phân dạng: A = cos, B sin = u = cos du = sin Đặt: dv = v = Tho công thức tích phân từng phần t có: = + A cos sin Để tính tích phân sin t thực hiện lại các ước như trên, ết qủ thu được sẽ iểu diễn qu A, t thu được một phương trình và từ đó tìm r A. Trường hợp tích phân B = sin tương tự. Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
Tính các tích phân su đây: /I = /I = /I = /I = 5/I = /I = 7/ I = ( 5+ ) (+ ) ( + ) + tg (cotg + 5 ) d 8/I = 9 / I = cos + cos sin.cos (cos -sin ) / I = / I = s i n ( ) d s i n ( + ) (tg-cotg) cos C. CÁC DẠNG BÀI TẬP / I = */ I = /I = 5/I = /I = 7/I = sin sin sin sin 8/ I = 9/ I = / I = sin sin cot g sin cos cotg sin cos sin + tg cos /I = cos ( sin + cos ) Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
/ I = / I = / I = 5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = /I = /I = /I = /I =./I = cos sin + cos 5 7 + + + + + ln (ln + ) 5/I = */I = + + ( ) + 8 9 7/I = 8/I = 9/I = */I = /I = /I = /I = ( ln */I = 5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = 5/I = + ) + + 5 d sin cos + ln + sin cot g ln + ln sin(ln ) 5 ( ) Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
5/I = 5/I = 5/I = 5/I = 55*/I = 5/I = 57/I = 58/I = ( + )(+ + ) + ln tg + cot g ( ) + ( + ) ( + + ) 5 59*/I = /I = /I = /I = /I = /I = ln 5 cos sin.cos 5 + + cos ln +.ln d (+ ) + sin.sin.sin 5/I = */I = 7/I = 8*/I = 9/I = 7/I = cos (sin + cos ) ( cos sin ) 7 8 + 9 7*/I = 7*/I = 7/I = cos sin + sin + cos + 5. 7**/I = 75/I = 7/I = 77*/I = 78/I = 79/I = + + sin + +. + ln( + ) + sin sin + cos cos(ln ) + + + ln ln Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 5/5
8/I = 8/I = 8/I = 8/I = 8/I = 85/I = 8/I = 87/I = 88/I = 89/I = ln( ) (ln ) ln ln ln ln( 9*/I = 9*/I = 9/I = 9/I = 9/I = + ) d + sin ln(sin ) cos cos(ln ) 8 ln( + ) + cos 5sin + sin 95*/I = 9/I = 97/I = 98/I = 99/I = /I = /I = /I = /I = ( ) ln ln + cos + cos */I = 5*/I = */I = 7/I = 8/I = sin + sin sin sin ln( ) + + sin + cos ( ) ( ) + + + sin cos Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
9/I = */I = /I =.sin cos (+ ) /I = /I = /I = 5/I = /I = t 7/I = 8/I = sin ln( + ) ln (+ ) +.ln ln 9*/I = /I = /I = I < sin.ln(cos) cos (ln ) cos cos sin.sin cos /I = /I = /I = 5/I = /I = 7/I = sin + cos 5 5 + 9 8 + 9 + 5 + + 8*/I = 9/I = /I = /I = /I = /I = /I =. (+ ) + sin ( sin ) (+ ) ( + + ) ( + ) ( + + ) sin (sin + ) sin cos cos.sin Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 7/5
5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = /I = /I = /I = /I = /I = 5/I = sin.tg sin sin 5 (tg + ).cos sin + 9cos cos cos + + sin + cos cos sin + cos + (+ ) ( ) + + + /I = 7/I = sin cos. + + 9 + + 8/I = 9/I = 5/I = 5/I = 5/I = 5/I = 5/I = 55/I = + 5 5 + + + + + 7 5/I = 57/I = 58/I = 59/I = /I = /I = 9 + sin cos cos + sin + 9 sin cos cos sin sin Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 8/5
/I = /I = /I = 5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = 7/I = 7/I = 7/I = 7/I = 7/I = 75/I = 7/I = cos cos sin cos sin sin sin (+ ) ( + )ln ln ln ( ln ) ( ) ln ln ( + )ln ln( + ) ln 5 77/I = 78/I = 79/I = 8/ ln (+ ) + ln cos.ln( cos ) sin 8/I= 8/I = 8/I = 8/I = 85/I = 8/I = 87/I sin cos sin + sin sin + cos 5 + 9 + + + (+ ) ln( + ) + + + 5 8 88/I = 89/I = 9/I= + + ln Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 9/5
. 9/I = 9/I = 9/I = 9/I = 95/I = 9/I = 97/I = 98/I = 99/I = /I = /I = sin ( + cos )cos sin.cos + cos sin + sin + cos sin + sin 5 + + cos + 5 ( ) +.tg tg cos ( + ) + 5 + /I = /I = + + ln( + ) sin + cos /I = 5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = /I = /I = /I = /I = /I = 5/I = /I = 7/I = 8 sin 8 8 sin + cos sin.ln( + cos ) + sin cos cos.cos + ln (+ ) + + sin cos + + Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
8/I = 9/I = /I = /I = /I = /I = /I = 5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = /I = /I = 7 + ln 7 + + (cos + sin ) + + ( + ). cos cos + + + + sin + cos cos + sin ( + ) + ( ) sin.cos cos + + */I = /I = /I = 5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = sin.cos cos cos + 7 (+ ) 7 */I = /I = /I = /I = /I =. sin(+ sin ) + + + 9 sin cos cos cos cos sin. ( + cos ) ln( + + ) sin + sin cos + sin sin + cos Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
5/I = /I = 7/I = 8/I = 9/I = 5/I = 5/I = 5/I = 5/I = 5 5*/I = 55/I = 5/I = ( ) sin + sin cos 7 + cos ( + ) + + cos + sin + sin cos cos cos tg 57*/I = 58/I = 59/I = /I= /I = */I = /I = /I = 5/I = 5/I = /I = 7/I = 8/I = + sin + cos ( ).tg (+ ) + 5 5 (+ ) cos sin sin cos sin + sin cos sin + cos ( + ) sin cos + sin.. Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
9/I = 7/I = 7/I = 7/I = 7/I = 7/I = 75/I = 7/I = sin cos (+ cos ) sin cos sin + cos + sin cos sin + cos + sin cos + cos sin + 77*/I = 78/I = 79/I = 8/I = 7 8*/I = 8/I = + + + + + 9 ( + ) + + + (+ ) + + ln( + + ) + ( ) ln 8/I = 8/I = 85/I = 8/I = 87/I = 88/I = 89/I = 9/I = 9/I = 9/I = 9/I = 9/I = 95/I = Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5 ln( + ) d + + + + + (+ ) 5 + + + + cos + cos cos + sin + sin (cos + sin ) 5 cos sin cos (sin + cos ) + sin cos
9/I = 97*/I = 98/I = 99/I = /I = /I = /I = /I = /I = 5/I = /I = 7/I = 7 + + + + + + + sin cos cos cos + cos cos sin sin + cos cos + 8*/I = cos + sin + cos ( cos ) tg + 9*/I = */I = /I = sin + */I = */I = */I = 5*/I = */I = 7*/I = sin cos + sin sin cos + sin tg ln (cos ) sin cos + sin ( + ) ( + ) + + cos cos cos + 8*/Tìm > so cho 9*/I = */I = */I = + t t (t+ ) tn cos cos + + d 5 tg dt = Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng /5
/I = /I = */I = 5/I = /I = cotg tg + tg 5 sin cos + cos cos 7*/I = 8*/I = 9*/I = /I = /I = */I = t g ( ) tg + + ln ( + ) cos (ln + ) ln( + tg) -------------------------- HẾT ------------------------- Chúc tất cả các m ôn tập tốt và thi đạt ết quả co! Biên soạn: Buiconglun.ltq@gmil.com Trng 5/5