Tài liệu bài giảng (Toán 0 Moon.vn) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI Thầy Đặng Việt Hùng www.facebook.com/lyhung95 VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN f ( x; y) 0 f ( x; y) f ( y; x) +) Là hệ có dạng trong đó g( x; y) 0 g( x; y) g( y; x) S x + y +) Phương pháp giải: S 4P là điều kiện có nghiệm của hệ. P xy x + y ( x + y) xy S P +) Một số hẳng đẳng thức thường dùng x + y ( x + y) xy( x + y) S SP x + y ( x + y ) x y ( S P) P 4 4 ( x y) ( x + y) 4xy S 4P Ví dụ : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x + y + xy x + y + ( x + y) 8 Ví dụ : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: ( x x )( y y ) + + + + ( x)( y) 6 Ví dụ : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x + xy + y x y + y x 6 7 + + xy x y ( x + y) xy x y 7 + + y x xy x xy + y xy 78 Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x + y 9 x + y 5 Đáp số: Đặt 6 x u; 6 y v, nghiệm là (; 64), (64; ) Nghiệm của hệ là ;, ; c) x y + y x x + y 5 0 + + x + y x + y x x 9x y y 9y
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x xy + y 7 x xy y 5 Bài : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: + + x xy y x + xy + y Bài : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: xy x + y x + y x + y + xy 6 Bài 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x + y 4 xy xy 9 Bài 5: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x + y 5 4 4 x x y + y x + y + xy x y + y x 7 + + xy x y ( x + y) xy x + y + xy 4 x + y + xy 84 x y + y x 0 x x + y y 5 Bài 6: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: ( y) xy x x y x + y Bài 7: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm x x + y y m x + y xy y x xy 40 + 80 ( x ) + + y 0 ( x )( x xy) + + 9 Đ/s: 0 m 4 Bài 8: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm x + + y m x + y m m + 4 6 Đ/s: m ; m 6 Bài 9: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: Đ/s: m x + xy + y m + x + xy + y m 6
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x xy + y 7 x xy y 5 x + y 5 4 4 x x y + y x xy + y 7 x y + xy 7 ( x y) + x y 5 7 ( x y) + x y 0 x xy y 5 xy x y 5 x y x y + x x y xy y + y + y x y 4 x y 4 x y 4 x ( Loai) xy y 4y + 9 0 y Vậy hệ có nghiệm là ( ; ) ( ; );( ; ) 0 9 x y. x ± x x + y 5 y 5 x y 4 y ±. x x y + y x 5x + 0 x 4 x y y ± 4 4 4 ± Vậy hệ PT có nghiệm là ( x; y ) ( ; );( ; );( ; );( ; );( ; );( ; );( ; );( ; ) Bài : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x + xy + y x + xy + y x + y + xy x y + y x x + y x + xy + y xy ( x + y) x y + x + xy + y xy ( x + y) ( x + y) + ( x + y) 0 xy x + y x + y xy x x + y y xy x y x x + y y xy x y Vậy HPT có nghiệm là ( ; ) ( ; );( ; );( ; );( ; ) x + y + xy x + y + xy x y + y x xy ( x + y) x y. ( x y) + và xy là nghiệm của phương trình: t + t + 0.
Giải PT ta tìm được nghiệm t x + y x y xy y y 0( Loai) x ; t +. x + y x y y xy y y + 0 Vậy HPT có nghiệm là ( x; y ) ( ;) Bài : [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: xy x + y x + y x + y + xy 6 xy x + y xy ( x y) x + y x + y + xy 6 ( x y) ( x y) + xy 6 u v u v u x y u v 0 Đặt xy v u u v 6 u u 5 0 + + u 5 v 8 x x y y 0 xy 0 x 0 y x y 5 x y 5 xy 8 y 5y + 8 0 Loai Vậy HPT có nghiệm là ( ; ) ( ;0 );( 0; ) ĐK : x, y 0. x y. 7 + + xy x y ( x + y) xy 7 x y 7 + xy x 7 xy + xy + + xy xy y x y xy + xy. xy x y x ( x y) xy x y xy + + + x y + y Vậy HPT có nghiệm là ( x; y ) ( ; );( ;) Bài 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x + y 4 xy xy 9 ( x + y ) 4 xy ( ) x + y x + y 4 xy 9 xy x. y x + y + xy 4 x + y + xy 84
Do đó, x, y là nghiệm của phương trình : t t 4t + 0 t Vậy hệ phương trình đã cho có bộ nghiệm là ( x; y ) (,9 );( 9,) Ta có x y xy + + 84 ( x + y) xy 84 t t 9 x + y a a + b 4 a + b 4 a 0 x + y 0 Đặt PT đã cho xy b a b 84 a b 6 b 4 xy 6 Do đó, x, y là nghiệm của phương trình : t t 8 0t + 6 0 t Vậy hệ phương trình đã cho có bộ nghiệm là ( x; y ) ( 8, );(,8) Bài 5: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: x y + y x 0 x x + y y 5 Ta có Đặt Do đó, x + y xy y x xy 40 + 80 x y y x 0 xy x + y 0 + xy x + y 0 x x + y y 5 x + y 5 ( x + y )( x + y xy ) 5 x + y a xy b ab 0 ab 0 a 5 a a b 5 a 5 b 6 PT x, y là nghiệm của phương trình : t t 5t + 6 0 t Vậy hệ phương trình đã cho có bộ nghiệm là ( x; y ) (, );(,) ( ) ( ) x y xy 40 x x + y 40 + x Ta có y + x xy 80 y x + y 80 y 8 y + y 40 y 64 y 8 x 8 6 Vây phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) ( 8;8) x y Bài 6: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau: ( y) xy x x y ( ) ( y) ( x ) + + y 0 ( x )( x xy) + + 9 xy x y xy x xy x y x( y) ( x y)( x + y + xy) ( x y) (( x y) + xy) ( x y) 8 x y Do đó, x, y là nghiệm của phương trình t t + 0 (*) Nhận thấy (*) có 7 < 0 PT (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Tương tự, các em tự làm nhé! Bài 7: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm Đặt x u; y v; u 0; v 0 thu được hệ x + y x x + y y m u + v u + v u + v m ( u + v) uv ( u + v) m u + v v u v u uv m u ( u) m u u + m 0 Ta có tổng S > 0 nên phương trình ẩn u có ít nhất một nghiệm dương. Hơn nữa uv 0 m 0. Điều kiện có nghiệm u là 4m 0 m 0 m. Kết luận 0 m. 4 4 4 Bài 8: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm Đặt x + u; y v; u 0; v 0 thu được x + + y m x + y m 4m + 6 u + v m u + v m u + v m u + v m 4m + 6 u + v uv m 4m + 6 uv m Vì uv 0 m 0 m. m 6 m Lại có ( u v) 0 ( u + v) 4uv m 4( m ) m m 6 Kết luận giá trị cần tìm là m ; m 6. x + xy + y m + 6 Bài 9: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: x + xy + y m +) Điều kiện cần. Nhận xét nếu ( ; ) x y là nghiệm của hệ thì ( ; ) Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x +) Điều kiện đủ Với y, tức là y x cũng là nghiệm của hệ. x + xy + y m + 6 x m + 6 x 6 x + 4x x + xy + y m 4x + x m x 4x 6 0 x ; m ; x + y xy x + y + x + y 0 x + y 0 x + y m x + y + xy x + y + xy xy xy
x y x + y 0 Dễ thấy hệ x { ; } xy x, trường hợp trên hệ có ít nhất nghiệm. x + y xy 7 x + y + x + y 48 x + y 6 x + y 8 Với m ( x + y) + xy ( x + y) + xy xy 9 xy 7 x + y 8 x + y 6 y 6 x Hệ vô nghiệm vì S < 4P, với x y, nghiệm duy nhất. xy 7 xy 9 x 6x + 9 0 Kết luận giá trị cần tìm m. Thầy Đặng Việt Hùng Moon.vn