exam0805sol.dvi

Ü Ñ Ò ÆÙÑ Ö Ð Ò ÐÝ ÅƼ ¼ Á ¼ ¼ ¾ Ù Ø Ë ÖÐ Ò Ì Ü Ñ Ð Ø ¼ ¼¼ ½½ ¼¼º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ô Ø Ü Ñ Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ Ó ½ ÔÓ ÒØ Ö ÕÙ Ö º ÌÓ Ø ÓÖ ÝÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ö ÒÑ ÒØ ÓÖ º Ì Ñ Ü ØÓØ Ð ÓÖ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ö ÒÑ ÒØ Ü Ñ ¼ ÔÓ ÒØ º ÓÖ Ô Ö ÓÒ Ø ÓÙÖ ÝÓÙ ÑÙ Ø Ú ØÓØ Ð ÓÖ Ó ¾ ÓÙØ Ó ¼ ÔÓ ÒØ º ÙÖ Ò Ø Ü Ñ ÝÓÙ Ö ÐÐÓÛ ØÓ Ù ÔÓ Ø ÐÙÐ ØÓÖº ÆÓ ÓØ Ö Ñ ¹ Ø Ö Ð Ó ÒÝ Ò º º Ø ÜØ ÓÓ Ð ØÙÖ ÒÓØ Ð ØÖÓÒ Ñ Ø Ö Ð Øºµ ÐÐÓÛ º ÈÐ Ð Ö ØÓ Ò Û Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ËÛ ÓÖ Ò Ò Ð º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÖÖÓÖ Ò ÐÝ ½º ÓØØÐ Ó Û Ò ÔØ Ò Ø Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó T 0 = 4 º Ì ÖÓÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú Ö ÙØ Ù Ù ÐÐÝ Ò Ö T r 24 º Ï Û ØÓ ÓÒ ÙÑ Ø Û Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó 7 Ò Ø Ø ÓØØÐ ÓÙØ Ó Ø Ö Ø Ø Ñ t = 0º ÙÖØ Ö Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Û Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T(t) ÒÖ ÓÖ Ò ØÓ T(t) T r T 0 T r = e t/60, Û Ö t Ø Ø Ñ Ò Ñ ÒÙØ º µ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ñ t Ò Ñ ÒÙØ µ Û Ò T(t ) = 7 º ½Ôµ µ ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ò ÙÒ ÖØ ÒØÝ δt r Ò Ø ÖÓÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T r º Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒ ÖØ ÒØÝ δt Ò t º ¾Ôµ ËÓÐÙØ ÓÒº Ï Ø t = 60log T T r 7 24 = 60log T 0 T r 4 24 63 Ó Ø ÓØØÐ ÓÙÐ Ø Ò ÓÙØ Ó Ø Ö Ð ØØÐ ÑÓÖ Ø Ò Ò ÓÙÖ ÓÖ Ö Ò Ò Øº Ö ÒØ Ø Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ T r Û Ø dt = 60 T 0 T r T T r T T 0 (T 0 T r ) 2 dt r Û ÑÔÐ Ø Ø δt 5.6δT r Ó ÓÖ Ö Ø ÖÓÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ü 24 Ø Ø Ñ t ÑÙ Ø ÓÖØ Ò Ý Ú ØÓ Ü Ñ ÒÙØ º º ÆÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ½

½º ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ f(x) = x sin x = 0 µ ÀÓÛ Ñ ÒÝ ÖÓÓØ Ö Ø Ö ½Ôµ µ Á Ü ÔÓ ÒØ Ø Ö Ø ÓÒ Ù ØÓ Û ÖÓÓØ ÓÖ ÖÓÓØ Û ÐÐ Û Ó ÖÚ ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ Ö Ø Ø Ò Û Ö ÑÙ Ø ÑÓØ Ú Ø Ý Ò ÐÝ º ½Ôµ µ ÓÑÔÙØ Ø ÔÓ Ø Ú ÖÓÓØ ØÓ Ø Ø ÔÓ Ð ÙÖ Ý ÝÓÙ Ò Ñ Ò º ¾Ôµ ËÓÐÙØ ÓÒº ÈÐÓØØ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ g(x) = sin x Ò y = x Û Ø Ø Ø Ö Ö ØÛÓ ÖÓÓØ ÓÒ Ø x = 0 Ò ÓÒ Ø x 0.75º ÆÓØ Ø Ø x 0 Ù Ó Ø ÖÓÓغµ Ì Ö Ú Ø Ú Ó g(x) = sin x g (x) = (cos x)/(2 x) Ó Ø Ö Ú ¹ Ø Ú Ø x = 0 Ò Ò Ø Ø Ö Û Ð Ò Ö x = 0.75 Ø g (0.75) 0.37º g (0.75) < Û Ò Ó Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Ø ÖÓÓغ ÈÙØ f(x) = x sin x Ò ÓÐÚ f(x) = 0 Ù Ò Æ ÛØÓÒ³ Ñ Ø Ó º Ï Ø f (x) = (cos x)/(2 x) Ò Ø Ø Ö Ø ÓÒ x n+ = x n 2 x n x n sin x n 2 x n cos x n. ËØ ÖØ Ò Ø x 0 = 0.75 Ú x = 0.768787663 x 2 = 0.768648864 x 3 = 0.7686488568 Ò x 4 = x 3 ØÓ Ø Ò Ø º º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ½º Ï ÐÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø Ö Ú Ø Ú f (x) Ó ÙÒØ ÓÒ f(x) Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ f (x) 4f(x + h) 3f(x) f(x 2h). 6h µ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ¾Ôµ µ Á Ê Ö ÓÒ ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ Û Ö ØÓ Ù ØÓ Ø Ö Û Ø Ø Ô Þ ÐÚ Ò Û Ø ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÛÓÙÐ ÝÓÙ Ù ½Ôµ ËÓÐÙØ ÓÒº ÜÔ Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ö ÖÓÙÒ x ØÓ Ø f(x + h) = f(x) + hf (x) + h 2 f (x)/2 + h 3 f (x)/3! + h 4 f (x)/4! +... f(x 2h) = f(x) 2hf (x) + 2h 2 f (x) 8h 3 f (x)/3! + 6h 4 f (x)/4! +... ÁÒ ÖØ Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Û Ø 4f(x + h) 3f(x) f(x 2h) 6h = f (x) + h2 f (x) 3 h3 f (x) 2 + O(h 4 ). ¾

ËÓ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö p = 2º Ø ÖÖÓÖ c 2 h 2 +c 3 h 3 +c 4 h 4 +... Ø Ê Ö ÓÒ ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ö /(2 p ) ÓÖ /3 /7 /5 Ò Ó ÓÒº º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ½º ÓÑÔÙØ Ø ÒØ Ö Ð 0 dx x + Ù Ò ÊÓÑ Ö ³ Ñ Ø Ó ØÓ Ò ÙÖ Ý Ó 0 5 º ÓÖ ÙÐÐ Ö Ø ÝÓÙ Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ø ÖÖÓÖ Ò ÓÛ Ø Ø Ø Ö ÕÙ Ø ÙÖ Ý Ò ØØ Ò º Ú ÐÐ Ø Ð Ó ÝÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ò ÒØ ÖÑ Ø Ú ÐÙ Ò ÜØÖ ÔÓÐ Ø Ú ÐÙ º Ôµ ËÓÐÙØ ÓÒº Ì Ü Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÒØ Ö Ð 2 2 2 0.8284272474690º Ï Ò Û ÓÑÔÙØ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð ÙÑ Û Ø T(0.5) = 0.83502499 T(0.25) = 0.830053 T(0.25) = 0.8288474 T(0.0625) = 0.82853230 ÜØÖ ÔÓÐ Ø Ò Ù Ò Ø /3 ÓÖÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ë ÑÔ ÓÒ ÙÑ S(0.25) = 0.82846037 S(0.25) = 0.82842937 S(0.0625) = 0.82842727 Ì Ò ÜØ ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ Ø Ô Ù Ø /5 ÓÖÖ Ø ÓÒ R(0.25) = 0.8284273 R(0.0625) = 0.8284273 ËÓ Ö Û Ñ Ý ÓÒÐÙ Ø Ø Û Ú ÓÑÔÙØ Ø ÒØ Ö Ð ØÓ Ò ÙÖ Ý Ó 0 5 Ø R Ú ÐÙ Ö ÙÔ ØÓ Ü Ø º ÁÒ Ø Ø Û ÙÒÒ ÖÝ ØÓ ÛÓÖ Û Ø Ø Ø Ô Þ h = 0.0625º ÐÖ Ý Û Ø h = 0.25 Û Ø Ð Ø /5 ÓÖÖ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ò R(0.25) Ó 0.00000206 ÓÖ 2 0 6 ÓÛ Ò Ø Ø Û Ú Ú Ø Ö ÕÙ Ø ÙÖ Ýº º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò Ä Ø ÕÙ Ö ½º ÓÒ ØÖÙØ Ø Æ ÛØÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ì Ð ½º Ôµ ËÓÐÙØ ÓÒº Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P 3 (x) = c 0 + c (x + ) + c 2 (x + )x + c 3 (x + )x(x )

x 0 2 y 3 4 3 Ì Ð ½ Ø ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ½º P 3 ( ) = 3 Ý Ð c 0 = 3 P 3 (0) = Ø Ò Ú c = 2 P 3 () = 4 Ú c 2 = 5/2 Ò P 3 (2) = 3 Ò ÐÐÝ Ú c 3 = 3/2º ËÓ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P 3 (x) = 3 2(x + ) + 5 2 (x + )x 3 (x + )x(x ) 2 º Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½º Ï Û ÒØ ØÓ ÓÐÚ Ø ØÛÓ¹ÔÓ ÒØ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ u xu + u = sinx Û Ø ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ u(0) = α Ò u () = βº ÁÒØÖÓ Ù Ù Ø Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Þ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý ÓÒ ÓÖ Ö Ñ Ø Ó º Å Ö Û Ò Ó ÝÓÙÖ Ö ØÓ Ð ÖÐÝ ÓÛ Û Ö ÝÓÙÖ Ö ÔÓ ÒØ Ö ÐÓ Ø º ÓÒ ØÖÙØ Ø Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ú ØÓ ÓÐÚ Ò Ñ ÙÖ ØÓ ÒÐÙ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÐÐ Ø Ð Ù Ñ ØÖ Ü Ñ Ò ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ð Ñ ÒØ Ø Ô Þ Øº ÑÙ Ø Ð ÖÐÝ Ú Òº Ôµ ËÓÐÙØ ÓÒº Ù Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ u () = β Û ÔÙØ N ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ö Û Ø x = /(N + /2) Ó Ø Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÖ ÒØ ØÓ ¾Ò ÓÖ Ö ÙÖ Ý Ý u N+ u N x = β, Û Ú u N+ = u N + β xº ÝÑÑ ØÖ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ u N 2u N + u N + β x x 2 α 2u + u 2 x 2 u i 2u i + u i+ x 2 x u 2 α + u = sin x x i u i+ u i x N u N + β x u N + u i = sin x i + u N = sin x N, Û Ö Û Ú Ò ÖØ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÒØÓ Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ º Ê ÖÖ Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ø ÐÐ Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ö ÔØ Ò Ø Ð Ø Ò Ò ÐÐ Ø ÒÓÛÒ ÕÙ ÒØ Ø Ó ØÓ Ø Ö Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ú ØÓÖ Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ 2 x 2 + x 2 + x 2 x x 2 2 x 2 + x x 2 2 º ºº x 2 + x N x x 2 N + y y 2 º y N = sinx α/ x 2 sinx 2 º sin x N β/ x + x N β/2

¾º Ï Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Å ØÐ Ö ÔØ ÓÐÚ Ò Û Ø Ø Ñ Ø Ó ÐÐ ¾Ôµ Ø ¼ Ý ÒØ Ý¼ Ø Ì»Æ ÓÖ ½ Æ ÝÔÖ Ñ ½ Ø Ý Òص ÝÔÖ Ñ ¾ Ø Ø Ý ÒØ Ø ÝÔÖ Ñ ½µ Ý ÒØ Ý ÒØ Ø ÝÔÖ Ñ ½ ÝÔÖ Ñ ¾µ»¾ Ø Ø Ø ÝÓÙØ µ Ý ÒØ ØÓÙØ µ Ø Ò ÔÐÓØ ØÓÙØ ÝÓÙص ËÓÐÙØ ÓÒº Ì À ÙÒ³ Ñ Ø Ó ÊÙÒ ÃÙØØ Ñ Ø Ó µ ÓÖ ÓÐÚ Ò y = f(t,y) Û Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ y(0) = y 0 º º ÉÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Û Ö Û Ø ÓÖÑÙÐ Û Ø Ò ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ó Û Ø ÝÓÙÖ Ú Ö Ð Ö ÓÖ Û Ø ÑÔÐ ÑÓØ Ú Ø ÓÒµº ½º ÙÑ Ø Ø Û ÓÐÚ Ò ÕÙ Ø ÓÒ f(x) = yº Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÖÓÓØ x Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ò yº ËÓÐÙØ ÓÒº Á Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ò y δy Ò Ø Ö ÙÐØ Ò ÖÖÓÖ δx Ø Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö C Û Ö δx x C δy y. ¾º Ä Ø A Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü Ò A = LU Ø ÄÍ ÓÑÔÓ Ø ÓÒº Á ÒÝ ÓÒ ÓÖ ÓØ Ó L Ò U Ò ÙÐ Ö ÅÓØ Ú Ø Ø Ò Û Öº ËÓÐÙØ ÓÒº Ï Ú deta = det(lu) = detldet U = det Uº ËÓ det A = 0 ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ det U = 0º À Ò U Ò ÙÐ Öº º Ä Ø Ax b Ò ÓÚ Ö Ø ÖÑ Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñº Ï Û ÒØ ØÓ Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ø Ø Ø ¾¹ÒÓÖÑ Ó Ø Ö Ù Ð Ax b ÒÒÓØ Ñ ÒÝ Ñ ÐÐ Öº ÏÖ Ø ÓÛÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ú ØÓ ÓÐÚ º Ï Ø Ø Ñ Ø Ó ÐÐ ËÓÐÙØ ÓÒº Ì ÒÓÖÑ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö A T Ax = A T bº Ì Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ñ Ø Ó º

º ÏÖ Ø ÓÛÒ Ø ÔÓÛ Ö Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ñ Ò ¹ ØÙ µ ÒÚ ÐÙ Ó Ñ ØÖ Ü Aº ËÓÐÙØ ÓÒº Ä Ø x 0 Ò Ö ØÖ ÖÝ Ø ÖØ Ò Ú ØÓÖº Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ö Ø Ô ÆÓÖÑ Ð Þ ˆx i = x i / x i 2 ÓÑÔÙØ x i+ = Ax i ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÒÚ ÐÙ Ý σ i+ = x T i+ˆx iº º Â Ó ³ Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ð Ò Ö Ý Ø Ñ x = Ax + c Ö x [k+] = Ax [k] + c. Ú Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º ËÓÐÙØ ÓÒº Ì Ü ÔÓ ÒØ Ø Ö Ø ÓÒº A < Ù Ö ÒØ ÓÒÚ Ö¹ Ò º º Ï Ú Ò Ð ÑÔÐ Ø N = 2 p ÕÙ Ø ÒØ ÔÓ ÒØ Ò Û ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖѺ ÀÓÛ ÑÙ ÛÓÖ Ó Ø Ì Ú ÓÑÔ Ö ØÓ Ù Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ú ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ËÓÐÙØ ÓÒº ËØ Ò Ö Ñ ØÖ Ü¹Ú ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ó Ø N 2 ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ì Ó Ø ÓÒÐÝ pn ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ËÓ Ì N/p Ø Ñ Ø Öº Ô ØÓØ Ðµ ÄÝ Ø ÐÐ