ÄØÙÖ ½½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÖÑÓÒ ÒÐÝ ÖÒØ ØÝÔ Ó ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ Á ÐÐ Ò ÛØ ÓÑ Óµ Ø ØÓÖÝ Ó Ø ÒØ ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ ÓÖ Û ØÖ Ö ÒÓ ÔÖÓÐÑ ÛØ ÓÒÚÖÒ Ò ØÒ ÓÛ Ö ÙÐØ ÓÖ ÓÙÖÖ Ö Ò ÓÖ Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ ÓÒ R ÑÝ Ù ÖÓÑ Ø ÒØ º Ì ÒØ ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖÑ Á Ò ÒØÖ ÛØ 2 Á Ø ω = e i Ó ØØ ω = ω ÛÒ 0 < m < º ω m Ò ω = ÙØ ÙÖØÖÑÓÖ Á ÛÐÐ ÓÒ Ö ÚØÓÖ Ò C ÙÒØÓÒ ÓÒ Z = {k Z : k }º Í ÙÐÐÝ ÓÒ ÛÓÖ ÛØ Ø ÒØÖ Ø ÝÒ 0 k ÙØ Ø Ñ Ð ÒØÙÖÐ ÛÒ ÓÒ ÛÒØ ØÓ ÒÙÑÖ ÓÓÖÒØ ºµ ÄØ F ÒÓØ Ø ÑØÖÜ ÛØ ÐÑÒØ (F ) jk = ω jk º ÁØ Ø (F F) jk = ÛÖ Ù ÙÐ (F ) jk = F kj º = ω lj ωlk = l= ω k j l= ω l(k j) j = k ω (k j) = 0 j k, ω k j ÌÓÖÑ ½ Ì ÒØ ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖѵ Á u l 2 (Z ) = C Ò (F u)(j) = e ij k u(k), j Z, ½µ ØÒ ½µ (F u)(j + ) = (F u)(j) ºº F u ¹ÔÖÓ ¾µ u(k) = e i k j (F u)(j), ¾µ Ø ÓÙÖÖ ÒÚÖ ÓÒ ÓÖÑÙе Ò µ ÈÖ Úг ÓÖÑÙÐ u(k) 2 = (F u)(j) 2. µ ÊÑÖ ½ Ì ØÖÑ Ò ¾µ Ö ¹ÔÖÓ Ò jº Ï ÑÝ ØÙ ÓÓ ØÓ ÙÑ ÓÚÖ ÒÓØÖ Ø Ó Ù Ú j u(k) = j 0 + j 0 + e i k j (F u)(j). ½
Ì ÖÑÖ ÚÐ ÓÖ ÈÖ Úг ÓÖÑÙÐ ÛÐк ÊÑÖ ¾ Ò Ø ÑØÖÜ τ ØÖÓÙ u u u 2 u ºº τ º = u u τ = ( 0 I 0 º u 2 u ÛÖ I ÒÓØ Ø ( ) ( ) ÒØØÝ ÑØÖܺ Á Û ÖÖ u Ø Ö ØÖØÓÒ Ó Ò ¹ÔÖÓ ÙÒØÓÒ ÓÒ Z ØÒ Ø ÓÐÐÓÛ ØØ τ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÖÒ ÐØÓÒ ÓÒ ØÔ ØÓ Ø Öغµ ÁØ Ý ØÓ ØØ Ø ÓÐÙÑÒ Ò F Ö ÒÚØÓÖ Ó τ ÛØ ÒÚÐÙ ω ω 2 ººº ω = º ÓÒ ÕÙÒØÐÝ Ø ÅØÖÜ F ÓÒÐÞ τ Ò Ò ÚÖÝ ØÖÒ ÐØÓÒ τ j j. Á A ÑØÖÜ Û ÓÑÑÙØ ÛØ ØÖÒ ÐØÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ ØØ Â := F AF ÓÑÑÙØ ÛØ Ø ÓÒÐ ÑØÖÜ ˆτ := F τf Ò Ò ÐÐ Ø ÒÚÐÙ Ó τ Ö ÖÒØ Ø Ý ØÓ ÚÖÝ ØØ Â ØÓ ÓÒÐ ÛÐк ÌÙ Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ ÓÒÐÞ ÐÐ ØÖÒ ÐØÓÒ ÒÚÖÒØ ÓÔÖØÓÖ º ),, Ì Ø ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖÑ Ìµ ÚÒ ÑÓ Ø ÒØÖ ØÒ ÔÖÓÐÑ Û Ö ØÖØ Ù Ò ÓÙÖÖ Ö»ØÖÒ ÓÖÑ Ö ÓÖÑÙÐØ Ò ØÖÑ Ó ÙÒØÓÒ Ó ÓÒØÒÙÓÙ ÚÖÐ ÓØÒ ÓÒ Ò ÒÒØ ÒØÖÚе ÒÝ ÒÙÑÖ ØÖØÑÒØ ÑÙ Ø Ò ÖÐÝ ÖÔÖ ÒØ Ø ÙÒØÓÒ ÛØ ÒØ ÚØÓÖ Ò Ø ÓÑÔÙØÖ ÜÖ µº Ì Ð ØÓ Ø ÒØ ØÖÒ ÓÖѺ Û ÐÐ Ø ÒÒØ ØÖÒ ÓÖÑ ÑÝ ÓÒ Ö ÐÑØ ÛÒ Ø ÒÙÑÖ Ó ÑÔÐÒ ÔÓÒØ ØÒ ØÓ ÒÒØݺ ÚÐÙØÓÒ Ó Ø ÒØ ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ý Ò ¹ ÑØÖÜ Û ÒÓÖÑÐÐÝ ÖÕÙÖ O( 2 ) ÓÔÖØÓÒ º ÁØ ÖÙÐ ÓÖ ÔÔÐØÓÒ ØØ Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ ØÙÐÐÝ ÑÝ ÚÐÙØ ÑÙ ØÖ ÌÓÖÑ ¾ Ì Ø ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖѵ Á = 2 n ØÒ Ø ÑÙÐØÔÐØÓÒ u F u ÑÝ ÖÖ ÓÙØ Ù Ò Ø ÑÓ Ø ÓÔÖØÓÒ º 4n2 n = O( log ) Ú ËØÓÐÒ ÖÓÑ ÓÙÖÖ ÒÐÝ Ò ÒØÖÓÙØÓÒ Ý Ð Åº ËØÒ Ò ÊÑ ËÖºµ Ï ÐÐ Ù ÒÙØÓÒ ÓÚÖ nº ÏÒ n = Û ÑÙ Ø ÚÐÙØ F 2 u() = F 2 u(2) = (( )u() + u(2)) 2 (u() + u(2)), 2 ¾
Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ 5 4 2 ÓÔÖØÓÒ º ÆÓÛ ÐØ #(M) ÒÓØ Ø ÒÙÑÖ Ó ÓÔÖØÓÒ Ò ØÓ ÚÐÙØ F M Ò ÙÑ ØØ Û Ú ÔÖÓÚ Ø ØÓÖÑ ÓÖ n m ºº ØØ #(2 m ) 4 2 m (m )º ÁØ ØÒ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÐÑÑ ½ ÐÓÛ ØØ #(2 m ) 2 4 2 m (m ) + 8 2 m = 4 2 m m, ºº ØØ Ø ØÓÖÑ ØÖÙ ÓÖ n = mº ÄÑÑ ½ Á Ø ÚÐÙ Ó ω = e i/() ÚÒ ØÒ #() 2#(M) + 8M. ÈÖÓÓ ÌÓ ÚÐÙØ ω, ω 2,...,ω ÒÓ ÑÓÖ ØÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ö Òº ÙÖØÖÑÓÖ Ø Ø Ñ ØÑ Û ÓØÒ ω M = ω 2 º Ì ÑÒ ØØ ÚÒ ÓÒ ÙÒØÓÒ u ÓÒ Z Û ÓÒ Ö ØÛÓ ÙÒØÓÒ u 0 Ò u ÓÒ Z M ÚÒ Ý u 0 (n) = u(2n) Ò u (n) = u(2n ). Ý ÙÑÔØÓÒ Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ Ó u 0 Ò u ÑÝ ÚÐÙØ Ù Ò Ø ÑÓ Ø #(M) ÓÔÖØÓÒ º Ï ÐÐ ÒÓÛ ÓÛÚÖ ØØ (F u)(l) = 2 ((F Mu 0 )(l) + (F M u )(l)ω l ). Ì ÔÖÓÚ Ý ÔÐØØÒ Ø ÙÑ Ò Ø ÒØÓÒ Ó (F u)(l) ÒØÓ ØÛÓ ÔÖØ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ Ó Ò ÚÒ k Ö ÔØÚÐÝ (F u)(l) = = 2 M = 2 M u(k)ω kl M j= M j= Ì ÔÖÓÚ Ò ω l = ω l º u(2j )ω (2j )l u (j)ω jl M ω l + M + M M j= M u 0 (j)ω jl. j= u(2j)ω (2j)l ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ØØ Û ÒÓÛ (F M u 0 )(k) (F M u )(k) Ò ω l ØÒ (F u)(k) ÑÝ ÚÐÙØ Ò Ø ÑÓ Ø ØÖ ÓÔÖØÓÒ º ÌÙ #() + 2#(M) + 3 = 2#(M) + 8M. M
ÓÙÖÖ Ö ÆÓÛ ÙÑ ØØ Ø ÚØÓÖ u ÓØÒ Ý ÑÔÐÒ Ó ¹ÔÖÓ ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ u(k) = f( k ), k =,2,... = +. Ò ÔÔÐØÓÒ Ó ½µ Ú F u(j) = ÛÖ Ø ÖØ Ò ØÒ ØÓ º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò ¾µ Ú k ij e f( k ) e ijx f(x)dx =: c j (f), 0 f( k ) = k ij θ(m + /2 j )e F u(j). Á Û ÐØ k Ò ØÒ ØÓ ÒÒØÝ Ò Ù ÛÝ ØØ k x Û ÓÖÑÐÐÝ Ò Ø Ò ØØ Û Ö ØÒ Ø ØÖÑÛ ÐÑØ Ó Ø Ö µ ÖÖÚ Ø f(x) = c j e ijx. Á f C 2 ÔÖÓ ÙÒØÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÐÑÑ ¾ ÐÓÛ ØÓØÖ ÛØ ÏÖ¹ ØÖ ³ Å¹Ø Ø ØØ Ø ÓÒÚÖÒ Ò ÙÒÓÖÑ Ò k Ò M Ó ØØ Û Ö ÐÐÓÛ ØÓ Ø ØÖÑÛ ÐÑØ º ÄÑÑ ¾ Á f ¹ÔÖÓ C 2 ¹ÙÒØÓÒ Ò a (n) = f( k )e ikn/, ØÒ a (n) c f / n 2 Ö 0 < n /2º ÈÖÓÓ ÆÓØ ØØ Ø ØÖÑ Ò Ö ¹ÔÖÓ Ò kº ÀÒ a (n)e 2nπ i = = j= f( k )e i(k )n/ (j + ) f( )e ijn/,
Ò ØÖ ÑÐÖ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ a (n)e i º Í Ò ØØ sin 2 t = 2 (e2it 2 + e 2it ) Û ØÙ ÓØÒ 2a (n)sin 2 ( nπ ) = j= ( f( (j + ) ) 2f( j ) ) ) + f((j ) e ijn/. ÀÖ Ø ÑÓÙÐÙ Ó Ø ÖØ Ò ÑÝ ØÑØ ÖÓÑ ÓÚ Ý ÓÒ ØÒØ ØÑ f 2 º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Ò sin t 2 π t ÛÒ t π/2 Ø ÑÓÙÐÙ Ó Ø ÐØ Ò Ø Ð Ø 2 a (n) 4 π 2 n2 π 2 2, n 2. Á Û Ò Ø Ò ÖØ ÓÙÖ ÑÔÐ ÙÒØÓÒ Ò Ø ÒØ ÚÖ ÓÒ Ó ÈÖ Úг ÓÖÑÙÐ µ ÛØ = + Û ÓØÒ f( k ) 2 = θ(m + /2 j ) (F u)(j) 2. ÀÖ Ø ÐØ Ò ÊÑÒÒ ÙÑ ÛÐ Ø Ö Ò Ø ÖØ Ò ÙÒÓÖÑÐÝ ÓÒÚÖÒØ ÙÒÖ Ø Ñ ÓÖ ÐØÐÝ ÛÖµ ÙÑÔØÓÒ ÓÚº ÄØØÒ ÓÒ ÕÙÒØÐÝ ÝÐ f(x) 2 dx = c j (f) 2. 0 Ï ÙÑÑÖÞ ÓÙÖ Ö ÙÐØ Ò Ø ØÓÒ ÌÓÖÑ ÓÙÖÖ Ö µ ÄØ V ÒÓØ Ø ÔÖÐÖØ Ô Ó ¹ÔÖÓ C 2 ÙÒØÓÒ ÛØ ÐÖ ÔÖÓÙØ (u v) = Ò Ø e j (x) = e ijx V º ÌÒ e j L 2 ÔÖ º ÁÒ ÔÖØÙÐÖ f(x) = 0 u(x)v(x) dx, Ò Çƹ Ò V Ò Ò Ò Ø ÐÓ ÙÖ c j (f)e ijx, ÛÖ c j = 0 e ijx f(x)dx ÛØ ÓÒÚÖÒ Ò H Ò f 2 = c j (f) 2. ÊÑÖ ½µ ÁÒ ÔÖØÙÐÖ Ø ÓÐÐÓÛ ØØ c j (f) 0 j Ø ÊÑÒÒ¹ Ä Ù ÐÑѵº
¾µ Ò ÐØÖÒØÚ ÖÚØÓÒ Ó Ø ØÓÖÑ Û ÓÙÐ Ú ÒÓØ ØØ Ø ÙÒØÓÒ e j Ö Ø ÒÙÒØÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ Ø ÒÚÐÙ j 2 +µ Ó Ø ÓÙÒÖÝ ÚÐÙ ÔÖÓÐÑ u (x) + u(x) = f(x), 0 < x <, u(0) = u(), u (0) = u (). Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÒ ÙÒØÓÒ Ò ÓÛÒ ØÓ g p (x,y) = cosh (π x y ). 2 sinhπ Ï ØØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÒØÖÐ ÓÔÖØÓÖ ÓÑÔØ Ò Ð¹ÓÒØ Ó Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÔØÖÐ ØÓÖÑ ØØ e k ÓÖÑ Ò Çƹ º Ì ÖØ ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ËÒ e j Ò Çƹ Ò H Û ÓÑÔÐØ µ Ø ÓÐÐÓÛ ØØ a je j ÓÒÚÖ Ò H ÓÖ ÚÖÝ ÕÙÒ a j l 2 (Z)º ÁÒ M < Ò M 2 < 2 Û Ú 2 a j e j M 2 M a j e j 2 = M a j 2 + 2 M 2 + a j 2 ÛÖ Ø ÖØ Ò ØÒ ØÓ ÞÖÓ M,M 2 Ò a j l 2 (Z)º ÌÙ Û Ú ÑÔ l 2 (Z) a â(x) = a j e j (x) H Û ÑÝ ÖÖ Ø ÒÚÖ Ó ØÖÑÒÒ Ø ÓÙÖÖ ÓÒØ º Ì ÒØÐÐÝ Ø ÖØ ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖѺ ÀÓÛÚÖ Ò ÓÖÖ ØÓ Ñ Ø ÒÐÓÝ ÛØ Ø ÓØÖ ØÖÒ ÓÖÑ ÑÓÖ ÜÔÐØ Û ÖÔÐ e j Ý e j Ò Ø Ö º ÆÓØ ØØ Û ÑÝ ÓÒ Ö Ø ÕÙÒ a j ÙÒØÓÒ ÓÒ Zº ÌÓÖÑ Ì ÖØ ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖѵ Ì ÑÔ F : l 2 (Z) a â(x) = a(j)e ijx L 2 ÔÖ ÒÚÖ Ò Ø a j = e ijx â(x)dx, 0 a j 2 = â(x) 2 dx. 0 Á a l ØÒ â ÓÒØÒÙÓÙ º Ì Ð Ø ØØÑÒØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ø ØØ Ø ØÖÑ Ö ÓÒØÒÙÓÙ Ò ØØ Û ÑÝ Ù Ø ÏÖ ØÖ Å¹Ø Ø ØÓ ÓÛ ÙÒÓÖÑ ÓÒÚÖÒº ÙØÓÒ ÌØ â ÓÒØÒÙÓÙ Ó ÒÓØ ÑÔÐÝ ØØ a l º
ÈÖÓ ÙÒØÓÒ ÛØ ÒÖÐ ÔÖÓ Á f(t + T) = f(t) ÓÖ ÐÐ t R ØÒ Ø ÙÒØÓÒ f T (t) = f( T t) ÛÐÐ Ø Ý f T (t + ) = f( T t + T) = f T(t), t R. Ï ÑÝ ØÒ f ºº ÓÒØÒÙÓÙ µ Ù ÌÓÖÑ ÓÒ f T ØÓ ÓØÒ ÛØ Ω = T ÛÖ f(t) = f T (Ωt) = c j (f)e ijωt, Ò c j (f) := c j (f T ) = e ijt f(t/ω)dt = 0 T c j (f) 2 = = c j (f T ) 2 0 f T (u) 2 du = T T 0 T 0 e ijωu f(u)du, f(t) 2 dt. ÆÓÒÔÖÓ ÙÒØÓÒ Ø ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÄØ f C 2 (R) Ù ØØ f(x) = 0 ÛÒ x Lº Á T > 2L Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÔÖÚÓÙ ØÓÒ ØØ f(x) := c k e ik T x, ÛÖ c k = T T/2 T/2 e ixk T f(x)dx, T ¹ÔÖÓ ÙÒØÓÒ Û ÓÒ ÛØ f ÛÒ x T/2º ÄØ Ù ÒÓÛ ÒØÖÓÙ Ø ÙÒØÓÒ ˆf(ξ) = e ixξ f(x)dx, ξ R. Í Ò ÒØÖØÓÒ Ý ÔÖØ ÓÒ Ò ÓÛ ØØ ( + ξ 2 ) ˆf(ξ) f + f Ò ÖÚØÓÒ ÙÒÖ Ø ÒØÖÐ Ò ÓÛ ØØ ˆf ÖÒØк Ì ÓÖÑÙÐ ÑÝ ÒÓÛ ÛÖØØÒ f(x) = k= e ik T ˆf( k T ) T, x < T/2.
ÒÐÓÓÙ ÐÝ ÈÖ Úг ÓÖÑÙÐ ÝÐ T T/2 T/2 f(x) 2 dx = T k= k ˆf( ) 2 T T. ÀÖ Ø ÖØ Ò Ö ÊÑÒÒ ÙÑ Ó ØÒ Ø ÐÑØ T Ú f(x) = e ixξ ˆf(ξ)dξ ½¼µ ÓÖ f(x) = ( ˆf( )) µ Ø ÓÙÖÖ ÒÚÖ ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ò f(x) 2 dx = ÈÐÒÖг ØÓÖÑ ÛÒ f C 2 0 (R)º ˆf(ξ) 2 dξ, ½½µ Ì ÙÒØÓÒ ˆf(ξ) ÐÐ Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ Ó fº Ì ÒØÖÐ Ò Ø ÒØÓÒ ÓÒÚÖ ÓÖ Ü ξµ Ò ÓÒÐÝ f L (R) ºº f = f(t) dt < Ò f ÓÑ ÚÖÝ Ûµ ÖÙÐÖØݺ ÍÒÖ ØØ ÓÒØÓÒ Ø ØÖÒ ÓÖÑ ˆf ÛÐÐ ÓÒØÒÙÓÙ Ò Ø Ý ˆf f º Ø Ø Ñ ØÑ ½½µ Ù Ø ØØ ÒØÙÖÐ ÓÑÒ Ó ÒØÓÒ ÓÙØ ØÓ L 2 (R) ºº f 2 2 = f(t) 2 dt Û ÐÐÓÛ ºº Ø ÙÒØÓÒ f(t) = ( + t ) / L º ÊÑÖ ÌÖ ÒÓ ØÓØÐ ÖÑÒØ ÓÙØ ÓÛ ØÓ Ò Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖѺ ÅÒÝ ÙØÓÖ ÔÖÖ ØÓ Ù f(ξ) = e ixξ f(x)dx, ÛØ ÒÚÖ ÓÒ ÓÖÑÙÐ f(x) = e iξx f(ξ)dξ, Ò ÓÖÖ ÔÓÒÒÐÝ ÑÔÐÖ ÚÖ ÓÒ Ó ÈÐÒÖк ÖÛ¹ ØØ Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑ Ó f (x) ÛÐÐ iξ f(ξ) Ò Ø Ó iξ ˆf(ξ)º