ÃÓÑÔÐÜØØ ØÓÖ ÃÐ ÆÈ ÖÒ ÅÐÐÖ º ÆÓÚÑÖ ¼¼ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ Ö ÀÑÐØÓÒÔ ½ ÈÓÐÝÒÓÑÐÐ ÚÖÞÖÖ ½ N P ÆØØÖÑÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ º½ ËØÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒØÓÒ ÒÌÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÏØÖ ÔÐ º½ ÈÖÑÞÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÒ Ö ÖÑØ ÛÖÒ ÛÓÐÐÒ ½
½ Ö ÀÑÐØÓÒÔ Ø ÈÖÓÐÑ ÒÒ ÛÙÖ ÙØ Ò ØÖÑÒ Ø Ö ÐÓÖØÑÙ ÙÒÒ Ö ÈÖÓÐÑ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø Ð Øº ÛÙÖ Ö Ù Ò Û ÙÒÒ Ö ÒØ¹Ü ØÒØ Ò ÓÐÒ ÐÓÖØÑÙ Û Øº ÒÒ ÑÖÖ ÑÐ ÍÖ Ò Ò Ø ÒÒ ÐÓÖØÑÙ ÛÖ Ò Ò ÒÓ ÒØ ÙÒÒº Ø ÒÒ ÐÓÖØÑÙ Ö ÈÖÓÐÑ ÞÒØ Ð Øº Ò È p Ò ÒÑ ÖØØÒ ÖÔÒ G Ø ÀÑÐØÓÒÔ ÒÙ ÒÒ ÛÒÒ p ÙÖ ÐÐ ÃÒÓØÒ ÖÔÒ ÚÖÐÙغ ÁÒ ÐÙÒ ½ Ø Ò ÖÔ ÑØ ÀÑÐØÓÒÔ Þغ ÀÑÔØ = {< G, s, t > G Ø Ò ÖØØÖ ÖÔ ÑØ ÒÑ ÀÑÐØÓÒÔ ÚÓÒ ÞÙ Ø} Ø ÐÙÒ ½ Ò ÀÑÐØÓÒÔ ÚÖÐÙØ ÙÖ ÐÐ ÃÒÓØÒ ÖÔÒ ÆÙÒ Ø Ò ÐÓÖØÑÙ ÙØ Ö ÀÑÔØ Ð Ø Ð Ó ÔÖØ Ó Ò ÒÑ Ð ÚÓÖ¹ ÒÒ ÖÔÒ Ò ÀÑÐØÓÒÔ ÚÓÒ s ÒØ t Ü ØÖغ Ø ÐØ ÒÒ ÐÓÖØÑÙ ÞÙ ÒÒ Ö ÈÖÓÐÑ Ò ÜÔÓÒÒØÐÐÖ ÄÙÞØ Ð Øº Ö Ñ Ò ÐÐ ÐÐ ÑÐÒ È Ò Ñ ÖÔÒ Ù ÀÑÐØÓÒÔ ÃÖØÖÙÑ ÔÖØ ÛÖÒº Ø ÙÒÒÒØ Ó ÒÒ ÐÓÖØÑÙ Ø Ö ÀÑÔØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ ÄÙÞØ Ð Øº ÐÐÖÒ ÒÒ ÑÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø ÔÖÒ Ó Ò ÙÒÒ Ä ÙÒ ÃÖØÖÙÑ ÖÐÐغ Ö ÑÙ ÑÒ ÐÐ Ò È ÐÙÒ ÙÒ ÔÖÒ ÑÒ ÐÐ ÃÒÓØÒ Ùغ Ò Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÚÖÞÖÖº ÈÓÐÝÒÓÑÐÐ ÚÖÞÖÖ Á Ø Ò ÈÖÓÐÑ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÚÖÞÖÖ Ó Ö ÔÖØ ÑÒ ÑÐ ÚÐ ÖØ ÙÑ ÒÖ ÚÓÒ Ö ÃÓÖÖØØ Ö Ä ÙÒ ÞÙ ÖÞÙÒ ÛÒÒ ÑÒ ÒÑÐ ÖÒÛ ÙÒÒ Øº Ò ÓÑÔÐÞÖØ ÈÖÓÐÑ ÑÙ Ö ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÚÖÞÖÖ Òº ÞÙ ÒØ ÃÓÑÔÐÑÒØ ÀÑÐØÓÒÔ¹ÈÖÓÐÑ ÀÑÔØ ÞÙ ØÖØÒº ËÐ Ø ÛÒÒ ÑÒ ÖÙ ¹ ÙÒÒ ØØ Ö ÖÔ ÒÒ ÀÑÐØÓÒÔ ÒØÐØ Ñ ØÒ ÛÖ ÞÙÑ ÆÔÖÒ Ö Ä ÙÒ ÛÖ ÐÐ È ÙÖØ ØÒ ÒÒ ÙØ Ø Ö Ò ÞÒØ Ä ÙÒ ÒÒغ ½
ÒØÓÒ Ò ÈÖÖ ÎÖÞÖÐÓÖØÑÙ µ Ö Ò ËÔÖ A Ø Ò ÐÓÖØÑÙ V ÑØ A = {w V ÞÔØÖØ < w, c > ÑØ ÒÖ ÒØØ c}. ÄÙÞØ ÎÖÞÖÐÓÖØÑÙ ÛÖ ÒÙÖ Ò ÚÓÒ Ö ÄÒ ÚÓÒ w Ñ Òº Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ ÎÖÞÖÐÓÖØÑÙ ÐÙØ ÓÑØ Ò O(p( w )) ÛÓ p Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Øº Ò ËÔÖ A Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÚÖÞÖÖ ÛÒÒ Ò ÓÐÖ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ ÈÖÖ Ü ØÖغ Ò ÈÖÖ ÒÙØÞØ Ð Ó ÞÙ ØÞÐ ÁÒÓÖÑØÓÒ c ÛÐ Ò ÖØØ ÓÖ Ò Û Ö w A غ c ÒÒ ÑÜÑÐ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÄÒ ÞÙ w Ò ÓÒ Ø c ÒØ ÒÞ Ð Ò ÛÖÒ ÒÒº Ö ÔÐ ÑØ Ñ ÀÑÐØÓÒÔ Ø Ö Û Ö Ð Ò È Ð Øº ÒØÓÒ N P Ø ÃÐ Ö ËÔÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÒÔÖÖ Òº N P ÆØØÖÑÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ØÙÒ N P = ÆØ ÈÓÐÝÒÓÑÐÐ Ð Ö º½ ËØÞ Ò ËÔÖ A Ø ÒÙ ÒÒ Ò N P ÛÒÒ Ò ÒØØÖÑÒ Ø ÌÙÖÒ¹Å Ò Ü ØÖØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø A ÞÔØÖغ º Û Ë A N P ÒÒ Ü ØÖØ Ò ÒØÓÒ Ò ÎÖÞÖÐÓÖØÑÙ V º V ÒÒ Ò ÓÖÑ ÒÖ ØÖÑÒ Ø Ò ÌÙÖÒÑ Ò ÖÐ ÖØ ÛÖÒ Ò O(n k ) ÞÔØÖØ ÛÒÒ w Aº n Ø Ö ÄÒ ÚÓÒ w ÙÒ k Ø Ò ÃÓÒ ØÒغ ÆÙÒ ÒÒ Ò ÒØ ØÖÑÒ Ø ÌÙÖÒÑ Ò N ÓÒ ØÖÙÖØ ÛÖÒ ÈÖÓÐÑ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø Ð Øº ØØ Ù ÓÐÒÒ ËÖØØÒ ½º ÒØØÖÑÒ Ø ØÑÑÙÒ ÚÓÒ c ÑØ ÑÜÑÐÖ ÄÒ O(n k ) º ËÑÙÐØÓÒ ÚÓÒ V Ù < w, c > º ÞÔØÖ ÛÒÒ V ÞÔØÖØ ÐÐ ËÖØØÒ ÒÒÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø Ù ÖØ ÛÖÒ Ð Ó ÞÔØÖØ ÌÙÖÒѹ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø ÛÒÒ w Aº ÏÖ ÚÓÒ ÒÖ ÒØØÖÑÒ Ø Ò ÌÙÖÒÑ Ò N ÞÔØÖØ ÒÒ ÒÒ Ò Û c Ö ØÐÐØ ÛÖÒ ÛÐ Ñ ÊÒÛ ÚÓÒ N ÒØ ÔÖغ N ÒÒ ÓÑØ ÑØ c Ò Ò ØÖ¹ ÑÒ Ø ÌÙÖÒÑ Ò ÙÑÛÒÐØ ÛÖÒ ÞÔØÖØ ÛÒÒ N ÞÔØÖØ Ð Ó Ò ÈÖÖ Øº
ÔÐ Ò ÆÌÅ Ö ÀÑÔØ Æ ÓÑ ËØÞ Ü ØÖØ Ò ÒØ ØÖÑÒ Ø ÌÙÖÒÑ Ò ÀÑÔØ ÞÔ¹ ØÖغ ÒÒ Û ÓÐØ ÖØÒ ½º ËÖ ÒØØÖÑÒ Ø Ò Ä Ø ÚÓÒ m ÐÒ p 1,...p m ÛÓ m ÒÞÐ Ö ÃÒÓØÒ ÖÔÒ Øº º ÈÖ Ó ÏÖÓÐÙÒÒ Ò Ö Ä Ø Øº ÐÐ ØÖÑÒÖ ÒØ ÞÔØÖÒº º ÈÖ Ó p 1 = s ÙÒ p 1 = tº ÐÐ ÒÒ ØÖÑÒÖ ÒØ ÞÔØÖÒº º ÈÖ Ó Ö 1 i < m (p i, p i+1 ) Ò ÃÒØ ÚÓÒ G غ ÐÐ ÒØ ØÖÑÒÖ ÒØ ÞÔØÖÒ Ò ÓÒ ØÒ ÞÔØÖº º ÒØÓÒ ÒÌÑ ÒÐÓ ÞÙ ÌÑ ÒÒ ÒÙÒ Ù ÒÌÑ ÒÖØ ÛÖÒº ÒÌÑ(t(n)) = {L L Ø Ò ËÔÖ ÚÓÒ ÒÖ ÒØØÖÑÒ Ø Ò ÌÙÖÒÑ Ò Ò O(t(n)) ÒØ Ò ÛÖ} ÑÖÙÒ ÒÐÓ ÞÙ P ÓÐØ N P = k ÒÌÑ(n k ). ÒÒ Ù ÃÐ N P Ø ÙÒÒ ÚÓÒ Ö ÏÐ Ò ÚÖÒÒØÒ ÒØØÖÑÒ Ø¹ Ò ÖÒÙÒ ÑÓÐÐ ÐÐ ÅÓÐÐ ÕÙÚÐÒØ Òº ÏØÖ ÔÐ ÏØÖ ÔÐ Ö ÈÖÓÐÑ Ò N P Ò ÖÔ¹Á Ó Ë٠عËÙÑ ÙÒ Ë̺ ÁÑ ÖÙÒ Ø Ö Û Û Ó ÈÖÓÐÑ Ò ÆÈ ÐÒ ÑÑÖ Ö Ðº ÁÒ ÖÔ¹Á Ó ÐÒ ÐÐ ÈÖ ÚÓÒ ÖÔÒ ÓÑÓÖÔ Ð Ó Ù ÍÑÒÒÒÙÒ Ð Òµº ÓÖØ ÒØ Ò ÙÓÖÒÙÒ Ð Ø Ð ÖØØ ÒÒ ÒÒ ÒÒÒ Æ¹ ÖÒ ÙÖ ÑÔÐ ÖÔÖÒ ÑØ Ö Ä Ø ÚÖÐÒ ÛÖÒº ÁÒ Ë٠عËÙÑ Ø ÖØ Ó Ò ÌÐÑÒ T Ù ÒÖ ÅÒ ÚÓÒ ÐÒ Ù ÛÐØ ÛÖÒ ÒÒ Ó ËÙÑÑ Ö ÐÐ ÐÑÒØ Ù T ÒÙ ÒÒ ØÑÑØÒ ÏÖØ Öغ Ò ÓÐ ÌÐÑÒ ÒÒ Ð ÖØØ ÒÒº ÁÒ ËÌ ÑØ ÑÒ Û Ò Ó Ò ÓÓÐ Ö Ù ÖÙ ÖÐÐÖ Øº Ù Ö ÒØ Ò ÐÙÒ ÚÓÒ ÎÖÐÒ Ò Ù ÖÙ ÖÐÐÒ Ð ÖØغ ØÖØØ ÑÒ ÖÔ¹Á Ó ËÍË̹ËÍÅ ÓÖ ËÌ Ó ÖÒÒØ ÑÒ ÈÖÓÐÑ ÒØ ÓÒ ØÐ Ò N P ÐÒº Ø Ð Ó Ò ÒÒ ÛÖÖ ÆØ¹Ü ØÒÞ Ð Ü ØÒÞ ÞÙ ÞÒº ÃÐ ÚÓÒ ÈÖÓÐÑÒ Ø ÓN Pº ÓN P Ø Ð Ó ÃÐ ÚÓÒ ÈÖÓÐÑÒ ÖÒ ÃÓÑÔÐÑÒØ Ò N P ÐÒº
º½ ÈÖÑÞÐØ Ø Ù ÈÖÓÐÑ ÈÖÑ = {p N p Ø ÈÖÑÞÐ} Ø Ò N P ÒÒ ÐØ ÓÐÒÖ ËØÞ ÓÒ Û µ ËØÞ ÚÓÒ ÃÖØ ÙÒ ÄÑÖ p Ø ÒÙ ÒÒ ÈÖÑÞÐ ÛÒÒ Ò a Ü ØÖØ ÑØ a p 1 1(ÑÓ p) a p 1 q 1(ÑÓ p) ÈÖÑÞÐÒ q (p 1) ÏÒØ ÑÒ Ñ ËØÞ Ò ÒÒ ÑÒ Ò ÒØØÖÑÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø ÔÖÒ Ó Ò Ð p N Ò ÈÖÑÞРغ Ö ÒØØ ÑÒ Ð ÖØØ Ð ÈÖÑØÓÖÒ ÚÓÒ p 1 Ö Ò Ö ÈÖÑØÓÖÒ ÒÐÐ ÒÒ ÈÖÑØ ÒÛ ÒÒ a p 1 ÒÒ ÑØØÐ ÒÐÐÑ ÈÓØÒÞÖÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Ø Ð Ø ÛÖÒº Ö ÌÐÖ ÚÓÒ p 1 ÑÙ ÐÐÖÒ Ù Ò ÈÖÑÞÐØ Ø ÙÖÖØ ÛÖÒº ½½ a = 3 a = 5 ØÖØØ ÑÒ Ò ÙÑ Ó ÖÒÒØ ÑÒ log(p) ÐØØÖ ÙÒ ÑÜÑÐ log(p) ÒÒ Øº Ñ Ò Ð Ó ÒÙÖ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÚÐ ÈÖÑÞÐÒ Ø ØØ ÛÖÒº Ð Ó ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÇÔÖØÓÒÒ ÒÙÖ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ ÓØ ÙÖÖØ ÛÖÒ Ñ Ò ØÖÑÒÖØ Ö ÐÓÖØÑÙ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐÐÖ Øº ÆÙÒ Ø ÈÖÑ Ò ÓÖÒ ÓÒÖ Ù ÈÖÑ N P غ ÅÒ ØØ ÓÑØ Ò ÔÐ ÙÒÒ Û ÓÛÓÐ Ò N P Ð Ù Ò ÓN P ÐØ ÙÒ ÑÒ ÚÖÑÙØØ ÙÑ Ò ÈÖÓÐÑ ÒÐÒ ÒÒØ ÛÐ ÒØ Ò P Ðغ ËØ ¼¼ Ø ÐÐÖÒ ÒØ ÑÖ Ó ÙØÒ ÈÖÑ P Û Ò ÛÙÖº ØÐÐØ Ð Ó Ö Ó ÚÐÐØ N P ÓN P = P Û ØÞØ ÛÖ Û Ò ÒÓ ÛÖÐØ ÛÖÒ ÓÒÒغ
ÙÒ Ö ÖÑØ ÛÖÒ ÛÓÐÐÒ Û Ò Ë N P = ÓN P Û Ò Ë N P ÓN P = P Û Ò Ë N P P Û Ò Ë N P = P ØÞØ ÓÒÒØ Ò Û Ò ÛÖÒº ÌÔ Ä ÙÒ N = 1 P = 0 ÛÖ ÚÓÒ Ö ÒØÖÒØÓÒÐÒ ÓÖ ÖÑÒ ÒØ ÞÔØÖØ ÛÖÒº ÉÙÐÐÒ ÅÐ ËÔ Ö ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ Ø ÌÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØØÓÒ ØØÔ»»Ù Öº ºØÙ¹ÖÐÒº» ÓÙÔ»ÖÚ» ºÙ»ÒÔºØÑÐ ½º½½º¼ ØØÔ»»ÛÛÛ¹ÑغÙÒ¹ÔÖÓÖÒº» ØÒ»ÚÓÖл¼¼» Ñ»Ö ØÒ¹ÎÖÙØÞ¹ÓÐÒºÔ ½º½½º¼