Å Ø Ñ ØÝ Á Þ Ò ÓÑÓÛ Ö Á ½ ½¼¾¼¼ ½ ËÔÖ Û õ ÞÝ Ò Ø ÔÙ ÛÝÖ Ò Ø ÙØÓÐÓ Ñ µ p p µ [ p (q q)] p µ [(p q) r] [(p r) (q r)] ¾ µ Ò ÓÛ ÐØ ÖÒ ØÝÛ Þ ÔÓÑÓ ÓÒ ÙÒ Ò µ Ò ÓÛ ÐØ ÖÒ ØÝÛ Þ ÔÓÑÓ ÑÔÐ Ò ÈÖ Û Þ Û Ø Þ Ò Æ ÔÖ Û Ð ÈÐ ØÓÒ Þ Ó Ý Ñ ØÓ Ð ÖÝ ØÓØ Ð Ý ÙÞÒ Ñ ÈÐ ØÓÒ ØÓ ÖÝ ØÓØ Ð Ò ÙÞ ÞÞ Ó Ñ ÞÝ Ò ÓÖÑ Ø ÛÝ Ø ÖÞ Ý Ù Þ Ð Ó ÔÓÛ Þ Ò Þ ÔÓ ÒÝ Ò ÔÝØ Â Ð Ø ØÓ Ø Ó ÔÓÛ Þ µ ÞÝ ÈÐ ØÓÒ Ý Þ Ó Ý Ð Ñ Ñ µ ÞÝ ÖÝ ØÓØ Ð Ý ÙÞÒ Ñ ÈÐ ØÓÒ µ ÞÝ ÖÝ ØÓØ Ð ÙÞ ÞÞ Ó Ñ Ê ËÑÙÐÐÝ Òµ Ò ØÓ Þ Ò ÛÝ Ô Ø Ö Ñ Þ Ý Û Ô ÛÒ Ò ØÝ Ó Ò Ñ Û ØÝÐ Ó ÔÖ Û Û ÔÓÞÓ Ø Ò ØÝ Ó Ò ¹ Ñ µ ËØ Ò Ñ ØÝÐ Ó Û ÔÓÒ Þ Û ÔÓÞÓ Ø Ò Ñ Û ÔÖ Û È ÛÒ Ó Ò ËØ Ò ÔÓÛ Þ Þ Ø ÔÓÒ Þ Ø Ñ ÓÒ ØÝ ÞÝ Ý ÛØ Ý ÔÓÒ Þ ÞÝ ËØ Ò Ø ÓÒ ØÝ µ Ï Ù ÒÒ Û Ö Ø ØÓÖ ËØ Ò Ò ÔÓÛ Þ Þ Ø ÔÓÒ Þ Ø Ñ ÓÒ ØÝ Ð Þ Ø ÔÓÒ Þ ÐÙ Ø Ñ ÓÒ ØÝ Â Ð Ø Û Ö Ø ÔÖ Û Þ Û ØÓ ÞÝ ËØ Ò Ø ÓÒ ØÝ ÞÝ Ý ÛØ Ý ÔÓÒ Þ µ Á ØÒ ÞÞ Ò Û Ö Ø ØÓÖ Ò Ó ÔÓ Ó Ò Ó Ô ÖÛ Þ Ð Ö Ò Û Ô ÛÒÝÑ Ù Ø ÐÒÝÑ ÞÞ Ð Ï Ù Ò ËØ Ò Ò Ô ÖÛ ÔÓÛ Þ Þ Ø ÔÓÒ Þ Ò Ó Ô õò Ø Ó Ñ Ó Ò ÔÓÛ Þ Â Ø Ñ ÓÒ ØÝ ÞÝ ÔÓÛ ÒÒ ÑÝ Û ÖÞÝ Ø Û Ö µ ËØ Ò Ñ Ö Ø Ó Ñ Ò Ù Å Ö Ð Ø ÖÝ Ñ ØÝÐ Ó Û ÞÛ ÖØ È ÛÒ Ó Ò ¹ Ò Þ Ö Ò Û ÓÑÓ Ò Ø ØÝ Ø Öݵ ÔÓÛ Þ ÂÙØÖÓ Þ ÛØÓÖ Ó ¹ Ò ØÝ Þ Ô õò Ø Ò Ñ Ö Ø ÔÓÛ Þ ÂÙØÖÓ Ñ ÃØ Ö Ó Ò ØÝ Ó Ò ØÓ ÛÝ ÖÞÝ Ó µ Ó Ò Þ ÒÒ Û Ö ØÝ Þ ÔÓ ØÝÑ Ò Þ Ö ÔÓÛ Þ ÂÙØÖÓ Þ ÛØÓÖ ÖÙ Ö Ø ØÛ Ö Þ ÂÙØÖÓ Ñ Â Ð Ø Û Ö Ø ÔÖ Û Þ Û ØÓ Ø Ö Ó Ò ØÝ Ó Ò ØÓ Þ ÖÞÝ Ó Æ A Þ Þ ÓÖ Ñ ÔÙÒ Ø Û (x,y) Ð Ø ÖÝ x + y < B Þ Þ ÓÖ Ñ ÔÙÒ Ø Û Ð Ø ÖÝ x +y < C Þ Þ ÓÖ Ñ ÔÙÒ Ø Û Ð Ø ÖÝ (x ) +y < Ò Ð õ Ò Þ ÓÛ Þ ÓÖÝ A B A C A B C A C A \ B A B C Ï Þ f(x) := x ÓÖ Þ g(x) := f ( x x+ 3 ) ÙÔÖÓ g(x) ÔÓ Þ Þ Ò g(x) Ò õ Þ Ö Û ÖØÓ ÙÒ f ÞÝ ÙÒ f Ø ÙÖ ÞÝ Ø Ò ÞÝ Ø Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÞÝØÝÛÒ Ó ÔÓÛ Þ Ò Ó Ø ØÒ ÔÝØ Ò ÞÒ õ f (x) µ f : R R x f(x) = x x + µ f : R + ], [ x f(x) = x x + µ f : [, [ R \ R x f(x) = x x + ½
Æ f(x) = x 3 Ò Ð õ Ø g(x) µ (f g)(x) = x + µ (g f)(x) = x + Ò ÙÒ f(x) = x + 3, x R g(x) = x, x [, ) Ò Ð õ ÛÞ Ö ÙÒ Þ Ó ÓÒ f(g(x)) g(f(x)) ÓÖ Þ ÔÓ Þ Þ Ò Þ Ö Û ÖØÓ Þ ØÝ ÙÒ ½¼ ÊÓÞÛ Ö ÛÒ Ò µ x + + x + = 7 µ x + + 3 + = 7 µ x 6 + x 9 = 7 µ x 5x + 6 = 0 ½½ ÊÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒÓ µ x 3 x + x > µ x+ < x ½¾ ÞÒ Þ Ò Ô ÞÞÝõÒ R Ò ØÔÙ Þ ÓÖÝ µ {(x,y) R x+ + y+ } µ {(x,y) R y = x + + x + + x + 3 } ½ ÊÓÞÛ Ö ÛÒ Ò µ cos x = µ cos x = 3 µ cos x = 0 µ sin x = 0 µ sin x = 3 µ Ø x = 3 µ Ø x = 3 ½ ÊÓÞÛ Ò Ö ÛÒÓ µ sin x < µ 3Ø x ½ Ö Ù Ù Ò ØÔÙ ÛÝÖ Ò µ cos(π x) µ cos( π +x) µ sin(x π) µ sin(3 π +x) µ Ø (π +x) µ Ø (3 π x) ½ Ò õ Û ÖØÓ cos π ÛÝÒ ÑÓ Þ Û Ö ÝÒ ÓÔ Ö Ó Û Ò Ó ÑÓÛ Ò 8 ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Ô ÖÛ Ø ÓÛ Ò Ð Þ µ ½ ÊÓÞÛ Ö ÛÒ Ò sin(x + π) cos(x + π )Ø (x π) =. ½ Í ÓÛÓ Ò µ α {kπ k Z} : Ø α = cos α sin α ½ ÈÓ µ sin α ± cos α cos x + cos y = cos x + y cos x y Ï Þ Û ÓÖÞÝ Ø Þ Ó ÖÞ ÞÒ ÒÝ ÛÞÓÖ Û cos(α+β) = cosαcosβ sin α sin β cos(α β) = cosαcos β + sinαsin β ¾¼ ÏÝÔÖÓÛ õ ÛÞÓÖÝ µ sin x = Ø x +Ø µ cos x = Ø x x +Ø µ Ø x = Ø x x Ø x ¾½ ÊÓÞÛ Ö ÛÒ Ò Û Þ ÓÖÞ ] π, π [ µ sin 3 θ + cos θ sin θ = 0 µ Ø x Ø x 3 + 3Ø x = 0 ¾¾ Æ f(x) = sin x Ò Ð õ Þ Þ Ò Þ Ö Û ÖØÓ f(x) Ò ØÝÛÒÓ ÙÖ ØÝÛÒÓ f : R R ÞÒ Ð õ Ñ ÝÑ ÐÒÝ ÔÖÞ Þ Ð Ø Ö Ó f(x) Ø Ò ÞÒ Ð õ f (x) ÔÓ Þ Þ Ò ¾
¾ Ð x Þ Ó Þ µ sin arcsin x = x µ arcsin sin x = x ¾ ÊÓÞÛ µ π 7 < arcsin(x ) < π 6 µ arcsin x + arcsin x = π 3 µ arcsin 3 x arcsin x = arcsin 3 µ arccos x < arccos x ¾ Ò õ Û ÞÝ Ø ÖÓÞÛ Þ Ò ÓÛ Ø Ö ÛÒ Ò x + 3x 3 7 x + 3 x = 0 ¾ Ð ÙÒ f(x) = x + ( k)x + k ÞÒ Ð õ Þ Ö Û ÖØÓ k Ð Ø Ö Ó x R : f(x) > 0 ¾ ÊÓÞÛ Ò Ö ÛÒÓ µ (x )5 (x x + )(x )(x + ) 6 x x 0 µ x 6 + x 3 > 0 ¾ Ò õ Û ÐÓÑ Ò Ý ÛÝÒ Ñ Þ Ð Ò ÓÖ Þ Ö ÞØ Þ Þ Ð Ò Û ÐÓÑ ÒÙ x 5 + x 3 + x + ÔÖÞ Þ Û ÐÓÑ Ò x 3 + ¾ µ Ò õ Ö ÞØ Þ Þ Ð Ò Û ÐÓÑ ÒÙ x 008 + x 8 + x + ÔÖÞ Þ Û ÐÓÑ Ò x µ Ò õ Ö ÞØ Þ Þ Ð Ò Û ÐÓÑ ÒÙ x 008 + x 8 + x + ÔÖÞ Þ Û ÐÓÑ Ò x + ¼ Ð Û ÖØÓ Ô Ö Ñ ØÖÙ a Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ Ò xµ x + ax + a a = 0 Ñ Û Ô ÖÛ Ø Ù ÑÒ ½ Ï ÐÓÑ Ò x x 3 3x + x + 3 Ñ ÞØ ÖÝ Ô ÖÛ Ø ÖÞ ÞÝÛ Ø x x x 3 x Ò õ Û ÖØÓ Ò ØÔÙ Ý ÛÝÖ µ x + x + x 3 + x µ x x x 3 x µ x x + x x 3 + x x + x x 3 + x x + x 3 x ¾ ÞÝ Ò ØÔÙ Ð Þ Ý ÓÛ Ø µ 5 log 3 7 7 log 3 5 µ log 3 79log 7 8 µ log 3 7 + log 9 7 + log 7 7 Ð Û ÖØÓ Ô Ö Ñ ØÖÙ a Ö ÛÒ Ò 9 x 3 x+ + a = 0 Ñ Û Ö Ò ÖÓÞÛ Þ Ò ÊÓÞÛ µ log (9 x ) = 3 + x µ log µ + log x > + log x (log x) µ log (x ) + log (x + ) > 5 Â Ð Þ Ø Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÔÖÞÝ x 97 Û ÖÓÞÛ Ò Ù ( + x) 00 n ( ) n ÈÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ò ØÙÖ ÐÒ Ó n ( ) k = 0 k ÈÓ Þ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ò ØÙÖ ÐÒ Ó n µ 3 + 3 + +n 3 = (++ +n) Ï Þ Û Ë ÓÖÞÝ Ø Þ ++ +n = k=0 µ + 3 + 5 + + (n + ) = (n + )(n + 8n + 3) 3 n(n + )
ÏÝ Þ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ò ØÙÖ ÐÒ Ó n µ Ð Þ n + 5n Ø ÔÓ Þ ÐÒ ÔÖÞ Þ µ Ð Þ 0 n + n Ø ÔÓ Þ ÐÒ ÔÖÞ Þ µ Ð Þ n 3 + n Ø ÔÓ Þ ÐÒ ÔÖÞ Þ µ Ð Þ 5 n+ + 3 n + Ø ÔÓ Þ ÐÒ ÔÖÞ Þ µ Ð Þ n 7 n Ø ÔÓ Þ ÐÒ ÔÖÞ Þ µ Û ÐÓÑ Ò (n + )x n+ (n + )x n+ + Ø ÔÓ Þ ÐÒÝ ÔÖÞ Þ ØÖ Ñ Ò x x + ÏÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ò ÙÑ S n = S n+ = + qs n n q k Ï Þ Û ÔÓ Ò Ô ÖÛ S n+ = S n +q n+ k=0 ÈÓ ÔÓÛ Þ Ó ÔÓÛ Þ ½ Ë ¾ µ ( p q) µ p q Ü Ø µ Ã Û Ð Ö ËØ Ò ÔÓÛ Þ ØÓ Û ÔÓÒ Þ µ ËØ Ò Ø ÓÒ ØÝ ØÓ Ò Ý ÔÓÒ Þ ¹ µ Ò µ ÞÛ ÖØ µ ÔÓÒ Þ g(x) = x x+ D = R \ { } µ f(r) = [, [ Ò Ø ÙÖ Ó [, [ R Ò Ø Ò Ó f() = f( ) µ f (x) = x +x µ f (x) = x + µ g(x) = 3 x + µ g(x) = 3 x + f(g(x)) = x + x [, [ f(x) [3, [ g(f(x)) = x + x R f(x) [, [ ½¼ µ x { 5, } µ x {, 3} µ x {, 3, 3, } µ x { 3,,, 6} ½½ µ Û Ö Ø Ó Û ÖÞ Ó (, ) (3, ) (, 6) (5, ) µ ÊÓÞÛ ÔÖÞÝÔ x ], 3] x ] 3, ] x ], ] x ], [ ½¾ µ x ], [ ], [ µ x ], 5[ ], [ ½ µ {kπ k Z} µ { π + kπ 6 π + kπ k Z} µ { π + kπ k Z} µ {kπ k Z} 6 µ { π + kπ π + kπ k Z} µ { π + kπ k Z} µ { 5π + kπ k Z} 3 3 3 6 ½ µ ] [ 7π π + kπ, 6 6 + kπ µ ]kπ, π ] [ [ π 3 + kπ + kπ,π + kπ 3 k Z k Z ½ µ cos x µ sin x µ sin x µ cos x µ Ø x µ Ø x ½ + ½ { π + kπ k Z} ½ Í Ý ÞÒ ÒÝ ÛÞÓÖ Û cos α = cos α sin α sin α = sin α cos α
½ Ó ØÖÓÒ Ñ ÛÞÓÖÝ ÔÓ Ò Û Û Þ Û ¾¼ ËÔÖ Ù Ñ µ ¾½ µ ÈÓ Ø Û t = sin θ ÙÔÖÞ Ò Ó Ù ÝÛ ÝÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ µ Ò ØÔÒ ÔÓ ÞÙ Ô ÖÛ Ø Û ÛÝÑ ÖÒÝ Ö ÛÒ Ò Ò t Ç ÔÓÛ õ θ { π, π, π 6 } µ x { π, π 3, π 3 } ¾ µ x [, ] µ x [ π, π] ¾ µ < x < µ 3 7 µ 3 ¾ x = x = µ 0 < x < ¾ k ], [ ] 3, [ ¾ µ x [, [ [, ] ] +, [ µ x [, 3 [ ], [ ¾ ÛÝÒ x + Ö ÞØ x + ¾ µ x + 3 µ ÈÓ Ø Û t = x Ê ÞØ ØÓ ¼ a ], 8] ½ Â ÛÝÔÖÓÛ Þ ÛÞÓÖÝ Î Ø ³ Ò Þ Ð Ó Û Ô Ç ÔÓÛ Þ µ ½ 3 µ 3 µ ¾ µ Ø 0 µ Ø 6 µ Ø 0 a ]0, 9 [ 9 µ x = 0 µ x [, [ µ x ], [ µ x 3 ], [ ]8, [ 6700 ÈÖÞÝ ÖÞÝ ÙÛ Ò ÛÞÓÖÓÛ Ò ÛÙÑ Ò Æ ÛØÓÒ ÈÓÖÓÞÑ Û Þ ÔÖÓÛ Þ ÝÑ Û Þ Ò Â ÛÝ