egzamin_odpowiedzi.dvi

Bản ghi

1 ÅÁÆ ÁÁ ¾¼¼ ÁÑ Ò ÞÛ Ó ÆÖ Ò Ù ÆÖ ÖÙÔÝ ÍÛ ËÔÖ Û Þ Ò Ø Ø Ø Ñ Û Ó ÖÓØÒ Ó ÛÝ ÓÖÙ Þ Û ÞÝ Ø ÑÓ Û ÓÑ Ò Ó ÔÓÛ Þ ÓÔÙ ÞÞ Ò Ø º Þ Ö ÛÒÓ Û ÞÝ Ø Ó ÔÓÛ Þ ÔÓÔÖ ÛÒ Þ Ó ÔÓÛ Þ ÔÓÔÖ ÛÒ Ö Ó ÔÓÛ Þ ÔÓÔÖ ÛÒÝ µº ÈÝØ Ò Ø ÙÞÒ Ò Þ ÔÓÔÖ ÛÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ø º ½Ô ص ÛØ Ý ØÝ Ó ÛØ Ý Ý ÝÒ Û ÞÝ Ø Ó ÔÓÔÖ ÛÒ Ó ÔÓÛ Þ ÛÝØÝÔÓÛ Ò º Ç ÔÓÛ Þ Ø º Ø ÖÝ Û ÛÝ ÔÓ ÔÙÒ Ø Û Ò Ý Ó Ø Ø ÞÒ ÔÖÞ Ô Ó Þ ÞÓÒ Ò Ó Ù Ø ØÙ Ø º ÌÝ Ó Þ Û ÖØÓ Ø ÔÓ Û ÖÝ º ëýþýñý ÔÓÛÓ Þ Ò ººº ½º Æ f (n) = 2 lg n! ÛØ Ý ÔÖ Û Ø µ f (n) = O ( n lg n + n 5) µ f (n) = Θ ( 1 2 lg n!) ( n µ f (n) = O n+3 n ) n 0º 2 ¾º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f : N R + {0} ÔÓ Ø f (n) = n lg n 2 µ f (n) = O ( 1 n f (n) + c) Þ c Ø Ô ÛÒ Ó ØÒ Ø ÑÒ Þ Ò 10 3 µ f ( n 2) = Ω ( n f (n)) µ f (n) = O (c f (n) + c) Þ c Ø Ô ÛÒ Ó ØÒ Ø º º ÑÝ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ô ÛÒ Ó ÓÖÝØÑÙ A Ó Ö ÙÒ T (A, n) = n 2 Þ n Ø ÖÓÞÑ Ö Ñ ÒÝ Û ÓÛÝ º ÃÓÑÔÙØ Ö K ÛÝ ÓÒÙ ÖÓÞÛ ÒÝ ÓÖÝØÑ ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÙ 64 Û Ù 4 ÙÒ Ø º T K (A, 64) = 4º ËØ µ T K (A, 512) = 512 µ T K (A, 1024) = 1024 µ Û Ù 16 ÙÒ ÓÑÔÙØ Ö K ÛÝ ÓÒ ÖÓÞÛ ÒÝ ÓÖÝØÑ ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞ¹ Ñ ÖÙ Ó Ò ÑÒ 256º º ÊÓÞÛ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÓÖÝØÑ ÚÓ ÓÖÝØÑ ÒØ Òµ ß ½ Òµ ÓÖ ¼ Ò µ ß ¾ Òµ Þ Alg 1 ÓÖ Þ Alg 2 ÓÖÝØÑ Ñ Ó Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ó ÔÓÛ Ò Ó A(Alg 1, n) = O (n lg n) W (Alg 1, n) = Ω ( n 2) ÓÖ Þ T (Alg 2, n) = Θ (n lg n) Ø µ T (Algorytm, n) = O ( n 2) µ A(Algorytm, n) = O ( n 3) µ W (Algorytm, n) = Ω ( n 2 lg n ) º ½ È Û Ê Ñ

2 º ÊÓÞÛ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÓÖÝØÑ ÒØ Ó ÒØ Òµ ß»» ÛÔ Ò N Ò>½ ÒØ ½ Û <Òµ ÕÖ µ»» sqr (i) = i 2 Ö ØÙÖÒ»» Û Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Û ØÖÙ ØÙÖÞ Þ Ò ØÙÖ ÒÝ µ ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Û ØÖÙ ØÙÖÞ Þ Ò ØÙÖ ÒÝ µ ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Û ØÖÙ ØÙÖÞ Þ Ò ØÙÖ ÒÝ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ sqr Þ Ò Ù ÑÝ Ø sqr (i) = def (i + 1)º º ÊÓÞÛ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÓÖÝØÑ ÒØ Ó ÒØ Òµ ß»» ÛÔ Ò N ÒØ ¼ Ô ½ Ö ÙØ ½ Û <Òµ ß ½ Ô ¾ Ô Ö ÙØ Ö ÙØ Ô Ö ØÙÖÒ Ö ÙØ µ Ò ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ø ÓÖÑÙ p = 2 i µ Ò ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ø ÓÖÑÙ p = 2 i result = p µ Û ÖÙÒ Ñ Ó ÓÛÝÑ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ø result = 2 n+1 1º º Ó Ø Û ÖÙÒ Ñ Ó ÓÛÝÑ ÔÓÒ Þ Ó ÓÖÝØÑÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ó Þ Ó ÝÑÝ root Ø ÓÛ Þ Ò Ñ Ó ÓÖÞ Ò Ô ÛÒ Ó Ò ÔÙ Ø Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó Ø Ö Ó Û ÖÞ Ó Ò ÓÛ Ò Û ÖØÓ Ñ ØÝÔÙ int ÒØ Ó ÌÖ ÆÓ ÖÓÓص ß ÖÓÓØ ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ ¼ ÖÓÓغ Ø ÑÓ ¾µ ¼µ Ö ØÙÖÒ Ó ÖÓÓغ ص Ó ÖÓÓØºÖ Øµ Ö ØÙÖÒ Ó ÖÓÓغ ص Ó ÖÓÓØºÖ Øµ ÖÓÓغ Ø µ Ä Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û Ó ÓÖÞ Ò Ù root ØÝ ØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ Ñ Ò Ô ÖÞÝ ØÝÑ º µ ËÙÑ Û ÞÝ Ø Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û Ó ÓÖÞ Ò Ù root ØÝ ØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ Ñ Ò ¹ Ô ÖÞÝ ØÝÑ º µ ËÙÑ Û ÞÝ Ø Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û Ó ÓÖÞ Ò Ù root ØÝ ØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ Ñ Ô ÖÞݹ ØÝÑ º º ÃØ Ö Þ Þ Ø ÔÖ Û Þ Û µ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ ÒÝ Ñ ÒØ Ò Ý Ó Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó ÙÒ Û Ö ÙÑ ÖÓÞÑ ÖÙ n 2 ÛÝÑ O (n lg n) ÔÓÖ ÛÒ µ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ ÒÝ Ñ ÒØ Ò Ý Ó ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó ÙÒ Û Ö ÙÑ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛÝÑ Ω ( n) ÔÓÖ ÛÒ µ Ó ÞØ Þ ÓÛÝ Ñ ÖÞÓÒÝ Þ ÔÓÖ ÛÒ ÓÔØÝÑ Ò Ó ÓÖÝØÑÙ ÛÝ ÞÙ Ò Ñ ÒØÙ Ñ ÝÑ Ò Ó Û Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ ÙÒ Û Ö ÙÑ ÖÓÞÑ ÖÙ 10 8 ÛÝÒÓ 10 7 º ¾ È Û Ê Ñ

3 º ÃØ Ö Þ Þ Ø ÔÖ Û Þ Û µ ÔÖ Û Þ Ò ÓÖÝØÑ Ñ ÒË Ö ÞÝ ÒÝ Ñ ÒØ Ò Ý Ó ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó ÙÒ ¹ Û Ö ÙÑ ÖÓÞÑ ÖÙ n 2 ÛÝÑ O (n) ÔÓÖ ÛÒ µ Ó ÞØ Þ ÓÛÝ ÓÖÝØÑÙ ÒË Ö ÔÓÔÖ ÛÒÝ ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÙ 10 4 ÛÝÒÓ Ó Ò ¹ ÑÒ ½ ÔÓÖ ÛÒ µ Ó ÞØ Þ ÓÛÝ ÓÖÝØÑÙ ÒË Ö Û Û Ö Ò Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÔÓÔÖ ÛÒÝ ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÙ 10 4 Ò Ø Þ ÒÝ Ó ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ÒÝ º ½¼º ÃØ ÖÝ Þ ÔÓÒ ÞÝ Û Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝÑ Ö ÞÙØ Ø Ñ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÙÖÝ ËÔ Ø ÒÝ Û ¹ ÓÛÝ 5, 4, 7, 3, 9, 8, 2, µ ¾ µ ¾ µ ¾ º ½½º ÊÓÞÛ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÓÖÝØÑ Û Ó ÖÓØÒ Ó ÓÖØÓÛ Ò ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÒØ ËÓÖØÙ ÒØ ÒØ Òµ ß»» ÛÔ n 1 ÉÙ ËÓÖØ Òµ»» ÓÖÝØÑ Û ÑÔ Ñ ÒØ Ö ÙÖ ÒÝ Ò»»Þ ÔÖÓ ÙÖ ÔÓ Þ Ù ËÔ Ø ÁÒ ÖØ ÓÒËÓÖØ Òµ Å Ö ËÓÖØ Òµ»» ÓÖÝØÑ Û ÑÔ Ñ ÒØ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ë Ø ÓÒËÓÖØ Òµ µ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ø ÞÝÒÒÓ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ñ ÒØ Û Ø Ý A ØÓ W (Sortuj, n) = O ( n 2) µ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ø ÞÝÒÒÓ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ñ ÒØ Û Ø Ý A ØÓ A(Sortuj, n) = O (n lg n) µ S (Sortuj, n) = O (lg n)º ½¾º Æ T Þ ÖÞ Û Ñ ÝÞÝ ÒÝÑ ÓÛÓÒ Ó ÞÝ Ó ÑÓ Û Óµ ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n µ Þ Û ÖÞ Û T Ó Þ ÓÛ ÔÖÞ Þ O ( n 2 lg n ) µ ÛÝ Ó Ó ÖÞ Û T Ó Þ ÓÛ ÔÖÞ Þ O (n) µ Ù Ó Ò Ù Þ ÓÖÞ ¹ Û ÖÞ Û T Ó Þ ÓÛ ÔÖÞ Þ Ω (n lg n)º ½ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÖÝØÑ ÓÙÒØ Ò ËÓÖØ ÒÝ Û ÓÛÝ 0, 1, 0, 2, 0, 2, 4, 1, 1, 0, 2, ÛØ Ý ÔÓ Ø Ø Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ø ÌÅȵ ÔÓ µ ÖÙ Þ ÓÖÝØÑÙ Þ Þ Ò µ Ø Ò ØÔÙ 4, 3, 3, 0, 1 µ ØÖÞ Þ ÓÖÝØÑÙ ÙÑÓÛ Ò µ Ø Ò ØÔÙ 4, 7, 10, 10, 11 µ ÞÛ ÖØ Þ ÓÖÝØÑÙ ÛÝÔ Ò µ Ø Ò ØÔÙ 0, 4, 6, 10, 10º È Û Ê Ñ

4 ½ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÖÝØÑ Ó Þ Ò Û ÖØÓ 6¹ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ Ó ÛÝÖ Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Ó ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Û ØÓ Û ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÓÖ Þ ØÓ Ö ÙÑ ÒØ Ûµ ÛÝÖ Ò Û ÓÛ Ó ((((1 + ((2 + 3) 4)) + 5) + 6) + 7) µ ÛÝÖ Ò Û ÓÛ Ø ÔÓÔÖ ÛÒ Û Ô Ò Ò Û ÓÛ Ò µ Ó ÞØ Þ ÓÛÝ ÓÖÝØÑÙ Ñ ÖÞÓÒÝ Þ ÓÔ Ö ØÓ ÓÛÝ Ø Ò Û ÞÝ Ò 15 µ Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÓÖÝØÑÙ Ñ ÖÞÓÒÝ Þ Ñ ÒØ Û Þ Ô ÒÝ Ò Ó Ù ØÓ ÛÝÒÓ Ó Ò ÛÝ 3º ½ º ÃØ Ö Þ ÔÓÒ ÞÝ Þ Ø Þ Û Þ ÔÖ Û Þ Û Û Þ Þ Ò Ó µ empty (q) empty (out (out (in (q, first (q))))) µ empty (q) in (out (in (q, e)),f) = out (in (in (q, e),f)) µ empty (q) empty (in (q, e))º ½ º ÃØ Ö Þ ÔÓÒ ÞÝ Þ Ø Þ Û Þ ÔÖ Û Þ Û Û Þ Þ Ò ÓÛÒ Û µ member (delete (insert (d, e),e),e) µ e f delete (insert (d, e),f) delete (insert (d, f),e) µ member (delete (delete (insert (d, e),e),e),e)º ½ º Æ (A, h) Þ Ø ÞÙ Ù Ó m Þ Ó Ñ ÑÔ Ñ ÒØ ÓÛÒ d ÙÒ Û Ö ÙÑ Ñ ÒØ Û E Þ E = nº Â Ó ÞØ ÛÝÞÒ Þ Ò Û ÖØÓ ÙÒ ÞÙ h ÓÛÓÒ Ó Ñ ÒØÙ e E Ø Ø Ý ØÓ µ W (member (d, e),m, n) = O (n) µ A(insert (d, e),m, n) = O ( n m) µ W (delete (d, e),m, n) = O (m + n)º ½ º Æ T Þ ÖÞ Û Ñ ÎÄ ÔÓÛ Ø ÝÑ ÔÖÞ Þ Ó Ò Û Ø Û Ò Û ÖÞ Ó Û Ó ØÝ Ø 5, 3, 4, 7, 6 Ó ÔÓÞ Ø ÓÛÓ ÔÙ Ø ØÖÙ ØÙÖÝ µ ÓÖÞ Ò Ñ ÖÞ Û T Ø Û ÖÞ Ó Ó ØÝ 5 µ Ö ÞÙØ Ø Ñ Þ Ò ÓÖÝØÑÙ ÈÖ ÇÖ Ö ÖÞ Û T Ø ØÝ Ø 4, 3, 6, 5, 7 µ Ù ÙÒ Û ÖÞ Ó Ó ØÝ 4 Þ ÖÞ Û T ÛÝÑ ÛÝ ÓÒ Ò Ó Ò ÑÒ Ò ÔÓ Û Ò ÖÓØ Û Ù ÔÖÞÝÛÖ Ò Û ÒÓ ÖÞ Û Îĺ ½ º Æ ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ T Þ ÑÔ Ñ ÒØ n¹ Ñ ÒØÓÛ Ó ÓÛÒ d ÛØ Ý Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÓÔ Ö µ member ÓÛÒ d Ø O (lg n) T Ø ÖÞ Û Ñ ËÌ µ insert ÓÛÒ d Ø Ω (lg n) T Ø ÖÞ Û Ñ ËÌ µ delete ÓÛÒ d Ø Ω (lg n) T Ø ÖÞ Û Ñ Îĺ ¾¼º ÃØ Ö Þ ÔÓÒ ÞÝ Þ Ø Þ Û Þ ÔÖ Û Þ Û Û Þ Þ Ò Ó ÔÖ ÓÖÝØ ØÓÛÝ µ e min(pq) delmin (insert (pq, e)) = insert (delmin (insert (pq, e)),e) µ delmin (insert (pq, e)) = pq empty(pq) µ e = min (pq) min (insert (pq, e)) = eº È Û Ê Ñ

5 ¾½º ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÔ Ò ÖÒݹ ÖÞ ÛÓ H ÔÓÛ Ø Ý ÔÖÞ Þ Ó Ò Û Ø Û Ò Þ 5, 4, 3, 2, 1, 6, 7 Ó ÔÓÞ Ø ÓÛÓ ÔÙ Ø ØÖÙ ØÙÖÝ µ ØÝ ØÝ ÖÞ Û Ó ÞÝØ Ò Û ÔÓÖÞ Ù ÈÓ ØÇÖ Ö ØÛÓÖÞ 5, 3, 2, 6, 7, 4, 1 µ ÛÝ ÓÒ ÑÝ ÓÔ Ö delmin (H) delmin (H) ØÓ ØÝ ØÝ ÖÞ Û Ó ÞÝØ Ò Û ÔÓÖÞ Ù ÁÒÇÖ Ö ØÛÓÖÞ 3, 5, 6, 7, 4 µ Ó ÞØ ÓÔ Ö delmin Ò ØÖÙ ØÙÖÞ H Ø ÖÞ Ù Ò ÓÛ Ó ÛÞ Ñ Þ Ý Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º ¾¾º Æ H Þ n¹ Ñ ÒØÓÛÝÑ ÓÔ Ñ Ò ÖÒÝÑ Þ ÑÔ Ñ ÒØÓÛ ÒÝÑ Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ T µ ÛÝ Ó Ó ÖÞ Û T Ø ÖÞ Ù lg( n) µ ÖÞ ÛÓ T Ñ Ó Ò ÛÝ ¼¼ Û ÖÞ Ó Û Û ÛÒØÖÞÒÝ n = 1000 µ Þ Û ÖÞ Ó Û Ò ÔÖÞ Ó Ø ØÒ Ñ ÔÓÞ ÓÑ ÖÞ Û T Ø Ö ÛÒ Ó Ò ÛÝ 2 lg n 1 º ¾ º ÊÓÞÛ ÑÝ Þ α = 3, 1, 4, 2, 5 µ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÓÔ Ò ÖÒÝ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Þ Ñ ÒØ Û Ù α ÔÖÞ Þ Ó Ò Û Ø ¹ Û Ò Ñ ÒØ Û Ó ÔÓÞ Ø ÓÛÓ ÔÙ Ø Ó ÓÔ Ñ ÔÓ Ø [1, 2, 4, 3, 5] µ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÓÔ Ò ÖÒÝ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Þ Ñ ÒØ Û Ù α ÔÖÞ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÞÝ ÔÖÓ ÙÖÝ Ù ÓÛÝ ÓÔ Ø º À Ô ÓÒ ØÖÙص Ñ ÔÓ Ø [1, 2, 3, 5, 4] µ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÓÔ Ò ÖÒÝ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Þ Ñ ÒØ Û Ù α ÔÖÞ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÞÝ ÔÖÓ ÙÖÝ Ù ÓÛÝ ÓÔ Ø º À Ô ÓÒ ØÖÙص Ñ ÔÓ Ø [1, 2, 4, 3, 5]º ¾ º ÊÓÞÛ ÑÝ Þ Ö E = {a, b, c, d, e} ÓÖ Þ Ò ØÔÙ Ý ÓÔ Ö Ò ØÖÙ ØÙÖÞ Ò ¹ÍÒ ÓÒ U Þ ÑÔ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ù Ý Ñ Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ñ init (E) find(u, a) union (U, find(u, d),find(u, e)) find(u, e) union (U, find(u, e),find(u, a)) union (U, find(u, b),find(u, c)) µ find(u, e) = find(u, d) µ find(union (U, find(u, a),find(u, b)),c) = find(u, e) µ find(u, c) = find(u, d) ¾ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ö ¹ ÖÞ ÛÓ G = (V, E) Þ V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Û Ø ÖÝÑ Û ÞÝ Ø Ö Û Þ Ñ Û ¾¼º ÏØ Ý µ ÖÞ ÛÓ Ò Ö Ø ÞÝ Þ Û ÖÞ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó ½ Ö Ù G ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÓÖÝØÑ ØÖÝ Þ ¹ Ù Ö Û Þ Ñ ÞÒÝ Ó ÞØ Ñ ÖÞÓÒÝ Û Ñ Ö Û Þ µ Ö ÛÒÝ ½¼¼ µ ÖÞ ÛÓ Ò Ö Ø ÞÝ Þ Û ÖÞ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó Ö Ù G ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ¹ ÓÖÝØÑ ØÖÝ Þ ¹ Ö Û Þ Ñ ÞÒÝ Ó ÞØ Ñ ÖÞÓÒÝ Û Ñ Ö Û Þ µ Ö ÛÒÝ ¼ µ Ó ÞØ ÓÖÝØÑÙ ØÖÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó Ó ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ù Ø ÖÞ Ù O ( n 2) Þ n Ø Þ Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Gº È Û Ê Ñ

6 ¾ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ö Ô ÒÝ G Ý Þ ½¼¹ Ù Û ÖÞ Ó Û Ø Ö Ó Û ÞÝ Ø Ö Û Þ Ñ Û Ö ÛÒ º ÏØ Ý µ Ó ÞØ ÓÖÝØÑÙ ÃÖÙ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó Ó ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ù Ø ÖÞ Ù Ò ÓÛ Ó ÛÞ ¹ Ñ Ó Ö Û Þ Ö Ù G µ Ñ Ò Ñ Ò ÖÞ ÛÓ ÖÓÞÔ Ò Ö Ù G ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÓÖÝØÑ ÃÖÙ Þ ¹ Ù Ö Û Þ Ñ ÞÒÝ Ó ÞØ Ñ ÖÞÓÒÝ Û Ñ Ö Û Þ µ Ö ÛÒÝ µ ØÒ ÖÞ ÛÓ ÖÓÞÔ Ò Ö Ù G Ñ ½¼ Ö Û Þ º ¾ º ÃØ ÖÝ Þ ÔÓÒ ÞÝ Ó Û Ø ÓÔØÝÑ ÒÝÑ Û Ò Ù Ó µ Ó Ñ ÔÖ ÓÛÝÑ ØÙ Σ = { } Ø ØÙ Ó Þ ÞØ Ö Ø Ö Û Ø Ö ØÖÞ Ø Ö Þ Ù Ø Ö ÓÖ Þ Ñ Ù Ø Ö µ ½¼ ¼½½ ½¼¼ ½½ ¼ µ ½¼ ¼½½ ¼½¼ ½½ ¹ ¼¼ µ ¼¼ ¼½¼ ¼½½ ½¼ ½½ ¾ º ÃØ ÖÝ Þ ÔÓ ÒÝ ÔÓÒ Ó Û ÑÓ Ý Ó Ñ ÀÙ Ñ Ò Ø ØÙ Ó Ó ÔÓÛ ¹ Ò Ó Þ Ô Ù Ø Ö Ñ Ù Ø Ö Þ Ù Ø Ö Þ Ù Ø Ö ÓÖ Þ Ó Ñ Ù Ø Ö µ ½½¼ ¼¼ ½½½ ½½ ¼½ µ ½½¼ ¼¼ ½½½ ½¼ ¼½ µ ½½¼ ¼¼ ½½½ ½¼½ ¼½ ¾ º ÃØ Ö Þ ÔÓÒ ÞÝ Þ Ø ÔÖ Û Þ Û µ ÓØÓÞ ÛÝÔÙ n¹ Ø ÛÝÔÙ Ó Þ Ó Ò ÛÝ n ÔÙÒ Ø Û µ Þ Ó ÓÒÓ ÓÖÝØÑÙ Â ÖÚ ÑÓ Ò Ó Þ ÓÛ ÔÖÞ Þ Ω (n lg n) µ ÓÖÝØÑ Ö Ñ Ø Ó Ò ÛÝ Ø ØÖÙ ÒÝ Ó Þ Ò ÓÛÓ ÓÖÝØÑ Â ÖÚ Û ÔÖÞݹ Ô Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝѺ ¼º ÃØ Ö Þ ÔÓ ÒÝ Þ Ø ÔÖ Û Þ Û µ Ý ÔÖÓ Ñ Þ Ý P Ò Ý Ó Ý NP µ ÔÖÓ Ñ ÓÑ ÛÓ Ö Ø Ø ÑÓ ØÖÙ ÒÝ Ó Þ Ò ÓÛÓ ÔÖÓ Ñ ÛÝ ÞÙ Û Ò Û ÒÝ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ µ ÔÖÓ Ñ ØÓÔÙ Ò Ý Ó Ý NPº Ì ÄÃ Ç ÈÇÏÁ Á ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ È Û Ê Ñ