Ä ÒÒ ÓÖ Ð ÚÒ Å¼¼½ ÖÙÖÙÖ ÅØÑØ ½ ÄÖÓ º ½¾¹½ ½¾º ÓÖÐÖ ÚÓÖÓÖ Ø ØÖÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÑÒ Ø Ò ÖÓØ ½ º Ä ÒÒ Ø ØÖÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÒÖÐÐ ÓÖÑ p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Ö a, b, c, d R Ö ÖÐÐ ÓÒ ØÒØÖ Ñ a 0º Î ÚØ Ø p Ö ÓÒØÒÙÖÐ Ô Ð R Ó ÖÑ Ö Ú Ö ÑÐÐÓÑÚÖØÓÖÑØ ½ ÐÖÓµ Ø p(x) Ö Ò ÖÓØ Ö ÓÑ Ú ÐÖÖ ÒÒ Ø ÒØÖÚÐÐ [u, v] Ð Ø p(u) < 0 < p(v)º Î Ò ÙØÒ ØÔ Ú ÒÖÐØØ ÒØ Ø a = 1 Ú ØÖØ ÔÓÐÝÒÓÑØ p(x) a Ú Ö p(x 0) = 0 Ú Ó Ö Ú p(x0) a = 0µº Î ÖÙÖ Ø x 3 > 0 ÓÖ x > 0 Ó x 3 < 0 ÓÖ x < 0º ØØ Ö ÙØÒ ÔÙÒØØ ÙØ ØÐ ÐÔ Ó ÒÚÒÚÖ Ò Ö ØÖÒ ÐÒ p 0 (x) = p(x) x 3 = bx 2 + cx + d ÓØ Ò Ô ÔÖÓÐÑÖº ÈÓÒØ Ö Ø ÓÖ ØÓÖ ÒÓ x ÓÐÙØØÚÖµ ÐÖ p 0 (x) ÒÖÑ Ø ÙØÝÐ ÓÖÓÐ ØÐ x 3 º ØØ Ò ÐÐÙ ØÖÖ Ú Ô Ø ÑÔÐ Ð q(x) = x 3 5x 2 +10x+40 Ó ÚÐ º N = 1000º ÐÖ q(n) = q(1000) = (1000) 3 5(1000) 2 + 10(1000) + 40 = 995010040 ØØ Ö ÖÐØÚØ ØØ ÚÖØ ÒÖØ (1000) 3 = 1000000000 º Ö Ú Ø ÌÐ ÚÖÒ ÐÖ q(1000) (1000) 3 (1000) 3 0.005 q( N) = ( 1000) 3 5( 1000) 2 + 10( 1000) + 40 = 1005009960 Ê ÙÐØØØ Ö Ò Ø ÐÒ 5x 2 +10x+40 ÖÖ ÚÖØ ÐØ ÓÖÓÐ ØÐ ÐØ x 3 ØØ ØÐÐÐØ ÙØÖ Ö ØÙ ÒÐÖ Ú ØÓØÐ ÙÑÑÒµ Ó Ú Ö Ò Ú Ø ØÒ Ò Ú Ò ÖÓØ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑØ q(x) ÒÖÑÖ ØÑØ Ô ÒØÖÚÐÐØ [ 1000, 1000]µ ÙØÒ ÔÐ ØØ Ð ÐÒÒÒ q(x) = 0º ½ Ø ÖÐÐØ ØÐÐ r R ÚÖ Ò ÖÓØ ÓÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ p Ö ÓÑ p(r) = 0º ½
Ø Ö Ó ÙÐÐØ ÑÙÐ ÙØÐ Ò ÓÖÑÐ ÓÑ ÓÖ ØØ ÓÒ ØÒØÖ b, c, d R Ö Ó N > 0 Ð Ø p(n) > 0 Ó p( N) < 0 ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑØ p(x) = x 3 + bx 2 + cx + dº Î Ñ ÙØÒ ÔÙÒØØ ÖÚ Ø ËÒ N 3 > bn 2 + cn + d bn 2 + cn + d b N 2 + c N + d b N 2 + c N 2 + d N 2 = ( b + c + d )N 2 ÓÐÖ Ö ÓÑ N > 1 ÚÐ Ó ÐÒ ÙÒÖ N 3 > ( b + c + d )N 2 ÐÐÖ Ú ÚÖ Ö Ñ N 2 N > b + c + d º Ë Ú ÚÐ º µ N = b + c + d + 1 Ò Ú ÖÒØÖ Ø p(n) > 0 Ó p( N) < 0º ¾ ½ º ÄÖÓ º ½¹½ µº ÖÙ Ò ÓÖÑÐÐ Ò ÓÒÒ Ú Ò ÖÚÖØ ØÐ ÒÒ Ò Ö¹ ÚÖØ Ú y = 5x 2 x = 1º Ä ÒÒ ÈÖ Ò ÓÒ Ö Ú y (x) h 0 y(x + h) y(x) h y y( 1 + h) y( 1) 5( 1 + h) 2 5( 1) 2 ( 1) 5(( 1) 2 + 2( 1)h + h 2 ) 5( 1) 2 5(h 2 2h) 5h(h 2) 5(h 2) = 10 h 0 µº Î Ø ÔÙÒØØ ( 1, 5) ÐÖ Ô ÖÒ ØÐ y = 5x 2 Ó ÒÒ ÐÒÒÒ ÓÖ ØÒÒØÒ ØÐ y = 5x 2 ØØ ÔÙÒØغ Ä ÒÒ Î Ö Ø y( 1) = 5( 1) 2 = 5 ( 1, 5) ÐÖ Ô ÖÒ ØÐ y = 5x 2 º Î ÒÒÖ Ò ÖÚÖØ ØÐ ÙÒ ÓÒÒ ØØ ÔÙÒØØ Ó ÖÑ ØÒÒ ØÐÐØ ØÐ ØÒÒØÒº Á ØÐÐ ÚØ Ú Ø ØÒÒØÒ Ñ Ô Ö ÒÒÓÑ ÔÙÒØØ ( 1, 5)º Ò ÐÒ Ñ ØÒÒ ØÐÐ m Ö ÐÒÒ y = l(x) = mx + bº Î ÚØ Ø m = 10 Ó Ø l( 1) = m( 1) + b = 5 5 = 10( 1) + b b = 5 ¾
5x 2 5(2x + 1) ¼ ¾¼ ½¼ ¼ ¹½¼ ¹¾¼ ¹ ¹¾º ¹¾ ¹½º ¹½ ¹¼º ¼ ¼º ½ x ÙÖ ½ ÖÒ ØÐ y = f(x) = 5x 2 ÑÑÒ Ñ ØÒÒØÐÒÒ ÔÙÒØØ ( 1, 5) ÓÔÔÚ ½ µº ØÒÒØÐÒÒ ØÐ y = 5x 2 ÔÙÒØØ ( 1, 5) Ö ØØ Ú y = l(x) = 10x 5 = 5(2x + 1) µº ÌÒ ÖÒ ØÐ ÙÒ ÓÒÒ y = 5x 2 Ó ØÒÒØÐÒÒ ÔÙÒØØ ( 1, 5) ÑÑ ÓÓÖÒØ Ý ØѺ Ä ÒÒ Ë ÙÖ ½µº ¾½º ÒÒ ÐÒÒÒ ÓÖ ØÒÒØÐÒÒ ØÐ ÙÖÚÒ y = x ÔÙÒØØ (4, 2)º Ä ÒÒ Î ÒÒÖ Ö Ø ØÒÒ ØÐÐØ Ú Ò ÖÚÖØ ØÐ y = x x = 4º Î ÖÙÖ Ò ÓÒÒ 4 + h 4 y ( 4 + h 2)( 4 + h + 2) (4) ( 4 + h + 2) ( 4 + h) 2 2 2 ) ( 4 + h + 2) (4 + h) 4 ( 4 + h + 2) 1 = 1 h 0 4 + h + 2 4 ÅÖ Ø Ú Ö Ö ÖÙ Ú Ø Ö ÓÒØÒÙÖÐ Ö Ò Ö ÒÖص Ð Ø lim h 0 4 + h = 4 = 2º ØØ ØÝÖ Ø ØÒÒØÐÒÒ Ö ØÒÒ ØÐÐ 1 4 Ó Ô ÖÖ ÒÒÓÑ (4, 2) Ú Ø ÐÒÒ Ö Ô ÓÖÑÒ y = l(x) = x 4 + b Ñ b = 2 4 4 = 1 ÐØ Ö y = l(x) = x 4 + 1 ÐÒÒÒ Ú ÚÖ ÙØ ØØÖº
¾º ÒÒ ÐÒÒÒ ÓÖ ÒÓÖÑÐÐÒÒ ØÐ ÙÖÚÒ y = 2x 2 1 ÔÙÒØØ (1, 1) Ä ÒÒ Î ÒÒÖ Ö Ø ØÒÒ ØÐÐØ ÓÖ ØÒÒØÐÒÒ ØÐ ÙÖÚÒ Ø¹ Ø ÔÙÒØØ ÙØÖ ØØ Ò Ú ÒÒ ØÒÒ ØÐÐØ ÓÖ ÒÓÖÑÐÐÒÒ Ú ÖÙ Ú Ø ÔÖÓÙØØ Ú ØÓ ØÐÐÒ Ð ÚÖ Ð 1 Ó ÙØÖ ØØ ØÑÑ ÐÒÒÒº Î ØÖØÖ Ñ ÒÒ y (1) ÓÑ ÔÖ Ò ÓÒ Ö ØØ Ú y 2(1 + h) 2 1 (2(1) 2 1) (1) 2(1 + 2h + h 2 ) 2 2h(h + 2) 2(h + 2) = 4 h 0 ÖÑ Ñ ØÒÒ ØÐÐØ ÓÖ ÒÓÖÑÐÐÒÒ ÚÖ 1 4 Ú º ÐÒÒ Ö ÓÖ¹ ÑÒ y = N(x) = 1 4x + bº ËÒ N(x) Ð Ô Ö ÒÒÓÑ (1, 1) Ö Ú 1 = N(1) = 1 4 1 + b b = 5 4 ÑÑÒÖ Ö ÓÖØ Ò Ð Ö Ø Ð ØÒ Öµº ¾º ÐÒ ÖÒ ÖÔÖ ÒØÖÖ Ò ÖÚÖØ Ú Ò ÙÒ ÓÒ f ÔÙÒØØ (a, f(a))º ÒÒ f(x)º 2(a + h) 2 2a 2 lim Ä ÒÒ ÇÔÔÚÒ Ö ÚÐ ÐÖ Ô ØØ ÔÙÒØØ ÑÒ Ò Ñ Ø ÓÔÔÐØ ØÓÐÒÒÒ Ö Ø ÖÒ Ò ÓÚÖ ÖÔÖ ÒØÖÖ Ò ÖÚÖØ ØÐ Ò ÙÒ ÓÒ f ÓÖ ÐÐ a R Ó Ú ÓÑ ÒÒ fº ÖÒ Ò Ò ÖÒ ÙØ Ô ÚÒÐ ÑØ 2(a + h) 2 2a 2 2(a 2 + 2ah + h 2 a 2 ) lim 2h(2a + h) 2(2a + h) = 4a h 0 Ú º Ø f (a) = 4a ÓÖ ÐÐ a Rº ÖÑ Ö f(x) = 2x 2 º ½º Ò Ð ÖÖ ÐÒ Ò ÖØØ Úº Ò ÔÓ ÓÒ s Ú Ø t Ö ØØ Ú s(t) = 20t 2, 0 t 2 Ö t Ö ÑÐØ ØÑÖ Ó s(t) Ö ÑÐØ ÐÓÑØÖº µº ÌÒ ÖÒ ØÐ s(t) ÓÖ 0 t 2 Ä ÒÒ Ë ÙÖ ¾µº
¾¼ ¼ 20t 2 40t 40t 20 ¹¾¼ ¼ ¼º ½ ½º ¾ t ÙÖ ¾ ÖÒ ØÐ s(t) = 20t 2 ØÒÒØÒ ÔÙÒØØ (1, 20) Ó ÒØÒ ÒÒÓÑ (0, 0) Ó (2, 80) ÐÐÙ ØÖÖÖ ÒÒÓÑ ÒØØ ØØÒ ÓÚÖ [0, 2]µ ÓÔÔÚ ½µ µº ÒÒ ÒÒÓÑ ÒØØ ØØÒ ØÐ ÐÒ ÓÚÖ ÒØÖÚÐÐØ [0, 2]º ÁÐÐÙ ØÖÖ ØØ Ô ÖÒ Ù ØÒØ ÓÚÖº Ä ÒÒ Î t = 0 Ö ÐÒ ÖØ 20 0 2 = 0 ÐÓÑØÖ Ó Ú t = 2 Ö Ò ÖØ 20 (2) 2 = 80 ÐÓÑØÖº ÐÒ Ö ÖÑ ØÐÐØ 80 Ñ Ô 2 ØÑÖ Ó Ö ÖÓÖ ØØ Ò ÒÒÓÑ ÒØØ ØØ Ô 80km Ѻ 2timer = 40 º ÁÐÐÙ ØÖÖ Ú ÖØØ ÐÒ Ñ ØÒÒ ØÐÐ 40 Ö ØÑ (0, 0) ØÐ (2, 80) Ô ÖÒºµ µº ÖÙ ÐÙÐÙ ÓÖ ÒÒ Ò Ò ØÒØÒ ØØÒ ØÐ ÐÒ Ú t = 1º ÁÐÐÙ ØÖÖ ØØ Ô ÖÒº Ä ÒÒ Ò Ò ØÒØÒ ØØÒ ØÐ ÐÒ Ö ØØ Ú ÖÒ Ò Ú ÒÒÓÑ ÒØØ ØØÒ ØØØ ÓÚÖ ÑÒÖ Ó ÑÒÖ Ø ÒØÖÚÐÐÖ Ñ ÒÖ ÓÖ Ò ÖÚÖØ Ú s(t) Ñ Ò ÝÒ Ô tº ØØ Ò ÖÒ ÙØ s 40(1 + h) 2 40 1 2 40(1 2 + 2h + h 2 ) 40 (1) 40h(h + 2) 40(h + 2) = 80 h 0 º ØÖØ Ò Ñ Ö ÓÒ A + B AB Ö ÓÑ x(t) ØÒÖ ÓÒ ÒØÖ ÓÒ Ú AB Ú Ø t Ö d x(t) d t = k(a x)(b x)
Ö k > 0 Ó a Ó b ØÒÖ ÓÒ ÒØÖ ÓÒÖ Ú A Ó B Ú Ø 0º ÒØ k = 3 a = 7 Ó b = 4º ÓÖ ÚÐ ÚÖÖ Ú x Ö dx dt = 0 ÀÚÓÖÒ ÚÐ Ù ØÓÐ ØØ Ä ÒÒ Ú ÐÒÒÒ Ö Ú Ø dx dt = 0 Ú Ó Ö Ú x = a = 7 ÐÐÖ x = b = 4º ØØ ØÝÖ Ø Ò Ò ØÒØÒ ÒÖÒ ÖØÒ ÓÒ ÒØÖ ÓÒÒ Ú AB Ö ¼ Ú ÓÒ ÒØÖ ÓÒÒ Ö ÓÒ ØÒغ º ÀÚÐ Ú ÐÒ Ô ØÒÖ Ö ÒÒ µ Ö ÓÑ f(x) Ö ÓÒØÒÙÖÐ Ö f(x) ÖÚÖÖº µ Ö ÓÑ f(x) Ö ÖÚÖÖ Ö f(x) ÓÒØÒÙÖк Ä ÒÒ Ö Ô ØÒ µ Ö ÒÒ ÒÒ ÑÔÐ ÓÒÒ Ö ØÓÖÑ ½ ½º È ÑÑ Ö Ø Ó ØØ Ø ÑÔÐ Ô Ø Ø ÑÓØ ØØ ÒÚÒÚ ÐÐØ ÓÐÖ Ú º Ò ÙÒ ÓÒ ÓÑ Ö ÓÒØÒÙÖÐ Ø ÔÙÒØ x«ñò ÖÚÖÖ Öº Ø ÒÒ Ø ÙÒ ÓÒÖ ÓÑ Ö ÓÒØÒÙÖÐ ÓÚÖÐØ Ö Ö ÒÖص ÑÒ ÖÚÖÖ Ø Ò Ø ÔÙÒØ ¾ È ØÓÔÔÒ Ú Ø Ð Ö ØØ Ò ØÝÔ ÓÔÔÖ Ð ÓÑ ÐÐÖ Ø Ò Ú ØÒ ÓÖ ØÒ ÓÒØÒÙÖÐ ÙÒ ÓÒÖ ÙØÚ Ö Ó Ö ÒÓ ÑÒ Ö ÓÐÖØ ÔØÓÐÓ ÑÔÐÖµº º Ë Ö ÖÒ ØÐ Ò ÙÒ ÓÒ ÓÑ Ö ÓÒØÒÙÖÐ ÐÐ ÔÙÒØÖ Ò¹ ÓÒ ÑÒÒ Ó ÖÚÖÖ Ò ÓÒ ÑÒÒ ÓÖØ ØØ Ö ØØ ÔÙÒغ Ä ÒÒ Ò ÑØ Ö ØØ Ô Ö ÐÑ ÑÑÒ ÖÒ ØÐ ØÓ ÓÒع ÒÙÖÐ Ó ÖÚÖÖ ÙÒ ÓÒÖ Ø ÔÙÒØ Ö Ö ÑÑ ÚÖ ÑÒ ÓÖ ÐÐ ÖÚÖØ ÒÓ ÓÑ ÚÐ ÖÒ Ø ÒÔÙÒغ Ò ÑÙÐØ Ö ÐÐÙ ØÖÖØ Ô ÙÖ µ Ö Ú Ö ØÒØ ÖÒ ØÐ ÙÒ ÓÒÒ f(x) = { sin(πx) Ú x < 0.5 3x + 2.5 Ú x >= 0.5 ÄÖÓ º ½ ¹½ º ÖÚÖ ÙÒ ÓÒÒ f(x) = 3 4x 5x 2 Ñ Ò ÝÒ Ô Ò ÙÚÒ ÚÖÐÒ xº Ä ÒÒ f (x) = (3 4x 5x 2 ) = 0 4 5 2x 2 1 = 4 10x ÀÖ Ö Ú ÖÙØ ÐÒÖØØ Ó ÖÐÖ ÓÖ ÖÚ ÓÒ Ú ÔÓØÒ Öº ½½º ÖÚÖ ÙÒ ÓÒÒ f(x) = x 2 sin π 3 +tan π 4 Ñ Ò ÝÒ Ô Ò ÙÚÒ ÚÖÐÒ xº ¾ º ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÏÖ ØÖ ÙÒØÓÒ ÓÖ Ø ÑÔк
½º { Ú sin(πx) x < 1 2 3x + 5 Ú 2 x >= 1 2 f(x) = ½ ¼º ¼ ¹¼º ¹½ ¹½º ¹½ ¹¼º ¼ ¼º ½ ½º x ÙÖ ÃÓÒØÒÙÖÐ ÙÒ ÓÒ ÓÑ Ö ÖÚÖÖ ÓÚÖÐØ ÓÖØ ØØ Ö x = 1 2 ÓÔÔÚ µº Ä ÒÒ f (x) = 2xsin π 3 + 0 = 2xsin π 3 ØØ ÓÖ sin π 3 Ó tan π 4 Ö ÓÒ ØÒØÖ ÙÚÒ Ú xµºµ º ÖÚÖ ( g(n) = rn 2 1 N ) K Ñ Ò ÝÒ Ô N ÙÒÖ ÒØÐ Ò Ø K Ó r Ö ÓÒ ØÒØÖ ÔÓ ØÚ Ó ÓÔÔÐÝ Ö ÐÖÓ ÑÒ Ø Ö ÙÐÐ ØÒ ÖÖÐÚÒصº Ä ÒÒ Î ÖÚÖ ÙØØÖÝØ ÐØØ ÓÑ g(n) = rn 2 r K N3 Ó Ò ÖÚÖØ Ñ Ò ÝÒ Ô N ÐÖ ÖÑ g (N) = 2rN r K 3N2 º ÒÒ Ø ÔÙÒØ Ô ÙÖÚÒ y = 4 x 2 ÓÑ Ö ØÒÒØÐÒ ÔÖÐÐÐÐ Ñ ÐÒÒ y = xº Ö Ø Ö ÒÒ ØØ ÐØ ÔÙÒØ Á ØÐÐÐ ÒÒ ÐÐ ÔÙÒØÒ Ñ ÒÒ Ò ÔÒº Ä ÒÒ ËÒ ÐÒÒ y = x Ö ØÒÒ ØÐÐ 1 Ö Ú Ñ ÒÖ ÓÖ ÙØ ØØÖ ÒÒ x Ð Ø y (x) = 1º Î ÒÒÖ Ö Ø Ø ÙØØÖÝ ÓÖ Ò ÖÚÖØ y (x) = 2x
Ú Ñ ÐØ Ø y (x) = 1 = 2x ÐÐÖ x = 1 2 º ØØ Ö ÓÔÔÐØ Ò Ò Ø Ð ÒÒÒ y (x) 1 Ö Ø Ö ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ x Ó Ö ÖÑ ÙÒ Ò ÖÓØ ØØ Ö Ò ÖØØ ÐÒµµº