Ungleichungen.dvi

ÍÒÐÙÒÒ ÑØ ÓÖ ½º ÄÒÖ ÍÒÐÙÒ ÓÐÐ ÐÒÖ ÍÒÐÙÒ 2x 5 > 0 Ð Ø ÙÒ ÖÔ Ö ØÐÐØ ÛÖÒº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ Ò Ò Ð Ë ÓÐÒ Ò Ä ¾Ü¹¼ Ü Ï ÐÙØØ Ä ÙÒ ÑÒ µ Ò ÒÞÐ ÍÒÐÙÒ 2x 5 > 0 Ò ÙÒ Ö Ò ÐÒ ÒØ Ø Ð Ä ÙÒ Ø Ù Ò ÀÐÒº Ò ÛÐÖ ËØÐÐ ÒØ ÀÐÒ x¹ Ï Ó Ø ÐÒ ÖÒÞÙÒ Ö ÀÐÒ ØÖÐÖØ Ö ØÐÐØ ÀÒÛ ÒÖ ÍÒÐÙÒ Ù 2x 5 0 ËÝÑÓÐ Ò Ø Ù Ò Ö Ò Ù ØÒºµ ¾º ÄÒÖ ÍÒÐÙÒ ÔÔÐص ÏÖ ÛÓÐÐÒ ÒÙÒ Ä ÙÒ ÑÒ Ð ÐÒ ØÖÐ ÙÒ ÒØ Ð ÀÐÒ Ö ØÐÐÒº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ Ò ÒÞÐ ÍÒÐÙÒ 2x 5 > 0 Ò ÙÒ Ö Ò ÐÒ ÒØ Ø ÆÒÒ ÍÒÐÙÒ Ungl ÙÒ ÐÒ ÒÞØ ÀÐÒ Ù µ Ò ÒÞÐ ÓÐÒ Ò A = Schneide[Ungl,Gerade[(1,0),(2,0)]] Ö Ò ÈÙÒØ A ÖÓØ Ò µ ÙÒØÖ Ò Ò ØÒ ÚÓÒ Ungl ËÖÔØÒ ÓÛ ÍÔØ ÓÐÒ Ò ÏÒÒÍÒÐ Ü µµøöù ËØÞÈÙÒØÓÖÑ ¼ ËØÞÈÙÒØÓÖÑ ¾ ÃÐ Ò ÐÒ Ù Çà ÀÒÛ Ö Ð ØÐÐØ Ò ÈÙÒØ A ÒØÛÖ Ð ÃÖ ÓÖ Ð ÊÒ Ö ÒÑ Ó ÊÒ ØÐÐ ÍÒÐÙÒ ÖÐÐØ ÓÖ Òغµ µ Ò ÒÞÐ ÓÐÒÒ Ð Ò ÙÑ Ä ÙÒ ÑÒ Ð ËØÖÐ ÖÞÙ¹ ØÐÐÒ ËØÖÐ ÏÒÒÍÒÐ Ü µ ½µØÖÙ ½ ¼µ ¹ ½ ¼µ ÀÒÛ ÓÔÔÐØ Á ØÐÞÒ Ø Ò ÐÖ ÓÒÖÒ Ö Ò Ö ÁÒ¹ ÓÖÑØ ÖÙÐ ÐÓ ÎÖÐ ÓÔÖØÓÖº ÁÒ Ñ ÐÐ ÛÖ ÔÖØ Ó Ö ÏÖØ Ö ÙÑ Ò ÖÖ Ø Ð ÊÒ ØÐÐ ÍÒÐÙÒ ÖÐÐØ ÓÖ Òغµ ÖÐÙØÖ Û Ö Ð ÑØ ½

ÀÒÛ ÛÒÒ ÒÙÒ ÒÒ ÓÒ Øµ ÒÖ ÍÒÐÙÒ Ù 2x 5 < 0 ÒÒ ÛÖ ÛÖ ÒÐ ÐÖ Òºµ ÖÐÙØÖÙÒ µ Ò Ò Ð Ë ÓÐÒ Ò Ä ÙÒ ÑÒÄ ÍÒÐ µ ÎÖÛÒ ÙÒØÓÒ ÌÜØ Ð Ò ÒÒ ÖÒ Ö ÓÑØÖ¹Ò ØÖ ÙÒ ÓÐÒ Ä̹ÓÖÑÐ Ò \ÖÑßÄ ÙÒ ÑÒÐ Ä ÙÒ ÑÒ Ö Ò Ö ÓÜ ÒÐ ÌÐ Ø ÙÒØÖ ÇØ ÞÙ ÒÒºµ Ö Ò ÌÜØ Ò Ð¹ Ò ÖÓØ Ò ÙÒ ØÐÐ Ò Ò ÒÖ ÑØØÐÖÒ Ö Ö µ ÏÐ ÙÒØÓÒ ÒÐ ÙÒ Ð Ù ÒÒ ÖÒ Ö Ñ ÓÑØÖ¹ Ò ØÖ ÏÐ Ñ ÒÒÒ Ò ØÖ Ð ÖØÙÒ ÍÒÐÙÒ Ò Üµ ÙÒ Ð ÎÖÙÒÒ ÇØ ÛÐ Ungl ÃÐ Ò ÐÒ Ù ÖÒÑÒ ÏÒÒ Ù ÐÐ ÖØ ÑØ Ø ÓÐÐØ Ò ÖÒ ÓÐÒÖ ÐÙÒ ÒÐÒº µ ÒÙÒ Ò ÒÐ ÓÐÒ ÐÒÖ ÍÒÐÙÒ Ò ÙÒ ÞÙÖÒ Ä¹ ÙÒ ÑÒÒ L Ò ¹µ 3x 2 x L = ¹µ 4(x 1) > 6x L = ¹µ 2(x+1) x 0 L = º ÍÒÐÙÒ ØØ ÓÐÐ ÐÒÖ ÍÒÐÙÒ ØØ 2 < 4x 5 5 Ð Ø ÙÒ ÖÔ Ö ØÐÐØ ÛÖÒº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ Ò Ò Ð Ë ÓÐÒ Ò Ä 2 < 4x 5 5 x Ï ÐÙØØ Ä ÙÒ ÑÒ µ Ò ÒÞÐ ÍÒÐÙÒ 2 < 4x 5 5 Ò ÙÒ Ö Ò ÐÒ ÒØ Ø Ð Ä ÙÒ Ø Ù ÒÒ ÙÒÒÐ ÐÒÒ ÞÙÖ x¹ ÒÓÖÑÐÒ ËØÖÒº Ò ÛÐÒ ËØÐÐÒ ÒØ Ö ËØÖÒ x¹ µ ÏÖ ÛÓÐÐÒ ÞÒ Ä ÙÒ ÑÒ Ù Ñ ÙÖ ÒØØ Ö Ä ÙÒ ÑÒ¹ Ò Ö Ò ÍÒÐÙÒÒ 2 < 4x 5 ÙÒ 4x 5 5 Öغ ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ ¾

¹µ ÐÒ Ò ËØÖÒ Ö ÚÓÖÒ ÍÒÐÙÒ ØØ Ù ¹µ Ò ÒÞÐ ÍÒÐÙÒ 2 < 4x 5 Ò ÆÒÒ ÍÒÐÙÒ Ò ÐÒ Ungl1 ÙÒ ÐÒ ÒÞØ ÀÐÒ Ù ¹µ Ò ÒÞÐ ÍÒÐÙÒ 4x 5 5 Ò ÙÒ ÐÒ ÒÞØ ÀÐÒ Ù ÆÒÒ ÍÒÐÙÒ Ò ÐÒ Ungl2 ¹µ Ò ÒÞÐ ÓÐÒÒ Ð Ò Ungl1 Ungl2 ÖÔÖ ÙÖ ÒÐÒÒ Ö Ä ÙÒ Ö ÍÒÐÙÒ ØØ Ó Ò Ê¹ ÙÐØØ ÖÒ ØÑÑÒ µ ÓÐÐ ÔÖØ ÛÖÒ Ó ¾º ÞÛ ¼º ÍÒÐÙÒ ØØ ÖÐÐغ ÞÙUngl(2.5) ÞÛº Ungl(0.75) Ò ÒÞÐ Ò ÏÐÖ ÏÖØ ÖÐÐØ ÍÒÐÙÒ ØØ ÐÙÒ Ò Ü º ÉÙÖØ ÍÒÐÙÒ ÓÐÐ ÙÒØÖ ÒÖÑ ÕÙÖØ ÍÒÐÙÒ x 2 > 2x+1 Ð Ø ÙÒ ÖÔ ÚÖÒ¹ ÙÐØ ÛÖÒº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ ÏÖ Ò ÚÓÖÖ Ø ÐÒ ÙÒ ÖØ ËØ Ð ÙÒØÓÒÒ Ò x Ù ºº ÛÖ ØÖØÒ ÒÖ Ø ÙÒØÓÒ f 1 (x) = x 2 ÙÒ ÒÖÖ Ø ÙÒØÓÒ f 2 (x) = 2x + 1º ÍÒÐÙÒ ÒÒ ÒÙÒ Ó ÙØØ ÛÖÒ Ò x¹ïöø ÙØ Ò Ö ÙÒØÓÒ ÛÖØ f 1 (x) ÖÖ Ð ÚÓÒ f 2 (x) Òº Ò Ö ÖÔÒ ÚÓÒ f 1 ÙÒ f 2 Ò Ò ÙÒ ÙÖÙÒ Ö x¹ãóóöòøò Ö ËÒØØÔÙÒØ Ä ÙÒ ÑÒ Ò Ï ÐÙØØ ÒÖÙÒ Û µ µ ÅÒ ÒÒ Ö ÍÒÐÙÒ Ù Ò ØÐØ x 2 2x 1 > 0 ÙÑÓÖÑÒ ÙÒ ÖÑÐ ÐÒ ËØ Ð Ò ÙÒØÓÒ f Ò ÒØ ÚÓÒ x Ù Òº Ò Ð Ó ÒÙÒ Ò ÏÖØ x ÙØ Ö Ö ÖÔ ÚÓÒ f ÓÖÐ Ö x¹ Ðغ ÍÑ ÈÙÒØ ÞÙ ÒÒ Û ÓÐØ ÚÓÖ ¹µ Ò Ò ÖÔÒ ÚÓÒ f ÙÒ Ò Ò ÑØ Ö x¹ x¹ãóóöòøò Ö ËÒØØÔÙÒØ Ò ÊÒÛÖØ Ö Ä ÙÒ ÒØÖÚÐк ¹µ ÐØÖÒØÚ ÒÒ Ø Ù Ù ÆÙÐÐ ØÐÐÒ ÚÓÒ f ÑØ ÓÐÒÑ Ð ÙÒº ÆÙÐÐ ØÐÐÒ ¹µ ÙÖ ÖÔ Ò ÎÖÒ ÙÐÙÒ ÒÒ Ø Ù ÒÙÒ ÒØ ËØÖÐÒ ÒÞÒÒº ÎÖ ÒØ ÊÒÔÙÒØ ÓÖÖØ ÖÞÙ ØÐÐÒµ ËØÐÐ Ä ÙÒ ÑÒ Ò¹ ÖÙÒ Û µ Ù Ö ÓÐÒÒ ÐÒÖÒ Ö 4 3 2 1 0 1 2 3 4 µ ÒÖ Ö ÙÒÒÙÖ Ø ÛÒÒ ÑÒ ÍÒÐÙÒ xˆ2 > 2x + 1 Ò ÒÞÐ ÒØ ÙÒ Ä ÙÒ ÑÒ ÒÖÙÒ Û ÑØ ÀÐ Ö Ö ØÐÐØÒ ÀÐÒÒ Ð Øº µ ÏÖ Ë ÚÖÛÒÒ ÑØ ÒÒ ÓÐÒ Ò Ò Ð ÒÒ Ä xˆ2 > 2x+1

Ï ÐÙØØ Ò Ñ ÐÐ Ä ÙÒ ÑÒ µ Ù Ö ÓÐÒÒ ÕÙÖØ Ò ÍÒÐÙÒÒ Ä ÙÒ ÑÒ L Ò ¹µ x 2 x+2 L = ¹µ 2x 2 +1 < 0 L = ¹µ (x 1)(x 2) > 2 L = º ØÖ ÙÒÐÙÒ ÓÐÐÒ Ò ØÖ ÙÒÐÙÒÒ Ð Ø ÛÖÒº Ò ØÖ Ø Ù ÒØÛÖ Ò Ö ÓÖÑ ºººµ ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ººº Òº µ x 2 < 3 ÕÙÚÐÒØ ÞÙ 1 < x < 5 ÞÛº ÞÙ 3 < x 2 < 3 Ø ÞÙ Ö Ø ÍÒÐÙÒ Ò Ö ÓÖÑ Ä abs(x 2) < 3 Ò Ë ÃÐ ÒÒ ÒØ ØÒÒ Ä Ø Òµ ÓÛ Ò ÒÖÒ ÍÒÐÙÒÒ Ò ÒÞÐ Ò ÙÒ ÚÖÐ ÚÓÒ ÓÖ ÒÞØÒ ËØÖÒ µ Ä ÍÒÐÙÒ x+2 > 1 ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ ¹µ ÍÒÐÙÒ ÞÙÖ Ø Ò ÒÞÐ Ò ÆÒÒ ÍÒÐÙÒ U1 ¹µ Ò ÐÒ Ò Ò Ð Ë Ò ÓÐÒÒ Ð Ò Ä U 1 Ï ÐÙØØ Ä ÙÒ ÑÒ ¹µ ËØÐÐ Ä ÙÒ ÑÒ Ö ÒÑ Ù ÓÐÒ Ò ÒÞÐ Ò Ø x < 3 x > 1 º ÅØ ÑÒ ÍÒÐÙÒ Ý ØÑ x > 2 x > 3 Ð Ò ÒÒ ÑÙ Ø Ù ÓÐÒ Ò Ò Ð Ë ÒÒ Ä (x) > 2 x < 3 Ï ÐÙØØ Ä ÙÒ ÑÒ ÙÖ Ö ØÐÐÙÒ Ö Ä ÙÒ ÑÒ Ø Ù ÓÐÒ Ò ÒÞÐ Ò (x < 2 x > 2) x < 3 µ ÖÐ Ö ÑØ ÛÐÑ Ð ÑÒ ÓÐÒ Ð Ä ÙÒ ÑÒ L = ( 4; 3) ( 2; 1) (1;2) (3;4)µ Ò ÓÖ ÖÐØÒ ÒÒØ ÀÒÛ ÎÖÛÒ ÙÒ º Ø ÛØÖ ÑÒ Þº º x < 1 Ð 1 < x x < 1 ÖÒ ÑÙ ºµ

º ÄÒÖ ÍÒÐÙÒ Ò ÞÛ ÎÖÐÒ ÓÐÐ Ä ÙÒ ÑÒ Ö ÍÒÐÙÒ y > 2x + 3 ÖÔ Ö ØÐÐØ ÛÖÒº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ ÙÖ Ø ØÐÐÒ ÛÖ ÓÐÒ ÖÐÙÒ Ò ÐÙÒ y = 2x+3 ÖØ ÐÐ Ò ÐÒÔÖ (x;y) Ù ÒÖ ÖÒ ÐÒº ÍÒÐÙÒ y > 2x+3 ÖØ ÓÑØ ÐÐ Ò ÐÒÔÖ(x;y) ÓÖÐ Ö ÖÒ Ð Ó Ù ÒÖ ÀÐÒ ÙÖ Ö ÖÒÞØ Ø ÐÒº ¹µ ÒÙÒ ÍÒÐÙÒ y > 2x+3 Ò ÒÞÐ Ò ÆÒÒ ÍÒÐÙÒ U ¹µ ÅØ ÑÒ Û Ò Ó Þº º ÐÒÔÖ ( 2;4) ÍÒÐÙÒ ÖÐÐØ Ó ÒÒ ÑÒ U( 2,4) Ò ÒÞÐ ÒÒº ÖÐÐØ ÐÒÔÖ ÍÒ¹ ÐÙÒ ÖÔ ÒÒ ÑÒ ÒÒ ÈÙÒØ P 1 = ( 2,4) ÖÒÒÒº ÏÓ ÐØ Ö ÈÙÒØ Þк Ö ÖÒÞÙÒ ÖÒ µ ÅÒ ÒÒ Ä ÙÒ ÑÒ Ù ÒÖ ÚÖÒ ÙÐØ ÒÒº ÞÙ ÓÐÒ ÖÐÙÒ ÍÒÐÙÒ y > 2x+3 Ø ÕÙÚÐÒØ ÞÙ y 2x 3 > 0º ÆÒÒÒ ÛÖ ÐÒ ËØ Ö ÍÒÐÙÒ z Ó ÐØ z = y 2x 3º Ø Ö ÐÙÒ ÒÖ Ò Ò ÒÑ xyz¹ãóóöòøò Ý Øѵº z = y 2x 3 > 0 ÙØØ ÒÙÒ ÒÙÖ ÒÖ ÌÐ Ö Ò ÞÙ ØÖØÒ Ø Ö ÓÖÐ Ö xy¹ò Ðغ ¹µ ÒÙÒ ÙÒØÓÒ f(x,y) = 2x+y 3 Ò ÒÞÐ Ò ØÖØ Ê ÙÐØØ Ñ ¹Ò ØÖ ¹µ ÐÒ Ò ÒÙÒ Ù ÓÐÐ ÒÓ ËÒØØÖ Ö Ò ÑØ Ö xy¹ò Ö ØÐÐØ ÛÖÒº ÞÙ ÒÒ ÑÒ ÒØ ÙÖ ÙÒØÓÒ ¹ ÖÒ Ò ÚÖÛÒÒ ÓÒÖÒ ÑÒ ÑÙ Ò ÙÒ Ð Ò Û ÓÐØ ÓÒ ØÖÙÖÒ Ò ½ ¼ ½ ¼µµ ¼ ½ ¼ ½µµ ¾ ¼ ¾ ¼µµ ÆÒÒ Ò ǫ ËÒ ǫ ÒÙÒ ÑØ Ö xy¹ò ÑØ ÀÐ ÓÐÒÒ Ð ËÒǫ ÜÝÒ ÆÒÒ Ö g Ö g ÓÐÐØ ÑØ Ö ÖÒÞÙÒ ÖÒ y = 2x+3 ÚÓÒ ÓÒ ÖÒ ØÑÑÒº ÖÔÖ Ñ ÓÑØÖ¹Ò ØÖ ¹µ ÍÑ ØÞÙ ØÐÐÒ Ó ÐÒÔÖ (1;2) ÍÒÐÙÒ ÖÐÐØ ÒÒ Ø Ù Óй Ò Ò ÒÞÐ ÒÒ f(1,2) > 0º ÖÐÐØ ÐÒÔÖ ÍÒй ÙÒ ÖÔ ÒÒ ÑÒ ÒÒ ÈÙÒØ P 2 = (1,2,f(1,2)) ÖÒÒÒº ÏÓ ÐØ Ö ÈÙÒØ Þк Ö xy¹ò

º ÇÔØÑÖÙÒ Ù ÁÒ ÒÑ ØÖ ÛÖÒ Ù Ö Å ÒÒ M 1 M 2 ÙÒ M 3 ØÒØÐ Ö ÞÛ ÖØÔÖÓ¹ ÙØ A ÙÒ B Ö ØÐÐغ ÁÒ Ö Ò ØÒÒ ÌÐÐ Ø ÒÒ Û ÚÐ ËØÙÒÒ Ö Å ÒÒ Ö ÀÖ ØÐÐÙÒ ÚÓÒ ÌÐÒ Ò Ò ÖØÔÖÓÙØ Ò ØÞØ ÛÖÒ ÑÙ Û ÚÐ ËØÙÒÒ ÏÓ ÒÞÐÒÒ Å ÒÒ ÞÙÖ ÎÖÙÒ ØÒ ÙÒ Û ÚÐ ÙÖÓ Ö ÛÒÒ Ñ ÎÖÙ Ò Ò ÖØÔÖÓÙØ ØÖغ ÖØ ØÙÒÒ Ö ÖØÔÖÓÙØ ÑØÞÐ Ö Å Ò A B ÖØ ØÙÒÒ ÏÓ M 1 ½ ¼ M 2 ½ ½ ½ M 3 ¾ ½ ¾ ÛÒÒ ¾¼¼ ¼¼ Ï ÚÐ ËØ x ÖØÔÖÓÙØ A ÙÒ Û ÚÐ ËØ y ÖØÔÖÓÙØ B Ñ Ò Ö ØÐÐØ ÛÖÒ ÑØ Ö ÖÞÐØ ÛÒÒ ÑÐ Ø ÖÓ Ø ÓÐÒ ÐÙÒ ÓÐÐØ Ø Ù Ò ÒÐÖ Ï Ñ Ù ÔÐ ÖÔÖÓÙÞÖÒ ÞÙÖ Ä ÙÒ Ö Ö ØÐÐÙÒ Û ÓÐØ µ ÍÒÐÙÒÒ x+3y 30 x+y 14 2x+y 24 ÓÛ x 0 y 0 ËØÞÐÒ Ñ Ò ÔÓ ØÚ ÓÖ ÒÙÐÐ Òºµ Ò ÒÞÐ Û ÓÐØ Ò x+3y 30 x+y 14 2x+y 24 x 0 y 0 µ Ò ÛÒÒ z ÒÒÒ ÛÖ ÙÒ Ñ Ö ÐÙÒ z = 200x + 300y Ð Ò Ò ÚÓÖ ØÐÐÒº Ë ÒØ xy¹ò Ò Ö ÙÖ ÐÙÒ 200x + 300y = 0 y = 2x/3µ ÒÒ ÖÒ gº Ò g Ò ÒÑ Ù y = 2x/3 Ò ÒÞÐ Ò Ø µ ÛÒÒÒ ØØ ÚÓÒ Ö ÖÒ g Ù ÑÓÒÓØÓÒ Ö Ñ ÙÖ ÍÒ¹ ÐÙÒÒ ÖÒÞØÒ Ø Òº Ö ÛÒÒ Ø Ð Ó ÒÑ ËØÞÐÔÖ (x;y)

ÑÜÑÐ Ñ Ö ÞÙÖ ÈÙÒØ Ñ ÛØ ØÒ ÚÓÒ Ö ÖÒ g ÆÓÖÑй ØÒµ Ñ ÙÖ ÍÒÐÙÒÒ ÖÒÞØÒ Ø ÒØÖÒØ Ðغ ÏÖ ÛÓÐÐÒ Ò ÈÙÒØ Û ÓÐØ ÒÒ ¹µ ÎÖÛÒ ÙÒØÓÒ ÈÙÒØ Ù ÇØ ÙÒ Ð ÙÖ ÍÒÐÙÒÒ ÖÒÞØ Ø Ò ÆÒÒ Ò ÈÙÒØ P ¹µ Ò Ò ÆÓÖÑÐ Ù Ö g ËÒ Ò ÐÒ ÑØ g ÙÒ ÚÖÒ Ò ËÒØØÔÙÒØ ÑØ P ÙÖ Ò ËØÖ ÐÒ Ò ÐÒ ÆÓÖÑÐ ÙÒ Ò ËÒØØÔÙÒØ Ù ¹µ ÎÖ ÒÙÒ P ÙÒ Ù Ò ÖØÒ ØÒ ÚÓÒ P ÞÙ g ÑØ ÒÞÞÐÒ ÃÓÓÖÒØÒ ÚÓÒ P º ÃÓÓÖÒØÒ Ò ÙØÒ ËØÞÐÒ ÒÒ Ö ÛÒÒ ÑÜÑРغ Ï ÐÙØÒ ËØÞÐÒ º ÆØÐÒÖ ÍÒÐÙÒ Ò ÞÛ ÎÖÐÒ ÒÒÒ Ù Ò ÒØÐÒÖ ÍÒÐÙÒÒ ÑØ ÓÖ Ð Ø ÛÖÒº ÏÖ ÛÓÐÐÒ ÙÒ Ò Ñ ÐÐ Ä ÙÒ ÑÒ Ö ÍÒÐÙÒ x 2 +y 2 > 2 Ò Òº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ Ò ÒÞÐ ÍÒÐÙÒ x 2 + y 2 > 2 Ò ÆÒÒ ÍÒÐÙÒ U Ï Ø ÅÒ ÐÐ ÒÖ ÐÒÔÖ (x;y) ÖÔ Ù ÍÒÐÙÒ ÖÐÐØ µ Ï Ñ ÚÓÖÐØÞØÒ ÔÐ ÛÓÐÐÒ ÛÖ Ù Ö ÛÖ Ò ØÖØÙÒ Ñ ÊÙÑ ÖÒÞÒº ÒÐÓ ÞÙ ÓÒµ z = x 2 + y 2 2º ÐÙÒ z = x 2 + y 2 2 ÖØ Ö ÒÙÒ Ò Ò ÑÖ ÓÒÖÒ Ò ÖÔÖÓÐÓº ÍÒÐÙÒ z = x 2 +y 2 2 > 0 ÖØ ÐÐ Ò ÐÒÔÖ (x;y) Ö ÈÙÒØ Ù Ñ ÖÔÖÓÐÓ ÓÖÐ Ö xy¹ò ÐÒº ËÙÒ ÛÖ ÙÒ Ò ¹µ ÐÒ ÍÒÐÙÒ Ù Ò ¹Ò ØÖ ÙÒ ÓÐÒ Ò Ò¹ ÞÐ Ò ÙÑ ÖÔÖÓÐÓ ÞÙ ÞÒÒ f(x,y) = xˆ2+yˆ2 2 ¹µ Ò Ò Ð Ë ÓÐÒ Ò ÙÑ Ò ËÒØØ ÖÔÖÓÐÓ ÑØ Ö xy¹ò ÞÙ ÖÐØÒ Ä f = 0,{x,y} ËÒØØÙÖ ÓÐÐØ ÑØ Ö ÖÒÞÙÒ ÐÒ Ö Ä ÙÒ ÑÒ Ö ÍÒй ÙÒ Ñ ÓÑØÖ¹Ò ØÖ ÖÒ ØÑÑÒº ÖÔÖ ÒÑ Ù ÍÒй ÙÒ ÛÖ ÒÐÒ Ø µ Ö Ð ÈÙÒØ Ù Ö Ä ÙÒ ÑÒ ØØ ÍÒÐÙÒ U ÞÛº f > 0 ÖÐÐØ Ø ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ ¹µ ÎÖÛÒ ÙÒØÓÒ ÈÙÒØ Ù ÇØ ÙÒ Ð Ñ ÓÑØÖ¹Ò ØÖ ÒÞØ Ä ÙÒ ÑÒ Ò ÆÒÒ Ò ÖÞÙØÒ ÈÙÒØ P ¹µ Ò ÒÞÐ ÓÐÒÒ Ð Ò GlchErfuellt1 : U(x(P),y(P)) ÙÒ ÖÔÖ Ó ØØ GlchErfuellt 1 = true ÒÞØ ÛÖ

¹µ Ò ÒÞÐ ÓÐÒÒ Ð Ò GlchErfuellt2 : f(x(p),y(p)) > 0 ÙÒ ÖÔÖ Ó ØØ GlchErfuellt 2 = true ÒÞØ ÛÖ µ ÑÓÒ ØÖÖ ÛØÖ ÞÙ Ñ ÈÙÒØ P = (x,y) Ö Ä ÙÒ ÑÒ Ö ÈÙÒØ P = (x,y,f(x,y)) Ù Ñ ÖÔÖÓÐÓ Ðغ ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ ¹µ Ò ÒÞÐ Ò ÈÙÒØ P Ò P = (x(p),y(p),f(x(p),y(p))) ¹µ Ò ËØÖ PP Ò ÙÒ ÚÖ P Ñ ÓÑØÖ¹Ò ØÖ ËÓ ÒÒØ Ò ÖØ ÒÙÒ Ù Òº