ÒÓØ ÓÒ Ø ÐÙÐØÓÒ Ó ÖÖØ ÙÐÖ ÒÐ ÖÓÑ ÕÙØÖÒÓÒ ÒÐÙÒ ØÙØÓÒ Ó ÑÐ ÐÓ Ó ØÒÓ ÅÖÓ ÆÇÌÁ Ì ØÖ ØÜØÓÓ Ý ËØÚÒ ² ÄÛ ½ Ý ÈÐÐÔ Ò Ý ÅÒ Ð ÔÐÐÝ Ø ÐØØÖ ØÛÓ Ö ÜÐÐÒØ ÓÙÖ Ó ØÐ ÓÒ Ø ÕÙØÖÒÓÒ ÓÖÑÙÐØÓÒ ÔÔÐ ØÓ ÖÖØ ÕÙØÓÒ Ó ÑÓØÓÒº Ì ÒØÓÒ Ó ÕÙØÖÒÓÒ ÚÒ Ò ØÓ ÓÓ ºº Ø ÓÒÚÒØÓÒ ÓÒ Ø ÕÙÒ Ó ÕÙØÖÒÓÒ Ò ÓÛ ØÝ Ö ÖÐØ ØÓ ÖÖØ ÙÐÖ ÒÐ ÓÒ ÛØ ØØ ÓÔØ Ò ÂËËÑ Ø ÝÒÑ ÑÓк ½ ÓÖÑÙÐ Ì Ò ÓÖ ÕÙØÖÒÓÒ ÓÖÑÙÐØÓÒ Ò Ø ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ó ÖÖØ ÓÖÒØØÓÒ Ö ÖÓÑ Ø ÔÖØÙÐÖ ÓÖÑ Ó Ø ÓÐÐÓÛÒ ÒÑØ ÕÙØÓÒ p = 1 0 sin 0 cos sin cos ½µ r 0 sin coscos sin sin cossin 1 cos cos = p 0 cos sin ¾µ sin cos r 0 cos cos ÕÙØÓÒ ¾µ Ø ÒÚÖ Ó ½µ Ò Ú Ø ÖØ Ó Ò Ó Ø ÙÖÖÒØ ÖÖØ ÙÐÖ ÒÐ Ò ÓÒ Ø ÖÓØØÓÒÐ ÖØ p Ò r Ö ÒÓÛÒº Ì ÐØØÖ Ö Ø ÓÑÔÓÒÒØ Ó ÖÔÐÒ Ò ØÒØÒÓÙ ÒÙÐÖ ÖÓØØÓÒ ÚØÓÖ Ò Ø ØÒÖ ÓÝ¹Ü ÖÖÒ ÖѺ Ì ÑØÖÜ Ò Ø ÖØ¹Ò Ó ÕÙØÓÒ ¾µ ÓÑ ÒÙÐÖ ÛÒ Ø ÐÚØÓÒ ÒÐ ÔÔÖÓ 90 Ö Ò Ø ØÖÑÒØÓÒ Ó ÖÖØ ÓÖÒØØÓÒ Ò Ù ÕÙÒØ Ò ØÒØ Ò ÔÐ ØÖØÑÒغ ÁÒ ÑÓÖÒ Ø ÑÙÐØÓÒ ÔÖØ Ø ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ó Ø ÖÔÐÒ³ ÖÓØØÓÒÐ Ö Ó ÖÓÑ Ý Ø ÙÐÖ ÒÐ Ò Ø ÖÐØ ÒÑØ ÓÖÑÙÐØÓÒ Ò Ù Ý Ø ÔÔÖÓ ÓÒ ÕÙØÖÒÓÒ Ò ÕÙØÖÒÓÒ ÐÖº ÏÒ Ø Ø Ø ÓÙÖ ÕÙØÖÒÓÒ Ö ÒÓØ (e 0, e x, e y, e z ) Ö ÖÐØ ØÓ Ø ÙÐÖ ÒÐ Ý Ø ÒØÓÒ cos e cos cos + sin sin sin 0 e x sin cos cos cos sin sin = e y cos sin cos + sin cos sin µ e z cos cos sin sin sin cos Ì ÒÚÖ Ó ÕÙØÓÒ µ Ø ÓÐÐÓÛÒ [ ØÒ¾ ( ) ( e 0 e x + e y e z, e 0 e x e y + ) ] e z = Ò [ ( ) ] e 0 e y e x e z [ ØÒ¾ ( ) ( e 0 e z + e x e y, e 0 + e x e y ) ] e z µ ÕÙØÓÒ µ ÓÚ ÚÒ Ý ÈÐÐÔ Ò ÐÐÓÛ ØÓ ÖÓÒ ØÖÙØ Ø ÚÐÙ Ó ÙÐÖ ÒÐ ÚÒ Ø ÕÙØÖÒÓÒ º Ì ÙÒØÓÒ ØÒ¾(, ) Ò µ ØÛÓ¹ÖÙÑÒØ ÖØÒÒØ ØØ ÖØÙÖÒ Ö ÙÐØ Ò Ø ÔÖÓÔÖ ÕÙÖÒØ Ù Ø ØÒ¾ ÒØÖÒ ÔÖÓÚ Ò ÓÖØÖÒ ÓÖ º ØÛÓ ÖÙÑÒØ ÙÒØÓÒ ÒÓØ Ò ÓÖ Ø ÐÚØÓÒ ÒÐ Ù Ø Ò ÓÒÐÝ Ò Ø ÖÒ ÖÓÑ π ØÓ π º ÆÓØ ØØ Ø ÕÙØÖÒÓÒ Ù Ò Ø ÓÒØÜØ Ð Ó ÒÓÛÒ ÙÐÖ¹ÊÓÖÙ ÕÙØÖÒÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÞ Ò Ý ÒØÓÒ e 0 + e x + e y + e z = 1 µ ½
Ò ØØ ÓÒ Ò Ò ÖÒØ ÕÙÚÐÒØ ÒØÓÒ ÓÖ ÜÑÔе [ ( )] e0 e x + e y e z ÖØÒ 1 ( e x + ) e y = Ö Ò [ ( ) ] e 0 e y e x e z [ ( )] e0 e z + e x e y ÖØÒ 1 ( e y + ) e z µ Ì ÓÖÑÙÐ µ Ò µ Ö ÚÐ ÓÖ ÙÐÖ ÒÐ ØÖ ØØ Ó ÒÓØ ÒÙÖ Ò Ø ÛÐÐ ÒÓÛÒ ÒÙÐÖØÝ ÐÐ ÑÐ ÐÓ ÛÒ = ± π ÙÖ µº ÇÒ ÑÙ Ø ÛÖ Ó ÒÙÐÖØ Ò Ø ÙÐÖ ÒÐ ÔÖÑØÖÞØÓÒ ÛÒ Ø ÐÚØÓÒ ÔÔÖÓ Ø ÆÓÖØ ÓÖ Ø ËÓÙØ ÔÓк Ì ÑÙ Ø ÒÐ ÔÐÐÝ º Á ÓÒ Ù ØØÙØ Ò µ π ÓÖ Ò 0 ÓÖ Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ø ÕÙÖÙÔÐØ (0.7071,0,0.7071,0)º ÐØÓÙ Ø ÓÙÐ ÒÓØ ÑÒ ØØ ÙÐÖ ÒÐ Ö (0, π, 0) Ø Ö ÙÐØÒ ÕÙÖÙÔÐØ ÔÖØÐÝ ÐÐ ÕÙØÖÒÓÒº Í Ò Ø ÕÙØÖÒÓÒ ÓÑÔÓÒÒØ Ò ÕÙØÓÒ µ Ú = ØÒ¾(0.0,0.0) Ò( 1.0) ØÒ¾(0.0,0.0) Ì ÖØÙÖÒ Ò ÐÚØÓÒ Ó 90 Ö º ÀÓÛÚÖ ÓØ Ø Ò ÒÐ Ò Ø Ò Ö ÒØÖÑÒغ Ì Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ø Ø ØØ ÛÒ Ø ÐÚØÓÒ ÒÐ ÜØÐÝ ±90 Ö Ø ÖÑÒÒ ØÛÓ ÙÐÖ ÒÐ Ö ÒÓØ ÙÒÕÙ ÓÙÔк Ì ÐÝ ÚÖ ÓÒ Ù ØØÙØ Ò µ Ò π π ÓÖ Ò Ø ØÑ 4 ÓÖ Ò π 4 ÓÖ º Ì Ö ÙÐØ Ò Ø Ñ ÕÙØÖÒÓÒ (0.7071,0,0.7071,0)º ÏÒ Ø ÐÚØÓÒ ÒÐ ÜØÐÝ ±90 Ö Ø Ò ÒÐ ÓÑÔÐØÐÝ ÖØÖÖÝ Ù Ø ÓÖ¹ ÒØØÓÒ Ó Ø ÖÖØ x¹óý Ü ÙÐÐÝ Ô Ý Ø ÐÚØÓÒ ÒÐ ÐÓÒº ËÔÝÒ Ò ÛØ ±90¹Ö ÐÚØÓÒ ÒÐ Ð ÔÝÒ Ø ÐÓÒØÙ Ø Ø ÆÓÖØ ÓÖ Ø Ø ËÓÙØ ÔÓÐ ÓÒ Ø Öس ÙÖ º ÏÒ Ø ÐØØÙ ±90 Ö ØÖ ÒÓ Ò ØÓ ÔÝ Ø ÐÓÒØÙ Ù Ó Ø ØÛÓ ÐØØÙ ÐÓÒ ÙÒÕÙÐÝ Ö ÔÓÒØ ÓÒ Ø ÙÖ Ó Ø Öغ ÌÙ ÐÓÒØÙ ÖØÖÖÝ ÓÖ ÐØØÙ Ó ±90 Ö º Ù Ó ÑÐ ÐÓ Ø ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÚÒ Ý ÕÙØÓÒ µ ÒÒÓØ Ù ÓÖ ÖØÖÖÝ ÙÐÖ¹ÊÓÖÙ ÕÙØÖÒÓÒº ÏÒÚÖ Ø ÙÐÖ ÐÚØÓÒ ÒÐ Ô ØÖÓÙ ±90 Ö Ø ÙÐÖ Ò Ò Ò ÒÐ ÛÐÐ ÙÒÖÓ ØÔ Ò Ó 180 Ö º ÙÖØÖÑÓÖ Ø Ò ÐÚØÓÒ ÒÐ ÜØÐÝ ±90 Ö Ø Ò ÒÐ ÖØÖÖÝ Ò Ø Ò ÒÐ Ò ÓÒÐÝ ÜÔÖ ÙÒØÓÒ Ó Ø ÖØÖÖÝ Òº ÖÓÑ ÕÙØÓÒ µ Ø ÙÐÖ¹ÊÓÖÙ ÕÙØÖÒÓÒ Ø ÑÐ ÐÓ ÓÙÒ ØÓ cos e cos ± sin sin ( cos ) 0 e x π sin cos cos sin ( π sin ) = cos e y 4 ± cos cos + sin sin = cos ( 4 ± cos ), ÓÖ = ± π µ e z cos sin sin cos ( sin ) Í Ò Ø Ö ÙÐØ Ø ÙÐÖ ÒÐ Ø ÑÐ ÐÓ Ò ÓÙÒ ÖÓÑ Ø ÙÐÖ¹ÊÓÖÙ ÕÙØÖÒÓÒ Ø ÑÐ ÐÓ ÓÖÒ ØÓ Ø ÖÐØÓÒ ( ) e x Ò ± cos(π/4) = ± π µ ÖØÖÖÝ ÓÑÒÒ ÕÙØÓÒ µ Ò µ ÒÖÐÞ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÓÑÔÙØÒ Ø ÙÐÖ ÒÐ ÖÓÑ Ø ÓÑÔÓÒÒØ Ó Ò ÖØÖÖÝ ÙÐÖ¹ÊÓÖÙ ÕÙØÖÒÓÒ Ò ÛÖØØÒ ÓÐÐÓÛ µ ¾
(e 0 e y e x e z ) = 0.5 ØÒ ( Ò = e x cos(π/4) + π ÖØÖÖÝ Ð (e 0 e y e x e z ) = 0.5 ØÒ ( e x Ò cos(π/4) = π Ð = ÖØÖÖÝ ) + ) [ ØÒ¾ ( ) ( e 0 e x + e y e z, e 0 e x e y + e z [ ( ) ] e 0 e y e x e z Ò [ ØÒ¾ ( ) ( e 0 e z + e x e y, e 0 + e x e y e z Ò ËÒ Ø Ò Ø ÑÐ ÐÓ ÖØÖÖÝ ÒÝ ÓÒÚÒÒØ ÚÐÙ ÑÝ ÙÑ ÓÖ ÜÑÔÐ 0º ÁÒ ÂËËÑ Û Ú Ø ÓÐÐÓÛÒ ÕÙÚÐÒØ ÐÓÖØÑ ) ] ) ] ½ ÚÓ ÉÙØÖÒÓÒ Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ú Í Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð ÚÓ µ ÓÒ Ø ¾ ß»» ººº»» ÆÓÛ ÓÑÔÙØ Ø ØÖÒ ÓÖÑØ Ó Ò ÑØÖÜ º ÓÙÐ Õ½Õ½ Õ½ Õ½ ÓÙÐ Õ¾Õ¾ Õ¾ Õ¾ ÓÙÐ Õ Õ Õ Õ ÓÙÐ ÕÕ Õ Õ ÓÙÐ Õ½Õ¾ Õ½ Õ¾ ½¼ ÓÙÐ Õ½Õ Õ½ Õ ½½ ÓÙÐ Õ½Õ Õ½ Õ ½¾ ÓÙÐ Õ¾Õ Õ¾ Õ ½ ÓÙÐ Õ¾Õ Õ¾ Õ ½ ÓÙÐ Õ Õ Õ Õ ½ ½ ÑÌ ½ ½µ Õ½Õ½ Õ¾Õ¾ ¹ Õ Õ ¹ ÕÕ ½ ÑÌ ½ ¾µ ¾º¼ Õ¾Õ Õ½Õ µ ½ ÑÌ ½ µ ¾º¼ Õ¾Õ ¹ Õ½Õ µ ½ ÑÌ ¾ ½µ ¾º¼ Õ¾Õ ¹ Õ½Õ µ ¾¼ ÑÌ ¾ ¾µ Õ½Õ½ ¹ Õ¾Õ¾ Õ Õ ¹ ÕÕ ¾½ ÑÌ ¾ µ ¾º¼ Õ Õ Õ½Õ¾ µ ¾¾ ÑÌ ½µ ¾º¼ Õ¾Õ Õ½Õ µ ¾ ÑÌ ¾µ ¾º¼ Õ Õ ¹ Õ½Õ¾ µ ¾ ÑÌ µ Õ½Õ½ ¹ Õ¾Õ¾ ¹ Õ Õ ÕÕ ¾»» ËÒ Ø Ò ÓÖØÓÓÒÐ ÑØÖÜ Ø ÒÚÖ ÑÔÐÝ ¾»» Ø ØÖÒ ÔÓ º ¾ ÑÌÁÒÚ ÑÌ ¾ ÑÌÁÒÚ º Ì µ ¾ ¼»» ÓÑÔÙØ Ø ÙÐÖ ¹ ÒÐ ½ ÑÌ µ ¼º¼µ ¾ ÑÙÐÖÒÐ È µ ¼º ÅÈÁ Ð ÑÙÐÖÒÐ È µ ØÒ¾ ÑÌ ¾ µ ÑÌ µµ
ÑÌ ½ µ ¹½º¼µ ÑÙÐÖÒÐ ÌØ µ ¼º ÅÈÁ Ð ½º¼ ÑÌ ½ µµ ÑÙÐÖÒÐ ÌØ µ ¹¼º ÅÈÁ ¼ Ð ½ ÑÙÐÖÒÐ ÌØ µ Ò ¹ ÑÌ ½ µµ ¾ ÑÌ ½ ½µ ¼º¼µ ÑÙÐÖÒÐ È µ ¼º ÅÈÁ Ð ß ÓÙÐ Ô ØÒ¾ ÑÌ ½ ¾µ ÑÌ ½ ½µµ Ô ¼º¼µ Ô ¾ ÅÈÁ ÑÙÐÖÒÐ È µ Ô ¼ Ð ½»» ººº ¾ Ð ÖÓÑ Ø ÓÚ Ù ÓÒ ÓÒ ÓÙÐ ÒÓØ ØØ Ø ÑÐ ÐÓ ÒÓØÖ ÓÒÚÒØÓÒ ÑÝ Ð Ó ÔØÐ ØØ ÓÒ ÖÒ Ø Ò ÒÐ Ø ÖØÖÖÝ ÕÙÒØØÝ ØÓ Ó Ò Ò ÓÑ ÛÝ ÓØÒÒ ÓÒ ÕÙÒØÐݺ ¾ ÜÑÔÐ Ó ÕÙØÖÒÓÒ Øѹ ØÓÖ ÓÐÐÓÛÒ Ø ÓÓ Ý ÅÒ Ð ÓÑ ÜÑÔÐ Ö ÖÔÓÖØ ÒÜØ ØØ ÐÖÝ Ø ÔÔÒ ÚÓÙÖ Ó ÙÐÖ ÒÐ º Ì Ö Ø ÜÑÔÐ ÚÖÝ ÑÔÐ ËÙÔÔÓ ØÓ Ò Ø ÒØÐ ÓÖÒØØÓÒ = = = 0 ÙÔÔÓ ØÓ Ò Ø ÖÓØØÓÒÐ ÑÓØÓÒ (t) = 0 = 1.0 p(t) = r(t) = 0 Ò ÔÙÐйÙÔµ Ò ÒØÖØ Ø ÕÙØÖÒÓÒ ÙÔØ ÕÙØÓÒ ė 0 ė x ė y ė z = 1 0 p r p 0 r r 0 p r p 0 Ò ÚÒ ØÑ ÒØÖÚÐ Ý [0, t Ò ]º ÏÒ Ø ÕÙØÖÒÓÒ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÙÐÖ ÒÐ Ö ÔÐÓØØ ÚÖ Ù ØÑ ÓÒ ØØ ÓÚÓÙ ÐÝ Ø ÓÙÖ ÕÙØÖÒÓÒ ÓÑÔÓÒÒØ ÚÖÝ ÖÙÐÖÐÝ Ò Ö ÐÐ ÐÓÛÖ ØØ ÙÒØÝ Ø ÐÚØÓÒ ÚÖ ÐÒÖÐÝ ÖÓÑ 0 ØÓ 90 Ö ÑÒÛÐ Ò Ò Ò Ö ÓÒ ØÒØÐÝ ÞÖÓ ÓÓÒ Ö 90 Ö ÓØ Ò Ô ØÓ 180 Ø Ø ÔÓÒØ Ö ÐÒÖÐÝ ÖÓÑ 90 Ö ØÓ ÞÖÓ Ò ØÒ ØÓ 90 Ö Ø ÒÐ Ò ÖÑÒÒ ÓÒ ØÒØÐÝ Ø 180 Ö Ò ÓÔÔÓ Ø ØÔ Ò Ó Ò ÖÓÑ 180 ØÓ ÞÖÓ ÓÙÖ ÛÒ Ö 90 Ö ØÖ Ø ÔÓÒØ Ø Ò Ò Ò ÒÐ Ô Ò ÞÖÓ Ò Ø ÐÚØÓÒ ÒÖ ÐÒÖÐÝ ÙÒØÐ ÞÖÓ ÛÒ Ø ÐÓÓÔÒ ÔØ ÓÑÔÐغ Ì Ô ÚÓÖ Ò Ò ÔÖØÐÝ ÒØÙÖÐ Ò ÓÛÒ Ò ÙÖ ½º ÌÑ ÚÖØÓÒ Ó ÕÙØÖÒÓÒ ÓÑÔÓÒÒØ Ò Ó ÙÐÖ ÒÐ ÓÖ Ø ÜÑÔÐ Ö ÖÔÓÖØ Ò ÙÖ ¾º Ì Ö ÙÐØ ÛÖ ÓØÒ ÛØ Ø ÑÔÐ ÅØлËÑÙÐÒ ÔÖÓØ ÓÛÒ Ò ÙÖ º e 0 e x e y e z ½¼µ
=180 = π +, and flip from 180 to0 =180 =+ π, and flip from 0 to180 x b y b x b z b horizontal, =0 ÙÖ ½ Ì ÐÓÓÔÒ ÑÒÓÙÚÖº
1.00 0.80 0.60 1 3 4 0.40 0.0 0.00 0.0 0.40 0.60 0.80 1.00 0.00 1.00.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 t µ ÕÙØÖÒÓÒ 00.00 150.00 100.00 50.00 0.00 50.00 100.00 0.00 1.00.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 t µ ÙÐÖ ÒÐ ÙÖ ¾ ÌÑ ØÓÖ Ó ÕÙØÖÒÓÒ Ò ÙÐÖ ÒÐ ÓÖ ÒØÐ ØØØÙ = = = 0 Ò Ò ÖÓØØÓÒÐ ÑÓØÓÒ (t) = 0 = 1.0 p(t) = r(t) = 0º
[0 1 0] Rotational motion p0, 0, r0 [0 0 0] Initial Euler Angles pr dot dot Euler Angles to Quaternions 1 s x o 0 1 3 -K- uaternion To Workspace Scope1 Scope Quaternions to Euler Angles Radians to degrees YPR Euler angles To Workspace1 -K- Radians to degrees1 phi Terminator Terminator1 ÙÖ Ì ÅØлËÑÙÐÒ ÔÖÓØ ÛÓ Ö ÙÐØ Ö ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º ÁÒ ÙÖ ÓÒ ÜÑÔÐ ÖÔÓÖغ Ì Ö ÙÐØ Ö ÓØÒ ÓÖ Ø Ñ ÒØÐ ÓÖÒØØÓÒ ÙØ ÓÖ ÖÒØ Ò ÖÓØØÓÒÐ ÑÓØÓÒ (t) = 0 = 1.0 p(t) = p 0 = 0.5 r(t) = 0º ÁÒ Ø Ø Ò Ó ÒÓØ Ó ØÖÓÙ ØÔ Ò ÙÖÒ Ø ÑÓØÓÒ Ù Ó Ø ÒÓÒÞÖÓ ÖÓÐÐ Öغ Ì ÐØØÖ Ù ØØ Ø ÒÐ Ö ÑÜÑÙÑ ÓÖ ÜÒ Ø ÐÐÓØØ ÙÔÔÖ ÐÑØ Ò Ö ØÓÛÖ Ø ÒØÐ Ò Ó ÞÖÓº Ì ÓÒØÒÙÓÙ ÓÒ ØÒعÖØ ÖÓÐÐÒ ÑÓØÓÒ Ù ØØ Ø Ò ÒÐ Ö Ø ÙÔÔÖ ÐÑØ Ó 180 Ö Ò Ô ØÓ Ø ÓØÖ Ó Ø ÖÒ ØÑ ÒÖ º Ò ÜÑÔÐ Ó Ø ÔØ Ò Ó ÖÔÐÒ ÑÓØÓÒ ÚÒ ØÓÖ Ó ÖÓØØÓÒÐ ÖØ ÑÐÖ ØÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ò Ø ÓÒ ÜÑÔÐ ÓÛÒ Ò ÙÖ º
1.00 0.80 0.60 1 3 4 0.40 0.0 0.00 0.0 0.40 0.60 0.80 1.00 0.00 1.00.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 t µ ÕÙØÖÒÓÒ 00.00 150.00 100.00 50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 00.00 0.00 1.00.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 t µ ÙÐÖ ÒÐ ÙÖ ÌÑ ØÓÖ Ó ÕÙØÖÒÓÒ Ò ÙÐÖ ÒÐ ÓÖ ÒØÐ ØØØÙ = = = 0 Ò Ò ÖÓØØÓÒÐ ÑÓØÓÒ (t) = 0 = 1.0 p(t) = p 0 = 0.5 r(t) = 0º ÊÖÒ ½ º ĺ ËØÚÒ º ĺ ÄÛ ÖÖØ ÓÒØÖÓÐ Ò ËÑÙÐØÓÒº ÂÓÒ ÏÐÝ ² ËÓÒ ½¾º ¾ ʺ º ËØÒÐ ÐØ ÝÒÑ º ÈÖÒØÓÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ¾¼¼º Ϻ º ÈÐÐÔ ÅÒ Ó ÐØ ÂÓÒ ÏÐÝ ² ËÓÒ ¾¼¼º ĺ ÅÒ Ðº ÐØ ÅÒ Ó µ¹öôðò ÏØ ÅÌÄ ËÑÙÐÒ ÀÐÔÖº ÞÓÒ ÄÖÖ ÄÍÈ ÅÐÒÓ ÁØÐÝ ½º ÏÔ ÒØÖÝ ÓÒÚÖ ÓÒ ØÛÒ ÕÙØÖÒÓÒ Ò ÙÐÖ ÒÐ º ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÓÒÚÖ ÓÒØÛÒÕÙØÖÒÓÒ ÒÙÐÖÒÐ ÏÔ ÓÒ ÉÙØÖÒÓÒ ÅØ Ò ÊÐØÓÒ Ô Ù Ò ÂËËÑ ÓÒ ÆË ØÖÒÒ ÑÒÙÐ ÓÒ ÕÙØÖÒÓÒ Ý Èº ź dzÆÐÐ ËÔØÑÖ ½½µº ØØÔ»» Ѻ ÓÙÖÓÖºÒØ»ÕÙØÖÒÓÒ ºØÑÐ
ÅØлËÑÙÐÒ ÑÓÒ ØÖØÚ ÔÖÓÖÑ ÓÒ ÕÙØÖÒÓÒ ÕÙØÑÓº ÁÒ ÄÖÒÒ ÅØк ÚÐÐ Ø ØØÔ»»ÓÙÖ ºÛ ÒØÓÒºÙ»»ÑØлÐÖÒÒÑØÐºÔ x b zb y b x e y e z e µ ÒÖ ÓÖÒØØÓÒ x b = π y b z b x e y e µ Ø ÑÐ ÐÓ z e ÙÖ Ì Ð Ð ÐÐÙ ØÖØÓÒ Ó ÖÖØ ÓÖÒØØÓÒ Ò ÙÐÖ ÒÐ Ý ÑÒ Ó Ñк
horizontal, =0 x e ½¼ y e ÙÖ Ò ÜÑÔÐ Ó ÑÓØÓÒ ÛØ ØÓÖ Ó ÖÓØØÓÒÐ ÖØ ÑÐÖ ØÓ ØÓ Ó ÙÖ º