ÅÌÀ ¾½ ÄÄ ¾¼¼ Å ¾ ÆÑ º Á º ËØÓÒ º ÁÒ ØÖÙØÓÖ º Ì º ÁÒ ØÖÙØÓÒ ÐÐ ÐÐÔÓÒ ÐÙÐØÓÖ ÓÑÔÙØÖ ØÖÒ ÐØÒ Ú Ò ÑÙ ÔÐÝÖ ÑÙ Ø ØÙÖÒ Óº Ó ÐÐ ÛÓÖ ÓÒ Ø Ø Ø ÔÔÖº ËÓÛ ÐÐ ÛÓÖº ÓÙ ÑÝ ÖÚ ÒÓ ÖØ ÚÒ ÓÖ ÓÖÖØ Ò ÛÖ ÒÓ ÛÓÖ ÓÛÒº ÓÙ ÑÝ Ù Ø ÝÓÙ Ò ÜØÖ Ôº Ó ÒÓØ ÑÔÐÝ ÝÓÙÖ Ò ÛÖ ÙÒÐ ÝÓÙ Ö ÜÔÐØÐÝ Ò ØÖÙØ ØÓ Ó Óº Ì Ó ÒÓØ ÔÔÐÝ ØÓ ÚÐÙØÓÒ Ó ÐÑÒØÖÝ ÙÒØÓÒ Ø ØÒÖ ÚÐÙ ÓÖ ÙÒØÓÒÐ ÜÔÖ ÓÒ Ó ØØ ÝÓÙ ÛÓÙÐ ÜÔØ ØÓ ÑÔÐÝ sin(π/6) ØÓ 1 2 ÓÖ ÜÑÔк Ó ÒÓØ ÛÖØ Ò ÛÖ ÑÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ 2 Ø Ò ÛÖ ÐÚ Ø ØØ Ûݺ ÜÔØ ÛÖ ÜÔÐØÐÝ ØØ ÓØÖÛ ÝÓÙ Ò Ù Ø ÖÚØÚ ÖÙÐ Ò ÐÑØ ÖÙÐ ÐÖÒ Ò Ð º ÓÙ ÑÝ ÒÓØ Ù ÐÙÐØÓÖ ÓÑÔÙØÖ Ø ØÒ Ó ÒÝ ÓØÖ ØÙÒØ ÒÝ ÒÓØ Ö Ø ÓÖ ØÜØ ÙÖÒ Ø ÜѺ ÓÙ Ú ¼ ÑÒÙØ ØÓ ÓÑÔÐØ Ø ÜѺ Ó ÒÓØ ØÙÖÒ ØÓ Ø ÒÜØ Ô ÙÒØÐ ÝÓÙ Ö Ò ØÖÙØ ØÓ Ó Óº ÖÒ ½º»½¼ ¾º»½¼ º» º» ½¼º»¾¼ ÌÓØк»½¼¼ ½
¾ ½µ Ò Ø ÒØ ÖÚØÚ ËÓÛ Ø ØÔ ÒÚÓÐÚº ÔÓÒØ»ÔÖص µ (ln(tan(x) + sec(x))) ËÇÄÍÌÁÇÆ Ï Ö ÓÖ Ø ÖÚØÚ ÛØ Ö ÔØ ØÓ xµ Ó ln u ÛÖ u = tan(x) + sec(x)º Ý ÚÖÝ Ò ÑÔÓÖØÒØ ÔÔÐØÓÒ Ó Ø Ò ÊÙÐ Ö ÓÜ ÓÒ Ôº ¾½ Ø Ò ÖÒØ ÙØ ÕÙÚÐÒØ ÒÓØØÓÒµ (ln u) = u u º ÀÖ Û Ú u = sec 2 (x) + sec(x) tan(x) Ò Ó (ln(tan(x) + sec(x))) = sec2 (x) + sec(x) tan(x) º ØØÒ ØÓ Ö ÛÓÙÐ Ú Ò tan(x) + sec(x) ÙÒØ ÓÖ ÙÐÐ ÖØ ÙØ Û ÒØ ÙÖØÖ ÑÔÐØÓÒ ÓØ Ù Ø ÏË ÐØÖÐÐÝ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ÐÓÛµ Ò Ø ÙÖØÖ ÑÔÐØÓÒ Ö ÚÒ ØÖ ÙØ Ð Ó Ù Ø ÑÔÐ ÚÖ ÓÒ ÛÐÐ ÔÖÓÚ ØÓ Ó ÒØÖ Ø Ò ÅØÑØ ¾¾ Ò Ø ÓÒØÜØ Ó ÒØÖØÓÒ Ó ØÖÓÒÓÑØÖ ÙÒØÓÒ º Ï Ð Ó Ú ØØ sec 2 (x) + sec(x) tan(x) sec(x)(sec(x) + tan(x) = = sec(x)º tan(x) + sec(x) tan(x) + sec(x) ÆÇÌ Ì ÄÁÌÊÄÄ ÈÖÓÐÑ ½ ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ Ó Ð Ó Ø ÊÚÛ ËØ ÓÐÙØÓÒ º ÁÒ Ø Û³ÐÐ ÅÆ Ó Ø Ø Ø ÔÖÓÐÑ Ö ØÒ ÖØÐÝ ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ Ò Ò ÛØ ÓÐÐÓÛ Û³ÐÐ ÑÔÐÝ ÑÒØÓÒ ØØ Ø Ò Ô Ø¹Ò Ø ÊÚÛ ËØ ÓÐÙØÓÒ ÛÒ ØØ ÔÔÐ º Ì ÔÖÓÐÑ Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ Ò ÔÖØ ÒÓØ Ò ØÐ ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ºº½ ºº ¾ ÓÖ ÖÒØØÒ ln uµ Ò ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ º º½½ º º½ ÓÖ Ø ÖÚØÚ Ó Ø ØÖÓÒÓÑØÖ ÙÒØÓÒ ÒÚÓÐÚ Ò ÓÙÖ uµº µ ( d dx arcsin(x 2 ) ) ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÔÖÓÐÑ ½ ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ ÜÔØ ØØ Ø Ö Ò ÒÓØØÓÒ Ù Öº ÌÖ ÓÐÐÓÛ Ø ÊÚÛ ËØ ÓÐÙØÓÒ ÛØ Ø Ò ØÓ Ø Ö Ò ÒÓØØÓÒº Ï ÓÙÐ Ð Ó ÒÓØ ØØ Ø ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ºº ºº¼ ºº ºº ÐÐ Ó Û ÓÑÒ Ø ÖÚØÚ Ó Ò ÒÚÖ ØÖÓÒÓÑØÖ ÙÒØÓÒ ÛØ Ø Ò ÊÙк ËÓÐÙØÓÒ ( arcsin(x 2 ) ) = 1 1 (x 2 ) 2(2x) = 2x 1 x 4. ¾µ Ò Ø ÒØ ÐÑØ ËÓÛ Ø ØÔ ÒÚÓÐÚº ÔÓÒØ»ÔÖص 3x sin(3x) µ lim x 0 x xcos(x)
µ ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÛØ ÈÖÓÐÑ ÓÒ Ø ÊÚÛ ËØ Û ÒØÒ ØÓ Ó Û Ú ØÓ ÓÐÚ Ø ÓÒ ÒÓØ Ù Ø ÕÙÓØ Ø ÊÚÛ ËØ ÓÐÙØÓÒº Ï ÒÓØ ØØ Ø ÐÑØ x 0 Ó ÓØ ÒÙÑÖØÓÖ Ò ÒÓÑÒØÓÖ ¼ Ó Û Ö ÛØ 0 0 ÓÖÑ Û ØÖÝ Ä³ÀÓÔØг ÊÙк Áºº Û ÓÒ Ö Ò Ø (3x sin(3x)) 3 3cos(3x) lim x 0 (x xcos(x)) = lim Ò ÒÓÛ Û ÒÓØ ØØ Û ØÐÐ Ú x 0 1 (cos(x) xsin(x)) ØØ ÓØ ÒÙÑÖØÓÖ Ò ÒÓÑÒØÓÖ ÔÔÖÓ ¼ x 0 ºº Ø ËÌÁÄÄ 0 0 ÓÖÑ Û ØÖÝ Ä³ÀÓÔØг ÊÙÐ Áƺ ÌØ Û ÓÒ Ö Ò Ø lim x 0 (3 3cos(3x)) (1 (cos(x) xsin(x))) = lim x 0 ËÌÁÄÄ 0 0 (9sin(3x)) 9sin(3x) sin(x) + (sin(x) + xcos(x)) = lim 9sin(3x) x 0 2sin(x) + xcos(x)) ÓÖÑ Û ØÖÝ Ä³ÀÓÔØг ÊÙÐ Ì Áƺ ÌØ Û ÓÒ Ö Ò Ø 27cos(3x) lim x 0 (2sin(x) + xcos(x)) = lim Û Ì ÄËÌ Û x 0 2cos(x) + cos(x) xsin(x) Ò Ò ÖØÐÝ Ø ÒÙÑÖØÓÖ ÔÔÖÓ ¾ ÛÐ Ø ÒÓÑÒØÓÖ ÔÔÖÓ Ó ÒÐÐÝ Ø ÐÑØ Ò ØÒ Ý ØÖ ÓÙÒØ ³Ñµ ÔÔÐØÓÒ Ó Ä³ÀÓÔØг ÊÙÐ Ó Ø ÓÖÒÐ ÐÑغ ÆÇÌ Ì Û ÑÐÖ Ò ÔÖØ ØÓ ÚÖÐ ÊÚÛ ËØ ÔÖÓÐÑ ØØ ÖÕÙÖ ÑÙÐØÔÐ ÔÔÐØÓÒ Ó Ä³ÀÓÔØг ÊÙÐ ºº º ÁØ Û Ð Ó ÑÐÖ Ò ÔÖØ ØÓ ÚÖÐ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ÓÒ Ø Ñ ØÑ ºº ºº¾½ ºº¾º lim x 0 + (1 + sin(2x)) 1 x ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ÜÔØ ØØ Ö Û Ú sin(2x) Ò ÔÐ Ó 2x Ò x 0 Ø Ö ÒØÐÐÝ ÒØÖÒÐ Ò Ø ÐÑØ Ó ØÖ ÕÙÓØÒØ ½µº ÏØ ÓÐÐÓÛ Ø ÑÓØÓÒ Ó Ø ÊÚÛ ËØ ÓÐÙØÓÒ Ò ØÓ Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Òº Ì Û Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ºº ºº ºº Û ÒÚÓÐÚ ÒØÖÑÒØ ÔÓÛÖ º ËÓÐÙØÓÒ Ì ÐÑØ ÐÑÓ Ø Ø Ñ ÓÒ Ò Ø ÒÓØ Ò Ò Ø ÓÓº Ì ØÓ Ø Ø ÐÓÖØÑ Ó Ø ÙÒØÓÒ Ö Ø Ó ØØ Ø Ò ÓÒ Ó Ø ØÒÖ ÓÖÑ 0/0 ÓÖ / µ Ò Ø ÐÑØ Ó ØØ Ù Ò Ð³ÀÔØг ÖÙÐ ØÒ ÜÔÓÒÒØØ ØÓ Ò Ø ÐÑØ Ó Ø ÓÖÒÐ ÙÒØÓÒº ( ln (1 + sin(2x)) 1/x) = 1 ln(1 + sin(2x)), Ó x ( lim ln (1 + sin(2x)) 1/x) ln(1 + sin(2x)) = lim x 0+ x 0+ x 2cos(2x)/(1 + sin(2x) = lim x 0+ 1 = 2, (Ó ÓÖÑ 0/0) Ó lim (1 + x 0+ sin(2x))1/x = e 2.
µ ËÙÔÔÓ ØØ f(x) Ò g(x) Ö ÖÒØÐ ÙÒØÓÒ Ó ØØ f(1) = 1 f (1) = 4 f(5) = 3 f (5) = 2 f(4) = 3 f (4) = 1 g(1) = 5 g (1) = 4 g(2) = 1 Ò g (2) = 3º Ò d dx [f(g(x))] x=1 º ÔÓÒØ µ ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÐØÖÐÐÝ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ Ø ÓÐÙØÓÒ ÖÓÑ ØÖ ÓÐÐÓÛ º Ì Û Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ºº¾ ºº º ËÓÐÙØÓÒ Ý Ø Ò ÖÙÐ d dx [f(g(x))] x=1 = f (g(1))g (1) = f (5) 4 = 2 4 = 8. µ ËÓÛ Ù Ò Ø ÒØÓÒ Ó Ø ÒÚÖ ØÒÒØ Ò ÑÔÐØ ÖÒØØÓÒ ØØ ½¼ ÔÓÒØ µ (arctan(x)) = 1 x 2 + 1. ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÐØÖÐÐÝ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ÜÔØ ØØ Ø ÖØÒ ÒÓØØÓÒ Ù Öº ÌÖ ÓÐÐÓÛ Ø ÊÚÛ ËØ ÓÐÙØÓÒ ÛØ Ø Ò ØÓ Ø ÖØÒ ÒÓØØÓÒº Ì Û Ð Ó ÔÖÓÚ Ò Ø ØÜØÓÓ Ôº ¾½¾ Ø ÐÒ ØÛÒ Ø ØÛÓ Ö¹ÓÜ ÓÖÑÙÐ Ò ÙÐÑÒØÒ Ò Ø ÓÒ ÓÒº ËÓÐÙØÓÒ Á θ = arctan(x) ØÒ tan(θ) = x. ËÓ ØÒ Ó ÖØ ØÖÒÐ ÛØ ÓÔÔÓ Ø ØÓ Ø ÒÐ θ) x Ò ½º ÁØ ÝÔÓØÒÙ 1 + x 2 Ó cos(θ) = 1/ 1 + x 2 º ÙØ ØÒ Ò tan(θ) = x ÙØ ØÒ d (tan(θ)) = 1, ÓÖ dx sec 2 (θ) dθ dx = 1. 1 = sec 2 (θ) dθ dx, ÓÖ cos 2 (θ) = dθ dx 1 1 + x 2 = dθ dx 1 1 + x 2 = darctan(x). dx µ Í ÐÒÖ ÔÔÖÓÜ ÓÖ ÖÒØÐ ØÓ Ò Ò ÔÔÖÓÜÑØ ÚÐÙ Ó (7.9) 1 3 º ÔÓÒØ µ
ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ØØÑÒØ Ó Ø ÔÖÓÐÑ ÔÖÓÚ Ù ÛØ Ø ÓÖÖØ ÔÔÖÓ Ó Û Ø (7.9) 1 3 ØÓ f(7.9) Û Û Ö ØÓ ÔÔÖÓÜÑØ f(7.9) f(a)+f (a)(7.9 a) ÓÖ ÛÐÐ¹Ó Ò aº ÌÙ Û ÑÙ Ø ÒØÝ Ø ÒÖÐ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÙÒØÓÒ f Ò Ø ÖÚØÚ Ò ØÒ ÓÓ a ÚÐÙ ÐÓ ØÓ º ÛÖ Û Ò ÖØÐÝ ÚÐÙØ ÓØ f(a) Ò f (a)º ËÒ f(7.9) = (7.9) 1 3 Ø ÒØÙÖÐ ØÓ Ø f(x) ØÓ x 1 3 Ò ØÒ f (x) = 1 3 x 2 3 º ÆÓÛ ÐÓ ØÓ º Ò f(8) = 2 ÛÐ f (8) = 1 3 2 2 = 12 1 Ó Û Ø a = 8 Ò ØÒ (7.9) 1 1 1 3 2 + (7.9 8) = 2 12 120 º ÆÇÌ Ì Û ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ½ ½ Ò ÒÙÑÖ Ó ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ºº º½¼º¾ º½¼º¾º µ ÅÎÌ µ ËØØ Ø ÅÒ ÎÐÙ ÌÓÖѺ ÔÓÒØ µ ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÐØÖÐÐÝ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ¾ Ò Ø ØØÑÒØ Ó Ø ÅÎÌ Ô Ø Ò ÖÓÑ ØÖ ËÓÐÙØÓÒ Á f(x) ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ ÓÒ [a,b] Ò ÖÒØÐ ÓÒ (a,b) ØÒ ØÖ ÔÓÒØ c (a,b) Ó ØØ f(b) f(a) b a = f (c). µ Í Ø ÅÒ ÎÐÙ ÌÓÖÑ ØÓ ÓÛ ØØ Ø ÙÒØÓÒ f(x) := x 3 + 4x 5 ÓÒÐÝ ÖÓÓØ Ø x = 1 Ò ÒÓÛÖ Ð º ÔÓÒØ µ ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÐØÖÐÐÝ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ¾ Ò ÛÐ Û ÛÐÐ Ô Ø Ò Ø ÓÐÙØÓÒ ÖÓÑ ØÖ Ø ÑÓÖ Ó ÊÓÐг ¹ ÓÐÙØÓÒ Ó Ö Ø Û Ú ÑÓÖ ÖØÐÝ ÅÎ̹ ÓÐÙØÓÒº ØÖ ÓÖØ Ó ÓÐÙØÓÒ ÓÖÖØÐÝ ÓÖÑÙÐØ ÛÓÙÐ Ú Ò Òº Ì Û Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÜÑÔÐ ¾ ÓÒ Ôº ¾½ Ó Ø ØÜØÓÓ Ò ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ º¾º½ º¾º½ º¾º½º ÆÓØ ØØ f Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÖÒØÐ ÚÖÝÛÖ Ò Ò Ø f (x) = 3x 2 + 4 4 > 0 Ó Ý µ Ó Ø ÁÒÖ Ò»Ö Ò Ì Ø Ö ÓÜ ÓÒ Ôº ¾µ f ÒÖ Ò ÚÖÝÛÖ Ø ÒØÖÚÐ Ò ÕÙ ØÓÒ (, ) Ø ÛÓÐ ÖÐ ÐÒµº ÌÖÓÖ f ½¹½ ÙÒØÓÒ Ò Ó ÓÖ Æ ÖÐ ÒÙÑÖ r ØÖ Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÓÐÙØÓÒ ØÓ f(x) = rº ÌÒ r = 0 ØÖ Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÓÐÙØÓÒ Ó f(x) = 0 ºº Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÖÓÓغ ÙØ Ý Ò ÔØÓÒ x = 1 ÁË ÖÓÓØ Ò Ó ØÖ ÖÓÓØ Ø x = 1 Ò ÒÓÛÖ Ð º ÆÓÛ ÓÖ Ø ÊÓÐг ¹ ÓÐÙØÓÒ ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ ÓÐÙØÓÒ ËÓÐÙØÓÒ Á ØÖ ÛÖ ØÛÓ ÖÓÓØ Ó ØØ ÙÒØÓÒ ØÛÓ ÔÓÒØ a Ò b Ø Û f(a) = f(b) = 0 ØÒ Ý ÅÎÌ ØÖ ÔÓÒØ c ØÛÒ a Ò b Ø Û
f (c) = f(b) f(a) b a = 0 b a = 0º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò f (x) = 3x 2 + 4 Û ÐÛÝ Ø Ð Ø Ó ÒÚÖ ¼º ËÓ Ù c Ò³Ø Ü Ø Û ÑÒ ØØ Ø ÙÑÔØÓÒ ØØ ØÖ ÛÖ ØÛÓ ÖÓÓØ Ð º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò f(1) = 0, Ó Ø Ó Ò Ú ÓÒÐÝ ØØ ÓÒ ÖÓÓغ µ Ì ÔÓÔÙÐØÓÒ Ó ØÙÖ ÌÜ ÖÓÛ Ø ÖØ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐ ØÓ Ø Þº ÁØ ÒÖ Ý ¼± ØÖ ÝÖ º ÀÓÛ ÐÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÓ ØÖÔÐ ½¼ ÔÓÒØ µ ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÒØÐÐÝ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ÛØ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÑÒÓÖ Ò Ø ØÖ ÔÓÔÙÐØÓÒ ÑÓÖÔ ÒØÓ Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ Ó ØÙÖ ÌÜ ÒÓ ÒÖÒ ÛÖ ÒØÒ Ó ÒÓÒ ÓÙÐ ÖÛÒµ Ý ÓÑ ÝÖ Ò Û Ö ÒÓÛ ÒØÖ Ø Ò ÓÛ ÐÓÒ Ø Ø Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÓ ØÖÔÐ ÖØÖ ØÒ ÓÙк Ì ÓÐÙØÓÒ ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ ËÓÐÙØÓÒ Ô Ø Ò ÐÓÛ ÛØ Ø Ò ÖÝ ÑÓØÓÒ ØÓ ÓÑÓØ Ø Ò º Ì Û Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÜÑÔÐ ½ Ôº ¾ Ó Ø ØÜØÓÓ Ò ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ºº¾ ºº ºº ººº ËÓÐÙØÓÒ ËÒ Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ Ó ØÙÖ ÖÓÛ Ø ÖØ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐ ØÓ Ø Þ P(t) Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÒ P (t) = kp(t) Û ÑÒ ØØ P(t) = Ae kt ÓÖ ÓÑ ÒÙÑÖ A Ò kº Ì Ø ÓÐÙØÓÒ Ó ØØ ÒÖÐ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒº ÌÓ Ø Ø ÓÐÙØÓÒ ØÓ Ø ÔÖØÙÐÖ Ø Û Ú ØØ P(0) = A Ø ÒØÐ ÔÓÔÙÐØÓÒ Û Ó ÒÓØ Ò ØÓ Ô ÒÙÑÖµ Ò P(3) = 1.6A ¼± ÑÓÖ ØÒ Û ÒØÐÐÝ ØÖ ÝÖ º ÙØ ØÒ P(t) = Ae kt ÛØ Ø Ñ A Ø ÒØÐ ÔÓÔÙÐØÓÒ Ø ØÑ ¼µ Ò 1.6A = P(3) = Ae k3. ËÓº 1.6 = e 3k ÓÖ ØÒ ÒØÙÖÐ ÐÓ Ó ÓØ ln(1.6) = 3k ÓÖ k = 1 3 ln(1.6)º ÌÒ P(t) ÚÒ ÑÓÖ ÜÔÐØÐÝ Ý P(t) = Ae 1 3 ln(1.6)t. Ì ØÑ T Ø Ø ÓÖ Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÓ ØÖÔÐ Ø 3A = P(T) = Ae 1 3 ln(1.6)t, Ó ØÒ ln() Ó ÓØ Ò ln(3) = ln(e 1 3 ln(1.6)t ) = 1 3ln(3) 3 ln(1.6)t Ó T = ln(1.6) º µ ¾¼ ÓÓØ ÐÖ ÐÒÒ Ò Ø ÛÐк ÔÒØÖ ØÒ ÓÒ Ø ØÓÔ Ó Ø ÐÖ ÑÒÒ ÓÛÒ Ù Ò º ËÓÑ ÓÓÐ ÓÑ Ý Ò Ø Ó ØÓ Ø Ó Ø ÐÖ Ø ÓÑ ÐÓÒ Ò Ø Ó ØÖ Ø Ø ÖÒ Ø Ó Ø ÐÖ ÛØ Ñ Ø ÖØ Ó ¾ Ø ÔÖ ÓÒ ÖØÐÝ ÛÝ ÖÓÑ Ø ÛÐк ÀÓÛ Ø Ø ÔÒØÖ ÐÐÒ ÛÒ ½¾ Ø ÖÓÑ Ø ÖÓÙÒ ½¼ ÔÓÒØ µ ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÐØÖÐÐÝ ÊÚÛ ËØ ÈÖÓÐÑ ½º ÓÖ Ô ØÒ Ò Ø ÓÐÙØÓÒ ÖÓÑ ØÖ Ø ÓÙÐ ÒÓØ ØØ ÚÒ ÓÑÓÒ ÖÛ Ø ÔØÙÖ ÛØ Ø Ó Ø ÐÖ ØÓ Ø ÐØ Ó Ø ÛÐÐ Ò ÚÒ ØÝ ØÓÓ Ü ØÓ Ø ÔÓ ØÓÒ Ó Ø Ó Ø ÐÖ ÖØÖ ØÒ Ø ØÒ ÖÓÑ Ø Ó Ø ÐÖ ØÓ Ø Ó Ø ÛÐе ÛØ Ø ÓÖÒ Ø Ø Ó Ø ÛÐÐ Ó ØØ Ü Ö Ò ÖØÖ ØÒ ÒÖ Ò ºº Ü»Ø
ÒØÚµ ØÝ ÛÓÙÐ Ð Ó Ú Ü ¼ Ó ÜÜ»Ø ÛÓÙÐ ËÌÁÄÄ ÔÓ ØÚº Ì Û Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÜÑÔÐ ¾ ÓÒ Ôº ¾¾ Ó Ø ØÜØÓÓº ÆÓÛ ÓÖ Ø Ô Ø¹Ò ËÓÐÙØÓÒ Ì ÖÐÝ ØÒÖ ÖÐعÖØ ÔÖÓÐѺ ËØ x ØÓ Ø ØÒ ÖÓÑ Ø Ó Ø ÐÖ ØÓ Ø ÛÐÐ Ò Ø y ØÓ Ø Ø Ó Ø ÔÒØÖ ÓÚ Ø ÖÓÙÒº Ï ÒÓÛ ØØ dx dy dt = +2 Ò Û ÛÒØ ØÓ ÒÓÛ dt ÛÒ y = 12º ÌÒ Ò Ø ÐÖ ÓÒ ØÒØ ÐÒØ ¾¼ ÙÒØÐ Ø Ñ Ò Ø Ø ÖÓÙÒ Ø ÈÝØÓÖÒ ØÓÖÑ ØÐÐ Ù ØØ x 2 + y 2 = 20 2 Û Ò ÕÙØÓÒ ØÛÒ ÛØ Û ÒÓÛ Ò ÛØ Û ÛÒØ ØÓ ÒÓÛº ÖÒØØ ÓØ Ó ØØ ÕÙØÓÒ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ØÑ ØÓ Ø Ø ÖÐØÓÒ Ô ØÛÒ ØÖ ÖØ Ó Ò 2x dx dy dt +2y dt = 0º Ø Ø ÛÒ ÝÓÙ Ú y = 12 Ó ÔÐÙ ÒØÓ Ø ÕÙØÓÒ x 2 + y 2 = 20 2 ØÓ ØØ x 2 + 12 2 = 20 2 Ø ØØ Ò ØÒØ Ó x = 16 س ¹¹ ØÖÒеº ÌÒ ÝÓÙ ÔÐÙ Ø ÚÐÙ ÒØÓ Ø ÕÙØÓÒ ÖÐØÒ Ø ÖØ Ò ÓÐÚ ÓÖ dy dt ÓÖ dy dt = 32 Ò ØÒغ 0 = 2x dx dt + 2ydy dt = 2 16 2 + 2 12 dy dt, 12 = 8 3 ÑÒÒ ØØ Ø ÔÒØÖ ÐÐÒ Ø 8/3 Ø ÔÖ ÓÒ Ø ØØ µ Ò Ø ÓÐÙØ ÑÜÑÙÑ Ò ÓÐÙØ ÑÒÑÙÑ Ó f(x) = sin(x) + cos(x) ÓÒ [ 0, 2π 3 ½¼ ÔÓÒØ µ ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÚÖÝ ÑÐÖ ØÓ ÈÖÓÐÑ ¾ ÓÒ Ø ÊÚÛ ËØ Û Ú ÙÑ Ó Ø ØÖÓÒÓÑØÖ ÙÒØÓÒ ÖØÖ ØÒ ÖÒ Ò ÐÓ ÒØÖÚÐ ÐØØÐ ÓÖØÖ Öº Ô Ø¹Ò Ó Ø ÓÐÙØÓÒ ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ ËÓÐÙØÓÒ ÓÐÐÓÛ ÛØ Ø ÑÐÐ ÑÓØÓÒ Ò ÖÝ ØÓ ÓÑÓØ Ø ÑÒÓÖ Ò º Ì Û Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÑÒÝ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ÖÓÑ ËØÓÒ º¾ ÒÚÓÐÚÒ ÒÒ Ø ÓÐÙØ ÑÜ ÓÖ ÑÒ Ó ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ ÓÒ ÐÓ ÒØÖÚÐ Ò ÔÐÐÝ ÔÖÓÐÑ º½º ÛÖ Ø ÙÒØÓÒ ÒÚÓÐÚ ØÖÓÒÓÑØÖ ÙÒØÓÒº ËÓÐÙØÓÒ f (x) = cos(x) sin(x) Ó f (x) = 0 sin(x) = cos(x) Û ÔÔÒ ÛÒ x = π/4 ÓÖ x = 5π/4º ÙØ ÓÒÐÝ π/4 Ò Ø ÒØÖÚк f(0) = 1 Ò f(2π/3) = 3/2 1/2 = 3 1 2 < 1 Ò f(π/4) = 1 2 + 1 2 = 2 > 1º ËÓ Ø ÑÜ ÚÐÙ 2 Ò Ø ÑÒÑÙÑ ÚÐÙ 3 1 2 º ½¼µ ÄØ f(x) = x2 1 x 2 º ¾¼ ÔÓÒØ µ 9 ËÇÄÍÌÁÇÆ Ì ÚÖÝ ÑÐÖ ØÓ ÈÖÓÐÑ ÓÒ Ø ÊÚÛ Ëغ Ì ÓÒÐÝ ÖÒ Ò Ø ÓÒ ØÒØ ØØ Ö ÙØÖØ ÖÓÑ Ø ÕÙÖØ ØÖÑ º Ô Ø¹Ò Ó Ø ÓÐÙØÓÒ ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ ËÓÐÙØÓÒ ÓÐÐÓÛ ÛØ Ø ÑÐÐ ÑÓØÓÒ Ò ÖÝ ØÓ ÓÑÓØ Ø ÑÒÓÖ Ò º Ð Ó Ø ÁË ÙÔÔÐ Ò Ø ÔÔÒ Ô Ð ÛÐ Ø Û ÒÓØ ÓÒ Ø ÊÚÛ ] º
ËØ ÓÐÙØÓÒ º º ºº µ Ò Ø ÓÑÒ Ó f(x)º Ì ÔÖÓÐÑ Û Ð Ó ÕÙØ ÑÐÖ ØÓ ÈÖØ ÈÖÓÐÑ ËÓÐÙØÓÒ x Ò³Ø ±3 Ó Ø ÓÑÒ ÐÐ ÔÓÒØ ÜÔØ x = 3 Ò x = 3º µ Ò ÐÐ x¹ Ò y¹ ÒØÖÔØ º ËÓÐÙØÓÒ Ì y¹òøöôø (0,1/9) Ò Ø x¹òøöôø ÛÖ f(x) = 0 Ö ÓÒÐÝ Ø x = 1 Ò x = 1º µ Ò ÒÝ ÓÖÞÓÒØÐ ÓÖ ÚÖØÐ ÝÑÔØÓØ º ËÓÐÙØÓÒ ÌÖ Ö ØÛÓ ÚÖØÐ ÝÑÔØÓØ x = 3 Ò x = 3 ÛÖ Ø ÒÓÑÒØÓÖ ¼º ÌÖ Ð Ó ÓÒ ÓÖÞÓÒØÐ ÝÑÔØÓØ Ø y = 1 ¹ Ù lim x ± f(x) = 1º ÌÓ ÑÓÖ ÖÙÐ Ò lim x 3 + f(x) = lim x 3 f(x) = lim x 3 + f(x) = lim x 3 f(x) = Ò Ò ÓÖ x ÚÖÝ ÐÖ Ò ÓÐÙØ ÚÐÙ ÙØ ØÖ ÔÓ ØÚ ÓÖ ÒØÚµ f(x) > 1 ÙØ ÒÖ ½µ Ó ÝÓÙ Ò Ò Ø ØÐ Ó Ø ÖÔ Û ÛÐÐ ÐÔ ÝÓÙ Ø Ø ÙÖÚº ÌÓ Ø ÚÖÝ Ð Ø ÔÓÒØ Û ÛÖØ Ø ÒÙÑÖØÓÖ Ò ØÖÑ Ó Ø ÒÓÑÒØÓÖ x 2 1 = (x 2 9) + 8 Ó f(x) = 1 + 8(x 2 9) 1 º Ì ÛÝ Ó ÚÛÒ f Ò Ð Ó ÐÔ ÑÔÐÝ Ø ÖÒØØÓÒ Ò ÛÐÐ ÜÔÐÓØ Ò ÛØ ÓÐÐÓÛ º Á x ÐÖ Ò ÓÐÙØ ÚÐÙ ØÒ x 2 9 > 0 Ò Ó Ø ØÖÑ 8(x 2 9) 1 > 0 ºº f(x) > 1 ÛÒ x > 3µº µ Ò ÓÒ ÛØ ÒØÖÚÐ Ø ÙÖÚ ÒÖ Ò Ò Ö Ò Ò Ò ÒÝ ÖØÐ ÔÓÒØ Ò ÐÓÐ ÜØÖѺ ËÇÄÍÌÁÇÆ ÓÖ ÚÒ Ø ÑÓ ÚÖ ÓÒ Ó Øµ Ô Ø¹Ò ÖÓÑ Ø ÊÚÛ ËØ ËÓÐÙØÓÒ ÒÓØ ÓÛ Ý Ø ÖÚØÚ ÓÑ Û ØÖØ ÖÓÑ Ø ÖÛÖØØÒ ÓÖÑ Ó f ÚÒ ÓÚ f (x) = 8(x 2 9) 2 2x = 16x(x 2 9) 2 º Ì ÓÒ ØÓÖ ÔÓ ØÚ ÛÒÚÖ Ø Ò Û ÛÒÚÖ x ±3 Ò Ó f Ò ÛÒÚÖ x ±3 Ò Ò ÓÔÔÓ Ø ØÓ Ø Ò Ó xº ÌØ f (x) > 0 ÓÒ (, 3) ( 3,0), f (0) = 0 Ò f (x) < 0 ÓÒ (0,3) (3, ) Ò Ó f ÒÖ Ò ÓÒ (, 3) Ò ÓÒ ( 3,0] ÛÐ f Ö Ò ÓÒ [0,3) Ò ÓÒ (3, )º ËÒ f(±3) ÙÒÒ Û Ò³Ø ÔÙØ ØÓØÖ Ø ØÛÓ ÒØÖÚÐ Ó ÒÖ Ø ¹ ÒÓÖ Ò Û Ó Ø ÓÖ Ø ØÛÓ ÒØÖÚÐ Ó Ö Ø º ËÒ f (0) = 0 Ò f(0) ÁË Òµ ¼ ÖØÐ ÒÙÑÖº ÁÒ f(0) = 1/9 ÐÓÐ ÑÜ Ò f Ò ÖÓÑ ÒÖ Ò ØÓ Ö Ò Ø ¼º ÏÐ f (±3) Ö ÙÒÒ ±3 Ö ÆÇÌ ÖØÐ ÒÙÑÖ Ò Ð Ó f Ø Ð ÙÒÒ Ø Ø ÚÐÙ Ó xº ÌÖ ÒÓ ÐÓÐ ÑÒº ÆÓÛ ÓÖ Ø ÖÓÖ Ò ÓÖ ÔÙÖÔÓ Ó ÑÐÖØÝ»ÖÓÒØÓÒ Û ÙÔÔÐÝ Ø ÑÓ¹ ÚÖ ÓÒ Ó Ø Ô Ø¹Ò ËÓÐÙØÓÒ ËÒ f (x) = 2x(x2 9) 2x(x 2 1) (x 2 9) 2 16x = (x 2 9) 2,
Ó Ø ÓÒÐÝ ÖØÐ ÔÓÒØ Ø x = 0º Ì y¹úðù ½» Û Ð Ó Ø y¹òøöôø Ó ÓÙÖ º ÓÖ x > 0 f (x) < 0 Ò ÓÖ x < 0 f (x) > 0 ÜÔØ Ø ±3 ÛÖ f ÙÒÒ Ó f Ö Ò ÓÒ [0,3) Ò ÓÒ (3,+ ) Ò f ÒÖ Ò ÓÒ (, 3) Ò ÓÒ ( 3,0]º µ Ò ÓÒ ÛØ ÒØÖÚÐ Ø ÙÖÚ ÓÒÚ ÙÔ Ò ÛÖ Ø ÓÒÚ ÓÛÒ Ò Ò ÒÝ ÔÓÒØ Ó ÒØÓÒº ËÓÐÙØÓÒ f (x) = 16(x2 9) 2 64x 2 (x 2 9) (x 2 9) 4 = 16 (x2 9) 4x 2 (x 2 9) 3 = 16 3x2 + 9 (x 2 9) 3. Ì ÒÙÑÖØÓÖ ÐÛÝ ÔÓ ØÚ Ó f (x) > 0 x > 3 ÓÖ x < 3 Ò f (x) < 0 ÛÒ 3 < x < 3º ÌÙ Ø ÖÔ Í ÓÒ (, 3) (3, ) Ò ÓÒ ( 3,3)º ÏÐ ÓÒÚØÝ Ó ØÖÓÖ Ò Ø x = ±3 Ø ÚÐÙ Ó x Ó ÒÓØ ÝÐ ÒØÓÒ ÔÓÒØ Ù ÓÒ Ò f Ø Ð ÙÒÒ Ø Ø ÚÐÙ Ó x Ò Ó ØÖ Ö ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÓÒØ ÓÒ Ø ÖÔº µ ÌÒ Ø Ø ÙÖÚ ÓÛÒ Ó Ø ØÙÖ º