Ch4Complements.dvi

Ü ÑÔÐ ² ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÔØ Ö ½ Ä Ò Ö ØÝ Ï Ò ÓÒ Ö Ò ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÊÎ Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÒØ P [X x,y y,...] Ë Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò Ò ÓÒ Ð Ò µº Ì ÓÓ Ð Ñ Ñ ÖÖÓÖ ØÓ ÚÓ ÓÒ¹ Ö Ò ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÊÎ Ø Ø Ñ Ò Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔØ Ö ÙØ Ø ØÙ ÐÐÝ Ù Ø Ø Û Ö Ù Ò Ö Ó Û Ñ Ø Û ÐÐ Ñ Ø Ñ ÜÔРغ Ì ÒÓØ ÙÐØ Ò Û ³Ú Ò Ð Ò Û Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ú ÒØ ÐÐ ÐÓÒ º ÓÒ Ö ÒÓÛ E[X +Y],j x +y j )P [X x,y y j ] x P [X x,y y j ]+ j j y j P [X x,y y j ] ÆÓÛ Ù Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø Û ÐÐ Ø ØÓØ Ð ÔÖÓ Ð Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ù Ø Ø Ò Ò ÓÛ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ {Y y j } ÓÚ Ö Ø Ú ÒØ {X x } Ò Ö ÔÖÓ ÐÐÝ ÓÖ Ø ÓÒ Ø Öѵ P [X x,y y j ] j j P [X x Y y j ]P [Y y j ] P [X x ] Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ó Ø Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ x P [X x ]+ y j P [Y y j ] E[X]+E[Y] j ÓÑ Ò Ò Ø Ö ÙÐØ Û Ø Ø Ø Ø Ø E[aX +b] ae[x]+b, Û ÓÒÐÙ Ø Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ [ ] E a i X i a i E[X i ] i i ½

½ Ä Ò Ö ØÝ ¾ ½º½ Î Ö Ò Ó ÙÑ À Ú Ò Ò Ò Ô Ò Ò Û ÓÑÔÙØ Ò Ò Ö Ð ) 2 ) 2 ) 2 E X i EX i E X i EX i E X 2 i +2 i<j X i X j EX i ) 2 2 EX i EX j i<j E [ Xi 2 ] EXi ) 2) +2 E[X i X j ] EX i EX j ) i<j j VarX i )+2CovX i X j ) CovX i X j ) E[X i X j ] EX i EX j E[X i EX i )X j EX j )] Ø Ó¹ Ú Ö Ò º ÆÓØ Ø Ø Ø X i ³ Ö Ò Ô Ò ÒØ E[X i X j ] ] x i xj l [X P i x i,x j x j l x i xj l P [ X i x i ] [ ] P X j x j l EX i EX j,l,l Ó Ø ØcovX i X j ) 0º Ì Ö Ú Ö Ð Ì X Ù Ø ØEX EX 3 0 Ò Y X 2 º ÆÓÛ EXY) E [ X 3] 0 EX EX 2 º Ê Ñ Ö Ì ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÙÑ Ö ÕÙ Ö ÑÓÖ ÛÓÖ º ÓÖ Ö Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ò Ö Ù ÓÐÐÓÛ º ÓÒ Ö ØÛÓ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð X Ò Y Û Ø Ö Ô Ø Ú ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÒØ ÓÒ p X Ò p Y º Ä Ø Z X+Y P [Z z] P [X +Y z Y y ]P [Y y ] P [X z Y Y y ]p Y y ) P [X z y Y y ]p Y y ) Ì Ð Ø Ø Ô Ù Ø Ý Ø Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ Ö ¹ Ù Ù ØÓ Ø Ú ÒØ Y y º Ï Ò³Ø Ó ÒÝ ÙÖØ Ö Ò Ò Ö Ð Û Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ó X Ú Ò Y y ÓÖ ÐÐ y º Ì ÑÔÐ Ø Ù Ù Ð Û Ò Ø ØÛÓ Ú Ö Ð Ö Ò Ô Ò¹ Òغ Á Ó P [X z y Y y ] P [X z y ] p X z y )º ÁÒ Ø P [X +Y z] p X z y )p Y y ) Ì ÜÔÖ ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ØÛÓ ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÙÖ Ö Ø º

¾ Ì Ä Û Ó Ê Ö Ú ÒØ ¾ Ì Ä Û Ó Ê Ö Ú ÒØ ¾º½ Ä Ñ Ø Ó ÒÓÑ Ð ÙÑ Ú ÖÝ Ð Ö p Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Û Ø p º ÆÓÛ p Ò ÓÒ Ö Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð X Û Ø ØÖ ÙØ ÓÒ bi,p)º Ì Ò P [X ]! ) p p) ) +)!! )!! + ) ) ) ) ) ) ½µ c ) e ) Ø Ø Ø Ð Ñ Ø Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ÈÓ ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒº Ê Ñ Ö Ì Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÒÚ Ö Ò Ò ØÖ ÙØ ÓÒº Ì Ò Ø ÐÝ Ý ¾º¾ ÒÓØ Ò ÓÙØ Ø Ú ÓÖ Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ø ÓÙ Ø Ó ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÑÔÐ Ô º Ì Ø Û ÒÒÓØ Ý ÒÝØ Ò ÓÙØ ÔÓ Ð Ð Ñ Ø Ó Ø ÕÙ Ò Ó ÙÒØ ÓÒ X ÓÖ Ø Ø Ñ ØØ Ö Ø Ý Ñ Ý Ú Ò Ò ÓÒ Ö ÒØ ÑÔÐ Ô Ó Ø Ø Ø ÛÓÙÐ Ñ ÒÓ Ò Ø ÐÐ ØÓ Ø Ð ÓÙØ lim X º Ì ÈÓ ÓÒ ÈÖÓ ÆÓÛ ÓÒ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ô Ò ÒØ ÖÖ Ú Ð ÓÚ Ö [0,t] N t º Ú Ø Ñ Ò ÙÒ Ø Ó ÙÑ ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÓÒ ÖÖ Ú Ð Ò ÐÓØ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ò Ó ØÛÓ Ý Ò Ô Ò Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ó Û Û ÐÐ Ò Ð Ø 2 Ø ÓÒ Ò ÓÙÒØ ÓÖ Ø ÑÓÖ ÔÖ Ðݵº ÁÒ Ø Ñ t Û Ú t Ø Ñ ÐÓØ Ø Ø³ ÒÓØ Ò ÒØ Ö Û Ò Ù Ø Ø Ø Û ÐÐ Ó Û ³ÐÐ ÒÓÖ Ø Ù µ ½ º Ì ÕÙ Ò Ó Ø Ñ ÐÓØ Û Ø ½ Ò ÖÖ Ú Ð ÓÙÖ Ò ¼ Ø Ó ÒÓØ ÓÖÑ ÕÙ Ò Ó Ò Ô Ò ÒØ ÖÒÓÙÐÐ ØÖ Ð Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º Ì Ò t)! P [N t ]!t )! ) t ) ) t t t ) t +)! ) ½ Ì ÓÓ ÔÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ø Ñ Ý Ð Ú Ø Ô ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø ÖÒÓÙÐÐ ØÖ Ð Ð Ó Ú ÓÙ º

¾ Ì Ä Û Ó Ê Ö Ú ÒØ Ì Ð Ñ Ø ÓÖ Ü ÔØ t c t Ò ) t e t º Ì Ù P [N t ] t) e t! Û ÈÓ ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö tº Ï Ò ÒÓÛ Ó ÖÚ ÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ø Ø N t N s +N t N s ) Ò Ø Ø Ø ØÛÓ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð N s Ò N t N s ÓÙÐ Ò Ô Ò ÒØ Ø Ý ÓÑ ÖÓÑ Ô Ö Ø ÒÓÑ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¾ º Ø ÓÒ ÐÐÝ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÖÒÓÙÐÐ ØÖ Ð Ö Ò Ô Ò ÒØ Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ø Ñ s Ò Ø Ó Ø Ñ 0 Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÔ ØÓ Ø Ñ t Û ÛÓÙÐ Ò ÙÔ Û Ø N t s Û Ø ÈÓ ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö t s)º ÙØ Ø Ø ÓÙÐ Ð Ó Ø Ñ N t N s N t s º Ì Ñ ÐÝ N t ÐÐ ÈÓ ÓÒ ÈÖÓ Ò Ö Ø Ò Ð Ö ÕÙ Ø ÓÖ ÖÚ ÖÓÑ Ò Ô Ò ÒØ ÓÙÖ ØÖ ÓÛ ÖÖ Ú Ð Ó Ù ØÓÑ Ö Ø ÓÙÒØ Ö Øº ¾º Í Ò Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ì Ð Û Ó Ö Ö Ú ÒØ ÓÒ ÖÒ Ø Ð Ñ Ø Ó Ñ ÐÝ Ó ØÖ ÙØ ÓÒ º Ù Ø Ò Ð Ó ÔÖÓÚ Ý Ù Ò ÔÓÛ Ö ÙÐ Ö ÙÐØ Û Ó ÔÖÓÓ Ð ÝÓÒ ÓÙÖ ÓÔ º Ê ÐÐ Ø Ò Ø ÓÒ ÅÓÑ ÒØ Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒº ÓÖ Ò Ø Ö Ò Êγ ÒÓÛ Ò ÒÓÙ ÑÓ¹ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒº ÁÒ Ò Ö Ð Ú Ò Ú Ò ÐÐ ÑÓÑ ÒØ ÙÑ Ò Ø Ý Ü Øµ Ñ Ý ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒº Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ó Û Ò Ø Ò µ Ø Å Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖѵ M t) E [ e tx] ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÛÓÒ³Ø Ò ÓÖ ÐÐ t Ò Û Ò Ö ØÓ ÓÒÚ Ö º º ÓÖ Ò ÒØ Ö¹Ú ÐÙ ÊÎ Û Ò 0 et p) < Ó Ø p) ÑÙ Ø Ó ØÓ Þ ÖÓ Ø Ö Ø Ò e ÓÖ Ø ØÓ Ò ÓÖ t > 0º Á X Ø Ú ÐÙ ÓÚ Ö ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò p) Ò ØÓ Ó ÓÛÒ ÑÓÖ Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ø Ø ÓØ Ò º Ç Ú ÓÙ ÐÝ M0) º ÜÔ Ò Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÓÛ Û Ý Ø Ò Ñ º Ö Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒº Ct) E [ e itx] º Ï Ò e ix cosx+isix Ó Ø Ø e ix º ÆÓÛ Ee itx E e itx Ó Ø Û Ý Ò ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖѵº ÓØ Ø Å Û Ò Ò µ Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒº Ê ÓÚ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Å ÓÖ Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ú Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚ Ö ÓÒ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ µº Ï ³ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÓØ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø Ð Ø Öº ¾ ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ú Ò Ø Ñ s t u v Ø Ö ÓÒ Ð ØÓ ÜÔ Ø Ø Ø N v N u Û ÐÐ Ò Ô Ò ÒØ Ó N t N s Ø ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ø º ÆÓØ Ø Ø ÓÙÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÑ N 0 0 Ó Ø Ø N t N t N 0 º ÁÒ Ø Ô Ø Ø Ø Ò Ö Ü ÑÔÐ Ó ÓÙÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Û Ø Ø Ú ØÝ Ó Û Ø Ó Ö Ò Ð Ò Ø Ð Ô ÓÒ ÐÐ º

Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒº Á X Ø ÓÒÐÝ ÒÓÒ Ò Ø Ú ÒØ Ö Ú ÐÙ Û Ò ÛÖ Ø E [ e itx] e it E[ ) ] X E [ z X] p)z z e it º Ì Ö ÓÒÚ Ö ÓÖ z Ó Ø ÓÒÚ Ö ÓÖ ÐÐ z : z < º ÓÖ ÐÐ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ò Ø Ý Ö Ò µ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ù ÙÐ Ø ÓÐ ½º Á X,X 2,...,X Ö Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø¹ Ò» Ö Ø Ö Ø» Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ M,M 2,...,M Ø ÙÑ X ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ M ¾º Ú Ò ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø ÙÑÙÐ Ø Ú ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ¹ Ø ÓÒ F x) P [X x] Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø Ò» Ö Ø Ö Ø» Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ M lim M M Û Ö M ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø Ò» Ö Ø Ö Ø» Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ø Ö Ö Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ØÓ ØÖÙ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ð ÖÐÝ Ò ÖÝ Ø Ø M0) ÓÖ Ø Ö Ø ØÛÓµ Ø Ø Ö ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ F ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ M Ò lim F F º ÁØ Ý ØÓ Ø Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò ØÓ ¾µ Ú Ò Ý e t!! )! 0 ) ) 0 0! e t )! )! ) ) Ò Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ñ Ø ÕÙ Ð ØÓ e ) et º ÁØ Ð Ó Ý ØÓ Ø Ø Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÈÓ ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö º ÓÑÔÐ Ñ ÒØ º½ º½º½ ËÓÑ ÁÒØ Ö Ø Ò ÈÖÓÔ ÖØ Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÅÓÒÓØÓÒ ØÝ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ ÝÓÙ Ò Ö Ø Û Ý Ø Ø X Y E[X] E[Y] Ì Ø ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒº º½º¾ Í ÙÐ ÓÖÑÙÐ ËÙÔÔÓ X Ø Ú ÐÙ 0,,2,...º Ì Ò E[X] P [X ]

Ì ÔÖÓÓ Ó Ð Ø P [X ] P [X +] P [X ] Ò ) E[X] P [X ] P [X ] P [X +] 0 0 0 {P [X ] +)P [X +]}+ P [X +] 0 0 Ì Ö Ø ÙÑ Ø Ð ÓÔ Ò ÙÑ Û Ó ÓÒÐÝ ÙÖÚ Ú Ò Ø ÖÑ 0 P [X 0] 0 Ó Û Ö Ð Ø Û Ø P [X +] P [X ] 0 º¾ Å Ö ÓÚ Ò Ý Ú ÁÒ ÕÙ Ð Ø ÇÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÑÓÑ ÒØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º ÓÑÔÙØ ÙÑ Ò Ø Ü Ø µ E[ X ] x px ) È ÒÙÑ Ö c Ò ÔÐ Ø Ø ÙÑ x px )+ x px ) x px ) c px ) cp [ X c] x <c x c x c x c Ì Ö Ø Ø ÖÑ Û Ù Ø Ø ÖÓÛÒ ÖÙØ ÐÐÝ Û Ý Ø³ ÒÓÒ Ò Ø Ú µ Û Ð Ò Ø ÓÒ Û Ñ ÒÓÖ Þ Û Ø c x º Ì Ù Ì Ù P [ X c] E[ X ] c Á Û Ú ÑÓÖ ÑÓÑ ÒØ E[ X m ] c m px ) c m P [ X c] x c P [ X c] E[ X m ] c m ÆÓÛ ÔÔÐÝ Ø ØÓ Y X E[X] m 2 P [ X E[X] c] VarX) c 2 µ Û ÒÓÛÒ Ý Ú³ ÁÒ ÕÙ Ð Øݺ ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒÐÝ ÙÑÔØ ÓÒ Ö Ö Ü Ø Ò Ó ÑÓÑ ÒØ Ö ÙÐØ ÔÔÐÝ ØÓ ÒÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ðк Ð Ó Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ý Ú ÖÔ ÝÓÙ Ò Ü Ø Ò Ü ÑÔÐ Û Ö Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ º ¾µ

º¾º½ Ì Ï µ Ä Û Ó Ä Ö ÆÙÑ Ö ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò º ÓÒ ÖÖ Ò ÓÑ Ú Ö Ð X,X 2,...,X Ø Ø Ú Ø Ñ Ñ Ò µ Ø Ñ Ú Ö Ò σ 2 Ò Ö ÙÒÓÖÖ Ð Ø Ó ÓÙÖ Ø Ù Ù Ð ØÙ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø Ø Ø Ý Ö Ò Ô Ò Òصº Ì Ò Ø Ý ØÓ Ø Ø [ ] E X i E[X i ] µ µ Var ) m X i 2 VarX i ) 2 σ2 σ2 ÆÓÛ ÐÓÓ Ò Ø ÓÙÒØ Ð ÕÙ Ò Ó Ù Ú Ö Ð Û Ú Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ù Ò µ [ ] m P X i µ ε σ2 µ ε 2 Û Ú Ò 0 ÓÖ ÒÝ Ü Ú ÐÙ Ó εº ÁÒ ÛÓÖ Ø Ö Ø Ñ Ø Ú Ö¹ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð Û Ø Ø Ñ Ñ Ò Ò Ú Ö Ò Ú Ò Ò ÐÝ Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ú Ø Ò ÖÓÑ Ø Ñ Ò ÔÖÓÚ Û Ö Ú Ö Ò Ù ¹ ÒØÐÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö Ð º Ì ÓÒ Ó Ø ÓÖÒ Ö ØÓÒ Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÐÝ Ø ÔÖÓÑ Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ ÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò Ö ÐÐÝ ÙÒ¹ ÒÓÛÒµ Ñ Ò Ó ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ó ÖÚ Ð Ö ÒÓÙ ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ó Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø µ Ð Ó ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÐÙÐ Ø Ó Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ó µ Û ÐÐ ÐÓ ØÓ Ú Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Û Ø ÔÖ Ø ÖÑ Ò ÔÖÓ ¹ Ð Øݺ ÁÒ ÑÓ Ø Ø Ô Ñ Ø Ø Ñ Ø Ó ÓÑ Ø ÓÒ Ð ÙÑÔØ ÓÒ ÓÐ Û Ò Ö Ö ØÓ Ø ÓØ Ö Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ Ø Ó¹ ÐÐ ÒØÖ Ð Ä Ñ Ø Ì ÓÖ Ñµ ØÓ Ø ÖÔ Ö Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ò Ø Ò ÓÙØ Ø Ø Ñ Ø ÖÓÑ µ Ø ÓÙ Ø Ø Ø Ú Ð ÙÒ Ö Ø Ñ Ò Ñ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ú Ö Ð ÙÒÓÖÖ Ð Ø Ø Ý ÓÒ³Ø Ú Ò Ò ØÓ Ò Ô Ò Òص Ò Ø Ø Ñ Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ø Û ÐÐ Ò µº

º Ë ÓÑÑ ÒØ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó ÓÐÙØ Î ÐÙ ÔÔ Ö ÒØÐݵ ËØÖÓÒ Ö ÙÑ Ò Ø Ø E[ X ] Ü Ø Ò Ø ÓÙ Ø Ò ØÖÓÒ Ö Ø Ò ÙÑ Ò Ø Ø EX Ü Ø º Áس Ú ÖÝ ÑÙ Ø Ø ÒØ ÓÒ ØÛ Ò ÑÔÐ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÓÐÙØ ÓÒÚ Ö Ò º Ò ÖØ Ð Ü ÑÔÐ ÓÒ Ö ÊÎ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ó ÒØ Ö Ú ÐÙ Ò Ò Ø Ú Ú Ò ÒØ Ö Ú ÐÙ Û Ø Ì Ù P [X 2 ] 6 π 2 2 P [X 2] 6 π 2 2 EX 6 π 2 ) Û ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ù Ø ÓÒ º º½ ÓÖ Ö Ñ Ò Ö Ó Ø ÔÖÓÓ µ Û Ð Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö ÓÖ X Ú Ö ÒØ ÖÑÓÒ Ö º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ ÓÓ ØÓ Ñ Ø Ø ÒØ ÓÒº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö ÓÐÙØ ÐÝ Ø ÓÒÚ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ Û Ñ Ò Ø Ø Ý Ö ÓÖ Ö Ò Ø ÖÑ Û Ò ÓÖ Ø ØÓ ÓÒÚ Ö ØÓ ÓÑ Ö ÒØ Ð Ñ Ø ÓÖ ÒÓØ ÓÒÚ Ö Ø Ðк Ì Ð ÖÐÝ Ø ÓÖ ÓÙÖ Ü ÑÔÐ Û Ö Ø ÙÑ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ø ÖÑ Û Ú Ú Ö ÒØ Ö Ò Ñ Ð ÖÐÝ Û ÙÒ Ø Ò Ø Ú Ø ÖÑ º Ý Ð Ú ÖÐÝ ÓÒÒ Ø Ò Ø Û Ý Ø ØÛÓ Ù ¹ Ö Ú Ö Û Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ØÓ ÒÝ Ð Ñ Ø Û Û Òغ Ï Ð Ø Ñ Ø ÒÓØ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ñ Ù ÓÒØ Ò ÒØ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÐÓØ Ð Ù Ùк Ì Ö ÓÒ Ð Û Ý ØÓ Ò Ð Ø Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ï ³ÐÐ Ø Ø Ø ÑÓÖ Ò Ö ÐÐÝ ÓÖ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó f X)º Ï Ö Ø Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ô ÖØ Ó f { f + f Û Ö Ú Ö f > 0 : 0 Ð Û Ö { f f Û Ö Ú Ö f < 0 0 Ð Û Ö Ó Ø Ø f f + f Ò f f + + f º Ï Ø Ò ÓÒ Ö E [ f +] Ò E [ f ] Ô Ö Ø Ðݺ Á Ø Ý Ö ÓØ Ò Ø Û Ò E[f] E [ f +] E [ f ] º Á ÓÒ Ú Ö Ò Ø ÓØ Ö Ó ÒÓØ Û Ñ Ý Ò Û Û E[f] ØÓ ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú Ò Ò ØÝ Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ú Ö ÒØ Ô ÖØ º Á ÓØ Ú Ö Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÙÒ Ò Ú Ò Û ÐÐÓÛ Ò Ò ØÝ Ú Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒº ÇÙÖ Ü ÑÔÐ Ñ Ø Ø Ð Ø º Ï Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ f Ò f Ú ÓÖ ÓÒ³Ø Ú Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ø µ ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ðݺ Ì Ò Ø ÓÒ ÐÐÓÛ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒ ØÓ ÑÙ ÑÓÖ Ò Ö Ð Ú Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð Ø Ò Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÓÒ Ö Ò Üصº µ

º º½ Ä Ò Þ Ö Ø Ö ÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø Ö µ Ò ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ö ÙÐØ Ò Ñ Ø Ö Ä Ò Þº Ì ÓÖ Ñ Á a 0 a a 2... > 0 Ò a 0º Ì Ò Ø Ö 0 ) a ÓÒÚ Ö º ÔÖÓÓ Ò Ó Ð Ø º ÓÒ Ö Ø Ô ÖØ Ð ÙÑ ÖÓÑ 0 ØÓ 2 + S 2+ 2+ 0 ) a º Ì Ò S 2+ a 0 a a 2) a 3 a 4)... a 2+ a 0 Ò ÐÐ Ù Ò Ø ÖÑ Ö Ò Ø Ú º À Ò Ø ÕÙ Ò ÓÙÒ º Ð Ó S 2+ S 2 +a 2 a 2+) S 2 Ó Ø Ø Ø ÕÙ Ò ÒÖ Ò º ÓÙÒ ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ð Ñ Ø Ó Ø Ø S 2+ s ÓÖ ÓÑ ÒÙÑ Ö sº ÄÓÓ Ò ÒÓÛ Ø Ø ÕÙ Ò Ó ÙÑ ÖÓÑ 0 ØÓ 2 Û Ú S 2 S 2 +a 2 Ì Ò Ð Ñ Ø Ó ÓØ lim S2 lim S2 + lim a2 s+0 s ÐÐ Ò ÐÐ S sº ÁÒ ÓÙÖ Ô Ø ÔÖÓÓ ÓÚ Ò Ñ Ð ØÐÝ ÑÓÖ ÜÔРغ ÓÒ Ö Ø ÙÑ ÙÔ ØÓ 2º Ì Ò π 2 6 S2 S2 2) 2 2 2 2 2+2 2 )2 2) 4 2 5+2 À Ò 2m S2 S2 2) S2m ÓÒÚ Ö Òغ Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ ÓÛ Ø Ø 0 Ø Ð Ñ Ø Ö Õ٠к S 2 ÓÒÚ Ö ÒØ Ò Ò S 2+ S 2 6 π 2 2+