Ÿ». ÿ π «ß»å Õ ÿ,». Õπ Õ µ ÿµ». Õ ÿ æ æå Ë æ æå Èß ßÀ 545 æ æå È Èß Ë 5 ßÀ 559 ß«π ϵ æ µ Ï æ.». 57 Àâ È ª ß Õ Õ π À Õπ ª º æ à π ËÕ ÿ ª à«à à«π à«πàπ Ëß ÕßÀπ ß Õ à π È µ Õ πàâ Àâ πàπ ß ÕÀ Õ Õ à«π à«πàπ Ëß æ ËÕ â ß π âõ Ÿ Õ Á Õπ å πõ â Õπÿ µ ªìπ åõ «æ πå Ÿª à æ æå Àπà «æ πå 5/0 04 ß ªî «å ππ Àß µ ß ªî ÿß æœ 040» æ å 0 74995 (À Ÿà ) 90 0 746495 ËÕ ŸàÕ contact@wphat.com âõ Ÿ ß πÿ ÕßÀÕ ÿ Ààß µ ÿ π «ß»å Õ ÿ. Ÿ. ÿß æœ: «æ πå, 559. 5 Àπâ.. Ÿ. I. Õπ Õ µ ÿµ, ºŸâ µàß à«. II. Õ ÿ, ºŸâ µàß à«. III. ËÕ ËÕß. 55 ISBN 974--095- à π ˵âÕß Ëß ÈÕÀπ ß Õ à π È ÿ Õ À Õ Ëß ÈÕ â Ë «æ πå. 0 74995 À Õµ ËÕ Ÿà â π π À à π âõµ À Õ π π Ë «Àπ ß ÕÀ Õ Õß œ ÿ àß À ß ºŸâ ΩÉ Ÿ â æ π åµ ËÕ Ÿà â π π À Õ àßõ Ë admin@wphat.com ªìπæ ÿ Ëß Ë µ «µàõ π ËÕß
Ÿ à π È ß Èπ À ºŸâ π Ë æ Èπ «Ÿâ«µ» µ å» µõπª â«π ÈÕÀ Õßµ à π È ß ªìπ à«π ˵àÕ µ π ÈÕÀ Õß«µ» µ å π» µõπª Õ Ÿ à æ ßæÕ Ë ªìπæ Èπ π π» « µ å πßµà ßʵàÕ ª π ÈÕÀ Õßµ à π Ȫ Õ â«ë µ «µàõ π ËÕß Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π Ë À ª æ π å Ë 4 ª ÿ µå Õߪ æ π å Ë 5 ª ÿ µå ÕßÕπÿæ π å Ë 6 øíß å πõ» ø øõ π Ë 7 π À ª æ π å Ë 8 ª æ π å àµ ß π ÈÕÀ ÈßÀ ß â«ë â ßà Õ Õ» â ⫵π Õß ºŸâ âµ à π È ««â π ÈÕÀ Èßµ «ƒ Æ ª ÿ µå π Õ ««â π ÈÕÀ «à «À Õ à ß Ë Õß Õ ««â «ªìπ À Õ æ Ÿ πå ƒ Æ «à π π Õ à ß Õ π ªìπ Ë Èß «à π ß µ à π È ºŸâ π âõ π ÈÕÀ Àâ «â Èß Èπµâπ Õ Àâ â π ÈÕÀ Õß ƒ Æ ª ÿ µå àõπ â«ßõ à«π Ë Èß «à π À ß Ëß â «â ªìπÀ «âõµà ßÀ â àà «âõ Ë ËÕßÀ Õ Ÿà â ßÀπâ ºŸâ π â À «âõ À à π È ª â à «µàõ π ËÕß Õß π ÈÕÀ Õπ Ëß π à«π Õß» æ å ß µ» µ å Ë â πµ à π È ºŸâ π Õâ ßÕ ß Àπ ß Õ» æ å µ» µ å ± µ π ªìπÀ ºŸâ Ë ÿâπ â» æ å Õ ß ƒ ßÕ Ÿâ ª À àõ Ÿà â ß µà ËÕ â ªπ πê Á ÿâπ ª Õß ºŸâ πà«ß«à µ Ÿ à π È ªìπª πåµàõπ» ºŸâ π Ë«ªµ «Õ Õ ÿ «æ πå Ë π πÿπ æ æåµ à π È ÀâÕÕ ªìπ Ÿª à Ë «ß Õà πßà Ÿ å Ë ÿ À âõ æ àõßà Õ âõ πõ π Õ à ß ª âß Àâ æ ËÕ ª ª ÿß π æ æå ÈßµàÕÊ ª Õß» µ å ÿ π «ß»å Õ ÿ Õß» µ åõπ Õ µ ÿµ Õß» µ åõ ÿ
. «Á«4. «π Õß âπ âß 45. Õπÿæ π å Õßøíß å π 47 Ωñ À. 5.4 Ÿµ ÕßÕπÿæ π å 5.4. Õπÿæ π å Õßøíß å πæ µ 5 4 Ë µ «µàõ π ËÕß Ωñ À.4 54 4 Ë µ «µàõ π ËÕß 9. π««ë «µ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π 9 Ωñ À. 8. π«à µ æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π 9.. π«à µ 9 Ωñ À.... æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π Ωñ À.. 5. µ Ë «Õπ πµå 7.. µ ËÕ æ Ë ÈπÀ Õ ßÕ à ß à 7 Ωñ À.. 9.. µ ËÕøíß å π à À Õ à πâõ Õ à ß à 0 Ωñ À...4 π Õß µ 4 Ωñ À.4 6.5 æ Ÿ πå sin q 7 Æ0 q Ωñ À.5 9 Ωñ À Ë 40 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π 4
.5 Æ Ÿ à 55 Ωñ À.5 57.6 Õπÿæ π åõ π Ÿß 58 Ωñ À.6 60.7 À Õπÿæ π å Õßøíß å π Ëπ ª 6 Ωñ À.7 65 Ωñ À Ë 66 Ë À ª æ π å 68. π«â µ Õߺ «68.. π«æ Èπ Ë 68.. 𫪠µ 75 Ωñ À. 8. «À Õߪ æ π å 8 Ωñ À. 90. ƒ Æ À Ÿ Õß Ÿ 9 Ωñ À. 06.4 π«æ Èπ Ë ÕßÕ «µâ âπ âß Àπ Õ π 08.5 æ Ÿ πå ƒ Æ à Ë À ª æ π å ƒ Æ À Ÿ Õß Ÿ 09 Ωñ À Ë 4 Ë 4 ª ÿ µå Õߪ æ π å 6 4. æ Èπ Ë ÕßÕ «π π 6 4.. æ Èπ Ë À«à ß âπ âß 9 Ωñ À 4. 4. ª µ Õß Ÿª ßµ π ËßÀ æ Èπ Ë µ â 5 Ωñ À 4. 8 4. ª µ Õß Ÿª ßµ π Ë À ÿπ 9 4.. À ª µ Õß Ÿª ßµ π π 9 4.. À ª µ Õß Ÿª ßµ π ª Õ ß Õ 6 Ωñ À 4. 45 5
4.4 ß π 44 Ωñ À 4.4 47 Ωñ À Ë 4 48 Ë 5 ª ÿ µå ÕßÕπÿæ π å 49 5. Õ µ æ å 49 Ωñ À 5. 5 5. à ÿ 56 Ωñ À 5. 65 5. ƒ Æ à Ë À Õπÿæ π å 68 Ωñ À 5. 74 5.4 Ÿµ å Õ åæ âõ â À Õ 75 Ωñ À 5.4 80 5.5 à ß âπ âß 8 Ωñ À 5.5 86 5.6 æ Ÿ πå ƒ Æ µà ßÊ 87 Ωñ À 5.6 9 Ωñ À Ë 5 9 Ë 6 øíß å πõ» ø øõ π 96 6. øíß å π Õ 96 6.. π 96 6.. µ Õßøíß å π Õ 97 Ωñ À 6. 05 6. øíß å π È ß 07 6.. µ Õßøíß å π È ß 07 6.. Õπÿæ π å ª æ π å Õßøíß å π È ß 6.. Õ π a 4 Ωñ À 6. 6 6. Õπÿæ π å Õßøíß å πµ µ 8 6 Ë µ «µàõ π ËÕß Ωñ À 6. 9 6
6.4 øíß å πµ µ º º π Ωñ À 6.4 9 6.5 øíß å π Œ æõ å 4 Ωñ À 6.5 48 6.6 ø øõ π 49 Ωñ À 6.6 56 Ωñ À Ë 6 58 Ë 7 π À ª æ π å 6 7. π 6 7. À ª æ π å ªìπ» à«π àõ 6 Ωñ À 7. 68 7. À ª æ π å π à ⫵ «ª 69 7.. ËÕøíß å π ˵âÕß À ª æ π åª Õ â«æ πå a - u, a u À Õ u - a ËÕ a fl 0 69 7.. ËÕøíß å π ˵âÕß À ª æ π åª Õ â«æ πå a b 74 7.. ËÕøíß å π ˵âÕß À ª æ π å ªìπøíß å πµ Õß sin cos 75 Ωñ À 7. 78 7.4 À ª æ π å à«π 80 Ωñ À 7.4 86 7.5 À ª æ π åøíß å πµ µ 87 7.5. øíß å πµ µ ËÕ Ÿà π Ÿª sin m À Õ cos m ËÕ m ªìπ π«π µá «87 7.5. øíß å πµ µ ËÕ Ÿà π Ÿª sin m cos n 89 7.5. øíß å πµ µ ËÕ Ÿà π Ÿª tan m À Õ cot m ËÕ m ªìπ π«π µá «90 7.5.4 øíß å πµ µ ËÕ Ÿà π Ÿª sec m À Õ cosec m ËÕ m ªìπ π«π µá «9 7.5.5 øíß å πµ µ ËÕ Ÿà π Ÿª sec m tan n ËÕ m, n 0 94 7.5.6 øíß å πµ µ ËÕ Ÿà π Ÿª cosec m cot n ËÕ m, n 0 95 Ωñ À 7.5 977 n 7
7.6 Ÿµ Õπ 98 Ωñ À 7.6 05 7.7 ø øõ π Õß f Ë π ßà Õßøíß å π Õß D ËÕ Õ«à ªìπ à ßµ «06 å π 0 Ωñ À Ë 7 Ë 8 ª æ π å àµ ß 7 8. ª æ π å àµ ß π ËÀπ ËßÀ Õª æ π åõπ πµå 7 Ωñ À 8. 7 8. ª æ π å àµ ß π Ë Õß 9 Ωñ À 8. 8 8. ª æ π å àµ ß π º 9 Ωñ À 8. 4 Ωñ À Ë 8 4» æ å 4 πÿ 46 8 Ë µ «µàõ π ËÕß
. π««ë «µ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π» ËÕß µ Õßøíß å π ªìπ Ëß ªìπ À «Ÿ æ µ Õß øíß å π ªìπ 𫫪 Ÿà» ËÕßÕ ËπÊ àπ Õπÿæ π å ª æ π å ªìπµâπ àõπ Ë à «ß ËÕß µ Õßøíß å π Ë µâπ â«æ à Õßøíß å π æ ËÕ ªìπ π«ß ª Ÿà ËÕß µ æ øíß å πµàõ ªπ È ) æ øíß å π f (), 0 à À à Õßøíß å π Ë 0 â µà À à Õßøíß å π à µà ßÊ âê 0 â ߪ Ø πµ ßµàÕ ªπ È < 0 > 0 f () f () -0.5-0.5 0.5.5-0. -0.7 0.. -0. -0.9 0.. -0.0-0.99 0.0.0-0.000-0.9999 0.00.00-0.0000-0.99999 0.000.000............ 9
ß µ à Õßøíß å π ÿ â 0 µ ß æ «à ËÕ â â 0 ß â ( < 0) à Õßøíß å π f â â - π È à ««à - ªìπ µ Õß f ËÕ â â»ÿπ å ß â π π â«f () - Æ0 - ËÕ â â 0 ß «( > 0) à Õßøíß å π f â â π È à ««à ªìπ µ Õß f ËÕ â â»ÿπ å ß «π π â«f () Æ 0 æ à Õßøíß å π Ë ÿ µà ßÊ â»ÿπ å æ ËÕ Àâ â âõ ÿª ß à «â ßµâπ ªìπ «ß µ à Õßøíß å π µ ß ËÀ â π à µà ßÊ π Ÿµ Õßøíß å π f πõ «π È â«ß Õ «Àπ Ëß ß µ ø ßπ È f () π à Õßøíß å π Ë 0 â ªìπ f () f (), 0 - - - ËÕ < 0 ËÕ > 0 π ø Õß y f () â ø ß ß π æ.. y - - 0 y y æ.. ËÕ < 0 ø ªìπ à«π Õß âπµ ß y - - ËÕ > 0 ø ªìπ à«π Õß âπµ ß y ËÕ â â»ÿπ å ß â ( < 0) ÀÁπ«à à Õß y â â - ß à «â «à - ªìπ µ Õß y f () ËÕ â â»ÿπ å ß â ËÕ â â»ÿπ å ß «( > 0) ÀÁπ«à à Õß y â â ß à «â«à ªìπ µ Õß y f () ËÕ â â»ÿπ å ß «0 Ë µ «µàõ π ËÕß
ËÕæ ø Õß y f () æ «à ø µõπ Ë 0 à «â «à øíß å π f àµàõ π ËÕß Ë 0 Ï - 9, Ô ) æ øíß å π f - () Ì Ô 6, ÀÁπ â«à ËÕ â f () Ó ( - )( ) - π ø Õß y f () â ø ªìπ âπµ ß âπ «µàõ π ËÕß πµ Õ ß ß π æ.. 0 æ.. 6 y æ ø æ «à ËÕ â â ß â ( < ) à Õßøíß å π f â â 6 ËÕ â â ß «( > ) à Õßøíß å π f Á â â 6 àπ «π π È à «â«à 6 ªìπ µ Õßøíß å π f ËÕ â â π π â«f Æ () 6 Ëß «à π Èπ à 6 Á Õ à Õß f () Ë π Ëπ Õß à «â«à f «µàõ π ËÕß Ë ) æ øíß å π f () π Ÿµ f â ªìπ - 9 - À à f Ë à â µà π«à f () â ËÕ æ π Ë â à - 0 f () f ( - )( ) - ËÕ. π««ë «µ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π
ËÕ π ø Õß f â ø ªìπ âπµ ß àπ «ø Õß f µà ø Õß f µõπ Ë ÿ ß æ.. 6 y f Ù 0 æ.. æ à Õßøíß å π ËÕ â â àπ «âõ ) â«à ËÕ â â à Õßøíß å π â â 6 π π â«f Æ () 6 ª ø Õß f ø Õß f ÀÁπ«à ø Õß f µà ß ø Õß f µ ß Ë ø Õß f µõπ Ë à «â«à f àµàõ π ËÕß Ë æ à Õßøíß å πµà ßÊ ß à «â ßµâπ ËÕ à â â ÿ ÿ Àπ Ëß ÀÁπ â«à Õß ø Õßøíß å πõ ªìπ âµà ßÊ πà ß æ..4 Ëß ß ø Õßøíß å π Ë µ µà ß π 5 L y 0 a f y f(a) L 0 a ( ) Ë ( ) Ë ( ) Ë y y f f A f(a) B f L y 0 a f 0 a 0 a (ß) Ë 4 ( ) Ë 5 æ..4 Ë µ «µàõ π ËÕß
æ..4 ( ) ( ) ( ) ªìπ ø Õßøíß å π ËÀ µ ËÕ â â a â à«π æ..4 (ß) ( ) ªìπ ø Õßøíß å π ËÀ µ ËÕ â â a à â Ë«ª â å π «À µà ßÊ Ë «µ ßµàÕ ªπ È f() L π «À «à µ Õßøíß å π f ËÕ â â a à à L Æ a f() A π «À «à µ Õßøíß å π f ËÕ â â a ß â - Æa à à A A «à µ ß â Õß f f() B π «À «à µ Õßøíß å π f ËÕ â â a ß «Æ a à à B B «à µ ß «Õß f â«à Æ a Æa f() L ÁµàÕ ËÕ f() L f() - Æ a æ..4 ß ß Àâ ÀÁπ «µ µà ß À«à ß «µàõ π ËÕß «àµàõ π ËÕß Õß øíß å π ÿ a Õ â«àáπ â«à æ..4 ( ) ß ø ˵àÕ π ËÕß Ë a Ëß µ µà ß ª ø æõ ËπÊ Õ πõ À µ ËÕ â â a â â«ßà à Õßøíß å π Ë a â à Õßøíß å π Ë a à Õß µ Õßøíß å π ËÕ â â a à à π à «ÿª â«à øíß å π f «µàõ π ËÕß Ë a π π Õß f µàõ ËÕ ß ËÕπ µàõ ªπ È ªìπ ß Èß ª Õ ) À à f() â Æ a ) À à f(a) â f() f(a) ) Æ a Ô Ô... (.) â ß ËÕπ âõ âõàπ Ëß ª à ««à f àµàõ π ËÕß Ë a ßπ Èπøíß å π f (), 0 àµàõ π ËÕß Ë 0 æ ß ËÕπ âõ ) âõ ) - 9 - øíß å π f () àµàõ π ËÕß Ë æ ß ËÕπ âõ ) à«πøíß å π f π Èπ «µàõ π ËÕß Ë æ f ÿ µ µ ßµ ß ËÕπ Èß ª à «Õ ) f () 6 Æ ) f () 6 ) f () 6 f Æ (). π««ë «µ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π
ÿª ß ËÕπ (.) àõ â à «Õ f «µàõ π ËÕß Ë a π π Õß f ÁµàÕ ËÕ f() f(a) à π Èπ Æ a æ ËÕ ªìπ Õ «â «À Õß «µàõ π ËÕß Õßøíß å π ßæ ø π æ..5 «à øíß å π f µàõ π ËÕßÀ Õ à Ë ÿ, 5 8 æ Àµÿ y 0 5 8 æ..5 æ À µµ «À Ë à ««â â ßµâπÕ â ) æ ø Õßøíß å π ) æ à Õßøíß å π Ë â π«) â Æ ±å π«à µ π Ëπ È ßµ «Õ à ß À µ «Ë ) «Ë ) à«π«ë ) π Èπ ß π À «âõ. µàõ ª - ËÕ - 0 µ «Õ à ß.. Àπ Àâ f() Ï Ì Ô Ó Ô ËÕ 0 < 4 «ß π ø Õß f â«æ «à À Õ à â À â à ªìπ à π ø Õß y f() ß æ y 4 Æ- f() f() À à â Æ0 0 - - 4-4 Ë µ «µàõ π ËÕß
ËÕ â â - f() - ËÕ - 0 ø Õß f ªìπ à«π Õß âπ âß ËßÕ Ÿà ß â Õß π y ËÕ â â - ß â ß «â à Õß f â â ßπ Èπ f() Æ- ËÕ â â»ÿπ å ËÕ < 0, f() - à Õß f â â - ËÕ â â»ÿπ å ß â â f() - Æ0 - ËÕ > 0, f() à Õß f â â 0 ËÕ â â»ÿπ å ß «â f() 0 Æ 0 æ π Èπ ßπ Èπ Æ0 - f() f() à à À ÕÀ à à â Æ 0 Æ0 µ «Õ à ß.. ßæ «à øíß å π Ë Àπ Àâ πµ «Õ à ß.. µàõ π ËÕß Ë - 0 À Õ à «æ Ë - -, - 0 f() Ï Ì Ô Ó Ô, 0 < 4 â f(-) µ «Õ à ß.. Æ- f() æ π Èπ f() f(-) ßπ Èπ f µàõ π ËÕß Ë Æ- - æ Ë 0 π ËÕß Æ0 f() À à à â ( µ «Õ à ß..) ßπ Èπ f àµàõ π ËÕß Ë 0 f(). π««ë «µ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π 5
µ «Õ à ß.. ß π ø Õßøíß å π f() - â«ßæ À à f() - Æ ø «Ÿµ à Õßøíß å π Ë Àπ Àâ À à Õßøíß å π ÿ Ê ÿ à â «âπ - π Ëπ È æ æ à f() ËÕ à â â f() π ø Õß y f() â ß æ - ( - )( ), y 6 Ë µ «µàõ π ËÕß - æ ø æ «à f à â â ËÕ â â ßπ Èπ f() Æ À Àµÿ øíß å π πµ «Õ à ß.. àµàõ π ËÕß Ë π ËÕß øíß å π à à Ë µ «Õ à ß..4 «Àπ Àâ f() sin, 0 ß â ßµ ß Õ à f Ë ÿ µà ßÊ â»ÿπ å â«ßæ À à f() µ ß Æ0 â Àπ ªìπ π â«ªî µ ßÀ à sin π«à sin ËÕ â â»ÿπ å â à µà ßÊ ßª Ø πµ ßµàÕ ªπ È
π sin f() π sin f() 0.745 0.76 0.9948-0.745-0.76 0.9948 0.4 0.95 0.9964-0.4-0.95 0.9964 0. 0.97 0.9975-0. -0.97 0.9975 0. 0.0998 0.998-0. -0.0998 0.998 0.0 0.0099 0.99-0.0-0.0099 0.99 æ µ ßæ «à ËÕ â â»ÿπ å à Õßøíß å π f â â ßπ Èπ Æ0 f() sin π Ëπ Õ Æ0 À Àµÿ sin ) æ Ÿ πå â«à ªìπ ß Õ» «ß µ Ëß Æ0 à «ß À ß ) À π ø Õß y sin â ø ß æ..6 y -p p æ..6. π««ë «µ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π 7
âõ -5 ß â ßµ ß ß à Õßøíß å π Ë Àπ Àâ ÿ âê a ( µà à à a) Ë Àπ Àâ æ ËÕ ÿª à Õß f(), f() f() ( â µ à ) - Æa Æ a. f() -, a. f() ( - 4)/( 4), a 0. f(), a 8 4. f() - - 4, a 4 Æ a 5. f() (cos - ), a 0 ªìπ ÿ «Àπ૪ìπ π âõ 6-0 ß π ø Õßøíß å π Ë Àπ Àâ â«æ Õ à f(), f() - Æa Æ a f() ( â µ à ) Õ â««à øíß å πµàõ π ËÕßÀ Õ à Ë ÿ a æ Àµÿ Æ a 0, < 0, a 0 6. f() Ï Ì Ô Ó Ô, fl 0,, a 7. f() Ï Ì Ô Ó Ô -, > ( - )/( ), -, a - 8. f() Ï Ì Ô Ó Ô, - 9. f() Ï Ô Ì Ô Ó - - 6 - Ô 5 ËÕ ËÕ, a, 0. f() Ï Ô Ì Ô Ó - - Ô 0 â â, a, 5 8 Ë µ «µàõ π ËÕß
. π«à µ æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π.. π«à µ æ à µ Õßøíß å π f() ËÕ â â a æ à Õßøíß å π ÿ âê a À Õ æ ø ß à «â«πà «âõ. π Èπ ß à ««Á«à Ë «æ ËÕ Ë Àâ«À à µ ««Á«Èπ ß ªìπµâÕß» Æ ±å æ ËÕπ â π π«æ ÿ Æ æ Ÿ πå â µà π Ëπ È à» ß «æ Ÿ πå æ ß µà» ß«π Æ ±å ª â π π«à π Èπ Æ ±åµà ßÊ Ë ªìπ Õ ) â f() c Ë c ªìπ à ßµ «â«â«à f() c Õß µ Õßøíß å π Æ a π Ëπ Õ (c) c... (.) Æ a ) â f() â«à f() a Æ a π Ëπ Õ a ) â Æ a. Æ a Æ () a... (.) f() L Æ a f() ± g() L ± M g() M â«â π Ëπ Õ µ Õߺ «(À Õº µà ß) Õßøíß å π à º «(À Õº µà ß). Æ a f() g() L M π Ëπ Õ µ Õߺ Ÿ Õßøíß å π à º Ÿ Õß µ Õßøíß å π f( ). Æ a g ( ) L M, M 0 π Ëπ Õ µ Õߺ À Õßøíß å π à º À Õß µ Õßøíß å π «âπ Ë µ Õß à«π à»ÿπ å n 4) â n ªìπ π«π µá «f() L â«f( ) à â«à n f( ) L Æ a Æ a Æ a n «âπ Ë L < 0 Æ âõπ È ªìπ ß ËÕ n ªìπ π«π Ë. π«à µ æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π 9
À Àµÿ Æ ±å À à π È â â µ ß â µ ß «â«µ «Õ à ß.. «ßÀ à Õß Æ ( - 8 7) â Æ âõ. π à Õß µ â ßπ È Æ ( - 8 7) Æ ( ) - Æ (8) Æ (7) 9-4 7-8 µ «Õ à ß.. «ßÀ à Õß Æ- ( ) Æ- - 6 ( ) () Æ- Æ- 4 ( - 6 ) Æ- â Æ âõ. â Æ- - 6 ( ) - Æ- -8 5 ( Ëß 0) 4 5 Æ- ( ) Æ- ( - 6 ) Æ- (6) Æ- () À Àµÿ π À µ Õßøíß å π â Æ âõ. π Èπ âõ ««ß ªìπæ» Õ Æ âõπ È ªìπ ß ËÕ µ Õß à«π à à à»ÿπ å à π Èπ 0 Ë µ «µàõ π ËÕß
µ «Õ à ß.. «ßÀ à Õß Æ0 4 - π Ëπ Èøíß å πõ Ÿà π Ÿª f()/g() Ë f() 4 - g() ËÕÀ µ Õßøíß å π Èß Õß â Æ0 Æ0 f() g() Æ0 Æ0 ( 4 - ) 0 () 0 π È à À µ Õß f()/g() â Æ âõ. â æ g() 0 Æ a µà À µ Õß f()/g() π È â Õ» «Ÿâ ßæ µ ª Ë π Ÿª Ÿµ à Õßøíß å π À à ßπ È ßπ Èπ 4-4 - ( 4) - 4 ( 4 ) 4 4 4 - Æ0 Æ0 4 ( ) 4 4 4 ËÕ 0 ËÕ 0 ËÕ 0 ËÕ 0 À Àµÿ f( ) ËÕ f() 0 g() 0 «à µõ Ÿà π Æ a g ( ) Æ a Æ a Ÿª ß à Àπ (indeterminate form) 0 Ëß â» Õ π À ß 0. π«à µ æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π
µ «Õ à ß..4 «ßÀ à Õß [( - ) 5 5-5] Æ π Ëπ ȵâÕß À µ ËÕ â â ß «Õßøíß å π Ëß π Æ ±å ß à «â ßµâπ à«π π«â ßµàÕ ªπ È [( - ) 5 5-5] ( - ) 5 (5-5) / Æ Æ Æ 0. ß π«à Õß µ Õßøíß å πµàõ ªπ È (À Õ ß«à À à µ à â) ( 7 - ). ( - 6) Æ Æ- Ê. ˆ - Æ4 Ë Á 5. Æ 7. Æ- - Ê ˆ 9. Æ Ë Á 4 4 4. Æ-. Æ- ( ) 4. ( )( 4 - ) Æ 4 6. Æ - / 8. Æ4 - / 0. Æ 4. Æ ( ) - - 8 6. Æ4 - - 4 - - 4 4 5. Æ4 - - 4 6. Æ0-4 - / - 7. Æ - 9. Æ - / - / 8. Æ4-4 ( / ) - ( / ) - ( - ) 0. Æ0 - - ( -/ ) Ë µ «µàõ π ËÕß
.. æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π À «âõ. â à ««â â««à øíß å π f µàõ π ËÕß Ë ÿ a ÁµàÕ ËÕ ß ËÕπ µàõ ªπ È ªìπ ß Õ f() f(a) Æ a â f à ÿ µ µ ß ËÕπ π È Á à «â«à f àµàõ π ËÕß Ë a â øíß å π f µàõ π ËÕß Ë ÿ Ê π à«ß ªî I Ê à «â«à f µàõ π ËÕß π à«ß ªî I π Èπ æ ËÕ Àâ æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π Ë«Ê ª «Á«Ÿ µâõß ªìπµâÕß Æ ±å ß Æ ±å ßµàÕ ªπ È «âª Õ æ Õ â f g ªìπøíß å πµàõ π ËÕß Ë a â«à ) f g ªìπøíß å πµàõ π ËÕß Ë a ) f g ªìπøíß å πµàõ π ËÕß Ë a ) k f ªìπøíß å πµàõ π ËÕß Ë a ËÕ k ªìπ à ßµ «Ê 4) f / g ªìπøíß å πµàõ π ËÕß Ë a ËÕ g(a) 0 Æ À à π È æ Ÿ πå â µà π ÈπµÕππ È àæ Ÿ πå æ ß µà π ª âª Õ æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π à π Èπ «µàõ π ËÕß ß â «µàõ π ËÕß ß «à «â«à f µàõ π ËÕß ß â Ë a â Æa - f() f(a) à ««à f µàõ π ËÕß ß «Ë a â Æ a f() f(a) f µàõ π ËÕß π à«ßªî [a, b] ÁµàÕ ËÕ ß ËÕπ µàõ ªπ È ªìπ ß Õ ) f µàõ π ËÕß π à«ß ªî (a, b) ) f µàõ π ËÕß ß â Ë b ) f µàõ π ËÕß ß «Ë a. π«à µ æ «µàõ π ËÕß Õßøíß å π
-, - 0 µ «Õ à ß..5 Àπ Àâ f() Ï Ì Ô Ó Ô, 0 < 4 «ßæ «µàõ π ËÕß Õß f π à«ßªî [-, 0] [-, 4] ) æ π à«ß ªî (-, 0) Àâ 0 Œ (-, 0) f( 0 ) 0 - ËßÀ à â f() ( - ) 0 - ËßÀ à â Æ 0 Æ 0 â f() f( Æ 0 ) 0 æ π Èπ f µàõ π ËÕß Ë 0 µà 0 Œ (-, 0) ßπ Èπ f µàõ π ËÕß π à«ß ªî (-, 0)... () æ Ë 0 f(0) - f() ( - ) - â Æ0 - Æ0 - f() f(0) Æ0 - ßπ Èπ f µàõ π ËÕß ß â Ë 0... () æ Ë - f(-) 8 f() ( - ) 8 â Æ- Æ- Æ- f() f(-) æ π Èπ f µàõ π ËÕß ß «Ë -... () (), () () â«à f µàõ π ËÕß π à«ßªî [-, 0] ) æ π à«ßªî [-, 4] Àπ Ÿµ à Õßøíß å π ªìπ Õß Ÿµ ˵à ß π ËÕ < 0 ËÕ > 0 π Èπ æ Ë 0 ªìπ ÿ ßπ È f(0) - ËßÀ à â Æ0 - f() Æ0 - ( - ) - 4 Ë µ «µàõ π ËÕß
â Æ 0 Æ0 - f() Æ 0 f() Æ 0 () 0 f() ßπ Èπ f() À à à â Æ0 æ π Èπ f àµàõ π ËÕß Ë 0 µà 0 Œ [-, 4] ßπ Èπ f àµàõ π ËÕß π à«ßªî [-, 4]. Àπ øíß å π f() ßæ «à f µàõ π ËÕß Ë a À Õ à æ Àµÿ ) f() - 4, a ) f() ) f(), a -, a - â < -, a - 4) f() Ï Ì Ô Ó Ô â fl - 5) f() Ï Ô Ì Ó Ô â < â < 5, a, 5 - â fl 5 6) f() 7) f() Ï Ô Ì Ô Ó - - 6 - Ô 5 â Ï Ô Ì Ô Ó - - Ô 0 â â, a â, a, 5 Ωñ À.. 5
. Àπ øíß å π f() ßæ «à f µàõ π ËÕß π à«ß Ë Àπ ÀâÀ Õ à â 0 < ; [0, ] ) f() Ï Ì Ô Ó Ô - â â 0 < ; [, ) ) f() Ï Ì Ô Ô Ó - â fl ) f() ; [-, ) 4) f() 5) f() 6) f() 7) f() - - - - 8 Ï Ô Ì Ó Ô Ï Ô Ì Ó Ô ; (, ) ; (-, ] - â < 0 â > 0; (-, ) â 0 4 â < - 6 â - < ; [-, 5) - â fl. ß Àπ à f(0) Ë Àâøíß å π f µàõ π ËÕß Ë 0 â Àπ Àâ ) f() 5 - ) f() - 6 Ë µ «µàõ π ËÕß
. µ Ë «Õπ πµå.. µ ËÕ æ Ë ÈπÀ Õ ßÕ à ß à πà «âõ. âæ Ë «µ Õßøíß å π Ëß à ªìπ π«π ß ËÕ â â π«π ß π«π π«πàπ Ëß πà «âõπ È æ µ Õßøíß å π ËÕ à æ Ë Õ à ß à À Õ à ßÕ à ß à æ ø Õßøíß å π f() π æ.. y 0 æ.. ÀÁπ«à ËÕ à ßÕ à ß à à Õß f() â â 0 π È à «â«à µ Õß f() à 0 ËÕ ßÕ à ß à π π â«f() 0 Æ- ËÕ æ Ë ÈπÕ à ß à à Õß f() â â 0 àπ π π È à «â«à µ Õß f() à 0 ËÕ æ Ë ÈπÕ à ß à π π â«æ ËÕßÀ - Ë â π å Èß Õßπ È à à π«π ß ªìπ æ ß å Ë â ß «À Ë«à ßÕ à ß à æ Ë ÈπÕ à ß à Õ µ ß à Ë Õ«à - ªìπ π«π Ëß Á ªìπ Ëß ËªØ µ πõ ŸàÕ à ß «â ß «ß µà π Ëπ È à àππ Èπ ß Õ«à Æ- f() L Æ f() L ªìπ æ ß å Ë ß«à f() µ ªìπ L ËÕ ßÕ à ß à ËÕ æ Ë ÈπÕ à ß à. µ Ë «Õπ πµå 7
Õ à ß Áµ Æ ±åµà ßÊ Ë «µ Ë à «â«πà «âõ. ß ß ªìπ ß À Èß Õß π È µ «Õ à ß.. «π ËÕß ßÀ à Æ Æ π Èπ Æ 0 ( )( )( ) Æ Æ Æ 0 À f() À Õ f() Õ â ª Ë πµ «ª ªìπ t Àπ Æ Æ- Àâ âõ Àπ π È â«à Æ ËÕ t Æ 0 Æ - ËÕ t Æ 0 - ßπ Èπ t µ «Õ à ß.. «( ) f() f Æ tæ 0 t f() f ( ) Æ- tæ0 - t ßÀ à Æ Ê ˆ 4 Ë Á 4 5 Àâ π Èπ Æ t Ê ˆ 4 Ë Á 4 5 tæ 0 tæ 0 (t 4 t 5 4) t 4 tæ 0 t 5 tæ 0 4 4 µ «Õ à ß.. ««Ë ßÀ à Æ Æ - 5-5 Æ ( ) ( ) - 5 8 Ë µ «µàõ π ËÕß
Æ - 5 «Ë Àâ t Æ - 5 tæ 0 tæ 0 - t t 5 t t - t t t 5t ßÀ µ Õßøíß å πµàõ ªπ È ( â ). Æ. Æ. Æ- 4-4 0-5 0000-0 4. Æ- 5. Æ 0 00 0-500 - 5 Ωñ À.. 9
.. µ ËÕøíß å π à À Õ à πâõ Õ à ß à πõ â å Æ Æ - æ ËÕ ß«à à Õ à ß à à πâõ Õ à ß à â«ßõ â å - À Õ æƒµ Õß à Õßøíß å πõ â«õ â Æ a f() æ ËÕÀ ««à f à Õ à ß à ËÕ à â a â Æ a f() - æ ËÕÀ ««à f à πâõ Õ à ß à ËÕ à â a µ «Õ 惵 Èß Õßπ È â«æ «à Æ a f( ) 0 À Õ à æ «à f() à ªìπ «À Õ ªìπ Õ Ê ÿ a à «Õ ) â f() > 0 Ë ÿ Õ Ê a Æ a Á ÿª â«à f() Á ÿª â«à Æ a ) â f() < 0 Ë ÿ Õ Ê a Æ a Õ à ß Áµ ÿª«à À Õ Æ a Æ a f() - f() f() - f( ) Æ a f( ) π ÈπÀ à ÿª«à f() à à æ π Ë µπ È à ªìπ π«π L π«π π«πàπ Ëß Æ a à f() Ë ÿ âê a àõ à â L àõ à à À ÕπâÕ Õ à ß à 0 0 µ «Õ à ß..4 «ßæ «à Æ f() ( - ) ( - ) à À Õ à > 0 Õ Ê 0 Ë µ «µàõ π ËÕß
ßπ Èπ Æ ß â«à Æ f( ) ( - ) Æ ( - ) Æ à à ( - ) 0 πõ â å, - ß â à ««â â«ß â π Õ ËπÊÕ ßπ È f() Æ a À ««à f à Õ à ß à ËÕ à â a ß «f() - Æa À ««à f à Õ à ß à ËÕ à â a ß â f() - Æ a À ««à f à πâõ Õ à ß à ËÕ à â a ß «f() - - Æa f() Æ À ««à f à πâõ Õ à ß à ËÕ à â a ß â À ««à f à Õ à ß à ËÕ à Õ à ß à f() - Æ À ««à f à πâõ Õ à ß à ËÕ à Õ à ß à f() Æ- À ««à f à Õ à ß à ËÕ à πâõ Õ à ß à f() - Æ- À ««à f à πâõ Õ à ß à ËÕ à πâõ Õ à ß à «µ «Õ 惵 ß à «â««æ ßπ È ) â f() > 0 ß «Õß a 0 Æ a f( ) ÿª â«à a Æ f(). µ Ë «Õπ πµå
ÿª â«à ÿª â«à ÿª â«à ÿª â«à ÿª â«à ÿª â«à ÿª â«à Ë µ «µàõ π ËÕß 4) â f() > 0 ß â Õß a Æa - f() 5) â f() < 0 ß «Õß a Æ a f() - 6) â f() < 0 ß â Õß a Æa - f() - Æa - f( ) Æ a f( ) Æa - f( ) 7) â f() > 0 ËÕ à Æ Æ f() 8) â f() < 0 ËÕ à f( ) Æ f( ) f() - Æ Æ- f( ) 9) â f() > 0 ËÕ à πâõ Æ- f() 0) â f() < 0 ËÕ à πâõ Æ- f() - µ «Õ à ß..5 ßæ À à µµàõ ªπ È «) f() ) Æ - ) Æ - - < 0 ß â Õß Æ- f( ) 0 0 0 0 0 0 0
Æ - ßπ Èπ Æ - f( ) - ) f() â Æ ßπ Èπ Æ â ßæ À à µµàõ ªπ È 4. Æ -. Æ -. Æ - - ( - ) Æ Æ - - 0 - ( )( ) ; - f() > 0 ËÕ à f( ) Æ ( ) 0 4. Æ - ( - 4) Ωñ À..
.4 π Õß µ πà «âõ. â à «ß «À Õß µ Õßøíß å π «µàõ π ËÕß Õßøíß å π µà ß à πæõ æ à â Àâ Æ ±åà Õ«««â À Õ â â àπ µ «Õ à ß.. ËÕ â â»ÿπ å µ Õßøíß å π à ßπ Èπ µâõßà ««â â π ß µ» µ å Àâ π Ëß Ë â««â À«à ß π«π Õß π«π â Õ º µà ß À«à ß π«π Èß Õß àπ f() - L ªìπ à Ë Õ Àâ «à f() L â π æ ß à «Õ â f() - L à πâõ ß«à f() L â π Ëß f() - L πâõ æ ß ß«à f() L Ëß â π Èπ æ ßπ Èπ æ f() - -, µ Õß f() à à ËÕ â â - â µâõß Àâ f() - < 0.00 Á â Àπ Àâ - πâõ æõ ªí À Á Õ - µâõß à πâõ æ ß ß Õ«à πâõ æõ à «Õ µâõßµõ π Ë«à - πâõ «à à ß â«à f() - < 0.00 ËßÕ æ â ªìπ ÈπÊ ßπ È ËÕ â â ß«à - 0 â f() ( )( - ) - Ëß f() - < 0.00 ÁµàÕ ËÕ ( ) - < 0.00 µà ( ) - - - ßπ Èπ f() - < 0.00 ÁµàÕ ËÕ - < 0.00 Õ f() - < 0.00 ÁµàÕ ËÕ - < 0.00 ßπ Èπ â Àπ Àâ - à πâõ «à 0.00 â«â«à f() - < 0.00 Õ à ß πàπõπ Ë«Ê ª â µâõß Àâ f() - πâõ «à π«π «Õ ËπÊ àπ E Á â Àπ Àâ - πâõ æõ - < E π««π æ Ë à «â ßµâππ È ÿª ªìπ π À f() L ßµàÕ ªπ È Æ a π Ë.4. L ªìπ µ Õßøíß å π f() ËÕ â â a π π â«f() L Á Æ a µàõ ËÕ À ÿ Ê π«π ß «E Ë Àπ Àâ À π«π «D â Ëß Àâ f() - L < E ÿ à Õß π π Õß f Ëß 0 < - a < D 4 Ë µ «µàõ π ËÕß
π æ «à à Õß Æ a f() à À Õ àπ Èπ ß ÈßÕ µâõß æ ËÕ â â a ß â ËÕ â â a ß «ß ªìπµâÕß π À µ ß â µ ß «Õßøíß å π f ËÕ â â a ßµàÕ ªπ È π Ë.4. L ªìπ µ ß â Õßøíß å π f() ËÕ â â a π π â«f() L Æa - ÁµàÕ ËÕ À ÿ Ê π«π ß «E Ë Àπ Àâ À π«π «D â Ëß Àâ f() - L < E ÿ à Õß Ëß Œ (a - D, a) π Ë.4. L ªìπ µ ß «Õßøíß å π f() ËÕ â â a π π â«f() L Æ a ÁµàÕ ËÕ À ÿ Ê π«π ß «E Ë Àπ Àâ À π«π «D â Ëß Àâ f() - L < E ÿ à Õß Ëß Œ (a, a D) æ «à µ Õßøíß å π à À Õ à â à à π Èπ µâõßæ â ±å Ë«à f() à ÁµàÕ ËÕ f() f() à π Èπ Æa - Æa Æ a à Ë à ππ È Á Õ à Õß f() π Ë.4.4 Æa Õ π «µàõ π ËÕß Õß f Ë a Õ» «À Õß µ Õßøíß å π ßπ È f «µàõ π ËÕß Ë a π π Õß f ÁµàÕ ËÕ f() f(a) à π Èπ f Æ a «µàõ π ËÕß π à«ß I ÁµàÕ ËÕ f «µàõ π ËÕß Ë µà ÿ π à«ß I æ µ Õ» π π Õß f() L Ëß à ««à â Àπ π«π «E Àâ Æ a À π«π «D â Ëß Àâ f() - L < E ÿ à Ëß 0 < - a < D Àâ ÀÁπ â«à À π æ µ Õßøíß å π ß à «â ßµâπ Á Õ æ À π«π «D ß à «Àâ âπ Ëπ Õß.4 π Õß µ 5
µ «Õ à ß.4. â π Õß µ ßæ «à Æ «æ «à ËÕ Æ â - 0 â - - - - - Æ - ( )( -) - Æ ( ) - - - ß µâõß ß«à ËÕ Àπ π«π «E Ê Àâ À π«π «D â Ëß Àâ ( ) - < E ÿ à Ëß 0 < - < D Àπ Àâ E > 0 µâõß Àâ ( ) - - - < E ËÕ 0 < - < D ßπ Èπ µâõß Õ à D ß â ( ) - - < E E ÿ à Ëß 0 < - < D ß«à ÿ Ê E > 0 Ë Àπ Àâ D E Ëß Àâ - - - < E æ π Èπ - - Æ - E ËÕ 0 < - < D -. ß â π Õß µæ «à µµàõ ªπ È ªìπ ß (5 - ) Æ (7 - ). Æ-. Æ- - 9-0 6 Ë µ «µàõ π ËÕß
.5 æ Ÿ πå sin qæ0 æ Ÿ πå Àπ Àâ y ªìπ Õß«ß» Àπà«π π y ÿ R(, 0) ªìπ ÿ µ π ß æ.5. y P Q O R æ.5. Àâ P(, y) ªìπ ÿ π âπ Õ «ß Ëß ÿ POR π æ 0 < < p âπµ ßµ Èß π Ë R ªµ à«πµàõ Õß OP Ë Q âæ Õß ÿ P Õ sin q (cos, sin ) æ Õß ÿ Q Õ, ( ) cos q âπµ ß PR ⫪ æ Èπ Ë Õß À Ë OPR æ Èπ Ë µõ å OPR æ Èπ Ë À Ë OQR â æ Èπ Ë À Ë OPR æ Èπ Ë µõ å OPR æ Èπ Ë À Ë OQR æ Èπ Ë À Ë OPR Ó sin Ó µ ßÀπà«ßπ Èπ â â æ Èπ Ë µõ å OPR æ Èπ Ë À Ë OQR q µ ßÀπà«Ó sin q cos q Ó µ ßÀπà«Ó sin Ó q Ó sin cos cos q sin q sin q q cos q q q Ó... ().5 æ Ÿ πå Æ 0 sin 7
sin q ßπ Èπ - cos - q π ËÕß cos qæ 0 Õ () â... () qæ 0 sin q q æ - p < < 0 â 0 < - < p Õ () cos sin q ËÕ 0 < < p q sin (-q) â cos (- ) ËÕ - p < < 0 -q sin q ßπ Èπ q π ËÕß â qæ0 - qæ0 - cos sin q q - cos - cos sin q q () () â sin q qæ0 - q sin q qæ0 q ßπ Èπ µ «Õ à ß.5. «ßÀ à Õß sin 6 Æ0 sin sin 6 sin... () qæ 0 sin q q sin 6 6 6 sin 6 sin sin 6 ËÕ Æ 0 â Æ 0 6 Æ 0 ßπ Èπ sin 6 Æ0 sin Ê sin 6 Æ0 6 Ë Á sin 6 ˆ sin 6Æ 0 6 Æ0 sin 8 Ë µ «µàõ π ËÕß
µ «Õ à ß.5. «ß ß«à Æ0 - cos - cos ßπ Èπ Æ0 - cos 0 - cos - cos sin Æ0 cos cos cos sin Æ0 sin cos sin Æ0 cos () (0) 0 ßÀ à Õß µµàõ ªπ È sin ( h) - sin. hæ0 h. Æ0 sin sin. Æ0 tan 4. Æ0 Ωñ À.5 9
µõ Ωñ À.. 8, 8, 8.,, 5. 0, 0, 0 6. 0,, à à, àµàõ π ËÕß æ µ à à 7.,, µàõ π ËÕß 9. Ï 4, 4, 4 µàõ π ËÕß Ë Ô Ì ÓÔ 5, 5, 5 µàõ π ËÕß Ë µõ Ωñ À... 5. -50 5. 7. - 9.. 0. 5. 7. - 9. 4 6 µõ Ωñ À... ) µàõ π ËÕß ) µàõ π ËÕß 5) àµàõ π ËÕß Ë, f() à à, µàõ π ËÕß Ë 5 Æ 7) àµàõ π ËÕß Ë, f() à à, µàõ π ËÕß Ë 5 Æ 40 Ë µ «µàõ π ËÕß
. ) à, æ «à f àµàõ π ËÕß Ë ) µàõ π ËÕß 5) µàõ π ËÕß 7) à, æ «à f àµàõ π ËÕß Ë µõ Ωñ À... - 4.. 0. 5... -. - 4. -. cos.. 4. µõ Ωñ À.. µõ Ωñ À.5 Ωñ À Ë 4
àõπ Ë à «ß ËÕßÕπÿæ π å Õßøíß å π Ë µâπ â«æ À «Á««π æ ËÕπ ª Ÿà À Õπÿæ π å Õßøíß å π. «Á«æ ªí À «µ ÿµ æà ÿ π Ëß ß Ÿàæ Èπ ËÕ µ «à Õ» à ßµâ π π Ëß ºŸâ ÕßÀ ß s ÕÕ ªìπøíß å π Õß «t â Ÿµ 4 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π s f(t) 6t ËÕ t π «π ËÕπ Ë ªìπ«π s π ß Ë«µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ «t Ê «ªìπøÿµ Ÿµ â ßµâπ π«à ß Ë«µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ ËÕ «ºà π ª â«t «π â àπ ËÕ «ºà π ª «π «µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ ªìπ ß 6 øÿµ ËÕ «ºà π ª «π «µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ ªìπ ß 64 øÿµ...... ËÕ «ºà π ª t «π «µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ ªìπ ß 6t øÿµ π««á«ë â Ÿµ
«Á«Ë Õß«µ ÿ ß Ë«µ ÿ ËÕπ Ë â «Ë â π ËÕπ Ë Ÿµ π««á«ë π à«ß «Á â àπ «Á«Ë «t ß t Õ «Á«Ë «t ß t.5 Õ «Á«Ë «t ß t. Õ «Á«Ë «t ß t.00 Õ ËÕ Dt > 0 «Á«Ë «t ß t Dt Õ 6( ) - 6( ) - 6(. 5) - 6( ) 5. - 6(. ) - 6( ). - 6(. 00) - 6( ). 00-6( Dt) -6( ) Dt 80 øÿµ/«π 7 øÿµ/«π 65.6 øÿµ/«π 64.06 øÿµ/«π øÿµ/«π â à«ß «DtÆ0 â«à «Á«Ë «t ß t Dt à â â 64 π Ëπ Õ µ ß «Õß «Á«Ë «t ß t Dt 6( Dt) 6 - ( ) DtÆ 0 Dt 64 π πõß «π π««á«ë «t < ß t â àπ «Á«Ë «t.9 ß t Õ «Á«Ë «t.99 ß t Õ ËÕ Dt < 0 «Á«Ë «t Dt ß t Õ 6( ) - 6(. 9) - 9. 6( ) - 6(. 99) - 99. 6( ) - 6( Dt) -Dt 6.4 øÿµ/«π 6.84 øÿµ/«π øÿµ/«π â à«ß «DtÆ0 â«à «Á«Ë «t Dt ß t à â â 64 π Ëπ Õ µ ß â Õß «Á«Ë «t Dt ß t DtÆ0-64 6( ) - 6( Dt) -Dt π Ëπ Õ µ Õß «Á«Ë π à«ß «ÈπÊ àõπà ÕÀ ß «t. «Á«4
DtÆ0 64 6( Dt) -6( ) Dt π Ë à«ß «Dt à πâõ ß â Ÿà»Ÿπ åπ Èπ «Á«Ë à â ª â «Á««t ß µ Õß «Á«Ë «t ß t Dt ËÕ Dt Æ 0 «à «Á«Ë««t π π â«å v() π Èπ v() DtÆ0 DtÆ0 6( Dt) -6( ) Dt f( Dt) - f( ) Dt π««π È ÿª â«à «Á«Ë««t Ê Õ v(t) ËÕ v(t) DtÆ0 f( t Dt) - f( t) Dt ËÕ µ à Ë«ª À ËÕπ Ë π π«âπµ ß â Àâ s ªìπ ß Ë«µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ «t Ê â s ªìπøíß å π Õß t Õ π ß «æ π å À«à ß s t â π Ÿª s f(t) 0 t t Dt «t Dt «µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ s Ds Ë s Ds f(t Dt) â ß Ë«µ ÿ ËÕπ Ë â π à«ß «Dt ªìπ Ds f(t Dt) - f(t) «Á«Ë Õß ËÕπ Ë «t ß t Dt Õ Ds Dt ßπ Èπ «Á«Ë««t Ê Õ f( t Dt) - f( t) Dt v(t) Ds DtÆ0 Dt f( t Dt) - f( t) DtÆ0 Dt ËÕ µ à 44 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
µ «Õ à ß.. «µ ÿ ËÕπ Ë π π«âπµ ßµ Ÿµ s(t) t - 5t 50 ËÕ s ªìπ ß «ªìπøÿµ t ªì𠫪ìπ«π ) ßÀ «Á«Õß«µ ÿ «t Ê ) ßÀ ß Ë«µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ ËÕ«µ ÿπ È πà ÿ Ë«Õ «Á«ªìπ»Ÿπ å «) s(t) t - 5t 50 s(t Dt) (t Dt) - 5(t Dt) 50 s(t Dt) - s(t) t(dt) - 5(Dt) (Dt) π Èπ st ( Dt) - st ( ) Dt st ( Dt) - st ( ) DtÆ0 Dt t( Dt) - 5( Dt) ( Dt) Dt t - 5 Dt ËÕ Dt 0 (t - 5 Dt) DtÆ0 t - 5 ßπ Èπ «Á«Ë««t v(t) t - 5 øÿµ/«π ) Ë«µ ÿà ÿ ËÕπ Ë «Á«Ë«ªìπ 0 π Ëπ Õ v(t) 0 À Õ t - 5 0 â t 5 π Èπ«µ ÿõ ŸàÀà ß ÿ µ Èßµâπ s 5 75 ( ) 5 4-5 50 4 øÿµ. «π Õß âπ âß Àπ y f() ªìπøíß å π Ë «µàõ π ËÕß π à«ß [a, b] æ.. Àâ P(, y) ªìπ ÿ Ê π âπ âß Q( D, y Dy) ªìπ ÿ Õ ÿ Àπ Ëß π âπ âß Õ Õ Ÿà ß â À Õ ß «Õß P. «π Õß âπ âß 45
y Q( D, y Dy) P(, y) 0 D æ.. ËÕ ËÕπ Q ªµ âπ âß Àâ â â P â«à âπµ ß PQ ËÕπ ⠟ൠÀπàß Õß âπ º âπ âß ÿ P π Ëπ Õß π Ëπ Õ ËÕ D â â 0 «π Õß âπµ ß PQ â â «π Õß âπ º âπ âß ÿ P y f ( D ) - f ( ) D Dy f( D) - f( ) DÆ0 D DÆ0 D π ËÕß «π Õß âπµ ß PQ D D ßπ Èπ «π Õß âπ º âπ âß ÿ P Õ ËÕ µ à ß Èß Á «π Õß âπ º âπ âß ÿ P «à «π Õß âπ âß ÿ P µ «Õ à ß.. «Àπ Àâ y f() ªìπ Õß âπ âß π π y ßÀ «π Õß âπ âß ÿ (, 8) (c, f(c)) f() f( D) ( D) (D) (D) (D) f( D) - f() (D) (D) (D) DÆ0 f( D) - f( ) D f( D) - f( ) D (D) (D) 46 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
ßπ Èπ «π Õß âπ âß ÿ (, y) Õ «π Õß âπ âß ÿ (, 8) Õ «π Õß âπ âß ÿ (c, f(c)) Õ c. Õπÿæ π å Õßøíß å π ËÕπ µ Õßøíß å π π«à «Á«Ë«πÀ «âõ. π«à «π Õß âπ âß πà «âõ. Àâ â π««à «Á«Ë«Á «π Õß âπ âß Á Õ µ ÕßÕ µ ª Ë π à Õßøíß å π ª Ë π ª ß Õßµ «ª à ËÕ ª Ë π ª ß Õßµ «ª à â â»ÿπ åπ Ëπ Õß æ.. Àπ Àâ y f() ªìπøíß å π P(, y) ªìπ ÿ Ê π âπ âß y f() Q( D, y Dy) ªìπ ÿ Àπ ËßÕ Ÿà π âπ âß â ÿ P y Q( D, y Dy) 0 P(, y) D Dy D æ.. ËÕ à ª Ë π ª ªìπ D y à ª Ë π ª ªìπ y Dy D «à à«π ª Ë π ª ß Õßµ «ª Dy f( D) - f() «à à«π ª Ë π ª ß Õßøíß å π â µ ÕßÕ µ à«π D y D Õßøíß å π y f() ËÕ D â â 0 À à â à µπ È«à Õπÿæ π å. Õπÿæ π å Õßøíß å π 47
π Ë.. Àâ f ªìπøíß å π y f() Dy f( D) - f( ) DÆ0 D ËÕ µ à «à Õπÿæ π å Õß f DÆ0 D à ««à f Õπÿæ π å Ë π π â«å f `() À Õ d f() À Õ d D f() À Õ y` À Õ dy d Õπÿæ π å Õß f Ë a π π â«f`(a) À Õ dy d a À Àµÿ â Àâ a D ËÕ DÆ0 â«à Æa ßπ ÈπÕ π â«à f `(a) f( ) - f( a) Æ a - a ËÕ µ à µ «Õ à ß.. Àπ Àâ f() - ßæ «à f Õπÿæ π å Ë À Õ à â ßÀ à f `() «f( D) - f( ) [( ) ( ) ] [ D D - - ( ) - ] D D 6 ( D) ( D) ( D) ( D) D 6(D) (D) 4 6(D) (D) [4 6(D) (D) ] DÆ0 4 ßπ Èπ f Õπÿæ π å Ë â«à f`() 4 f( D) - f( ) DÆ0 D π Ë.. â DÆ0 - Ë â DÆ 0 Ë f( D) - f( ) D f( D) - f( ) D à µπ È«à Õπÿæ π å ß â Õßøíß å π f à µπ È«à Õπÿæ π å ß «Õßøíß å π f 48 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
â å f `( - ) f `( ) πõπÿæ π å ß â Õπÿæ π å ß «µ f `() À à â ÁµàÕ ËÕ f `( - ) f `( ) f `() f `( - ) f `( ) π Ë.. f Õπÿæ π å π à«ß ªî (a, b) ÁµàÕ ËÕ f Õπÿæ π å Ë ÿ Ê Œ (a, b) f Õπÿæ π å π à«ßªî [a, b] ÁµàÕ ËÕ f Õπÿæ π å π à«ß ªî (a, b) f Õπÿæ π å ß «Ë a f Õπÿæ π å ß â Ë b ƒ Æ Ë.. æ Ÿ πå â f Õπÿæ π å Ë c â«f «µàõ π ËÕß Ë c f( ) - f( c) π ËÕß f `(c) f `(c) à Æ c - c f( ) - f( c) ßπ Èπ à Æ c - c f( ) - f( c) [f() - f(c)] Æ c Æ c - c ßπ Èπ Æc f `(c) 0 0 f() f(c) f(c) Æc ( - c) f( ) - f( c) Æ c - c c Æ ( - c) π Ëπ Õ f µàõ π ËÕß Ë c ËÕ fl µ «Õ à ß.. Àπ Àâ f() Ï Ì Ô Ó Ô - ËÕ < ßæ «à f Õπÿæ π å Ë À Õ à â ßÀ f `() «( ) - f( ) π f `() ËÕ µ à f Æ -. Õπÿæ π å Õßøíß å π 49
À Æ f( ) - f( ) - Æ - Æ æ µ ß â µ ß «f( ) - f( ) - f( ) - f( ) - Æ - Æ - Æ Æ ( -) - - ( - ) - - - ( ) æ π Èπ f Õπÿæ π å Ë f`() µ «Õ à ß.. «Àπ Àâ f() sin ßÀ f `() f( D) - f( ) sin ( D) - sin DÆ0 D DÆ0 D D D cos ( ) sin DÆ0 D cos D ( ) sin D DÆ0 D D Æ0 cos sin D D ( ) DÆ0 D D Æ0 sin D (µ «Õ à ß..4) D D Æ0 µà ßπ Èπ DÆ0 æ π Èπ â sin ( D) - sin D cos ÿ d (sin ) cos d 50 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
Àπ f() ßæ «à f Õπÿæ π åà Õ à Ë c 4 ËÕ <. f() Ï Ì Ô Ó Ô ; c ËÕ fl ËÕ -. f() Ï Ì Ô Ó Ô ; c -, - ( ) ËÕ > -. f() /( ) ; c Ωñ À. 5
.4 Ÿµ ÕßÕπÿæ π å Àπ øíß å π u f() v g() c ªìπ à ßµ «Ê n ªìπ π«π ß â u v Õπÿæ π å Ë â«â Ÿµ ÕßÕπÿæ π åµàõ ªπ È () () () (4) (5) (6) (7) du dc d 0 d d d (u v) d d (u v) d d (cv) d d d n dv d u ( ) v 5 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π dv d d u dv v du d d c dv d nv n- dv v du - u dv d d v, v 0 d æ Ÿ πå Ÿµ â ßµâπ â â π ÕßÕπÿæ π å Ëß Õ Àâ ªìπ Ωñ À π À «âõπ È æ ß µà π Ÿµ ÕßÕπÿæ π å â.4. Õπÿæ π å Õßøíß å πæ µ À Õπÿæ π å Õßøíß å πæ µ â â Ÿµ µà ßÊ Ë à «â«ßµ «Õ à ßµàÕ ªπ È µ «Õ à ß.4. ßÀ Õπÿæ π å Õßøíß å πµàõ ªπ È ) f() «) f `() ) g() ( - ) 7 - ) h() ( ) d d ( ) 6 ( )- d ( ) d
) g`() d d 6 ( - ) 7 - d 6 6 d ( 7 - ) ( - ) - ( - ) ( 7 - ) d d ( 7 - ) 5 6 67 ( - )( - ) (- ) ( - ) ( 7 - ) d ) h`() ( ) d ( ) d ( d ) Ê Ë Á ( ) ˆ Ï Ô Ì ÓÔ - Ï Ô f `() Ì - ÓÔ ( - ) µ «Õ à ß.4. Àπ Àâ f() «ËÕ - ßÀ Õπÿæ π å Õß f ËÕ - < < ËÕ < - π ËÕß f µàõ π ËÕß Ë - æ f() - f(-) Æ- ËÕ - < < π Èπ f ßÕ Õπÿæ π å Ë - æ Õπÿæ π å ß â Õπÿæ π å ß «Õß f Ë - f( ) - f( -) Æ- - - (-) Æ- - Æ- - ( - ) ßπ ÈπÕπÿæ π å ß â Õß f Ë - à à À Õ f`(- - ) Æ- f( ) - f( -) Æ- Æ- - (-) - ( )( - ).4 Ÿµ ÕßÕπÿæ π å 5
Æ- - - ßπ ÈπÕπÿæ π å ß «Õß f Ë - à à - À Õ f `(- ) - â«à f `(- - ) f `(- ) ßπ Èπ f à Õπÿæ π å Ë - Ï ËÕ < - Ô æ π Èπ f `() Ì - Ô ËÕ - < < ÓÔ ( - ) ßÀ Õπÿæ π å Õßøíß å πµàõ ªπ È. f() ( ). f() a b c. f() - Ê Ë Á 5. f() 4. f() - ˆ Ê ˆ Ë Á 7. f() ( 4 ) 0, 0 8. f() Ï Ì Ô Ó Ô -, > 6. f() ( ) 5 9. f() Ï Ô Ì ÓÔ 4, < - 6, - < -, fl 54 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
.5 Æ Ÿ à Àπ Àâ y f(u) u g() ªìπøíß å π â y f(g()) f o g() À Õπÿæ π å Õß y f o g() â ßµ «Õ à ß µ «Õ à ß.5. «Àπ Àâ y f(u) u(u - ) u g() 6 ßÀ f o g Õπÿæ π å Õß f o g y f o g() f(g()) g()(g() - ) (6 )(6 - ) (6 ) ßπ Èπ f o g ªìπøíß å π Ëß Àπ f o g() (6 ) 7 d â (f o g)`() d (7 ) 44 µ «Õ à ß â ßµâπ ß«À Õπÿæ π å Õß f o g À Ÿµ Õß f o g µ ß ß Õ «Àπ Ëß Ëß â à ªìπµâÕßÀ Ÿµ Õß f o g µà â Æ Ÿ à Æ Ÿ à Àπ Àâ y f(u) ªìπøíß å π Ë Õπÿæ π å Ë u u g() ªìπøíß å π Ë Õπÿæ π å Ë â«à y f o g() h() ªìπøíß å π Ë Õπÿæ π å Ë À Õ h`() f `(g()) g`() dy d dy du du d µ «Õ à ß.5. y f(u) u(u - ) u g() 6 Æ Ÿ à dy du du d dy d d (u(u - )) d du du (u - u) 4u - d (6 ) 6 d dy du du d.5 Æ Ÿ à 55
µ «Õ à ß.5. «π ËÕß â (4u - )(6) 4u - 4(6 ) - 44 Àπ Àâ y f(u) u u g() - ß â Æ Ÿ àà (f o g)() d d d d (f o g)() d d f(u) du du d du f(u) du d d du (u ) u d g() d ( - ) d d d (f o g)() (u)() d 4u 4( - ) 8-4 À Àµÿ π Ë øíß å πà øíß å π Ëß À øíß å πª Õ â àπ y f(u), u g(v) v h() â À Õ dy d dy d f `(u) g`(v) h`() dy du dv du dv d µ «Õ à ß.5. Àâ f ªìπøíß å πàπ ËßµàÕÀπ Ëß Õπÿæ π å Ë Àπ Àâ h ªìπøíß å π º º π Õß f (π Ëπ Õ h() f - ()) ßÀ h`() «π ËÕß (f o h)() f(h()) f(f - ()) 56 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
æ π Èπ (f o h)`() d Æ Ÿ à (f o h)`() f `(h()) h`() æ π Èπ h`() d f` ( h( )) â f `(h()) 0 ßπ Èπ â y f() ªìπøíß å πàπ ËßµàÕÀπ Ëß â f - (y) h(y) æ π Èπ h`(y) À Õ f` ( h( y)) d (h(y)) dy d d f( ) f` ( ) À Õ d dy dy d ßÀ dy d π Ωñ À âõ -5. y u u - u. y u u. y u u - u 4. y u u - 5 5. y u u (5 ) 4 ßÀ dy dt - 4u 6. y - 7 u u π Ωñ À âõ 6 âõ 7 7. y u, u - 7, u, t - 5, 5t, ËÕ t - 5 8. ß ß«à d cos -sin ( â cos sin ( p d - )) Ωñ À.5 57
.6 Õπÿæ π åõ π Ÿß dy d À «âõ. â à ««â«à â y f() ªìπøíß å π Ë Õπÿæ π å Ë âõπÿæ π å Õ f( D) - f( ) D f `() ËÕ µ à f `() «à Õπÿæ π åõ π ËÀπ Ëß DÆ0 Õß f() â f `() Õπÿæ π å Ë Õπÿæ π å Õß f`() «à Õπÿæ π åõ π Ë Õß Õß f() π π â«d y d n À Õ f ``() À Õ y`` d y d f ``() DÆ0 Ë«ª d y Á ÕÕπÿæ π å Õß d n d n- y n- d ` f ( D) - f ( ) D n ( n-) ( n-) d y f ( D) - f ( ) n d DÆ0 D n ªìπ π«π µá «π Ëπ Õ â y f() dy Õπÿæ π åõ π ËÀπ Ëß f `() Õπÿæ π åõ π Ë Õß f( D) - f( ) d DÆ0 D d y d d f ``() Õπÿæ π åõ π Ë d y f ```() Õπÿæ π åõ π Ë n d n d y d M M n f (n) () d f `() d d f ``() d d f(n-) () ` ËÕ µ à ËÕ µ à ËÕ µ à µ «Õ à ß.6. ßÀ Õπÿæ π åõ π Ë n Õßøíß å π y - 4 - ËÕ n ªìπ π«π µá ««y - 4 - Õπÿæ π åõ π ËÀπ Ëß Õ dy d - 8 Õπÿæ π åõ π Ë Õß Õ d y 6-8 d 58 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
Õπÿæ π åõ π Ë Õ d y 6 Õπÿæ π åõ π Ë Ë Õ Õπÿæ π åõ π Ë n Õ d 4 d y d n d y d 4 0 n 0 ÿ à n fl 4 µ «Õ à ß.6. ßÀ f `() f ``() ËÕ Àπ Àâ «f `() f() - d d ( ) - - d d ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) Ê ˆ - Ë Á - ( - )Ê Ë Á ˆ ( ) - - - ( ) - / ( ) f ``() d ( ) Ê ˆ - Ë Á - Ê - ˆ d Ë Á ( ) d d 4 ( ) Ê ˆ ( ) Ë Á Ê Ë Á ˆ / 4 ( ) ( ) / ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 4 / 4 ( ) 4 8 / 4 ( ).6 Õπÿæ π åõ π Ÿß 59
µ «Õ à ß.6. Àπ f() «f() â f `() f ``() -, ßÀ Õπÿæ π åõ π Ë 49 Õßøíß å π -, d d ( - )- d d ( - )- f ```() [ ( - d )- ] ÿª â«à f (n) ()... n d ( - ) n â f (49) ()... 49 50 ( - ) ( - ) ( - ) 4 ( - ) 49! 50 ( - ) ßÀ Õπÿæ π åõ π Ë Õß Õßøíß å π Ë Àπ Àâ π âõ -5. f() 7-8. f(y) y - 5. F() - 5 4. G() 60 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π - 5. f() 6. Àπ y - ßÀ d y d 7. Àπ y 7/ - 5/ / ßÀ d y 4 4 d 8. ßÀ f (n) () â Àπ Àâ ) f() n ËÕ n ªìπ π«π µá «) f() ( - ) n ËÕ n ªìπ π«π µá «) f() -
.7 À Õπÿæ π å Õßøíß å π Ëπ ª «Ÿâ øíß å π Ëπ ª «à Õøíß å π π àõπ â F(, y) 0 Õ πµ «ª µ «µ «Àπ Ëß πæ πå Õßµ «ª Õ µ «Àπ Ëß â àπ Õ â y f() À ÕÕ â g(y) ⫵à«à Àâµ «ª ªìπµ «ª Õ µ «ª µ â µâõß À Ÿµ Õßøíß å π àπ À f() À ÕÀ g(y) F(, y) 0 ß Èß Á âßà Ê µà ß Èß Á ªìπ Ë π Ÿµ Õßøíß å πõõ Àâ ÀÁπ àπµ «Õ à ßµàÕ ªπ È 4 y - - 0... () y... () y y - y 0... () Ë Àπ Àâ Èß â Àπ ªìπµ «ª Õ y ªìπµ «ª µ π Ëπ Õ Àâ y ªìπøíß å π Õß µâõß À Ÿµ Õßøíß å π () π y πæ πå Õß â ßπ È y -4 ßπ Èπ â Ÿµ Õßøíß å π ªìπ f() -4 () π y πæ πå Õß â ßπ È y ± - ßπ Èπ ß π Ÿµ Õßøíß å π â Õß Õ... ()` f () -, Œ [-, ]... ()` f () - -, Œ [-, ]... ()`` () ªìπ Ë π Ÿµ Õßøíß å πõõ Àâ ÀÁπ À Õπ () () µàõ à ß Áµ â Àπ à à Àπ Ëß Õß Àâ ÁÕ À à y â àπ Àâ 0 π à π () â y y 0 Ëß Àâ â y 0 ß ÀÁπ«à (), () () ËÕ Àπ à π π Àâ Á À à y â Èß ß Àπâ Ë À Õπ Ë π π Ÿª y f() àπ π ßπ Èπ â y «æ π å π π Ÿª F(, y) 0 π y ªìπ øíß å π Õß â«à «â«à y ªìπøíß å π Ëπ ª â«f(, y) 0 øíß å π Ê Ëßπ Ÿµ Ë π«à Õßøíß å π â µ ß àπ π Ÿµ ()`, ()` À Õ ()`` «à øíß å π Ëπ âß.7 À Õπÿæ π å Õßøíß å π Ëπ ª 6
À Õπÿæ π å Õßøíß å π Ëπ ª π Èπ â π Ÿµ Õßøíß å πõõ â Ë Àπ ÀâÕ à ß àπ () À Õ () ÁÕ À Õπÿæ π å Õßøíß å π â µ ßµ Ë à ««â â«πà «âõµâπê Õß π È µà Ë«ª â«ß Èß à ªìπ «Ë ª Ë π F(, y) 0 Àâ ªìπ Ÿµ Õßøíß å π âß ßµ «Õ à ß àπ () π àππ È ß â«à à Ÿµ âß Õßøíß å π ÁÕ À Õπÿæ π å Õßøíß å π â àπ π æ () µ «à y f() â () ßπ Èπ â π y â«f() ß ª π () â À à ßπ È f() [f()] - f() 0... (4) À Õπÿæ π å Õß ÿ æ πå π (4) â «Ÿâ ËÕßÕπÿæ π å Õߺ Ÿ Õπÿæ π å Õß f() ß n Æ Ÿ à ⺠æ å ßπ È f() f `() [f()] f `() - f `() 0... (5) (5) ªìπ «æ π å À«à ß, f() f `() ßπ Èπ â µâõß À Õπÿæ π å Õß f Õ f` ÿ ÿ Àπ Ëß Á â â (4) (5) àπ ËÕ π 0 π (4) â f() 0 π à 0, f() 0 π (5) â (0) 0 (0) f `(0) (0) f `(0) - f `(0) 0 â f `(0) «ÈßÀ π È æ ËÕ ß Àâ ÀÁπ«à ß â à Ÿµ Õ à ß âß Õßøíß å π Õ f() Á À Õπÿæ π å f` â àπ π π ßªØ µ π ÈπÕ â à ªìπµâÕß π y â«f() ß π àõπ à «Õ À Õπÿæ π å Õß ÿ æ πå π () â ßπ È y y` y y` - y` 0... (5)` ËÕ π à 0 π () â y 0 π à 0, y 0 π (5)` â y` ÿ 0 µ «Õ à ß Ë ß Àâ ÀÁππ È ÿª â«à â y ªìπøíß å π Ëπ ª â«f(, y) 0 â«õ«à y f() π à«ß à«ßàπ Ëß Õ âõß ß à «â y ªìπøíß å π ËßÕ À Õπÿæ π å â À Õπÿæ π å Õß y À Õπÿæ π å Õß ÿ æ πå π µ «ª À à Ë â ªìπ «æ π å À«à ß, y y` Ëß ÀâÀ y` â ËÕ Àπ à Àâ «π È«à À Õπÿæ π å Õßøíß å π Ëπ ª 6 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
µ «Õ à ß.7. æ «ß y ( ß æ ( )) y y y - 0-0 - 0 ( ) ( ) ( ) øíß å π ( Ë Õπÿæ π å π à π Õß «æ π å Ë Àâ) Õßøíß å π Ëß Õ âõß Ë Àπ Àâ Õ y f() -, Œ [-, ] ( ß æ ( )) y g() - -, Œ [-, ] ( ß æ ( )) â À Õπÿæ π å ª Ë Àπ Àâ â yy` 0 y` -... () y () Õ âà Õπÿæ π å Õßøíß å π f g â Èß Ÿà à «Õ â µâõß À f `() Á π y â«f() π () â f `() - f( ) - - π πõß «π â µâõß À g`() Á π y â«g() π () â g`() - g ( ) -... ()... () ßπ Èπ â«() æ ß «Õ âà â ÈßÕπÿæ π å Õß f Õπÿæ π å Õß g ËÕ à Õ Ÿà π à«ß (-, ) Ë ÿ Á Ë () À Õ () àπ Àâ â y ± Ê, ˆ (π Ëπ Õ f() âõπÿæ π å f`() - g() - ) à«à π à y π.7 À Õπÿæ π å Õßøíß å π Ëπ ª 6
π πõß «π Ë ÿ Á Ë y π () À Õ () Ê, - ˆ âõπÿæ π å g`() à«à π à µ «Õ à ß.7. Àâ y ªìπøíß å π Ëπ ª â«y - y y - 0 ßÀ ) y` Ë ÿ (, y) Ê ) y` Ë ÿ (0, ) ) Õß âπ º âπ âß ÿ (0, ) «) y - y y - 0 À Õπÿæ π å ª â y` y - 4yy` - y y y` 0 y - y - y - 4y y - y - y - 4y â y` À Õ y` ) Ë ÿ (0, ) â y` y` ()- 0-0 0 () - 0 ) «π Õß âπ º âπ âß ÿ (0, ) Ë ÿ (, y) Ê Ëß y - 4y 0 ËÕ y, y Õß âπ º âπ âß Õ y - À Õ - y 0 À Àµÿ Ë ªìπ «æ π å À«à ß, y y` â â À Õπÿæ π å ª È ª ËÕ Ê Àâ âõπÿæ π åõ π ŸßÊ Èπ ª Õß y àπ y (), y (), y (4) ªìπµâπ ßµ «Õ à ß µàõ ªπ È 64 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
µ «Õ à ß.7. Àâ y ªìπøíß å π Ëπ ª â«4y y 0 ßÀ y` y`` ÿ (, -) «4y y 0... () À Õπÿæ π å ª â 4y 4y` yy` 0... () À Õπÿæ π å ª Õ ÈßÀπ Ëß â 4y` 4y` 4y`` (y`) yy`` 0... () π, y - π () â 4-4 8y` - y` 0 y` 0 π, y -, y` 0 π () â 8y`` - y`` 0 æ π Èπ y` 0 y`` - y`` - ÿ (, -) Àπ Àâ y ªìπøíß å π Ëπ ª â«âõ -5 ßÀ y` y``. 4 9y 6. b - a y a b. y - 6 0 4. - 4y y - 5 y 0 0 5. - y 9y 0 6. 6 y - 5y 7y 0 7. y y 0 8. 6 - y y y 9. / y / a / 0. 4 y - 6 y /. y - y 7. - 4y 0. y - 4y 0 4. / y / a / 5. - y a Ωñ À.7 65
µõ Ωñ À... à,... - 5. - - µõ Ωñ À.4-4 7. 0(4 )( 4 ) 9 9. f `(). 8 0. 4 8 Ï Ô Ì ÓÔ, < -, - < <, > µõ Ωñ À.5 5. 80( 5 ) 4-4( 5 ) [ ] 7. -70 ËÕ t - 5 66 Ë Õπÿæ π å Õßøíß å π
µõ Ωñ À.6. 4-6. 5. 5 4 ( ) / 7. 5 8 8. ) n! ) (-) n n! ) È 7 Í - Î n n! n ( - ) µõ Ωñ À.7. -4 / 9y, -(4 9y`) / 9y. ( - y ) / y, -(yy` y`) / y 5. ( - 6y 9y) / ( - 9), (6-6y - y` 8y`) / ( - 9) 7. (0 y - y) / (6 y ), y` - yy` y y ( 6 y ) 9. -(y / ) /, -( / y / ) y` / y /. y / ( - y), (8yy` y` y ) / ( - y). y / (6y - ), (yy` - 4y` - y) / ( - 6y ) 5. / y, -a / y 5 Ωñ À Ë 67
π Ë â ÀÁπ â««à µ «Ë «âõß À Õπÿæ π å Õßøíß å π π π È ÀÁπ«à µ ß µàõ À ª æ π å (integration) À Õ Õ π µõ â«. π«â µ Õߺ «â π Ÿâ«π«æ Èπ Ë Õß Ÿª À Ë µà ßÊ Ë âπ âõ Õ ªìπ à«π Õß âπµ ß â«àπ Ÿª À Ë Ÿª Ë À Ë À Õ ŸªÀ À Ë π Ëπ È à «ß π«æ Èπ Ë Õß Ÿª Ë âπ âõ Õ Õ à ªìπ à«π Õß âπµ ß â«à µ Õߺ «ßµàÕ ªπ È.. π«æ Èπ Ë y f 0 0.5.5.5 æ.. A 68 Ë À ª æ π å
æ À æ Èπ Ë ÕßÕ «ËÕ Ÿà µâ âπ âß f() Àπ Õ π π à«ß [0, ] ß æ.. Àâ A πæ Èπ Ë ÕßÕ «Ë âõ Õ â«ø Õß f âπµ ß 0, π àß à«ß [0, ] ÕÕ ªìπ 6 à«ß à Ê π â µà à«ß «â ß à 0.5 ÿ àß à«ß Õ 0, 0.5,,.5,,.5 π µà à«ß àõ â ß Ÿª Ë À Ë º πºâ Àâ ««â ßÕ Ÿà π à«ß àõ «â ß à à«ß àõ π Èπ à«π Ÿß à à πâõ Ë ÿ Õßøíß å π π à«ß àõ π Èπ ß æ.. y f 0 0.5.5.5 æ.. æ Èπ Ë Ÿª Ë À Ë º πºâ Èß 6 Ÿª Ë à«π Ÿß à à πâõ Ë ÿ Õßøíß å π π µà à«ß àõ π Èπ π«â à µà ßÊ ß ß πµ ß Ÿª Ë À Ë Ë «â ß Ÿß æ Èπ Ë 0.5 f(0) 0.5 0.5 f(0.5).5 0.65 0.5 f().0 4 0.5 f(.5).5.65 5 0.5 f() 5.5 6 0.5 f(.5) 7.5.65 º «Õßæ Èπ Ë Ÿª Ë À Ë º πºâ Èß 6 Ÿª 9.875. π«â µ Õߺ «69
â«à 9.875 A º «Õßæ Èπ Ë Ë â «â ßµâππ È«à º «à ß π πõß «π â â ß Ÿª Ë À Ë º πºâ π µà à«ß àõ Àâ ««â ß Õ Ÿà π à«ß àõ «â ß à à«ß àõ π Èπ à«π Ÿß à à Ë ÿ Õßøíß å π π à«ß àõ π Èπ ß æ.. y f 0 0.5.5.5 æ.. æ Èπ Ë Ÿª Ë À Ë º πºâ Èß 6 Ÿª Ë à«π Ÿß à à Ë ÿ Õßøíß å π π µà à«ß àõ π Èπ π«â à µà ßÊ ß ß πµ ß Ÿª Ë À Ë Ë «â ß Ÿß æ Èπ Ë 0.5 f(0.5).5 0.65 0.5 f().0 0.5 f(.5).5.65 4 0.5 f() 5.5 5 0.5 f(.5) 7.5.65 6 0.5 f() 0 5.0 º «Õßæ Èπ Ë Ÿª Ë À Ë º πºâ Èß 6 Ÿª 4.75 â«à A 4.75 º «Õßæ Èπ Ë Ë â «â ßµâππ È«à º «π 70 Ë À ª æ π å