Å Ý ÂÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ñ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÖÓ Ù Ú ÖÝ ÓÓ Ö ÙÐØ ÐÓ ØÓ ÓÔØ Ñ Ð º º Ì Ñ Ï Ù ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º º Ð Ò Ö ÓÑ Ò ¹ Ä Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ä Ø ËÕÙ Ö ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº Å Ø ½ ÆÙÑ Ö Ð Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ì Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ä ØÙÖ ÆÓØ ½ Φ 0 (x) = 1 2 Φ k (x) = cos(kx), k = 1,..., n Φ n+k (x) = sin(kx), k = 1,..., n 1 ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ ØÓ Ò Ð Ø ÕÙ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Û Ö n < mµ ØÓ ÕÙ ÐÐÝ Ë Ò Ó ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ë Ò Ó ¾½ ¾¹ ¾¼ mahaffy@math.sdsu.edu http://www-rohan.sdsu.edu/ jmahaffy Ø 2m ÔÓ ÒØ µ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [ π, π] Ø Ø ÒÓ ÔÓ ÒØ Ô x j = π + (jπ/m), j = 0, 1,..., (2m 1). Ï Û ÐÐ Ò Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ n = mµ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ì Ì Ñ $Id: lecture.tex,v 1.15 2007/12/05 23:05:11 blomgren Exp $ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ººº Ò Û Û ÐÐ ÙÖ ÓÙØ ÓÛ ØÓ Ó Ø Ø Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 1/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 2/40 ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ï Ý Ù ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó Ð Ö ÑÓÙÒØ Ó ÕÙ ÐÐÝ Ô Ø Ý ØÖ ÓÒÓ¹ Ä Ø x i 2m ÕÙ ÐÐÝ Ô ÒÓ ÔÓ ÒØ Ò [ π, π] Ò f i = f(x i ) Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø Ø ÒÓ º Ï Ò Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓÐݹ Ý Ú ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒµº ÒÓÑ Ð Ó Ö m P (x) T m Û ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ø Ø ËÓÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ð ÐØ Ö ÄÓÛÔ Ò Ô À Ô µ Ë Ò Ð ÔÖÓ Ò» Ò ÐÝ ÒØ ÒÒ Ò Ò Ò ÐÝ ÉÙ ÒØÙÑ Ñ Ò ÇÔØ ËÔ ØÖ Ð Ñ Ø Ó ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º ÁÑ ÔÖÓ Ò» Ò ÐÝ S m (x) = a 0 2 + a m 2 Û Ö a k = 1 m m 1 cos(mx) + [a k cos(kx) + b k sin(kx)], f j cos(kx j ) k=1 b k = 1 m f j sin(kx j ). Ì ÓÒÐÝ Ö Ò Ò Ø ÓÖÑÙÐ ÓÑÔ Ö Û Ø Ø ÓÒ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ð Ø ÕÙ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ S n (x), n < m Ø Ú ÓÒ Ý ØÛÓ Ó Ø a m Ó Òغ Ï Ö Ó Ø ØÓÖ Ó ¾ ÓÑ ÖÓÑ Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 3/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 4/40
ÁÒ ½ ÓÓÐ Ý Ò ÌÙ Ý ÔÙ Ð ¹Ô Ô Ô Ö Ø ØÐ Ò Ð Ó¹ Ò Ò Ø ØÓÖ Ó ¾ ÓÑÔÙØ Ò Ø ËÙÑ Ò Ò Ø ØÓÖ Ó ¾ Ö ÓÛÒ Ó Ø Ä ÑÑ Ì ØÓÖ Ó ØÛÓ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÐÙÖ Ó Ø ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø ÆÓÛ Ò Û Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Φ m (x) = cos(mx) Ô ÖØ Ó Ø Øº Ï Ò Û ÓÑÔÙØ Φ m, Φ m Û Ò Ä ÑÑ Á Ø ÒØ Ö r ÒÓØ ÑÙÐØ ÔÐ Ó 2m Ø Ò cos(rx j ) = sin(rx j ) = 0. [cos(mx j )] 2 = = [cos( πm + m jπ m )]2 [cos((j m)π)] 2 Ð ÑÑ Û Û ÓÛ Ð Ø Ø Ñ µ ÑÙÐØ ÔÐ Ó m Ø Ò ÅÓÖ ÓÚ Ö r ÒÓØ [cos(rx j )] 2 = [sin(rx j )] 2 = m. ÆÓÛ Ò n = m Û Ò ÙÔ Û Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ø cos(mx j )¹ Ùѵ = = ( 1) 2(j m) 1 = 2 m. Û Ö r = m Ò Ø Ð ÑÑ Ð º Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 5/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 6/40 ÓÑÔÙØ Ò Ø Ì À ØÓÖ Ð È Ö Ô Ø Ú ÅÙ Ó Ø Ò ÐÝ Û ÓÒ Ý Â Ò ÔØ Ø ÂÓ Ô ÓÙÖ Ö Ò ÁÒ Ø Ó Ò Ö Ø Ò Ø Ó ÒØ a Ò b Ô Ö Ø ÐÝ Û Ò Ø ÓÑÔÐ Ü Ó ÒØ c k = m( 1) k (a k + ib k ) Ò ÓÒ Ö Ø ÓÙÖ Ö Ø ÖÐÝ ½ ¼¼ ÙØ Ø Ù Ó Ø ÓÙÖ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Û ÒÓØ ÔÖ Ø Ð ÙÒØ Ð ½ º ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø ÓÑÔÐ Ü Ó ÒØ Ï Ý Ì ØÖ Ø¹ ÓÖÛ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÓÙØ 4m 2 ÓÔ¹ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ó ÒØ a, Ò bº S m (x) = 1 m k=0 c k e ikx, Û Ö c k = f j e ikπj/m Ö Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ü ÓÙÖ Ö Ö Ò Ø Å Ø Ñ Ø Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ì Ô Ô Ö Ö Ò ÓÙÖÒ Ð Û ÓÑÔÙØ Ø Ó ÒØ Ù Ò ÓÒÐÝ O(m log Ð ÓÖ Ø Ñ 2 m) Ì Ö ÙØ ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÕÙ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ ÖÓÑ Ø Ø Ø ÓÖ ÒÝ n Z Ø e inπ = cos(nπ) + i sin(nπ) = ( 1) n. ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÁØ Ö ØÓ ÓÚ Ö Ø Ø Ø ÑÔÓÖØ Ò Ó Ø Ô Ô Ö Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓÛ ÒÓÛÒ Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÖ Ù Ø Ø Ì º Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 7/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 8/40
ÓÑÔÙØ Ò Ø Ì Ê ÙØ ÓÒ Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ ¾ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ø Ì Ê ÙØ ÓÒ Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ ½ Ó m = 2 p p Z Ø Ò ÓÖ k = 0, 1,..., (m 1) ËÙÔÔÓ ÓÖ ÓÑ [ + c k + c m+k = f j e ikπj/m + e i(m+k)πj/m] = f j e ikπj/m (1 + e iπj ). Ø Ø Ø Ø Í Ò 1 + e iπj 2, Ú Ò j = Ó 0, j Ï Ú m 1 c k + c m+k = 2 f 2j e ikπ2j/m. Û Ý Ò Ø ÁÒ Ñ Ð Ö Û m 1 c k c m+k = 2e ikπm f 2j+1 e ikπ2j/m. Ï ÒÓÛ Ò m + (m + 1) ÓÑÔÐ Ü ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ k = 0, 1,..., (m 1) ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÙÑ Ø Ø m(2m + 1) = 2m 2 + m ÓÔ Ö Ø ÓÒ. Ð Ø ÖÑ Ø ÙÑ Ò ØÓ ÓÑÔÙØ º ÓÒÐÝ Ø Ò m 1 c k + c m+k = 2 f 2j e ikπ2j/m. Ï ÓÓÔ ÌÅ Ï Ö Ù Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÓÑ 4m 2 ØÓ 2m 2 + mº Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 9/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 10/40 ½ Ó ¾ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ì Ê ÙØ ÓÒ Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÓÑÔ Ö Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ ÓÙÒØ m 4m 2 3m + m log 2 m ËÔ ÙÔ Ì Ò Û ÙÑ Ú Ø Ñ ØÖÙØÙÖ Ø Ò Ø Ð Ç ÖÚ Ø ÓÒ ½ ½ ¼¾ ½½¾ ÙÑ Ó Û Ò ÔÔÐÝ Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ¹Ö Ù Ò ÓÙÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ [ m m 2 2 2 + m ( m )] 2 2 + 1 = m 2 + m. ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¼¾ ½ ¼ ½ ½¾ ½ ½ ¾ Ñ Ò Û Ö Ù Ø 2m 2 Ô ÖØ Ó Ø ¼ ½¼ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ½ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ÇÙÖ ØÓØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÙÒØ ÓÛÒ ØÓ m 2 + 2m. Ø Ö Ö Ô Ø Ò Ø Ñ ÔÖÓ ÙÖ r Ø Ñ Û Ö ÓÛÒ ØÓ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ m 2 + mr ÓÔ Ö Ø ÓÒ. 2r 2 ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ¼ ¼¾ ¾ ½ ¼ ¼ ½½ ½¼ ¾ ½½ ¾ ½ ¾ ½ m = 2 p Û Ò Ô Ó Ò ÙÒØ Ð r = p + 1 Ò Û Ú Ë Ò 2 2p 2 p 1 + m(p + 1) = 2m + pm + m = 3m + m log 2 m = O(m log 2 m) ¼ ¾ ½ ½¼ ¾½ ½¼ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾½ ½ ½¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½¼ ¼¼ ½ ¼ Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 11/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 12/40 ÓÔ Ö Ø ÓÒ º
Ò Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ì ÐÐ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ó ÖÙ Ð ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø Ì ÓÑÔ Ö Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ ÓÙÒØ ¾ Ó ¾ m 4m 2 3m + m log 2 m ËÔ ÙÔ Ò ÙÒÙ Ù Ð ÔÙÒ Ñ Òغ ½ ¼ ¼ ½½ ½¼ ¾ ½½ ¾ ½ ¾ ½ m = 8, 388, 608 ÖÓÙ ÐÝ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò ¹Å Ô Ü Ð Ñ Ö º º ÑÔÐ Ñ ÒØ Å ØÐ Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø fft Ó ÒØ µ ¼ ¾ ½ ½¼ ¾½ ½¼ ¼ ½ ¾ ¼ ifft Ø ÒÚ Ö ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÒØ Ø µ Ø ËÓÒÝ Ë ¹Æ½ Ò Û Ò Ñ Ö ¾¼¼ µµ Á º ÀÞ È ÒØ ÙÑ Ô ÓÙÐ Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÓ ¹ÝÐ Û Ø Ò³Øµ Û ÓÙÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÙÖ Ö Ó ÒØ ÓÖ Ø ¹Å Ô Ü Ð Ñ Ò fftshift ifftshift Ë Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ò Ø Ó ÒØ ÑÓ ØÐÝ ÓÖ Ò Ø ÐÔ Ö ÙÒØ ÓÒ ÔÐ Ý ÔÙÖÔÓ µ ËÐÓÛ Ì Ì ¾¼º ÓÙÖ ¼º¼ ÓÒ Ì ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ fft2 Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð fftn Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ì Ö Ð Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ì ÓÒ ØÖ Ò Ð Ø ÖÓÙ ÐÝ ØÓ ½ ËÐÓÛ¹ Ì Ý º Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 13/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 14/40 Ì Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø Ï Ø Ìϵ ½ Ó ¾ Ì Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø Ï Ø Ìϵ ¾ Ó ¾ http://www.fftw.org/ ÁØ ÙÐØ ØÓ ÙÑÑ Ö Þ Ò Û ÛÓÖ ÐÐ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Ø Ö Û Ò Ø Ø Ò Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ø Ö ÒÓ Ø ÀÓÛ Ú Ö ÌÏ ÔÔ Ö ØÓ Ø Ø Ø ÌÏ» ÓÖØÖ Ò Ù ÖÓÙØ Ò Ð Ö ÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñº ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ìµ Ò ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ Ñ Ò ÓÒ Ó ÓØ Ö Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓ Ø Ó Ø Ø Ñ ÓÖ Ò¹ÓÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ô ÐÐÝ Ò Ø ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ð¹ÓÑÔÐ Ü º ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ó Ö ØÖ ÖÝ ÒÔÙØ Þ º À Ò Ø Ò Ñ ÌÏ Ö Ó ØÛ Ö ÌÏ Û Ø Ò ÓÖ Ø ÓÑ Û Ø Û Ñ Ð Ø ØÐ Ó ØÖ ÙØ ÙÒ Ö Ø ÆÍ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò º Ò Ñ Ö Ô Ö¹ ÓÖÑ ÓÒ ÓÒ Ú Ö ØÝ Ó ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÛ Ø Ø Ìϳ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø Ï Øº ÈÐ Ú Ø Ø Ò Ì http://www.fftw.org/benchfft/ ÓÑ Ô ÓÖ ÑÓÖ ØÝÔ ÐÐÝ ÙÔ Ö ÓÖ ØÓ Ø Ø Ó ÓØ Ö ÔÙ Ð ÐÝ Ú Ð Ð Ì Ó ØÛ Ö º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ìϳ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÔÓÖØ Ð Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û ÐÐ Ô Ö ÓÖÑ ÜØ Ò Ú ÙÖÚ Ý Ó Ø Ö ÙÐØ º Û ÐÐ ÓÒ ÑÓ Ø Ö Ø ØÙÖ Û Ø ÓÙØ ÑÓ Ø ÓÒº Ì ÌÏ Ô Û Ú ÐÓÔ Ø ÅÁÌ Ý Å ØØ Ó Ö Ó Ò ËØ Ú Ò º ÂÓ Ò ÓÒ Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 15/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 16/40
Ä Ø x=(-pi:(pi/8):(pi-0.1)) º ½ f1=cos(x) f2=cos(2*x) f3=cos(7*x) Ä Ø f4=cos(9*x) g1=sin(x) g2=sin(2*x)º f4=cos(8*x) Ø fft Ó Ø ÙÒØ ÓÒ º ÓÑÔÙØ Ä Ø f=1+cos(2*x)º ÓÑÔÙØ fftshift(fft(f))º ¾ g=1+sin(3*x)º ÓÑÔÙØ fftshift(fft(g))º Ä Ø Í ÝÓÙÖ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÓÑ ½ Ò ¾ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÐÓÛ¹Ô ÐØ Ö ÙÒØ ÓÒ f ÓÑÔÙØ Ø fft(f)º ÓÖ Ú Ò Æ Ô ÓÒÐÝ Ú Ò Ó ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Æ ÐÓÛ Ø Ö ÕÙ Ò Ø ÐÐ Ø Ø ØÓ Þ ÖÓµº ifft Ø Ö ÙÐغ ÓØ Ö f=1+cos(x)+sin(2*x)+5*cos(7*x) Ò ÔÔÐÝ Ø ÓÚ Ä Ø Æ º ÈÐÓØ ÓØ Ø Ò Ø Ð Ò Ø ÐØ Ö º Û Ø Í Ø Ì ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÖ f(x) = x 2 cos x ÓÒ [ π, π]º Ó Ö Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ñ Ý ØÓÖ Ó ¾ Û º º Ò ÒØ Ö Ð ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø À ÖØÐ Ý ØÖ Ò ¹ ÀϹ ÜØÖ ¹ Ö Ø ÀÓÑ ÛÓÖ ÆÓØ Ù ÐÐ ¾¼¼ Ê Ø Ñ ØÐ help ÓÖ fft ifft fftshift Ò ifftshiftº Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ ÙÖ ËÓÑ Ø ÓÒ Ð Ö Ò Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 17/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 18/40 Ì Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ê Ô ÆÓØ ÖÓÑ mathworld.wolfram.com ½ Ó ¾ Ì Û Ö Ö Ø Ù Ý ÓÓÐ Ý Ò ÌÙ Ý ½ µ ÐØ ÓÙ Ì Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ìµ Ò O(m log 2 (m)) Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø 2m ÓÑÔÐ Ü Ó ÒØ c k Ò Ø Ö Ø ÓÙÖ Ö Ù ØÙ ÐÐÝ Ö Ø Ö Ø Ð ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ø Ô ÖÐÝ S m (x) = 1 m k=0 c k e ikx, Û Ö c k = f j e ikπj/m Ö Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÓÑÔÙØ Ù Ò Ò Ì Ø ½ ¼ º ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Æ ÔÓÛ Ö Ó ØÛÓº Û Ö Ø ØÖ Ø¹ ÓÖÛ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÑ ÛÓÙÐ Ö ÕÙ Ö O(m 2 ) ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Á Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Æ ÒÓØ ÔÓÛ Ö Ó ØÛÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ Ø Ó ÔÓ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÔÖ Ñ ØÓÖ Ó Æ Ï ÒÓØ Ð Ø Ø Ñ Ø Ø ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Þ 2 23 = 8, 388, 608 Ø Û Ð ØÐÝ Ö Ò Ô º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ò t ÓÒ Ù Ò Ø Ì ÛÓÙÐ Ö ÕÙ Ö 2t Û ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ù Ò Ø ËÐÓÛ Ìº ÓÖÑ Ú ÙÖØ Ö ÒÖ Ò Ô Ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ØÓÖ Ó ØÛÓº Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 19/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 20/40
Ø Ø ¹ ØÖ Ñ Ö Ó Ø Û Ú ¾¼¼ ÑÔл ÓÒ ½Ü ÑÔÐ Ò º º ÒÓ ÓÚ Ö¹ ÑÔÐ Ò µº ÙÑ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÐØ Ö Ò Ö ¹ÓÒ Ø ØÙØ Ø Ò Ð ÓÑ Ò Ð ÔÖÓ Ò ÑÙ Ø ÁÒ ÓÒ ººº Û Ø ÓÒ Ø ËÐÓÛ Ì Û ÑÙ Ø Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Á ÓÔ Ö Ø ÓÒ» ÓÒ º ÐÐÝ Û ÛÓÙÐ Ò ½¼ È ÒØ ÙѹÁÎ ½ ½½ ¼ ¼¼¼ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ò Ð ÔÖÓ Ò Ò ÓÒ Ø Ì Û Ò Á ½ ½ ÓÔ Ö Ø ÓÒ» ÓÒ º ÓÙÔÐ Ó ¹Ó ¹Ø ¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ À Ö Û Ú ÙÑ Ø Ø Û Ò Ü ØÐÝ ÓÒ ¾¼¼¹ Þ Ð Ñ Ö Ì ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ò ÙÖ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Û Ø Ó Ì» ÓÒ º Ò ÔÐ Ý Ö ÙØ Ø Ú Ù Ð Ò ÓÖ ÓÛ Ø Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÔÖÓ Ð Ö ÕÙ ÒØ Ø Ó Ø Ù Ò Ô Ø ÒÓÐÓ Ýº Ò Ð Ü ÑÔÐ CD-Audio ÆÓØ ÖÓÑ mathworld.wolfram.com ¾ Ó ¾ ¹ Ò ¹ Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÓÔØ Ñ Þ Ó Ò ¹ÕÙ Ð ØÝ ÑÙ Ö ÓÖ Ò Ö Ø Ý Ò ¾¼¹ ¼± Ø Ö Ø Ò ¹¾ Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ º ÑÔÐ Ò Ø ÓÙÒ ½¼¼ Ø Ñ Ô Ö ¹ ÓÒ Ò ØÓÖ Ò ÑÔÐ ½ ¹ Ø ÈÖ Ñ ØÓÖ Þ Ø ÓÒ ÐÓÛ Û Ò Ø ØÓÖ Ö Ð Ö ÙØ Ö Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ñ Ø ÓÖ N = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16 Ò ÖÝ ÒÙÑ Ö ØÛ ÑÙ ÓÖ Ø Ö Ó Ö ÓÖ Ò µº Ù Ò Ø Ï ÒÓ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ð ÓÖ Ø Ñ º Ø Ø ÑÓÒ ÓØ Ö Ö Ù Ò Ø Ø Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ó Ø Ö Ó ÑÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÇÒ 3, 600 44, 100 2 = 317, 520, 000 samples or 635, 040, 000 bytes. Ò Ø Ï Ø Ìϵº Ì Ø³ ÓÚ Ö Ð ÝØ Û ÑÓÖ ÓÖ Ð Ø Ô ØÝ Ó Ø Ò Ö Ö ¹ ÓÓ µ º Ä Ø Ù Ø Ò ÓÙØ Ø Ü ÑÔÐ ÓÑ ÑÓÖ ººº Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 21/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 22/40 Ü ÑÔÐ CD-Audio Ü ÑÔÐ ½¼ ¼Ô À ¹ Î Ó Ø ÙÐÐ ½¼ ¼Ô À ¹ Ö Ñ ½ ¾¼Ü½¼ ¼ ¾ ¼ ¼¼µ Ô Ü Ð º ع ÔØ Ó ¾ Ø»Ô Ü Ð ¼ Ö Ñ» ÓÒ ¼¼ ÓÒ» ÓÙÖ Ò ¾ ÓÙÖ»ÑÓÚ Ø Ø ÔÙØ Ù Ø ½ ¾ ¼¼ ¼¼¼ ÝØ»ÑÓÚ ½ Ì»ÑÓÚ Ì Ù Ð Ò À ¹ Î Ò ÐÙ¹Ö Ý ÓÖÑ Ø Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÓÖ Ô Ø Ô Ø º¼ ÀÞ ØÓ ÔÐ Ý º À ¹ Î ÐÙ¹Ö Ý Ô ØÝ»Ð Ý Ö ½ ¾ Ô Ø Ý ÐÐ ÓÙÖ Ò Ð ÔÖÓ Ò Ò Ä Ý Ö ¾ ¾ ÌÓØ Ð Ô ØÝ ¼ ¼ Å Ò ÑÙÑ ÓÑÔÖ ÓÒ ½» ½»¾ Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 23/40 ÔÖÓ Ò Ö ÕÙ Ö º ËÓÑ Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 24/40
Û ÐÐ Ù Ø Ø Ð ÔÙÐ ØÓ ØÓÖØ º º Ø ØÛÓ Ö ÕÙ Ò º º ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk ¾ Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk ½ Ó ÁÒ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ø Ò Ð Ù Ù ÐÐÝ ÚÓÐØ ÓÖ ÙÖÖ ÒØ Á Û Ø ÑÔÐ Ø Ð ÔÙÐ Ø Ø ØÓ ÒØ ÓÛÒ Ø Ð Ô ÓÒ Ð Ò Ò ÓÙÖ Ö Ø ÓÖÝ ÒØ Ð ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ò ÓÛ Ø Ò Ð Û ÐÐ Ø Û ÐÐ ÐÐÝ ÐÓÓ Ð Ø Ú Û Ò Ø Ô Ø ÖÓÙ ÐØ Ö ÑÔÐ Ö Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ð º Ú Ò Ö Ø Ø Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Û Ù ¼³ ÓÖ ½³ ØÓ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ú Ö ÕÙ ÒÝ ÓÒØ ÒØ º Ì Ô Ö Ô Ø ØÓ Ö Ô Ò Ø Ó ØÖÝ Ò ØÓ Ò Ò Ð ÕÙ Ö ÔÙÐ ÓÛÒ ÒÒ Ðº Á Û Ø Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ØÓ ÓÛ Û Ø Ö ÕÙ Ò Ñ Ì Ð Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ú Ø Ö Ò Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ ÖÓÑ ÙÔ Ø Ò Ð Û Ø ÓÑ Ø Ò Ð Ð Ú Ð Ò ØÛÓÖ Ñ Ò Ñ ÒØ ÓÛÒ ØÓ Ò Ò Ò Ú Ù Ð Ø ÓÛÒ ÒÒ Ðº Ì ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ù Ù ÐÐÝ Ó Ø Û Ø Ø ÐÓÛ Ð Ú Ð Ô Ø Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 25/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 26/40 ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk Ó ÜØ Ò Ò Ø Ü ÑÔÐ Ó Ø Ø Ð Ô ÓÒ Ð Ò Û Ò Ú Ö ÝÓÙ Ð Ì Ñ Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ö ÔÙÐ ÙÑ Ó Ò Ò Ø Ö ÕÙ Ò º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ø Ð Ô ÓÒ Ð Ò ÓÒÐÝ Ò Û Ø Ó ½¼ÅÀÞ Ø Ò ÒÙÑ Ö ÓÒ ØÓÙ ¹ØÓÒ Ô ÓÒ ÝÓÙ Ö Ö Ó Ö ÒØ ØÓÒ º Ó Ø ØÓÒ ÓÑÔÓ Ó ØÛÓ Ö ÒØ Ö ÕÙ Ò Ø Ø ÓÒÐÝ Ø Ö ÕÙ Ò ÐÓÛ ½¼ÅÀÞ Û ÐÐ Ø Ø ÖÓÙ Ø ÒÒ Ðº Ì ØÓ Ø Ö ØÓ ÔÖÓ Ù Ø ÓÙÒ ÝÓÙ Öº Ì ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð Ñ Ø Ó ØÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ø ÓÛ Ì Ø ØÓ ÓÒ Ö Û Ò ØÖÝ Ò ØÓ Ò Ð Ö ÑÓÙÒØ Ó Ø ÓÛÒ ÒÒ Ð Ù ØÓÓ ÑÙ ÒØ Ø Ò Ø Ø Û ÐÐ ÓÖÖÙÔØ Ý Ø ÒÒ Ð Ò Û ÐÐ ÙÒÙ Ð º Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 27/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 28/40
Ë Ë Ò ËÓÒ Ö ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk ¾ Ó Ë Ë Ò ËÓÒ Ö ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk ½ Ó ÒÓØ Ö Ù Ó ËÈ Ø Ò ÕÙ ÒÐÙ Ò Ì» ̵ Ò ÓÒ Öº Ì Ü ÑÔÐ Ú Ò Ö ¹ Ò ÓÒ Ö Û Ð ØØÐ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø ÒÓÖÑ Ð Ó ÓÒ Öº Ï Ø Ø Ñ Ø Ó º ¹ ÀÞ ÓÙÒ ÔÙÐ ØÖ Ò Ñ ØØ ÒØÓ Ø Ó Ò ØÓÛ Ö Ø ÓÓÖ Ø Ò Ó Ð ÕÙ Ò Ð º Ù Ø Ò Ð ØÖ Ò ¹ Ñ ØØ Ø Ò Ó Ð ÕÙ Ò Ð Ö Ø Ö Ø Ò ØÖ Ø ÓÛÒ Ø Ö Ø ¹ Ò Ð ÔÖÓÚ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÒÐ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÓÖ ÙÖ ÖÓÙ Ò Ò ÓÙ Ø ÑÔ Ò Ó Ø ÓÓÖº ÁØ Ð Ó Ð Ø ÒÝ Ñ ÐÐ ØÖÙØÙÖ ÓÒ Ø ÓÓÖ ÓÐ Ò ÒÝ ÙÐØ Ð Ò Ø Ø Ñ Ý ÔÖ Òغ Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 29/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 30/40 ØÖÓÒÓÑÝ ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk ½ Ó Ë Ë Ò ËÓÒ Ö ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk Ó Ì Ñ ÓÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ð Ñ ÖÓÑ Ø ÍÒ Ø ËØ Ø Ó¹ Î ÒÙ ÖØ ³ ÐÓ Ø ÓÑÔ Ò ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö Ð Ò Ø³ Þ Ò Ñ Ø Ö Ò Ý Ø ÒØ Ø Ò Û Ú ÖØÙ ÐÐÝ ÒÓØ Ò ÓÙØ Ø ÐÓ Ð ËÙÖÚ Ý ÍË Ëµ Û Ù Ò ÓÔ Ý Ð ÄÓÒ Ê Ò Ë Á ÄÇÊÁ µ Ò ÓÒ Ö Ý Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ò ÔÐ Ò Ú Û Ó Ø Ø Ô ÖÔ ØÙ ÐÐÝ ÓÚ Ö Û Ø ÐÓÙ Ð Ý Ö Û ÒÓÖÑ Ð ÓÔØ Ð Ø Ð ÓÔ Ò³Ø Ô Ò ØÖ Ø Ó Å ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ø µ Ö Ö Ò ÓÓÖ Ó Ø ÜÐÙ Ú ÓÒÓÑ ÓÒ µº Ì Ô ØÙÖ Ð Ñ ÒØ Ô Ü Ðµ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ¼ Ñ Ø Ö º Ì Ø Ö Ø ÐÐÝ Ú Ò Ø Ð Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò Ø Ø Û Ò ØÓ ÑÓ ÒØÓ Ñ Ñ Ô Û Ö Ø Ð Ó ½ ¼¼ ¼¼¼º Ì Ø ÖÓÙ Ø ÐÓÙ Ð Ý Öº Áس Ñ ÓÒ Û Ñ Ô ¼± Ó Ø ÔÐ Ò Ø Û Ø Ö Ö Ò ØÓ Ö Ú Ð ÙÖ ØÙÖ Ñ ÐÐ ¾ ¼ Ñ Ø Ö ÖÓ º ÑÓ ÔÖÓÚ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó Ö Ð Ô ÓØÓ Ö Ô Ø Ø Ö Ú Ð Ñ ÒÝ Ô Ý Ó Ö Ô Ò ÓÐÓ ØÙÖ Ó Ø ÓÓÖº Ì Ð Ò Û Ø Ô ØÙÖ Ø Ø Ø ÒØ Û Ö ØÖ Ô Ó Ø ÔÐ Ò Ø ÙÖ ÓÙØ ¾¼ Ñ Û ÖÓÑ Ø ÒÓÖØ ÔÓÐ ØÓ Ø ÓÙØ ÌÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø ÓÚ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ¾ Ñ ÐÐ ÓÒ ÕÙ Ö Ò ÙØ Ð Ñ Ð Ó ÓÓÖ Û Ö Ó Ø Ð ÖÓÙÒ Ø ¼ Ó Ø Ð ÔÓÐ º ËØ Ø º Å ÔÔ Ò ÓÒØ ÒÙ Ò ÖÓÙÒ Ø Ñ Ö Ò Ð Á Ð Ò Ó Ø ÒØÖ Ð Ò Û Ø ÖÒ È Ç Òº Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 31/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 32/40
ÂÓ Ò ÌÙ Ý Ò ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖѺ Ì Ó ÒØ ÓÖÖ ¹ ÙÖ ØÓ Ø ÐÓÛ Ö ÕÙ Ò Ö Ò Ø ÒØ Ö Ó Ø ÔÐÓØ Ò Ø ÔÓÒ Ò ØÖÓÒÓÑÝ ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk Ó ØÖÓÒÓÑÝ ÖÓÑ www.spd.eee.strath.ac.uk ¾ Ó Figure: One example image of a surface feature called "Pandora Corona."If you look at the image, you will see a two black lines through the picture. This is just a mismatch between the strips sent back by Magellan. It also gives you an idea of the scale of the Figure: A global map showing emissivity of the Venus s surface. image as each strip is 20km wide. Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 33/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 34/40 ½ Ó ÇØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö Ü ÑÔÐ ÁÑ ÈÖÓ Ò Filtering and Signal Analysis 150 100 Seismic 50 Optics 0 Acoustics 50 100 150 100 50 0 50 100 ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ö ÕÙ Ò Ö ØÓÛ Ö Ø º Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 35/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 36/40
À Ö Û ÐØ Ö ÓÙØ 75% Ó Ø ÓÙÖ Ö Ó ÒØ Ò ÙÖ Ø Ñ º Ö ÓÒ ØÖÙØ Ü ÑÔÐ Ó ¹Ô ÐØ Ö Ò Ø Ñ º Ï Ú ÐØ Ö ÓÙØ ÙÖ ÓÙÖ Ö Ó ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÐÓÛ Ø Ö ÕÙ Ò º Ø À Ö Û ÐØ Ö Ø 25% Ó Ø ÓÙÖ Ö Ó ÒØ Û Ø Ø ÙÖ Ð Ö Ø Ú ÐÙ Ò Ø ÓÐÙØ Ò µ Ò Ö ÓÒ ØÖÙØ Ø Ñ º Ò Ö Ý Ü ÑÔÐ Ó ÐÓÛ¹Ô ÐØ Ö Ò Ø Ñ º Ï Ú ÐØ Ö ÓÙØ ÙÖ ÓÙÖ Ö Ó ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ø Ö ÕÙ Ò º Ø Ó Ü ÑÔÐ ÁÑ ÈÖÓ Ò ¾ ± ÓÑÔÖ ÓÒ ¾ Ó Ü ÑÔÐ ÁÑ ÈÖÓ Ò ¾ ± ÓÑÔÖ ÓÒ 150 150 100 100 50 50 0 0 50 50 100 100 150 150 100 50 0 50 100 100 50 0 50 100 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 37/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 38/40 Ü ÑÔÐ ÁÑ ÈÖÓ Ò ÄÓÛÔ ÐØ Ö Ò Ó Ü ÑÔÐ ÁÑ ÈÖÓ Ò À Ô ÐØ Ö Ò Ó 150 150 100 100 50 50 0 0 50 50 100 100 150 150 100 50 0 50 100 100 50 0 50 100 Ë ÑÓÚ Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 39/40 Approximation Theory: The Fast Fourier Transform, with Applications p. 40/40