SCHOOL OF MATHEMATICS AND STATISTICS Game Theory Autumn Semester 2016 17 2 hours and 30 minutes ØØ ÑÔØ ÐÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ÐÐÓ Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ÓÛÒ Ò Ö Ø º Please leave this exam paper on your desk Do not remove it from the hall Ê ØÖ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÖÓÑ Í¹ Ö Ø µ ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ý ØÙ ÒØ 1 Turn Over
Blank 2 Continued
½ Ì Ö Ö n 1 Ô ÓÔÐ ÛÓÖ Ò ÓÒ ÔÖÓ Øº Á Ø iø Ô Ö ÓÒ ÓÒØÖ ÙØ x i 0 ÓÙÖ 1 i nµ Ø Ö ÙÐØ Ò ÙØ Ð ØÝ ÓÖ Ò Ú Ù Ð j Ú Ò Ý u j (x 1,...,x n ) = 100 n i=1 x i 1+ n i=1 x x j i ÐÐ Ò Ú Ù Ð ÓÓ Ø Ö ÓÖØ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ñ Ò ØÓ Ñ Ü Ñ Þ Ø Ö ÙØ Ð Øݺ Ò ÐÐ ÔÙÖ ¹ ØÖ Ø Ý Æ ÕÙ Ð Ö Ò Ò Ø ÙÒ ÕÙ ÝÑÑ Ø¹ Ö ÔÙÖ ¹ ØÖ Ø Ý Æ ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Û ÐÐ Ô ÓÔÐ ÓÒØÖ ÙØ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó ÓÙÖ xº Ò Ø Ú ÐÙ Ó x Ò Ø ÙØ Ð ØÝ ÓÖ ÔÐ Ý Ö Ò Ø Ø Æ ÕÙ Ð Ö ÙѺ ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ò Ú Ù Ð Ò Ò ÓÒØÖ Ø Ö Ò ÓÒ Ø Ö Õ٠е ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Øº Á Ø Ô Ò ÐØÝ ÓÖ ÒÓØ ÓÒÓÙÖ Ò Ø Ö Ñ ÒØ Ó Ø Ø Û Ö ÖØ Ò Ú ÖÝÓÒ Û ÐÐ ÓÒÓÙÖ Ø Û Ø ÓÙÐ Ø Ö ÓÖØ Ò Û Ø ÙØ Ð ØÝ ÛÓÙÐ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ò Ð Ò Ó ÔÐ Ý Ñ Ú Ò Ò ØÖ Ø ÓÖÑ ÓÐÐÓÛ Á ÁÁ ÁÁÁ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ½ Ò ÐÐ Û ÐÝ ÓÑ Ò Ø ØÖ Ø Ò ÐÐ ØÖ ØÐÝ ÓÑ Ò Ø ØÖ Ø º Ð Ñ Ò Ø Ø Ö Ø Ú ÐÝ ÐÐ ØÖ ØÐÝ ÓÑ Ò Ø ØÖ Ø º µ Ò ÐÐ ÔÙÖ ¹ ØÖ Ø Ý Ò ÐÐ Ñ Ü ¹ ØÖ Ø Ý Æ ÕÙ Ð Ö Ó Ø Ñ º 3 Turn Over
¾ ÓÒ Ö Ò Ø ØÛÓ¹ÔÐ Ý Ö Þ ÖÓ¹ ÙÑ Ñ G = (S,T,u)º Ö Ø Ø R Ò C Ó Ñ Ü ØÖ Ø Ó ÓØ ÔÐ Ý Ö º Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ñ Gº µ Ò Û Ø ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ø Ó G Ö º Ä Ø p Ò q ÓÔØ Ñ Ð Ñ Ü ØÖ Ø ÓÖ Ø ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ ÔÐ Ý Ö Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ë ÓÛ Ø Ø (p,q ) Æ ÕÙ Ð Ö ÙѺ Ñ ÕÙ Ö Ò n n ÖÖ Ý Û Ö ÒØ Ö ÖÓÑ ½ ØÓ n 2 ÓÙÖ Ò Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø ÐÐ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ ÙÑ Ö Õ٠к ÓÖ Ü ÑÔÐ 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 4 4 Ñ ÕÙ Ö º ÓÒ Ö ØÛÓ¹ÔÐ Ý Ö Þ ÖÓ¹ ÙÑ Ñ G Û Ó Ô ÝÓ Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ø ÖÓÛ ÔÐ Ý Ö n n Ñ ÕÙ Ö º Ò Ø Ú ÐÙ Ó G Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ø ÓÖ ÓØ ÔÐ Ý Ö º ÜÔÐ Ò ÝÓÙÖ Ò Û Ö Ò Ø Ðº ½¾ Ñ Ö µ 4 Continued
Ð Ò Ó Ø ØÓÔ Ñ Ø ÓÖ Ø Ò Ë Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ñ Ø ÓÖÝ ÓÒ ÙÐØ ÒÝ ÖÚ º Ð Ö Ø Ò ØÓ Û Ø Ö ØÓ ÓÔ Ò Ò Ó Ò Ë Ð ÓÖ ØÓ ÑÓÚ ØÓ Ä ÑÓÚ ÓØ Û ÐÐ ÖÒ Ñ ÐÐ ÓÒ ÔÓÙÒ ÙÖ Ò Ø Ò ÜØ ØÛ ÒØÝ Ý Ö º Ó ÑÙ Ø Ø Ý Ò Ë Ð Ò Ð Ð Ó Ø Ý Û ÐÐ Û Ø Ö ØÓ ÓÓÔ Ö Ø Û Ø Ð ÓÖ ÒÓغ Á Ð Ø Ý Û ÐÐ Ó ÖÚ Ó ³ ÓÒ Ò Ø Ò ÛÓÙÐ Ú ØÓ Û Ø Ö ØÓ ÓÓÔ Ö Ø ÓÖ ÒÓغ Á Ð Ø Ý Ø Ö ÖÒ Ò ÓÚ Ö Ø Ò ÜØ ØÛ ÒØÝ Ý Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ó ÔÓÙÒ µ Ö ØÓ ÓØ Ø Ý ÓØ ÓÓÔ Ö Ø ¾ ØÓ ÓØ Ò Ø Ö ÓÓÔ Ö Ø ¼ ØÓ Ó Ò ØÓ Ð Ó ÓÓÔ Ö Ø Ò Ð Ó ÒÓØ ¼ ØÓ Ð Ò ØÓ Ó Ð ÓÓÔ Ö Ø Ò Ó Ó ÒÓغ Ö Ø Ñ Ù Ò ØÖ Ö ÙÐÐÝ Ð ÐÐ Ò ÐÐ Ø ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ º ËÓÐÚ Ø Ñ Ù Ò Û Ö Ò ÙØ ÓÒº Ñ Ö µ µ Ö Ø Ñ Ò ØÖ Ø ÓÖÑ Ò ÐÐ Ø ÔÙÖ ¹ ØÖ Ø Ý Æ ÕÙ Ð Ö Ò Ò Ø Û Ó Ø Ù Ñ Ô Ö Øº ÓÒ Ö Ò Ø ØÛÓ¹ÔÐ Ý Ö ÕÙ ÒØ Ð Ñ Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÖÓÓØ Ö Ø ØÖ T º Ò Û Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ñ º ½ Ñ Ö µ ÈÖÓÚ ÖÑ ÐÐÓ³ Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÒÝ Ù ØS Ó Ø Ø Ó ÐÐ ÓÙØÓÑ Ó Ø Ñ ÔÐ Ý Ö Á Ò ÓÖ Ò ÓÙØÓÑ Ò S ÓÖ ÔÐ Ý Ö ÁÁ Ò ÓÖ Ò ÓÙØÓÑ ÒÓØ Ò Sº 5 Turn Over
Ð Ø ÖÓÛ¹ÔÐ Ý Öµ Ò Ó Ø ÓÐÙÑÒ¹ÔÐ Ý Öµ ÔÐ Ý Ö Ô Ø ÐÝ Ø Ñ G Ú Ò Ò Ø ÙÐ Ö ÓÖÑ ÓÐÐÓÛ Á ¾ ¾ ¼ x ÁÁ x ¼ ½ ½ Û Ö x > 2º Ø Ö Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ñ ÔÐ Ý Ò Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ 1/2º Ï Ø Ö Ø ÜÔ Ø Ô ÝÓ ÓÖ ÓØ ÔÐ Ý Ö Ø ØÖ Ø Ý ÔÖÓ Ð Á µ ÔÐ Ý Ö Ô Ø Ðݺ µ Á Ð ÐÛ Ý ÔÐ Ý ÁÁ Û Ø Ø Ð Ö Ø ÜÔ Ø Ô ÝÓ Ø Ø Ó Ò Ø Ò Ø Ö Ô Ø Ñ ÓÒ Ö Ø ØÖ Ø Ý ÔÖÓ Ð ÓÖ Ø Ö Ô Ø Ñ Ò Û Ð ÐÛ Ý ÔÐ Ý Á Ò Ó ÐÛ Ý ÔÐ Ý º Á Ø Æ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÂÙ Ø Ý ÝÓÙÖ Ò Û Öº ÓÒ Ö Ø ØÖ Ø Ý ÔÖÓ Ð ÓÖ Ø Ö Ô Ø Ñ Ò Û Ð ÐÛ Ý ÔÐ Ý ÁÁ Ò Ó ÐÛ Ý ÔÐ Ý º Á Ø Æ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÂÙ Ø Ý ÝÓÙÖ Ò Û Öº ÓÖ Û Ú ÐÙ Ó x Ò ÝÓÙ Ò Æ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÖ Ø Ö Ô Ø Ñ Û Ø ÜÔ Ø Ô ÝÓ Ò º Ö Ø Æ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ø Ðº Ò Ð Ø ÓÒ Ð ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ø ÊÓÑÙÐ Ò Ø Ø ÓÙÐ Ö Ñ Ò Ò ÓÖ Ü Ø Ø Ð Ø ÍÒ ÓÒ Ò Ø ÓÙØÓÑ Ô Ò ÒØ Ö ÐÝ ÓÒ Ø ÚÓØ Ó Ð Ò Ó Û Ó Ò ÚÓØ ÓÖ Ø Òº Ì ÊÓÑÙÐ Ò ÓÒÓÑÝ Ò Ò ÓÒ Ó ØÛÓ Ø Ø ÍÔ ÓÖ ÓÛÒ Ø Ø Ø ÍÔ Ø ÊÓÑÙÐ Ò ÛÓÙÐ ØØ Ö Ó Ö Ñ Ò Ò Ò Ø ÓÛÒ Ø Ý ÛÓÙÐ ØØ Ö Ó Ð Ú Ò º Á Ø ÚÓØ Ø ÒÐÙ Ò Û Ò ÓØ Ð Ò Ó Ø Òµ ÓØ Ð Ò Ó Ø Ô ÝÓ Ó ½»¾º Á Ø ÚÓØ ÓÖ Ö Ñ Ò Ò Ø ÓÒÓÑÝ ÍÔ ÓÖ Ø ÚÓØ ØÓ Ð Ú Ò Ø ÓÒÓÑÝ ÓÛÒ ÓØ Ð Ò Ó Ø Ô ÝÓ Ó ½º ÁÒ ÐÐ ÓØ Ö Ø Ô ÝÓ Ö ¼ ÓÖ ÓØ º Ð ÒÓÛ Ø Ø Ø Ó Ø ÓÒÓÑÝ ÙØ Ó Ó ÒÓØ Ò Ð Ú Ø Ø Ø ÍÔ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ»½¼º ÅÓ Ð Ø Ý Ò Ñ º Ñ Ö µ Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ØÙ Ø ÓÒ Ö Ý ¹Æ ÕÙ Ð Ö ÙѺ Ð Ø Ò Û Ò Ø ÓÒÓÑÝ ÍÔ ÚÓØ Ü Ø Û Ò Ø ÓÒÓÑÝ ÓÛÒ Ò Ó ÚÓØ Ö Ñ Òº Ð ÚÓØ Ö Ñ Ò Û Ò Ø ÓÒÓÑÝ ÍÔ ÚÓØ Ü Ø Û Ò Ø ÓÒÓÑÝ ÓÛÒ Ò Ó Ø Ò º End of Question Paper 6