Ô ØÙÐÓ ÁÒØ Ö ÙÔ Ö Ì ÓÖ Ñ Ù Ì ÓÖ Ñ ËØÓ Ø Ô ØÙÐÓ Ø Ñ ÓÑÓ Ó Ø ÚÓ Ó ÐÙÐÓ ÙÑ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÑÔÓ Ð Ö ÓÙ Ú ØÓÖ Ð Ó Ö ÙÑ ÙÔ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Þ º È Ö ÐÙÐ Ö Ó Ñ Ó ÒØ Ö ÙÔ Ö Ö Ú ¹ÑÓ¹ÐÓ ÓÑÓ ÙÑ ÒØ Ö Ð ÙÔÐÓ Ó Ö ÙÑ Ö Ó ÔÐ Ò Ó Ö ÕÙ Ð ÙÔ Ö ÔÖÓ Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÑ ÒØ º Ç ÒØ Ö ÙÔ Ö Ø Ñ Ú Ö ÔÐ Ò ÕÙ Ø ÑÓ Ó ÐÙÐÓ Ó ÙÜÓ ÙÑ Ð ÕÙ Ó ØÖ Ú ÙÑ Ñ Ñ Ö Ò ÒØÖ ÓÙØÖ º ÆÓ Ò Ð Ó Ô ØÙÐÓ Ó ØÙ ÒØ Ú Ö Ô Þ ÐÙÐ Ö Ó ÒØ Ö Ð ÙÔ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ð Ö Ó ÐÓÒ Ó ÙÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò º ÐÙÐ Ö Ó ÒØ Ö Ð ÙÖÚ Ð Ò Ó ÙÑ ÙÒÓ Ð Ö Ó ÐÓÒ Ó ÙÑ ÙÖÚ ÒÓ Ô Óº ÐÙÐ Ö Ö ÙÑ ÙÔ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Þ º ÐÙÐ Ö Ó ÙÜÓ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº Í Ö Ó Ø ÓÖ Ñ ËØÓ º Í Ö Ó Ø ÓÖ Ñ Ú Ö Ò Ù µº Ê ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ó ÒØ Ö ÙÔ Ö º
È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê ÁË ËÍÈ Ê Á Ì ÇÊ Å ÍËË Ì ÇÊ Å ËÌÇÃ Ë Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º½ Ë ÙÔ Ö ÕÙ Ô ÖØ Ó Ô Ö ÓÐ z = 2(x 2 +y 2 ) ÒØ Ö ÓÖ Ó Ð Ô x2 +y 2 2 + z2 8 = 1 ÓÖ ÒØ ÓÑ ÒÓÖÑ Ð Ö Ô Ö Ñ º ½º ÐÙÐ Ö ÙÔ Ö º ¾º ÐÙÐ F d Ô Ö F(x,y,z) = xî+yĵ 8x 2ˆkº º ÓÒ Ö ÓÖ ÙÒÓ Ú ØÓÖ Ð G(x,y,z) = e x î 8 3 x3 ĵ + (z 3 xy)ˆk C ÙÖÚ Ò ÔÓÖ x2 +y 2 2 + z2 8 = 1 z = 2(x2 +y 2 ) ÓÑ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ò ÙÞ Ô Ð ÓÖ ÒØ Ó Ëº µ ÐÙÐ Ó ÖÓØ ÓÒ Ð G Ú Ö ÕÙ ÕÙ rot(g) = F º µ ÐÙÐ G drº C Ê ÓÐÙÓ ½º ÙÔ Ö ÔÓÖÓ Ó Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ó z = 2(x 2 + y 2 ) ØÙ ÜÓ Ó ÔÐ ÒÓ z = 2º ÍÑ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó ÓÑÓ r u r v = r(u,v) = (vcosu }{{},vsinu }{{},}{{} 2v 2 ), (u,v) [,2π] [,1], }{{} x y z x u x v y u y v z v A() = r u r v dudv. z = u vsinu vcosu = 4v 2 cosuî+4v 2 sinuĵ vˆk cosu sinu 4v ½µ Ú Ñ Ô ÖØ Ö ½µ A() = 2π 1 v 16v 2 +1dvdu = 1 2π [(16v 2 +1) 3/2] 1 16 3 du = π 24 (17 17 1). ¾º ÇÖ F d = F(r(u,v)) n dudv, ¾µ
ÓÒ r ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó ÒÓÒØÖ n = ( r u r v) Ó Ñ ØÖ Ó Ó Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÐÙÐ Ó ÒÓØ ¹ ÕÙ Ø Ö Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ n ÔÓ Ø Ú µº Ñ F.d = = = 2π 1 2π 1 ( vcosu,vsinu, 8v 2 cos 2 u) ( 4v 2 cosu, 4v 2 sinu,v) dudv (4v 3 cos 2 u 4v 3 sin 2 u 8v 3 cos 2 u) dudv 4v 3 dudv = 2π. º Ì Ñ¹ µ rot(g)(x,y,z) = x y z e x 8 3 x3 xy +z 3 = xî+yĵ 8x 2ˆk = F(x,y,z). µ Í Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ËØÓ Ë ÓÖ ÒØ Ú Ð Ð Ñ Ø Ô Ð ÙÖÚ C ÑÔÐ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ö ÙÐ Ö ÓÑ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ò ÙÞ Ô Ð ÓÖ ÒØ ¹ Ó µ ÐÙÐ Ó Ñ ¾º G dr = C rot(g) d = F d, Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º¾ Ë ÙÔ Ö ÔÓÖ z = f(x,y) = 2 y ÓÑ (x,y) Ó Ó ÕÙ Ó x 2 +y 2 1 ÒÓ ÔÐ ÒÓ z = ØÓ ÔÓÖÓ Ó ÔÐ ÒÓ y + z = 2 Ð Ñ Ø ÔÓÖ ÙÑ ÙÖÚ ÑÔÐ γº Ë F(x,y,z) = y 2 î+xĵ+z 2ˆk ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº ½º ÐÙÐ Ó Ú Ö ÒØ Ó ÖÓØ ÓÒ Ð F º ¾º ÇÖ ÒØ ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ù ÖÓÒØ Ö γ Ø Ò ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ ¹ ÓÖ Ö µ ÕÙ Ò Ó Ú Ø Ñ º ÐÙÐ F dr Ù Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ËØÓ º º Í Ò Ó ÖÑÙÐ Ö () = 1d ÐÙÐ Ö º γ
È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê ÁË ËÍÈ Ê Á Ì ÇÊ Å ÍËË Ì ÇÊ Å ËÌÇÃ Ë Ê ÓÐÙÓ ½º Ì ÑÓ div(f) = x ( y2 )+ y (x)+ z (z2 ) = 2z rot(f) = = î+ĵ+(1 2y)ˆk. x y z y 2 x z 2 ¾º Í Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ËØÓ F dr = γ rot(f).d = (,,1 2y) (,1,1)dxdy = 1 2ydxdy, ÕÙ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó r(x,y) = (x,y,2 y), (x,y) Ó Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÕÙ ÓÖ ÒØ ÓÑÓ Ô Ó (,1,1)º Ø ÒØ Ö Ð ÐÙÐ ¹ ÐÑ ÒØ Ñ ÓÓÖ Ò ÔÓÐ Ö 2π 1 (1 2r sinθ)r drdθ = π. º Ö () = 1d = r v r u dxdy = 2dxdy = 2 Ö () = 2 π. Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º Ë Ó Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ö Ó 1 ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñ ÓÖ ÒØ Ó ÓÑ ÒÓÖÑ Ð ÜØ Ö ÓÖº Ë F(x,y,z) = xî yĵ+zˆkº ÐÙÐ Ó ÙÜÓ F ØÖ Ú ÙÔ Ö ÒØÖÓ ÙÞ Ò Ó ÙÑ Ó ÖÙÐ Ö ÒÓ ÔÐ ÒÓ xoy ÑÓ Ó ÕÙ ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÙÔ Ö Ù Ò Ó ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ Ù ÓÙ Ú Ö Ò µº Ê ÓÐÙÓ È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ù ÓÖ ÒØ Ò Ó ÙÔ Ö ÒÓØ ¹ ÕÙ ÒÓ µ ÙÔ Ö ÐÓ Ó ÓÑ ÒÓÖÑ Ð ÜØ Ö ÓÖ Ò Ò Ó ÔÓÖ V Ó Ð Ó Ù ÖÓÒØ Ö Ø F d + F d = Ú(F) V, V F d = vol(v) F d
ÙÑ Ú Þ ÕÙ Ú(F) = 1º ÓÑÓ ÙÑ Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ xoy Ô Ö ÔÓÒØÓ Ñ Ø Ñ¹ z = Ó Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð (,, 1) ÐÓ Ó F d = º Ñ F d = vol(v) = 2π 3. Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½º Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ ÙÔ Ö ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ x = u 2, y = v 2, z = u+2v ÒÓ ÔÓÒØÓ (1,1,3)º ¾º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÔ Ö µ Ô ÖØ Ó Ô Ö ÓÐ x = y 2 +z 2 ÕÙ Ø ÒØÖÓ Ó Ð Ò ÖÓ y 2 +z 2 9º µ Ô ÖØ ÙÔ Ö z = xy ÕÙ Ø ÒØÖÓ Ó Ð Ò ÖÓ y 2 +z 2 1º º ÓÒ Ö ÙÔ Ö Ô Ð ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ x = 2cosu y = 2sinu u 2π, v 3. z = v µ Á ÒØ ÕÙ ÙÔ Ö Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ (,2,1)º µ ÐÙÐ Ó ÒØ Ö Ð d ÒØ ÖÔÖ Ø Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Óº 1 º ÐÙÐ Ó ÒØ Ö Ð ÙÔ Ö d ÓÒ Ô ÖØ Ó ÔÐ ÒÓ (1+x+z) 2 ÕÙ Ó x+y +z = 1 ØÙ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÓØ ÒØ º º Ë ÙÔ Ö Ò ÔÓÖ z = x 2 +y 2 ØÙ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ Ö Ó Ð Ò Ö x 2 +y 2 1 ÓÖ ÒØ ÔÓÖ ÙÑ ÑÔÓ ÓÑ Ø Ö Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÓ Ø Ú º ÐÙÐ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ F(x,y,z) = (2,5,3) ØÖ Ú º º ÐÙÐ zd ÓÒ ÖÓÒØ Ö Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ð Ø Ö ÐÑ ÒØ Ô Ð ÙÔ Ö Ð Ò Ö x 2 +y 2 = 1 Ø Ñ ÔÓÖ Ó ÖÙÐÓ x 2 +y 2 1 ÒÓ ÔÐ ÒÓ z = Ó ØÓÔÓ Ô ÖØ Ó ÔÐ ÒÓ z = 1+x ÕÙ ÔÖÓ Ø Ó Ö º ÓÑ ÔÓÖ Þ Ö ÙÑ ÓÓ Ó Ð Ó ÒØ ÕÙ ÙÔ Ö ÕÙ ÓÒ Ø ØÙ Ñ Ù ÖÓÒØ Ö º
È ÌÍÄÇ º ÁÆÌ Ê ÁË ËÍÈ Ê Á Ì ÇÊ Å ÍËË Ì ÇÊ Å ËÌÇÃ Ë º Ë ÖÓÒØ Ö Ó Ð Ó { E = (x,y,z) R 3 : x2 4 +z2 1 y } 1 x2 4 z2, ÓÖ ÒØ ÓÑ ÒÓÖÑ Ð ÜØ Ö ÓÖ ÒØÖÓ Ô Ö ÓÖ µº ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F Ò Ó ÔÓÖ F(x,y,z) = 2x(1+z)î+yĵ+z(1 z)ˆkº µ ÁÒ ÕÙ ÙÑ ÜÔÖ Ó Ô Ö Ó ÚÓÐÙÑ Ó Ð Ó E ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó ÒØ Ö Ð ÙÔ Ö º µ Î Ö ÕÙ Ó ÑÔÓ F ÓÒ ÖÚ Ø ÚÓº µ ÍØ Ð Þ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ËØÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ º ÐÙÐ Ó ÙÜÓ 2xĵ d = º F.d Ó ÑÔÓ F ØÖ Ú ÙÔ Ö ÓÖ ÒØ ÔÓÖ ÙÑ ÑÔÓ ÓÑ Ø Ö Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÓ Ø Ú ÓÒ µ F(x,y,z) = xî+yĵ+zˆk, Ò Ô Ð ÕÙ Ó z = a 2 x 2 y 2 º µ F(x,y,z) = xî yĵ, Ò Ô Ð ÕÙ Ó x 2 +y 2 +z 2 = a 2 Ô Ö x,y,z Ò Ó a ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú º º ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ Ó ÙÜÓ F.d Ó ÑÔÓ F ØÖ Ú ÙÔ Ö ÓÒ µ F(x,y,z) = xyî+4x 2 ĵ+yzˆk, Ô ÖØ ÙÔ Ö Ò ÔÓÖ z = xe y Ñ ÕÙ Ø ÑÓ x 1, y 1 ÓÑ ÓÖ ÒØ Ó ÜÓ Ô Ö Ñ º µ F(x,y,z) = xze y î xze y ĵ+zˆk, Ô ÖØ Ó ÔÐ ÒÓ ÓÑ ÕÙ Ó z = 1 x y ÕÙ Ø ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÓØ ÒØ ÓÖ ÒØ Ñ Ô Ö ÜÓº µ F(x,y,z) = yî zˆk ÙÔ Ö ÓÑ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú ÒØÖÓ Ô Ö ÓÖ µ ÕÙ Ó Ø Ñ Ö ÙÒ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ó Ô Ö ÓÐ Ò ÔÓÖ y = x 2 +z 2, y 1 ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ó ÔÐ Ò ÕÙ Ø Þ x 2 +z 2 1, y = 1º ½¼º ÓÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ W = {(x,y,z) R : x 2 + y 2 1 z 1 x 2 y 2 } Ó ÑÔÓ F(x,y,z) = (x(3+xz),2xyz, 2xz 2 )º Ë ÖÓÒØ Ö W ÓÖ ÒØ ÓÑ ÒÓÖÑ Ð ÜØ Ö ÓÖº µ ÈÖÓÚ ÕÙ F.d = W 3 dxdydzº
µ ÐÙÐ Ó ÚÓÐÙÑ W º ½½º Í Ó Ì ÓÖ Ñ ËØÓ ÒÓ ÐÙÐÓ Ó Ù ÒØ ÒØ Ö ÙÖÚ Ð Ò Ó µ C (x2 y)dx+4zdy+x 2 dz ÓÒ C Ô ÐÓ Ñ ÒØÓ Ö Ø (1,,) (,1,) (,1,) (,,1) (,,1) (1,,)º µ C ydx+zdy +xdz ÓÒ C ÙÖÚ Ò Ô ÐÓ ÓÒ ÙÒØÓ {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 = 1 z = 3} ÓÖ ÒØ ÒÓ ÒØ Ó Ö ØÓº ½¾º Ë Ñ = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} ÓÖ ÒØ ÓÑ ÒÓÖÑ Ð Ö Ô Ö Ó ÜØ Ö ÓÖ F : R 3 R 3 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ø Ñ Ö Ú Ô Ö ÙÒ ÓÖ Ñ ÓÒØ ÒÙ ÒÙÑ ÖØÓ ÓÒØ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 1}º ÈÖÓÚ ÕÙ µ Í Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ËØÓ º µ Í Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ Ù º rot(f). nd = º