TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi n) Ngæ Thà Nh

Bản ghi

1 TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi n) Ngæ Thà Nh

2 LOISCENTER ST:

3 LOISCENTER æi líi chia s Ch 0 0 n«m núa khi l n sâng cæng ngh» 4.0 s³ ành h¼nh l i c u tróc cuëc sèng v x hëi. C i âi ngh±o ñc tr v cho qu khù, lóc â lao ëng khæng cán l º tçn t i m chõ y u nh m möc ½ch s ng t o v ti n bë. C c cæng vi»c s³ tªp trung v o 4 nhâm: Ngh» thuªt Khoa håc kÿ thuªt Dàch vö Sùc khäe v Thº thao Tòy thuëc kh n«ng, con ng íi câ thº lüa chån c c thº lo i cæng vi»c phò hñp. Nh ng b t k¼ cæng vi»c g¼ y u tè s ng t o v thi ua s³ ñc a l n h ng u. Chóng tæi chån cæng vi»c chu n bà h nh trang tri thùc khoa håc kÿ thuªt cho lîp cæng d n thíi i 4.0 l m nhi»m vö ch½nh cõa m¼nh. ST:

4 MÖC LÖC Möc löc LOISCENTER Mët sè b t ng thùc quan trång 4. B t ng thùc ho n và B t ng thùc AM GM B t ng thùc Cauchy Schwarz B t ng thùc Holder B t ng thùc Chebyshev B t ng thùc Schur Kÿ thuªt gi i c c b i to n b t ng thùc 8. K¾ thuªt Cæ - si ng ñc d u Kÿ thuªt chu n hâa K¾ thuªt ph n t ch Chebyshev Ph ìng ph p c n b ng h» sè chån iºm rìi Ph ìng ph p dçn bi n Tr m ng m trong l u i B t ng Thùc 8. B t ng thùc s p x p hay cán gåi l BT ho n và B t ng thùc Shapiro: gi i xong m ch a thº h t Chòm b i to n cì b n v bi n êi Ti-tu 4 4. C c b i to n cì b n Bi n êi Ti - tu Nhúng bæng hoa d i 6 5. Biºu thùc a + b + c Biºu thùc a + b + c Biºu thùc ab + bc + ca Biºu thùc abc Biºu thùc li n quan C c b i to n kh c Gñi þ gi i ph n c c biºu thùc 5 H Nëi, ng y th ng 5 n«m 09 ST:

5 Mët sè b t ng thùc quan trång LOISCENTER. B t ng thùc ho n và ành lþ (B t ng thùc ho n và). Cho d y sè ìn i»u t«ng a, a, a v b, b, b. Gi sû (i, i, i ) l mët ho n và b t k¼ cõa (,, ), ta luæn câ a b + a b + a b a b i + a b i + a b i Ngo i ra n u d y a, a, a v b, b, b ìn i»u ng ñc chi u th¼ b t ng thùc tr n êi chi u.. B t ng thùc AM GM ành lþ (B t ng thùc AM GM). Vîi måi sè thüc d ìng a, a, a ta câ b t ng thùc a + a + a a a a. ng thùc x y ra khi v ch khi a = a = a. V½ dö. Chùng minh r ng vîi måi sè thüc khæng m a, b, c ta câ a + b + c 9 a + b + c. V½ dö (B t ng thùc Nesbitt). Chùng minh r ng vîi måi sè thüc khæng m a, b, c ta câ a b + c + b c + a + c a + b. V½ dö. Gi sû a a, a l c c sè thüc d ìng sao cho a + a + a =. Chùng minh vîi måi sè nguy n d ìng k ta câ b t ng thùc a k + a k + a k a k + a k + a k. V½ dö 4 (B t ng thùc AM GM suy rëng). Vîi c c sè thüc d ìng a, a,, a n v x, x,, x n l c c sè thüc khæng m câ têng b ng ta câ a x + a x + + a n x n a x a x a n x n Chùng minh. Ph ìng ph p chùng minh sû döng quy n p Cauchy ho n to n t ìng tü nh vîi b t ng thùc AM GM thæng th íng. Tuy nhi n trong tr íng hñp n = chóng ta c n mët líi gi i chi ti t hìn. Ta ph i chùng minh n u x + y = v a, b, x, y l c c sè thüc khæng m th¼ ax + by a x b y V½ dö 5 (IMO Shortlist 998). Vîi x, y, z l c c sè thüc d ìng câ t½ch b ng, chùng minh b t ng thùc sau: x ( + y)( + z) + y ( + z)( + x) + z ( + x)( + y) 4. 4 ST:

6 . B t ng thùc Cauchy Schwarz LOISCENTER V½ dö 6 (IMO 990). Gi sû a, b, c, d l c c sè thüc khæng m thäa m n ab + bc + cd + da =. Chùng minh: a b + c + d + b c + d + a + c a + b + d + d a + b + c. Nhªn x²t. N u a, b, c d ìng thäa m n a + b + c = th¼ ab c + bc a + ca b. V½ dö 7 (Canada MO 00). Vîi måi x, y, z d ìng, h y chùng minh: x yz + y xz + z xy x + y + z. Nh nâi, chó þ quan trång nh t khi sû döng b t ng thùc AM GM l ph i chån óng h» sè khi gh²p c p º ng thùc câ thº x y ra ñc. Ch ng h n, ð VD º thi Canada MO 00 ta khæng thº sû döng b t ng thùc x + (y + ) + (z + ) x. ( + y)( + z) Theo c m gi c, ng thùc x y ra khi x = y = z = n n ta chån ñc h» sè 8 b ng nhau x ( + y)( + z) + y + + z x 4. º c c sè h ng Vîi c c b i to n ð d ng chu n nh tr n, tùc l câ ng thùc khi t t c c c bi n b ng nhau th¼ vi»c gh²p c p nh vªy t ìng èi d¹, nh ng vîi mët sè b i to n b t ng thùc khæng èi xùng th¼ cæng vi»c n y s³ khâ kh«n hìn, ta ph i dòng ph ìng ph p c n b ng h» sè v ph i gi i c c ph ìng tr¼nh (câ thº xem trong ph n Ph ìng ph p c n b ng h» sè ).. B t ng thùc Cauchy Schwarz ành lþ (B t ng thùc Cauchy Schwarz). Vîi hai d y sè thüc tòy þ a, a, a b, b, b ta luæn câ b t ng thùc v (a + a + a )(b + b + b ) (a b + a b + a b ) ng thùc x y ra khi v ch khi (a, a, a ) v b, b, b l bë t l», tùc l tçn t i sè thüc k º a i = kb i i =,, H» qu. Vîi d y sè a, a, a v b, b, b, b i 0 i =,,, a + a + a (a + a + a ). b b b b + b + b B t ng thùc tr n th íng ñc gåi l b t ng thùc Schwarz. H» qu. Vîi d y sè thüc a, a, a v b, b, b ta câ a + b + a + b + a + b (a + a + a ) + (b + b + b ). 5 ST:

7 .4 B t ng thùc Holder LOISCENTER H» qu. Vîi måi d y sè thüc a, a, a ta câ (a + a + a ) (a + a + a ). V½ dö 8. X c ành i u ki»n c n v õ vîi c c sè thüc r, r, r sao cho óng vîi måi d y x, x, x R x + x + x (r x + r x + r x ) V½ dö 9 (Crux). T¼m gi trà nhä nh t cõa biºu thùc Vîi a, b, c l c c sè thüc d ìng tòy þ. a b + c + 4b c + a + 5c a + b..4 B t ng thùc Holder H» qu 4. Vîi a, b, c, x, y, z, m, n, p l c c sè thüc d ìng ta câ (a + b + c )(x + y + z )(m + n + p ) (axm + byn + czp). H» qu 5. Vîi d y sè d ìng a, a, a, chùng minh ( + a )( + a )( + a ) ( + a a a )..5 B t ng thùc Chebyshev ành lþ 4 (B t ng thùc Chebyshev). Vîi d y sè thüc ìn i»u t«ng a, a, a v b, b, b ta câ a b + a b + a b (a + a + a )(b + b + b ). H» qu 6. N u a, a, a l c c sè thüc d ìng câ têng b ng th¼ a 4 + a 4 + a 4 a + a + a..6 B t ng thùc Schur Mð u v b t ng thùc èi xùng bi n thu n nh t l mët b t ng thùc cüc k¼ nêi ti ng v câ nhi u ùng döng, â l b t ng thùc èi xùng Schur a(a b)(a c) + b(b a)(b c) + c(c a)(c b) 0. B t ng thùc tr n th íng ñc ph t biºu d îi d ng quen thuëc hìn nh sau: ành lþ 5 (B t ng thùc Schur). Vîi måi sè thüc khæng m a, b, c ta luæn câ b t ng thùc a + b + c + abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 6 ST:

8 .6 B t ng thùc Schur LOISCENTER V½ dö 0. Chùng minh vîi måi a, b, c khæng m ta luæn câ abc (a + b c)(b + c a)(c + a b). C c bt thu n nh t l èi t ñng chõ y u cõa bt, h u h t c c b i to n Olympiad u xu t hi»n d îi d ng n y. Ph n cán l i l c c bt khæng thu n nh t (èi xùng ho c khæng) t ìng èi ½t v công ñc ½t chó þ hìn. Thªm ch½ nhi u ng íi cán tin r ng º mët bt óng th¼ chóng buëc ph i thu n nh t (çng bªc). C c bt khæng thu n nh t luæn r t c bi»t v µp m t. Hai VD sau y s³ l m rã i u n y. V½ dö. Chùng minh vîi måi a, b, c thüc V½ dö. Chùng minh vîi måi a, b, c thüc a + b + c + abc + (ab + bc + ca). ( + a )( + b )( + c ) 9(ab + bc + ca). 7 ST:

9 Kÿ thuªt gi i c c b i to n b t ng thùc LOISCENTER. K¾ thuªt Cæ - si ng ñc d u B y gií chóng ta s³ xem x²t b t ng thùc AM GM v mët k¾ thuªt c bi»t - k¾ thuªt Cæ-si ng ñc d u. y l mët trong nhúng k¾ thuªt hay, kh²o l²o, mîi m v n t ñng nh t cõa b t ng thùc AM GM. H y xem c c v½ dö cö thº sau. V½ dö. C c sè d ìng a, b, c thäa m n i u ki»n a + b + c =. Chùng minh b t ng thùc a + b + b + c + c + a. Chùng minh. Ta khæng thº dòng trüc ti p b t ng thùc AM GM vîi m u sè v¼ b t ng thùc sau â s³ êi chi u a + b + b + c + c + a a b + b c + c a?! Tuy nhi n, r t may m n ta câ thº dòng l i b t ng thùc â theo c ch kh c a + b = a ab + b a ab b = a ab. Ta sû döng b t ng thùc AM GM cho sè + b b ð d îi m u nh ng l i câ ñc mët b t ng thùc thuªn chi u? Sü may m n ð y l mët c ch dòng ng ñc b t ng thùc AM GM, mët k¾ thuªt r t n t ñng v b t ngí. N u khæng sû döng ph ìng ph p n y th¼ b t ng thùc tr n s³ r t khâ v d i. Tø b t ng thùc tr n, x y düng hai b t ng thùc t ìng tü vîi b v c rçi cëng c b t ng thùc l i suy ra a + b + b + c + c ab + bc + ca a + b + c + a v¼ ta câ ab + bc + ca. ng thùc ch x y ra khi a = b = c =. V½ dö 4. Chùng minh vîi måi sè thüc d ìng a, b, c, d ta luæn câ a a + b + b b + c + c c + d + Chùng minh. Sû döng b t ng thùc AM GM vîi sè:, d d + a a + b + c + d a a + b = a ab a + b a ab ab = a b. X y düng bt t ìng tü vîi b, c, d rçi cëng v c c b t ng thùc l i ta câ i u ph i chùng minh. ng thùc x y ra khi t t c c c bi n b ng nhau. V½ dö 5. Cho a, b, c 0 v a + b + c =. Chùng minh a a + b + b b + c + c c + a. 8 ST:

10 . Kÿ thuªt chu n hâa LOISCENTER Chùng minh. Sû döng bi n êi v b t ng thùc AM GM cho sè: a a + b = a ab a + b a ab Ho n to n t ìng tü ta công câ b t ng thùc: Do â ta ch c n chùng minh: b b + c b (bc) ; c a + b + c = a (ab) ab 4 c + a c (ca). ( ) (ab) + (bc) + (ca) (ab) + (bc) + (ca). B t ng thùc n y hiºn nhi n óng, v¼ theo AM GM: a + ab + b (ab), b + bc + c (bc), c + ca + a (ca) Ngo i ra ab+bc+ca n n ta câ pcm. B t ng thùc x y ra khi v ch khi a = b = c =... Kÿ thuªt chu n hâa Sau y chóng ta s³ xem x²t c c bt èi xùng câ i u ki»n v mët k¾ thuªt quan trång º chùng minh bt: k¾ thuªt chu n hâa. V½ dö 6. Chùng minh r ng vîi måi a, b, c khæng m th¼ ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a). 8 Chùng minh. Gi sû ab + bc + ca =, khi â a + b + c v abc. (a + b)(b + c)(c + a) = (a + bc)(ab + bc + ca) abc = (a + b + c) abc 8 ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) =. 8 iºm ng chó þ trong líi gi i tr n l vi»c gi sû ab + bc + ca =. Ta gi sû ñc nh vªy v¼ bt tr n l thu n nh t. Thªt vªy, l y a = a t, b = b t, c = c t rçi chån t º a b + b c + c a =. ab + bc + ca Ta t¼m ñc t =. BT óng vîi a, b, c n n hiºn nhi n nâ công óng vîi a, b, c sau khi nh n a, b, c vîi t. V½ dö 7 (USA MO 00). Chùng minh b t ng thùc (a + b + c) (b + c + a) (c + a + b) + + a + (b + c) b + (c + a) c + (a + b) 8. Trong â a, b, c l c c sè thüc khæng m. 9 ST:

11 . K¾ thuªt ph n t ch Chebyshev LOISCENTER Chùng minh. Ta chu n hâa a + b + c = º rót gån c c sè h ng v tr i trð th nh c c biºu thùc ìn gi n hìn èi vîi bi n cõa a, b, c. BT t ìng ìng vîi ( + a) a + ( a) + ( + b) b + ( b) + ( + c) c + ( c) 8. Chó þ vîi i u ki»n a + b + c =, ta s³ t¼m mët sè thüc k sao cho ( + a) a + ( a) 8 + k(a ). Khi â bt s³ ñc chùng minh v¼ V T 8 + k(a + b + c ) = 8. Ta câ ( + a) a + ( a) = a + 6a + 9 a a + = + 8a + 6 (a ) + + 8a + 6 = 4a + 4. Vªy k = 4 v bt ñc chùng minh.. K¾ thuªt ph n t ch Chebyshev V½ dö 8. Cho c c sè d ìng a, b, c câ têng b ng. Chùng minh bt sau: V½ dö 9. Chùng minh b t ng thùc 9 ab + 9 bc + 9 ca 8. c + a + b + a + b + c + b + a + c, Vîi c c sè thüc khæng m a, b, c tòy þ câ têng b ng. Chùng minh. H y chó þ ph n t½ch sau c + a + b = c( c) c c + B t ng thùc c n chùng minh a(a ) b(b ) c( c) + + a a + b b + c c + 0 a a + + b b + + c c + 0 a b c Gi sû a a c a b c. V¼ a + b + c = n n ab, bc, ca. Do â. a + a b + b c + c p döng bt Chebyshev cho d y tr n ta câ pcm. ng thùc x y ra khi v ch khi a = b = c =. 0 ST:

12 .4 Ph ìng ph p c n b ng h» sè chån iºm rìi LOISCENTER.4 Ph ìng ph p c n b ng h» sè chån iºm rìi V½ dö 0. Gi sû c c sè thüc khæng m x, y, z thäa m n i u ki»n xy + yz + zx =, chùng minh bt 0x + 0y + z 4. Chùng minh. V m t h¼nh thùc, ta câ thº tr¼nh b y ng n gån líi gi cho b i to n tr n b ng bt AM GM nh sau Cëng v c bt tr n l i d n n x + y 4xy 8x + z 4xz 8y + z 4yz. 0x + 0y + z 4(xy + yz + zx) = 4. ng thùc x y ra khi x = y; 4x = z; 4y = z x = y = ; z = 4. C n b ng h» sè vîi b t ng thùc li n h» trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n (AM - GM) B y gií ta s³ t¼m l½ do cõa vi»c t ch 0 = + 8 ð b i to n mð u. Ta c n xem x²t b i to n d ng têng qu t. V½ dö. T¼m gi trà nhä nh t cõa: k(x + y ) + z Trong â c c sè thüc x, y, z thäa m n xy + yz + zx = v k l mët h ng sè d ìng. Chùng minh. Ta h y t ch k = l + (k l) (vîi 0 l k) v p döng b t ng thùc AM - GM theo ph ìng ph p t ìng tü nh tr n lx + ly lxy (k l)x + z (k l)xz (k l)y + z (k l)yz Do â k(x + y ) + z lxy + (k l)(xz + yz). Trong tr íng hñp n y, ta khæng ph i c n b ng i u ki»n ng thùc m ta ph i c n b ng i u ki»n gi thi t, tùc l t¼m mët sè d ìng l sao cho l = (k l). khi â: Sè l ñc chån ð tr n thäa m n ph ìng tr¼nh k(x + y ) + z l(xy + yz + zx) = l. l = k l l + l = k l = + + 8k. 4 ST:

13 .4 Ph ìng ph p c n b ng h» sè chån iºm rìi LOISCENTER V ta suy ra k t qu k(x + y ) + z + + 8k. V½ dö. Gi sû c c sè thüc x, y, z, t thäa m n xy + yz + zt + tx =, t¼m gi trà nhä nh t cõa: 5x + 4y + 5z + t. Chùng minh. Chån sè d ìng l < 5, p döng AM GM: lx + y lxy y + lz lyz (5 l)z + t (5 l)zt t + (5 l)x (5 l)tx Do â khi cëng v c 4 b t ng thùc ð tr n l i: 5x + 4y + 5z + t l(xy + tz) + (5 l)(zt + tx). Nh vªt ta ph i chån l sao cho l = (5 l) hay 4l + l = 5 l =. Vªy 5x + 4y + 5z + t. V½ dö. Vîi c c sè thüc tòy þ x, y, z, t th¼: kl x + ky + z + lt (xy + yz + zx + tx) k + l V½ dö 4. Gi sû xy + yz + zx =, t¼m gi trà nhä nh t cõa biºu thùc sau vîi k, l 0 l c c h ng sè tòy þ: P = kx + ly + z. V½ dö 5. Gi sû c c sè thüc d ìng x, y, z câ têng b ng. H y t¼m gi trà nhä nh t cõa biºu thùc: x + y + z. Chùng minh. Sû döng b t ng thùc AM GM ta câ: x + a ax y + a ay z + b + b b z ng tùc x y ra khi v ch khi x = y = a, z = b a = b x + y + z = { x = y = a, z = b a = b, a + b = ST:

14 .4 Ph ìng ph p c n b ng h» sè chån iºm rìi LOISCENTER Do â b b = b = + 7, a = b = V x + y + x a + b vîi a, b ñc x c ành nh tr n. C n b ng h» sè vîi b t ng thùc Cauchy - Schwarz - Holder V½ dö 6. Gi sû x, y, z 0 v x + y + z =, h y t¼m gi trà nhä nh t cõa: x 4 + y 4 + z 4. Chùng minh. Chån c c sè a, b, c d ìng v a + b + c =, theo b t ng thùc Holder (x 4 + y 4 + z 4 )(a 4 + b 4 + c 4 ) (a x + b y + c z) 4. Chån a, b, c sao cho a = b = c = k, khi â: x 4 + y 4 + z 4 k (x + y + z) 4 (a 4 + b 4 + c 4 ) = (k ) 4 (a 4 + b 4 + c 4 ). X²t i u ki»n ng thùc th¼ Do vªy ta câ x a = y b = z c = x + y + z a + b + c =. Tø â d¹ d ng suy ra k t qu b i to n. a + b + c =, a = b = c = k a = k, b = k, c = k k = + +. V½ dö 7. Gi sû x, x, x l c c sè thüc d ìng câ têng b ng. a, a, a l c c h ng sè d ìng cho tr îc. T¼m gi trà nhä nh t cõa biºu thùc: a x m + a x m + a x m Trong â m > l mët sè nguy n d ìng cho tr îc. Chùng minh. B i to n têng qu t trong tr íng hñp n y công ñc chùng minh ho n to n t ìng tü nhí b t ng thùc Holder. Ta chån: a = + m a + m a m a Khi â gi trà nhä nh t cõa biºu thùc l a m, x y ra vîi: x = a m a, x = a m a, x = a m a. B y gií chóng ta h y x²t n mët v½ dö khâ hìn. ST:

15 .4 Ph ìng ph p c n b ng h» sè chån iºm rìi LOISCENTER V½ dö 8. Chùng minh r ng vîi måi d y sè d ìng a, a, a ta luæn câ: ( + + < ). a a + a a + a + a a a a V½ dö 9. Vîi måi sè thüc x. Chùng minh r ng: x + + x + 5 HD x + + x + = x x + + (x + ) 4 x + 4(x + ) = 5 V½ dö 0. Vîi ba sè thüc d ìng a, b, c thäa m n a + b + c = 4. T¼m GTNN cõa biºu thùc sau: P = a + b + c 4 Chùng minh. Khæng khâ º nhªn ra ta c n mët nh gi d ng: a + b + c 4 k(a + b + c) Gi sû khi P t GTNN th¼ x = a, b = y, c = z v s³ ti n h nh nh sau: a + x xa b + y yb a + b + c 4 + (x + y + x ) xa + yb + z c c 4 + z z c Vªy ta c n chån x, y, z sao cho: x y = x z = x + y + z = 4 y = x z = x 5x + x = 4 y = 6 5 z = 4 5 x = 8 5 Nh ng khi tr¼nh b y líi gi i ta câ thº l m ng n gån nh sau: ( ) 8 a a ( ) 6 b b ( ) 4 c c ng thùc x y ra khi v ch khi a = 8 5 ; b = 6 5 ; c = 4 8. Do â GTNN cõa P l 5 5. V½ dö. Vîi a, b, c l c c sè thüc thay êi sao cho ab + bc + ca =. T¼m GTNN cõa biºu thùc sau: P = a + b + c 4 ST:

16 .5 Ph ìng ph p dçn bi n LOISCENTER Chùng minh. Tø gi thi t b i to n gñi cho ta chån c ch nh gi : a + b + c k(ab + bc + ca) T ìng tü v½ dö tr n, ta gi sû khi â a = x, b = y, c = z ta câ nh gi sau: xyab (ay) + (bx) yzbc (bz) + (cy) zxac (az) + (cx) V n cán l i l chån x, y, z th½ch hñp sao cho câ thº tªn döng ñc ab + bc + ca =. Do â ta câ: xyzab z(ay) + z(bx) xyzbc x(bz) + x(cy) xyzac y(az) + y(cx) Vªy n n: [yz(y + z)]a + [zx(z + x)]b + [xy(x + y)]c xyz(ab + bc + ca) Ta s³ chån x, y, z sao cho: y(y + z) = x(z + x) z(y + z) = x(x + y) xy + yz + zx = x = y = 4 z = 4 97 Ph n tr¼nh b y l i líi gi i d nh cho b n åc..5 Ph ìng ph p dçn bi n C c b n håc sinh khi håc v b t ng thùc t¼m hiºu, v ½t nhi u công bi t sì qua v ph ìng ph p n y. y l mët trong nhúng ph ìng ph p quan trång v cì b n nh t cõa b t ng thùc i sè. Möc ½ch cõa ph ìng ph p n y l t¼m c ch ch ra ng thùc s³ x y ra n u hai hay mët sè c c bi n b ng nhau. R t nhi u nhúng b t ng thùc èi xùng câ thº gi i ñc b ng ph ìng ph p dçn bi n, khæng ch l mët ph ìng ph p r t hi»u qu m cán em l i cho c c b n mët c i nh¼n têng hñp v b t ng thùc èi xùng. y công l ph ìng ph p xu t hi»n r t nhi u trong c c b i to n b t ng thùc cõa c c k¼ thi håc sinh giäi tr n kh p th giîi. ành lþ 6 (ành l½ v dçn bi n). Gi sû f(x, x,, x n ) l mët h m sè li n töc v èi xùng vîi t t c n bi n x, x,, x n x c ành tr n mët mi n li n thæng thäa m n i u ki»n sau: ( x + x f(x, x,, x n ) f, x ) + x, x,, x n () 5 ST:

17 .5 Ph ìng ph p dçn bi n LOISCENTER Khi â b t ng thùc sau s³ thäa m n: Trong â f(x, x,, x n ) f(x, x,, x). x = x + x + + x n n i u ki»n () câ thº bi n êi th nh mët sè d ng kh c, ch ng h n: f(x, x,, x n ) f( x x, x x, x,, x n ), ( ) x + x x + x f(x, x,, x n ) f,, x,, x n. V cán r t nhi u d ng kh c núa tòy theo y u c u cõa b i to n. (Tø b y gií ta s³ gåi () l b t ng thùc i u ki»n). V½ dö. Vîi c c sè thüc d ìng x, y, z thäa m n xyz =. Chùng minh r ng: (x + y)(y + z)(z + x) 4(x + y + z ) Chùng minh. BT câ i u ki»n t½ch ba bi n l h ng sè n n ta s³ chån c ch dçn bi n: f(x, y, z) f( xy, xy, z) X²t f(x, y, z) = (x + y)(y + z)(z + x) 4(x + y + z ) Ta c n nh gi sau y l óng: f(x, y, z) = f( xy, xy, z) Ta l i câ: = xy(x + y xy) + z(x + y + xz + yz xy z xy) 4(x + y xy) = xy( x y) + z [ (x y) + z( x y) ] 4( x y) = ( x y) [ z + xy + z( x + y) 4 ] = ( x y) [(z + x)(z + y) + z xy 4] (z + x)(z + y) 4 z xy = 4 z v tr i cõa BT tr n s³ lîn hìn ho c b ng 4 n u z. i u n y ho n to n câ ñc b ng c ch s p l i thù tü c c bi n trong BT (v¼ BT l èi xùng). Tâm l i ta ch c n chùng minh: t(t + z) 4(t + z ) 0; (t = xy) ( t t + ) 4 (t + t ) t6 0 (t ) (t 4 + t + t ) 0 t B t ng thùc cuèi luæn óng v¼ t. 6 ST:

18 .5 Ph ìng ph p dçn bi n LOISCENTER V½ dö. Vîi ba sè thüc d ìng a, b, c câ têng b ng. Chùng minh r ng: a + b + c ab + bc + ca Chùng minh. º thuªn ti»n trong ph²p chùng minh ta s³ t a = x; b = y; c = z. khi â gi thi t b i to n s³ l : x + y + z = N n ta chån c ch dçn bi n: ( ) x + y x + y f(x, y, z) f,, z vîi f(x, y, z) = x + y + z x y y z z x. Ta hy vång: ( ) ( ) [ ( ) ] x + y x + y x + y x f(x, y, z) f,, z = x + y x y + y ( ) ( ) x + y x y = x + y + ( ) = (x y) x y + x x + y + +y = (x y) (x + y) 0 4 x + y + x +y nh gi tr n khæng ph i lóc n o công óng, do â ta c n s p l i thù tü c c bi n v hy vång khi â nâ s³ óng. Khæng m t t½nh têng qu t, ta gi sû x y z. Khi â z ; x + y v : (x + y) 4 x + y x + y + + > 0 Vªy ta ch c n chùng minh: ( ) x + y x + y f,, z = t + x t t 4 t ( t + y ) 0; vîi t = M t + t t 4 t ( t ) = t 4 6t + t + t = (t ) + (t ) + (t ) t + 0 B i to n ñc chùng minh. 7 ST:

19 Tr m ng m trong l u i B t ng Thùc LOISCENTER Muèn th y To n h y nh¼n b ng m t cõa ri ng m¼nh! Trong cuëc du làch nhä v o l u i BT n y, chóng ta s³ còng th ðng thùc hai tuy»t ph m: - B t ng thùc s p x p Szucs Adolf hay cán gåi BT ho n và. - B t ng thùc xoay váng Shapio. Sü xu t hi»n cõa B t ng thùc s p x p, ngo i k t qu to n håc, cán chùa üng nëi dung lþ thuy t mð íng. Ch vîi hai d y ñc s p x p ho n to n n u nh n c c sè tøng æi mët rçi t½nh têng th¼ gi trà cüc i s³ nhªn ñc khi ta t ìng t c c c d y còng chi u v gi trà nhä nh t nhªn ñc khi chóng tr i chi u. ành lþ kh ng ành mët quy luªt tü nhi n khæng ìn gi n, trong cuëc sèng ng íi ta th íng cæng nhªn ½t khi kiºm nghi»m. Vi»c chùng minh ành lþ n y công ho n to n düa tr n sü s p x p tü nhi n: N u câ hai ph n tû g y n n lçi lãm th¼ ta ch c n chuyºn ché hai vªt â - l m màn m t b ng. Hiºn nhi n gi trà lîn nh t v nhä nh t thº hi»n ð sü cëng h ðng hay t½nh tri»t ti u trong t ìng t c cõa hai d y sè. ành lþ ñc chùng minh n«m 94, bði mët nh b c håc ng íi Hungary Szucs Adolf ( ) - t c gi l n n nh n cõa th m håa ph t x½t (945). ành lþ r t trong s ng còng chùng minh ch v i dáng n y g y b t ngí. H ng lo t c c b t ng thùc danh ti ng ñc chùng minh l i nh nhúng v½ dö p döng cõa ành lþ n y. V y ch½nh l sùc m nh mð íng cho c c trao l u mîi cõa cæng cuëc nghi n cùu LÞ THUY T KHÆNG C N BŒNG m h¼nh nh ng íi ta ang ph t huy trong thüc t nhi u hìn khi ch a th nh chu n müc. t i thù hai l inh lþ Shapiro. Ng íi ta câ thº coi BT xoay váng n y l mët t c ph m Picasso cõa Cëng çng BT. Tø khi ra íi nh mët gi thuy t, ph i sau 45 n«m mîi câ c u tr líi y õ cho c u häi t ra. Tr ng th i óng sai cõa gi thuy t g y sü chó þ lîn trong t m iºm cõa nhi u cuëc luªn b n. V hai t i nâi ri ng n y v v BT nâi chung, n u x p h ng c c n ph m trong n îc còng c c n ph m n îc ngo i tæi m nh d n xu t và tr½ top 0 t c ph m cõa PGS. TSKH Nguy¹n Minh Tu n (NXB i håc quæc gia H Nëi): Lþ thuy t Cì sð cõa h m lçi v c c B t ng Thùc cê iºn. y l mët t c ph m to n håc khi åc câ sùc cuèn hót thó và. Nhúng nh nghi n cùu, c c b n quan t m,v c c em håc sinh u câ thº t¼m th y i u m¼nh c n, câ thº sû döng húu ½ch cho cæng vi»c v tr nh ñc cho b n th n khäi rìi v o váng xo y cõa BT và BT.. B t ng thùc s p x p hay cán gåi l BT ho n và. Ph n n y tæi dòng nguy n mët v«n b n ti ng Anh. y l mët b i gi ng hay ñc giîi sinh vi n v håc sinh chuy n tay nhau kh rëng r i. B n th n tæi b t g p khi lang thang t¼m t i li»u v åc c c b i vi t tr n m ng. Rearrangement Inequality The rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to understand and yet a powerful tool to handle inequality problems. Definition: Let a a... a n and b b... b n be any real numbers. a) S = a b + a b a n b n is called the Sorted sum of the numbers. 8 ST:

20 . B t ng thùc s p x p hay cán gåi l BT ho n và. LOISCENTER b) R = a b n + a b n a n b is called the Reversed sum of the numbers. c) Let c, c,..., c n be any permutation of the numbers b, b,..., b n. P = a c + a c a n c n. Rearrangement inequality S P R is called the Permutated sum of the numbers. Proof: a) Let P(n) be the proposition: S P. P() is obviously true. Assume P(k) is true for some k N. For P(k+), Since the c's are the permutations of the b's, suppose b k+ = c i and c k+ = b j (a k+ a i )(b k+ b j ) 0 a i b j + a k+i b k+ a i b k+ + a k+ b j a i b j + a k+ b k+ a i c i + a k+ c k+ So in P, we may switch c i and c k+ to get a possibly larger sum. After switching of these terms, we come up with the inductive hypothesis P(k). P(k + ) is also true. By the principle of mathematical induction, P(n) is true n N. b) The inequality P R follows easily from S P by replacing b b... b n by b n b n... b. Note: (a) If a is are strictly increasing, then equality holds (S = P = R) if and only if the b is are all equal. (b) Unlike most inequalities, we do not require the numbers involved to be positive.. Corollary : Let a, a,..., a n be real numbers and c, c,..., c n be its permuation. Then a + a a n a c + a c a n c n. Corollary : Let a, a,..., a n be positive real numbers and c, c,..., c n be its permuation. Then c + c c n n a a a n The rearrangement inequality can be used to prove many famous inequalities. Here are some of the highlights. 4. Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality (A.M G.M) Let x, x,..., x n be positive numbers. Then x + x x n n Equality holds if and only if x = x =... = x n. n x x...x n. Proof: Let G = n x x...x n, a = x G, a = x x G,..., a n = x x...x n =. G n By corollary, n a + a a n = x a n a a n G + x G x n G <=> x + x x n n n x x...x n 9 ST:

21 . B t ng thùc s p x p hay cán gåi l BT ho n và. LOISCENTER Equality holds a = a =... = a n x = x =... = x n. 5. Geometric Mean - Harmonic Inequality (G.M H.M.) Let x, x,..., x n be positive numbers. Then n n x x...x n x x x n Proof: Define G anf a, a,..., a n similarly as in the proof of A.M - G.M. By Corollary, n a a + a a a n a = G x + G x G x n which then gives the result. 6. Root Mean Square - Arithmetric Mean Inequality (R.M.S A.M) Let x, x,..., x n be numbers. Then x + x x n n x + x x n n Proof: By Corollary, we cyclically rotate x i, x + x x n = x x + x x x n x n x + x x n x x + x x x n x x + x x n x x + x x x n x x + x x n x x n + x x x n x n Adding all inequalities together, we have n(x + x x n ) (x + x x n ) Result follows. Equality holds x = x =... = x n. 7. Cauchy - Bunyakovskij - Schwarz inequality (CBS inequality) Let a, a,..., a n ; b, b,..., b n be real numbers. Then (a b + a b a n b n ) (a + a a n ).(b + b b n ) Proof: The result is trivial if a = a =... = a n = 0 or b = b =... = b n = 0. Otherwise, define A = a + a a n, B = b + b b n Since both A and B are non-zero, we may let x i = a i A, x n+i = b i i n. B By Corollary, = a + a a n + b + b b n = x A B + x x n x x n+ + x x n x n + x n + x n+ x + x n+ x x n x n = (a b + a b a n b n ) AB (a b + a b a n b n ) (a + a a n ).(b + b b n ) 0 ST:

22 . B t ng thùc s p x p hay cán gåi l BT ho n và. LOISCENTER Equality holds x i = x n+i a i B = b i A i n. 8. Chebyshev's inequality Let x x... x n and y y... y n be any real numbers.then x y + x y x n y n (x + x x n )(y + y y n ) n x y n + x y n x n y Proof: By Rearrangement inequality, we cyclically rotate x i and y i, x y + x y x n y n = x y + x y x n y n x y n + x y n x n y x y + x y x n y n x y + x y x n y x y n + x y n x n y x y + x y x n y n x y n + x y n x n y = x y n + x y n x n y Adding up the inequalities and divide by n, we get our result. Exercise Hint ) Find the minimum of sin x cosx + cos x sinx, 0 < x < π ( Consider (sin x, cos x), sinx, ) cosx ) Proof: For (ii) and questions below, (i) a + b + c ab + bc + ca Witout lost of generality, let a b c (ii) a n + b n + c n ab n + bc n + ca n Consider (a, b, c), (a n, b n, c n ) ) Proof: a + b + c a + b + c abc Consider ( a, b, ) (, c a, b, ) c 4) Proof: a b + b c + c a b a + c b + a c Consider ( a b, b c a), c ( a, b, b c a), c 5) Proof: a ( b + b c + c a a + b + c Consider (a, b, c ), a, b, ) c ( 6) Proof: If a, b, c > 0 and n N then : Consider (a n, b n, c n ), a n b + c + bn c + a + cn a + b an + b n + c n b + c, c + a, a + b ) 7) Proof: If a, b, c > 0, then: Consider (a, b, c), (log a, log b, log c) a a b b c c (abc) a+b+c and use Chebyshev's inequality ST:

23 . B t ng thùc Shapiro: gi i xong m ch a thº h t LOISCENTER. B t ng thùc Shapiro: gi i xong m ch a thº h t N«m 954, Harold S. Shapiro xu t mët gi thuy t v mët b t ng thùc têng xoay váng cho n, nh sau: Cho x i 0, x i + x i+ > 0 vîi i N. Khi â: P (n) = x + x x n n x + x x + x 4 x n + x. n sau 45 n«m b i to n ñc gi i quy t ho n to n vîi nhúng kh½a c nh k t qu v mæi tr íng k t qu g y r t nhi u bï ngï. B n åc câ thº tham kh o t ìng èi y õ v chi ti t qu tr¼nh h¼nh th nh v ph t triºn cõa v n n y trong cuèn s ch cõa PGS TS Nguy¹n Minh Tu n (Lþ Thuy t cì sð cõa h m lçi v c c b t ng thùc cê iºn trang -8). H y l ñc qua c c thíi iºm quan trång trong làch sû cõa ành lþ n y. - N«m 956, Lighthill cho ph n v½ dö BT khæng óng trong tr íng hñp n=0. - N«m 958, Lighthill ch ra r ng P(n) sai vîi nhúng n ch n lîn hìn ho c b ng 4 (n 4); çng thíi Rankin công chùng minh ñc sai vîi n l õ lîn. óng mët n«m sau (959), Zulauf chùng minh ñc r ng P(5) l sai. - C c tr íng hñp P(6) - Diananda (959), P(8) Djokovic (96) chùng minh l óng. Sau â n«m 96, Diananda cho v½ dö chùng minh P(7) sai. - Công còng n«m n y (96), Diananda chùng minh ñc i u tuy»t víi sau: a, N u k 0 l sè tü nhi n ch n v n u P(k 0 ) óng th¼ P(n) óng vîi måi n ch n khæng v ñt qu k 0. b, N u k 0 l sè tü nhi n l v n u P(k 0 ) sai th¼ P(n) s³ sai vîi måi n l lîn hìn k 0. K t qu cõa Diananda h n ch húu h n c c tr íng hñp óng câ thº cõa gi thuy t. P(n) sai vîi n ch n lîn hìn ho c b ng 4, v P(n) sai vîi måi gi trà n l khæng nhä hìn 7. N«m 968, Nowosad kh ng ành ñc P(8) l óng b ng mët b n chùng minh d i 64 trang. L ñng sè li»u v sè tr íng hñp khêng lç công k t thóc qu tr¼nh chùng minh ành lþ n y b ng bót ch¼ v gi y. Cuèi còng n«m 989, Troesch düa tr n nhúng t½nh to n cõa m y t½nh c bi»t tr¼nh b y b ng chùng thuy t phöc r ng P(n) óng vîi n ch n khæng v ñt qu v P(n) óng vîi n khæng v ñt qu v sai vîi c c tr íng hñp cán l i. V m t To n håc, cæng tr¼nh cõa Troesch kh²p l i 45 n«m nghi n cùu v kiºm nghi»m sü óng sai cõa gi thuy t Shapiro. Cho n n«m 99, Bushell chùng minh khæng c n m y t½nh cho tr íng hñp n = 0. V n n«m 00, Bushell v McLeod cæng bè ph²p chùng minh cho n =. M c dò v n Shapiro câ c u tr líi ho n to n, nh ng ch½nh c c k t qu n y v n gñi l n nhúng c u häi cán l m m t ngõ nhi u ng íi quan t m. ST:

24 . B t ng thùc Shapiro: gi i xong m ch a thº h t LOISCENTER Mët b i to n ph t biºu ho n to n sì c p m t i sao xu t hi»n líi gi i phö thuëc t½nh ch n l cõa c c thæng sè tham gia? Mèi li n h» v kho ng c ch r t b½ hiºm cõa c p sè (, ) công ch a câ líi gi i th½ch thäa ng. Tr îc mët b i to n ng íi ta v n c m th y bà ëng v¼ khæng tr líi ñc cho b n th n tr îc c u häi:" T i sao l i ph i nh vªy?". Kho ng c ch ng n minh ho cho ë xo n cõa d y sè th¼ sü kh c bi»t cõa líi gi i khi xu t hi»n t½nh ch n l h¼nh nh cán t o sü nghi ngí cõa c c tr íng hñp lîn hìn con sè. Kº tø n«m 989 trð l i y, tø khi gi thuy t Shapiro ñc gi i p th¼ sùc cuèn hót cõa nâ l i sæi ëng hìn trong cëng çng To n håc. Tø mët t i BT và BT, ng íi ta mð rëng sang kh½a c nh t¼m kh n«ng ùng döng ngo i thüc t cho k t qu "trî tr u" n y. Vi»c giîi thi»u k t qu Shapiro khæng thº trån vµn n u khæng nh c n BT Nesbitt ñc chùng minh tø n«m 90. ành lþ n y sau trð th nh mët tr íng hñp c bi»t cõa ành lþ Shapiro vîi n = : Vîi a, b, c d ìng: a b + c + b c + a + c a + b Câ r t nhi u chùng minh hay v thó và cho ành lþ n y. Nh ng h¼nh nh v n thi u c ch chùng minh b ng sû döng ành lþ s p x p. y công câ thº t o n n mët h îng nh¼n kh c v t i n y. Trong ành lþ Shapiro, c c sè h ng c u th nh têng v h¼nh thùc r t chîi vîi, câ l³ n u ñc thay b ng c c sè h ng câ d ng: a i a i + a i+ + a i+ c c d ng xo n s³ bît "xæ bç" hìn v câ l³ s³ cho chóng ta mët c ch ti p cªn n o â kh c cho t i xo n. Gi thuy t xo n mîi cõa chóng ta: Cho x i 0, x i + x i+ + x i+ > 0 vîi i N. Khi â: P (n) = x x + x + x + x x + x + x hi vång s³ l mët v n khæng ph i ñi l u líi gi i. x n x n + x + x n ST:

25 4 Chòm b i to n cì b n v bi n êi Ti-tu LOISCENTER 4. C c b i to n cì b n ) Cho a, b, c khæng m v K = a + b + c = (*). T¼m gi trà min v max cõa: i) M = a + b + c, ii) N = ab + bc + ca, iii) L = abc. Líi gi i: H m a x vîi 0 < a < l h m gi m thüc sü khi x t«ng. i) a + b + c a + b + c (a + b + c) = t max t i (, 0, 0) v min t i (,, ). ii) = (a + b + c) (ab + bc + ca) = N 0. N t gi trà max t i a = b = c = v min b ng 0. iii) Cho a b c. Khi â, = (a + b + c) 7abc 7c 0 t max 7 khi a = b = c v t min b ng 0 khi c = 0. ) Cho a, b, c khæng m v M = a + b6 + c = (**). T¼m gi trà min v max cõa: i) K = a + b + c, ii) N = ab + bc + ca, iii) L = abc. Líi gi i: i) = M = a + b + c a + b + c. Suy ra t min khi a =, b = c = 0. = (a + b + c ) (a + b + c). Suy ra K max khi a = b = c =. ii) Ta câ = (a + b + c ) ab + bc + ca t max khi a = b = c = v min t i 0 khi (, 0, 0). iii) = (a + b + c ) ( )(abc) khi a = b = c = v min b ng 0. ) Cho a, b, c khæng m v N = ab + bc + ca = (***). T¼m gi trà min v max cõa: i) K = a + b + c, ii) M = a + b + c, iii) L = abc. Líi gi i: C hai gi trà a + b + c v a + b + c khæng câ gi trà max húu h n khi c = 0 v do â ab =. Câ thº chån b r t nhä th¼ a s³ lîn tòy þ. i) + ii). a + b + c ab + bc + ca = v (a + b + c) (ab + bc + ca) =. Do â a + b + c t min b ng v a + b + c t min b ng. 4 ST:

26 4. Bi n êi Ti - tu LOISCENTER iii) L = abc t min b ng 0 khi mët trong ba sè b ng 0. ( ) ab + bc + ca (abc) suy ra abc. Gi trà max t ñc khi a = b = c =. 4) Cho a, b, c khæng m v L = abc = (****). T¼m gi trà min v max cõa: i) K = a + b + c, ii) M = a + b + c, iii) N = ab + bc + ca. Líi gi i: T¼m min a + b + c abc = câ gi trà min b ng. T ìng tü ta chùng minh ñc a + b + c. ab + bc + ca (abc) do â ab + bc + ca = l gi trà min. C ba ng thùc t ñc khi a = b = c =. C ba biºu thùc khæng câ cüc i khi c giú nguy n, b cüc nhä th¼ a s³ cüc lîn v khi â a, a v ac s³ câ gi trà lîn tòy þ. 4. Bi n êi Ti - tu ) Tø a, b, c kh c 0 ta câ th t o ra i u ki»n xyz = vîi c ch t: x = a b, y = b c, z = c a. ) Tø i u ki»n a, b, c b t k¼ t o quan h», v½ dö: xyz = x+y +z + hay xy +yz +zx+xyz =. Vîi bi n êi: x = a + b, y = b + c c a, z = c + a b a + b c + b + c a + c + a b Ta ñc biºu thùc: xyz = x + y + x +. L y nghàch o ta ñc: xy + yz + zx + xyz =. ) Tø quan h» cõa x, y, z t o c c quan h» mîi. V½ dö: Quy çng rçi khû m u ta ñc: + = a b + ab + b c + bc + c a + ca + abc abc = c(a + b + ab) + c (a + b) + ab(a + b) abc = (a + b)(ca + cb + c + ab) abc (a + b)(b + c)(c + a) =. abc + x + + y + + z = ( ) + y + z + yz + + x + z + xz + + x + y + xy = + x + y + z + xy + yz + zx + xyz. (*) t ìng ìng vîi xyz = x + y + z +. 5 ST:

27 a = + x, b = + y, c = + z, a + b + c =. LOISCENTER 5 Nhúng bæng hoa d i a + b + c abc = (a + b + c)[(a + b + c ) (ab + ac + bc)] 5. Biºu thùc a + b + c. Chùng minh r ng: a + + b + + c + < 4, bi t a, b, c l c c sè d ìng v a+b+c =.. Chùng minh r ng: 4a + + 4b + + 4c + < 5, bi t a, b, c l c c sè d ìng v a+b+c =.. Chùng minh r ng: 6a + + 6b + + 6c + < 9, bi t a, b, c l c c sè d ìng v a+b+c =. ( 4. Chùng minh r ng: + ) ( + ) ( + ) 64, bi t a, b, c l c c sè d ìng v a+b+c = a b c. 5. Chùng minh r ng: a + b + c <, bi t a, b, c l c c sè d ìng v a + b + c =. 6. Chùng minh r ng: a + b + c 4, bi t a, b, c l c c sè d ìng v a + b + c a) Cho x, y, z khæng m v r > 0, th¼: (B t ng thùc Schur). x r (x y)(x z) + y r (y z)(y x) + z r (x z)(y z) 0 b) Cho a, b, c l c c sè khæng m v câ têng b ng. Chùng minh r ng: 4a + 4b + 4c + 5abc. 8. Cho x, y, z 0 v x + y + z =. Chùng minh r ng: + x + + y + + z 5 + x + + y + + z 9. (8) Cho x, y, z 0 v x + y + z =. X c ành gi trà lîn nh t cõa biºu thùc: xy + yz + zx xyz 0. (9) Cho 0 < x, y, z v x + y + z = 48. V biºu thùc: Gi trà nhä nh t cõa biºu thùc l bao nhi u? (x + 4)(y + 4)(z + 4). (0) Cho a, b, c l c c sè d ìng v a + b + c =. Chùng minh r ng: ( + a)( + b)( + c) 8( a)( b)( c). 6 ST:

28 5. Biºu thùc a + b + c LOISCENTER. () Cho x, y, z l c c sè d ìng v x + y + z =. Chùng minh r ng: x + y + z xy + yz + zx.. () Cho x, y, z l c c sè khæng m v x + y + z =. T¼m gi trà lîn nh t cõa biºu thùc: x y + y z + z x. 4. (7) Cho x, y, z > 0 v x + y + z =. Chùng minh r ng: xy + + z yz + + x zx + y. 5. (58) Cho x, y, z l c c sè d ìng v x + y + z =. T¼m gi trà nhä nh t cõa: S = + x + + y + + z. 6. (64) Cho a, b, c v a + b + c = 7. Chùng minh r ng: a + b + c. 7. (65) Bi t r ng a 4, b 4, c 4 v a + b + c =. Chùng minh r ng: 8. (75) Cho a + b + c =. Chùng minh r ng: 6 a + 6 b + 6 c 8. 4(a + b + c abc) (a b). 9. (84) Cho a, b, c l c c sè khæng m v a + b + c =. Chùng minh r ng: a b + + b c + + c a (86) Cho a, b, c l c c sè khæng m v a + b + c =. Chùng minh r ng: a) 5(a + b + c ) 6(a + b + c ) +, b) 7(ab + bc + ca) + 9abc, c) a + b + c abc vîi abc 0.. (9) Cho x, y, z l c c sè d ìng v x + y + z =. Chùng minh r ng: + 4x + + 4y + + 4z >.. (95) Cho x, y, z l c c sè khæng m v x + y + z =. Chùng minh r ng: x + y + z + xyz 4. 7 ST:

29 5. Biºu thùc a + b + c LOISCENTER. (08) Cho a, b, c khæng m v a + b + c =. Chùng minh r ng: a + b + c + abc. 4. () Cho a, b, c l c c sè d ìng v x + y + z =. Chùng minh r ng: (a + b)(b + c)(c + a) ( + a + b + c). 5. () Cho a + b + c + d =. Chùng minh r ng: ( a)( b)( c)( d) abcd 6. Cho a, b, c, d l c c sè khæng m v a + b + c + d = 4. Chùng minh r ng: a bc + b cd + c da + d ab Biºu thùc a + b + c 7. (5) Cho a, b, c > 0 v a + b + c =. Chùng minh r ng: a 5 b + c + b5 c + a + c5 a + b (8) Cho a, b, c l c c sè d ìng v a + b + c =. Chùng minh r ng: a + b + c a + b + c (9) Cho x, y, z l c c sè thüc sao cho x + y 4 + z 9 =. X c ành gi trà lîn nh t v gi trà nhä nh t cõa biºu thùc: x + y + z. 0. (90) Cho a, b, c l c c sè tüc v a + b + c = 9. Chùng minh r ng:. Chùng minh r ng: vîi x, y, z l c c sè d ìng v x + y + z =. (a + b + c) abc 0. x + y + z, 5. Biºu thùc ab + bc + ca. (78) Cho a, b, c l c c sè d ìng sao cho ab + bc + ca =. Chùng minh r ng: a + a + b + b + c + c.. (79) Cho a, b, c l c c sè d ìng v ab + bc + ca =. Chùng minh r ng: a a bc + + b b ca + + c c ab + a + b + c. 8 ST:

30 5.4 Biºu thùc abc LOISCENTER 4. Cho a, b, c l c c sè d ìng thäa m n ng thùc ab + ac + bc =. Chùng minh r ng: + a4 + + b c Cho a, b, c l c c sè d ìng. Chùng minh r ng n u: th¼ ab + bc + ca = a + b + c ab bc ca + a + b + c a + b + c. 6. Cho a, b, c l c c sè khæng m v ab + bc + ca =. Chùng minh r ng: (a + )(b + )(c + ) Biºu thùc abc 7. Chùng minh r ng: a + b + c, bi t a, b, c l c c sè d ìng v abc =. 8. Chùng minh r ng: a + b + c a + b +, bi t a, b, c l c c sè d ìng v abc =. c 9. Chùng minh r ng: a 4 + b 4 + c 4 a + b + c, bi t a, b, c l c c sè d ìng v abc =. 40. Chùng minh r ng: ab + bc + ca a + b + c, bi t a, b, c l c c sè d ìng v abc =. 4. Chùng minh r ng: a + b + c a + b + c, bi t a, b, c l c c sè d ìng v abc =. 4. Chùng minh r ng: (a + b)(b + c)(c + a) 7, bi t a, b, c l c c sè d ìng v abc =. 4. Chùng minh r ng: (a + )(b + )(c + ) 8, bi t a, b, c l c c sè d ìng v abc =. 44. N u abc = vîi a, b, c d ìng. Chùng minh r ng: ( a + ) ( b + ) ( c + ) b c a. 45. Cho a, b, c > 0 v abc =. Chùng minh r ng: (a + ) + b + + (b + ) + c + (c + ) + a Cho a, b, c l c c sè d ìng câ t½ch abc =. Chùng minh r ng: a (b + c) + b (c + a) + c (a + b). 47. Cho a, b, c l c c sè d ìng v abc =. Chùng minh r ng: a + b + c + b + a + c + c + a + b. 9 ST:

31 5.5 Biºu thùc li n quan LOISCENTER 48. Cho a, b, c d ìng, câ t½ch abc =. Chùng minh r ng: a + b + c a b + c + b c + a + c a + b. 49. Cho a, b, c l c c sè d ìng câ t½ch abc =. Chùng minh r ng: ab a 5 + ab + b Chùng minh r ng n u a, b, c d ìng th¼: bc b 5 + bc + c 5 + ca c 5 + ca + a 5. abc (a + b c)(a b + c)( a + b + c). 5. Chùng minh r ng: a + b + c + d + ab + bc + cd + ac + bd + ad 0, bi t a, b, c, d l c c sè d ìng v abcd =. 5.5 Biºu thùc li n quan 5. Cho x, y, z > 0 sao cho xyz(x + y + z) =. H y x c ành gi trà nhä nh t cõa biºu thùc: (x + y)(x + z). 5. Vîi c c sè d ìng a, b, c thäa m n a + b + c + abc = 4. Chùng minh r ng: a + b + c. 54. Chùng minh r ng: a + + a + 50 a <, n u a Cho a, b, c l c c sè d ìng. Chùng minh r ng: a + b + c a + b + c a + b + c. 56. Cho a, b, c l c c sè d ìng. Chùng minh r ng: a + b + c a + b + b + c + c + a c a b 57. Cho a, b, c l c c sè d ìng. Chùng minh r ng: a b c (a + b + c) a 4 + b 4 + c 4. a bc + b ca + c ab. 58. Cho m, n, M, N, a v b(a < b) l c c sè d ìng. Chùng minh r ng: Khi v ch khi M N < m n. ma + nb m + n 59. Cho x; y > 0 v x + y =. Chùng minh r ng: ( x + x) + Ma + Nb < M + N ( y + y 60. Cho x, y, z l c c sè d ìng. Chùng minh r ng: ) 5. 9abc (a + b + c) ab a + b + bc b + c + ca c + a a + b + c. 6. Cho x, y, z l c c sè thüc vîi x + y + z = 0 v x + y + z = 6. T¼m gi trà lîn nh t v gi trà nhä nh t cõa h m sè xyz. 0 ST:

32 5.6 C c b i to n kh c LOISCENTER 5.6 C c b i to n kh c 6. a) Trong c c sè khæng m a, a,, a n sè a l sè lîn nh t. Chùng minh r ng: a + a + + a n n ( ) a + a + a n a n 4 D u "=" x y ra khi n o? b) Chùng minh r ng, vîi a, a,, a n l c c sè d ìng th¼: a + a + + a n n n a a a n ( a a n ) n c) Chùng minh r ng n u a, a,, a n khæng m, n > th¼: n i<j a i a j a + a + + a n n a) C c sè x, x,, x n [0, ]. Chùng minh r ng: n a a a n (x + x + x n + ) 4(x + x + + x n ) b) Cho x, y, z thäa m n 0 x, y, z. Chùng minh r ng: (x + y + z ) (x y + y z + z x) a) Cho c c sè khæng m x, x,, x 007 câ têng l. T¼m gi trà cüc i cõa biºu thùc: S = x x + x x + x x x 006 x 007 b) Cho c c sè x, x,, x 008 [0, ]. T¼m gi trà cüc i cõa biºu thùc: S = x + x + + x 008 x x x x x 007 x 008 x 008 x 65. Cho a, a,, a n l c c sè d ìng. Chùng minh r ng: a + a + a + + n a + a + + a n < 4 ( a + a + + a n 66. Bi t r ng x, x,, x n > 0 v x + x + + x n =. Chùng minh r ng: ( ) ( ) ( ) x x x (n ) n. n 67. So s nh hai biºu thùc sau, bi t r ng a, a,, a n l c c sè d ìng: ). ST:

33 5.6 C c b i to n kh c LOISCENTER 006 a a a n 006 v 007 a a a n Cho x, x,, x n [ ; ] v x + x + + x n = 0. Chùng minh r ng: x + x + + x n n. 69. Cho c c sè d ìng x, x,, x n câ t½ch cõa chóng b ng. Chùng minh r ng: n + x Cho a, a,, a k+, thäa m n: n + x + + n + x n. a + a + + a k+ =, a a + a a + + a k a k+ + a k+ a =. H y x c ành gi trà lîn nh t, gi trà nhä nh t cõa biºu thùc: S = a + a + + a k+. 7. Chùng minh r ng: (a + a ) ( + a ) ( + a n ) n, n u a a a n =. 7. Cho a, b l c c sè d ìng v a b. Chùng minh r ng: (a b) 8b a + b ab (a b). 8a 7. Cho a, b, c, d l c c sè thüc sao cho a + b + c + d =. X c ành gi trà lîn nh t cõa biºu thùc: K = (a + b) 4 + (a + c) 4 + (a + d) 4 + (b + c) 4 + (c + d) Chùng minh r ng: a)! +! ! <, ( b) + ) ( + 4 ) ( + 5 ) ( + ) <, c) <. 75. Khæng sû döng m y t½nh. Chùng minh r ng: a) >, b) < < 6, c) 5 < < 0. ST:

34 5.6 C c b i to n kh c LOISCENTER 76. Vîi n nguy n d ìng, chùng minh r ng: (n + ) n <. 77. T¼m gi trà cüc i, gi trà cüc tiºu cõa c c h m sè sau: a) f(x) = x + + x + x, b) g(x) = x + + x + x + x Chùng minh r ng n u hai sè d ìng câ t½ch lîn hìn têng th¼ têng cõa chóng lîn hìn Cho a, b, c > 0, chùng minh r ng: a) ab a + b + c + bc b + c + a + b) b + c a + c + a b + a + b c 4 ca c + a + b (a + b + c), 4 ( a b + c + b c + a + c ). a + b 80. T¼m gi trà cüc tiºu cõa h m sè: f(x) = x 4 + 6x + x + 6x. 8. Chùng minh r ng n u a, b, c d ìng th¼: Câ thº l m m nh hìn khæng? 8. Cho a, b, c d ìng sao cho a + b c + d < a a + b + 8. Cho a, b, c > 0. Chùng minh r ng: a) > a a + bc + b b + ac + c c + ab, b) < a a + bc + b b + ac + c 84. N u a, b, c > 0 th¼: 85. X²t d y: b b + c + c c + a < <. Chùng minh r ng: c + ab. a + b c + d < 8. a a b b c c a b+c b c+a c a+b. a n = ( + ) n ( + ) n n Vîi n l sè nguy n d ìng. Chùng minh r ng {a n } ìn i»u gi m. 86. Cho a, b, c l c c sè d ìng vîi abc =. Chùng minh r ng: a + b + c a + b + c. ST:

35 5.6 C c b i to n kh c LOISCENTER 87. N u x, y, z l c c sè d ìng v xyz = x + y + z. Chùng minh r ng: x + y + z. 88. Cho x, y l c c sè d ìng vîi x + y x + y 4. Chùng minh r ng: x + y. 89. Chùng minh r ng: (a + c)(b + d) ab + cd. 90. Cho x, y, z l c c sè d ìng. Chùng minh r ng: a) xy + yz + zx x yz + y zx + z xy, b) xy z + yz x + zx y x + y + z. 4 ST:

36 6 Gñi þ gi i ph n c c biºu thùc LOISCENTER 7. a) Cho x, y, z khæng m v r > 0, th¼: (B t ng thùc Schur). x r (x y)(x z) + y r (y z)(y x) + z r (x z)(y z) 0 b) Cho a, b, c l c c sè khæng m v câ têng b ng. Chùng minh r ng: 4a + 4b + 4c + 5abc. Líi gi i: a) Khæng m t t½nh têng qu t, ta gi sû x y z. Ta câ: (x y)[x r (x z) y r (y z)] + z r (x z)(y z) 0 V¼ x r y r v x z y z 0, x = y = z ho c x = y, z = 0. Vîi r =, x + y + z + xyz x y + x z + y x + y z + z x + z y b) 4a + 4b + 4c + 5abc (a + b + c) a + b + c + abc a b + a c + b c + b a + c b + c a Vîi r =, ta câ PCM. D u b ng x y ra khi a = b = c =, ho c a = 0, b = c =. 8. Cho x, y, z 0 v x + y + z =. Chùng minh r ng: + x + + y + + z 5 + x + + y + + z Líi gi i: Theo b i ta câ 0 x, y, z.. a b a + c b + c 0 c(b a), + x + y + z + x + y + z = + y + z, + y + x + y. + x + + y + + (x + y + z) + z = 5. V¼ c c sè u d ìng v câ têng b ng. Hay 0 x 5 ST:

37 x( x) 0, y 5 6 (x + y + z) = 6 x + x ( x)( + x ), + x x x, + y v z + x + + y + + z. + z, LOISCENTER 9. (8) Cho x, y, z 0 v x + y + z =. X c ành gi trà lîn nh t cõa biºu thùc: xy + yz + zx xyz. Líi gi i: Gi trà lîn nh t l 7 7 x(y + z) + yz( x) 7 7 0, ( x)yz + x( x) t yz = v f(t) = ( x)t + x x 7 7. Khi â f(0) = x x 7 ( 7 = x V t = yz (y + z) 4 = ( x) 4 ) 08 < 0. = t 0 L i câ f(t 0 ) = ( x) ( x) 4 + x( x) 7 7, 08f(t 0 ) = 7( x)( x) + 08x( x) 8 = 54x + 7x = (x ) (6x + ) 0. ng thùc x y ra khi x = y = z =. 0. (9) Cho 0 < x, y, z v x + y + z = 48. V biºu thùc: (x + 4)(y + 4)(z + 4) Gi trà nhä nh t cõa biºu thùc l bao nhi u? Líi gi i: Theo b i ra câ 6 x, y, z, v a = x 6, b = y 6, c = z 6. Hay 0 a, b, c 5 v a + b + c = 0. Khi â: K = (a + 0)(b + 0)(c + 0) = abc + 0(ab + bc + ca) + 00(a + b + c) = abc + 5[a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)] Vîi a, b, c d ìng ta câ: Cëng v vîi v, vîi a + b + c = 0 a(b + c) 5a, b(c + a) 5b, c(a + b) 5c. K abc ng thùc x y ra khi a = 0, b = c = 5 hay x = 6, y = z =. 6 ST:

38 LOISCENTER. (0) Cho a, b, c l c c sè d ìng v a + b + c =. Chùng minh r ng: ( + a)( + b)( + c) 8( a)( b)( c). Líi gi i: Ta câ a + b + c = + a = ( b) + ( c), Ta câ + a ( b)( c), + b ( a)( c), + c ( a)( b). Nh n v vîi v ta ñc PCM. ng thùc x y ra khi a = b = c =.. () Cho x, y, z l c c sè d ìng v x + y + z =. Chùng minh r ng: x + y + z xy + yz + zx. Líi gi i: V¼ x + y + z =, ta câ: x + x + x x, hay x + y + z + ( x + y + z) (x + y + z) = (x + y + z) = x + y + z + (x + y + z), ng thùc x y ra khi x = y = z =.. () Cho x, y, z l c c sè khæng m v x + y + z =. T¼m gi trà lîn nh t cõa biºu thùc: x y + y z + z x. Líi gi i: Gi trà lîn nh t cõa biºu thùc l 4 7. ta câ y z xyz v z x zx, ( x y + y z + z x x y + xyz + zx x(x + z) y + z ) = x(x + z)(y + z) ( ) (x + y + z) = 4 7 D u "=" x y ra khi z = 0 v x = y hay z = 0, y =, x =. 4. (7) Cho x, y, z > 0 v x + y + z =. Chùng minh r ng: xy + + z yz + + x zx + y. 7 ST:

39 LOISCENTER Líi gi i: Theo i u ki»n u b i ta câ: + x = (x + y + z) + x xy + yz + zx + x = (x + y)(x + z), v¼ (a + b + c) (ab + bc + ca). Ngh¾a l : xy (z + x)(z + y) + yz (x + y)(x + z) + zx (y + z)(y + x), () Theo b t ng thùc Cauchy ng ñc: Thay v o (), ta câ: ( yz x + y + ) x + z hay (z + x)(x + y) x + y + z + x, ( + xy z + x + ) ( + zx z + y y + z + ) x + y (yz + zx) + (yz + xy) + (xy + zx) = x + y + z =. x + y x + z z + y Vªy () ñc chùng minh. ng thùc x y ra khi x = y = z =. 5. (58) Cho x, y, z l c c sè d ìng v x + y + z =. T¼m gi trà nhä nh t cõa: S = + x + + y + + z. Líi gi i: Ta câ: ( ) S 9 + x = 0 0 ( ) 9 + y + 0 ( ) 9 + z + 0 = 9 + x + y + z 0 = Ngh¾a l S 0. Vªy t i x = y = z =, S t gi trà nhä nh t l (75) Cho a + b + c =. Chùng minh r ng: 4(a + b + c abc) (a b). Líi gi i: Ta câ: a + b + c abc = (a + b + c)(a + b + c ab bc ca), hay Ngh¾a l (a + b + c)[(a b) + (b c) + (c a) ] (a b), 8 ST:

40 LOISCENTER (b c) + (c a) (a b), a + b + 4c + ab 4bc 4ca 0 (a + b c) 0, Vªy ng thùc ñc chùng minh, d u "=" x y ra khi c = v a + b =. 9. (84) Cho a, b, c l c c sè khæng m v a + b + c =. Chùng minh r ng: a b + + Líi gi i: Theo b t ng thùc Cauchy ta câ: Vªy b c + + c a +. = a + b + c = a + b + c (a + b + c ), (a + b + c ) (a + b + c ) () L i câ ( a (a (b + ) + b (c + ) + c (a + )) b + + b c + + ) c (a + b + c ) () a + Ta câ: vªy xy + yz + zx x + y + z, a b + b c + c a (a + b + c ), tø () ta câ: a (b + ) + b (c + ) + c (a + ) (a + b + c ) + a + b + c (a + b + c ). Thay v o () ta câ i u ph i chùng minh. D u "=" x y ra khi a = b = c =.. (9) Cho x, y, z l c c sè d ìng v x + y + z =. Chùng minh r ng: + 4x + + 4y + + 4z >. Líi gi i: t a = x, b = y, c = z vîi a + b + c =, khi â: + a + + b + + c >. Ta câ: Do â: + a = + a a + a = a + a 9 ST:

41 ( ) a + a + b + b + c >, + c a + a + b + b + c + c <. LOISCENTER Ta l i câ + a a, tø â: a + a + b + b + c + c a a + b b + c c = a + b + c ng thùc ñc chùng minh. D u "=" x y ra khi a = b = c =.. (08) Cho a, b, c khæng m v a + b + c =. Chùng minh r ng: Líi gi i: Ta câ: Tø â: a + b + c + abc. abc (a + b + c) (a + b + c ), abc (ab + bc + ca), abc(a + b + c) 4(ab + bc + ca), abc(a + b + c) (ab + bc + ca). a bc + ab c + abc a b + b c + c a, 0 [(ab bc) + (bc ca) + (ca ab) ], =. Thay v o ta câ PCM, d u "=" x y ra khi a = b = c =. 4. () Cho a, b, c l c c sè d ìng v x + y + z =. Chùng minh r ng: (a + b)(b + c)(c + a) ( + a + b + c). Líi gi i: Ta câ: v Ta l i câ: (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca), (a + b + c)(ab + bc + ca ). a + b + c abc = v ab + bc + ca a b c =, Thay v o ta ñc PCM. D u "=" x y ra khi a = b = c =. 5. () Cho a + b + c + d =. Chùng minh r ng: ( a)( b)( c)( d) abcd Líi gi i: V¼ 0 < a, b, c, d < n n: 40 ST:

42 ab + cd + ad + ac + bc + bd abc abd acd bcd + abcd 5 + abcd 6 ab( c d) + cd( a b) + (a + b)(c + d) 5 6 ab(a + b) + cd(c + d) + (a + b)(c + d) 5 6 vîi a + b + c ( + d = ). ( ) a + b c + d L i câ ab, cd. t a + b = x v c + d = y, ta câ x + y =. Theo b i ta câ: LOISCENTER V¼ x + y = (x + y)(x xy + y ), n n x + y 4 + xy 5 6. x xy + y + xy 5 4 6, (x + y) + xy 5 4, xy ( ) x + y 4 =, 7. (5) Cho a, b, c > 0 v a + b + c =. Chùng minh r ng: a 5 b + c + b5 c + a + c5 a + b 6. Líi gi i: Ta câ: Vîi hay M t kh c, a 6 ab + ac + b6 bc + ba + c6 ca + cb (a + b + c ) (ab + bc + ca). ab + bc + ca a + b + c =, ab + bc + ca. () v ( ) ( ) a + b + c a + b + c =, (a + b + c ) =. () Tø () v () ta câ PCM, d u "=" x y ra khi a = b = c =. 8. (8) Cho a, b, c l c c sè d ìng v a + b + c =. Chùng minh r ng: a + b + c a + b + c +. 4 ST:

43 LOISCENTER Líi gi i: Ta câ: Vîi a + b + c a b c = a + b + c a b c = b + c a + c + a b bc a + ca b + ab c. + a + b c bc a + ca b + ab c, b c + c a + a b abc = abc a + b + c = (a 4 b c + b 4 a c + c 4 a b ). t x = a b, y = b c, z = c a ta ñc: (x + y + z) (xy + yz + zx) x + y + z xy + yz + zx, Thay v o ta câ PCM. D u "=" x y ra khi x = y = z a = b = c =. 9. (9) Cho x, y, z l c c sè thüc sao cho x + y 4 + z 9 =. X c ành gi trà lîn nh t v gi trà nhä nh t cõa biºu thùc: x + y + z. Líi gi i: t y = u v z = v, khi â ta chùng minh: Ta t½nh x + 4u + 9v ñc: x + u + v = x + 4u + 9v = + u + 8v = + u + 8( x u ) = 9 5u 8x têng tr n câ gi trà nhä nh t l, v lîn nh t l 9. D u "=" x y ra t i gi trà nhä nh t khi u = v = 0, x =, t i gi trà lîn nh t khi u = x = 0, v =. 0. (90) Cho a, b, c l c c sè tüc v a + b + c = 9. Chùng minh r ng: (a + b + c) abc 0. Líi gi i: Khæng m t têng qu t, gi sû a b c. Theo BT Cauchy ta câ: [(a + b + c) abc] = [(a + b) + c ( ab)] [(a + b) + c ][4 + ( ab) ] = (9 + ab)[8 4ab + (ab) ] = (ab) + (ab) 0ab + 7 = (ab + ) (ab 7) Vîi c, n n ta câ ab 7 a + b 7 = 9 c 7, [(a + b + c) abc] 00 (a + b + c) abc 0. B i to n ñc chùng minh. D u "=" x y ra khi a =, b = c =. 4 ST: