NỘI DUNG M TRẬN - ĐỊNH THỨC & M TRẬN NGHỊCH ĐẢO CHƯƠNG M trận Các loại m trận Phép toán m trận: Cộng Trừ Nhân vô hướng Nhân hi m trận M trận nghịch đảo Ứng dụng m trận ĐỊNH NGHĨ M TRẬN Một m trận cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột. Một m trận cấp x3 = 7-3 / 3-5 0 // dòng, 3 cột (,3)-phần tử [,3] = / 3 = / (m x n): cấp củ m trận = [ ij ] // ij is clled (i, j)-entry hy n n m m mn 3 3 x 3mtrix, 3 x mtrix squre mtrix column mtrix 4 Ký hiệu m trận: i j m n Ví dụ: 7 0 4 5 7 0 8 9 Đây là m trận thực cấp 3x4. Gồm có 3 hàng và 4 cột Các phần tử 7 0 3 4 5? 3 5 CÁC LOẠI M TRẬN M trận vuông M trận không M trận hàng - m trận cột M trận tm giác trên dưới M trận chéo M trận đơn vị M trận chuyển vị M trận bậc thng M trận đối xứng M trận phản đối xứng 6
M TRẬN VUÔNG Nếu m=n t nói là m trận vuông cấp n. n n n n nn Đường chéo chính gồm các phần tử:,,..., nn ij n n M TRẬN KHÔNG Tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: 0 hy 0 mxn 0 0 0 0 0 0 0 0 m n 0 0 0 7 8 M TRẬN HÀNG, CỘT M TRẬN TM GIÁC TRÊN M trận hàng: chỉ có một hàng M trận cột: chỉ có một cột 3 4 5 4 5 3 4 3 0 0 0 4 5 0 0 8 9 0 0 6 0 0 0 4 M trận vuông Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 0 i j ij 9 0 M TRẬN TM GIÁC DƯỚI 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 0 0 6 8 0 5 0 6 9 3 4 M trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 0 i j ij M TRẬN CHÉO 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 C 0 0 8 0 0 b 0 0 6 0 0 0 4 M trận vuông Tm giác trên: dưới đường chéo chính bằng0 Tm giác dưới: trên đường chéo chính bằng0 0 i j ij
M TRẬN ĐƠN VỊ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I I 0 0 I 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M trận chéo Các phần tử chéo đều bằng. Ký hiệu: I n là m trận đơn vị cấp n M TRẬN ẬC THNG STIRCSE MTRIX Phần tử cơ sở củ hàng: phần tử khác 0 đầu tiên củ một hàng kể từ bên trái. M trận bậc thng: Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng. Phần tử cơ sở củ hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở củ hàng trên. 3 4 0 0 0 0 7 0 4 8 9 0 0 0 9 Không là bậc thng C 0 0 0 4 8 9 0 0 7 0 0 0 0 bậc thng 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 9 Không là bậc thng D 3 0 0 3 0 0 3 0 0 0 9 bậc thng 5 6 M TRẬN CHUYỂN VỊ M TRẬN ĐỐI XỨNG PHẢN ĐỐI XỨNG 7 8 3
CÁC PHÉP IẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG. Đổi chỗ hi hàng với nhu. Thy một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0 h k. h k 0 i i 3. Thy một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với một số. h h. h i i j 4. Tổng hợp phép và 3. h k. h. h i i j Tương tự t có các phép bđsc trên cột. h i 9 h j 3 Thực hiện phép biến đổi m trận su: 3 4 h h 8 7 5 3??? 3 0 3 h h h h3 h3 8h h3 h3 9h?? ' M trận gọi là m trận tương đương hàng với m trận. Ký hiệu: ~ 0 ĐƯ M TRẬN VỀ DẠNG ẬC THNG 4 Định lý. Mọi m trận đều có thể đư về dạng bậc thng bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng t thu được nhiều m trận bậc thng khác nhu rbitrry form elementry row opertions ' stircse form, not unique 4 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN M TRẬN. M trận bằng nhu. Cộng hi m trận cùng cấp 3. Nhân một số với m trận 4. Nhân hi m trận 5. Lũy thừ củ một m trận 3 4 4
HI M TRẬN ẰNG NHU PHÉP TOÁN M TRẬN Hi m trận và bằng nhu (ký hiệu = ) khi và chỉ khi:. Chúng có cùng cấp.. Các phần tử tương ứng bằng nhu. Cộng hi m trận + = [ij + bij] Hi m trận phải cùng cấp Trừ hi m trận = [ij bij] Nhân vô hướng Exmple. Given Nhân hi m trận discuss the possibility tht =, = C, = C 5 CỘNG HI M TRẬN 6 CỘNG HI M TRẬN Điều kiện: hi m trận phải cùng cấp Cộng các phần tử tương ứng với nhu b c b 4 4 c d 5 d 5 0 3 ) b) c) 4 ; 5 3 5 6 7 Điều kiện: hi m trận phải cùng cấp 7 NHÂN MỘT SỐ VỚI M TRẬN 8 TÍNH CHẤT Nhân một số với m trận t lấy số đó nhân vào tất cả các phần tử củ m trận. ) c) 0 Ví dụ. e) k m b c b c 4 0 5 6 x b) d)k km f) k C k k m k m 3 4 8 7 5 3 3 0 0 7 3 0 6 Compute : ) C Exmple. Given tht : 9 b) 3 c) 3 4 0 4 use your clcultor 7 30 5
DDITION. DIFFERENCE SCLR MULTIPLICTION Rút gọn biểu thức: ( + 3C) - 3(C-) - 3[( + - 4C) - 4( - C)] Trong đó,, C là các m trận cùng cấp. dy ddition dy + dy? difference Đáp án: -3 dy Sclr multipliction dy dy? (dy )? 0 30 80 300 55 389 35 7 0 3 3 PHÉP NHÂN HI M TRẬN - INTRO PHÉP NHÂN HI M TRẬN penuts sod hot dogs group 8 5 group 5 7 3 m n. n p = C m p // cấp và thứ tự phải phù hợp selling price store store store 3 store 4 penuts.5.5 sod.5.75 hot dogs 3 3.5 3 8x.5 + 5x + x3 = 66$ store store store 3 store 4 group 64.5 66 59.75 66 group 86.5 87.5 8.75 90.5 33 Phần tử c ij = (hàng i củ ).(cột j củ ) Q. Điều kiện để hi m trận nhân được với nhu?..+. 3 4 0 0 0 0 - - - 0-0 -4 34 5 Các m trận nào nhân được với nhu? C 3 4 0 0 4 8 7 5 3 7 6 0 3 0 3 4 4 3 D 0 4 3 7 35 QUI TẮC NHÂN HI M TRẬN Phần tử nằm ở vị trí ij củ m trận mới bằng hàng i củ m trận đầu nhân với cột j củ m trận su. c hngi cot j ij C Ví dụ. Muốn tìm phần tử c3 t lấy hàng củ nhận với cột 3 củ. (giống nhân tích vô hướng các vecto) 36 6
6 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH M TRẬN 37 38 TÍNH CHẤT ỨNG DỤNG (, 3) (4, 3) 0 5 4 3 D= 0 0 3 3 5 (0, 0) (5, 0) Cho = 0, Tìm D. 0 0 0 4 8 6 0 0 6 6 0 (3, 5) 39 40 LŨY THỪ CỦ M TRẬN 8 4 4 7
9 0 43 44 HẠNG CỦ M TRẬN Định nghĩ. Giả sử mxn tương đương hàng (cột) với m trận bậc thng E. Khi đó t gọi hạng củ m trận là số các hàng khác không củ m trận bậc thng Ký hiệu: r() hy rnk() r() = số hàng khác không củ m trận bậc thng E M trận bậc thng củ :..bđsc theo dòng (có dạng bậc thng) 45 46 3 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các m trận su. 0 3 0 0 0 3 0 6 4 5 0 6 4 3 3 3 4 C 4 6 9 D 3 4 9 6 7 6 0 3 47 48 8
4 Tìm hạng củ m trận 3 0 9 0 7 4 0 6 6 4 3 0 TÍNH CHẤT i) r r ii) thì r r iii) thì r min m, n ij m n iv) r 0 0 T 49 50 5 6 5 5 M TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định nghĩ. Cho là một m trận vuông, m trận được gọi là m trận nghịch đảo (inverse) củ m trận nếu:. I. I M trận có m trận nghịch đảo thì được gọi là m trận khả nghịch (invertible mtrix) M trận nghịch đảo củ kí hiệu là - Tính chất:.. I 53 I 54 9
CHÚ Ý THE INVERSE OF X MTRICES Chỉ m trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo) Không phải bất kỳ m trận vuông nào cũng khả nghịch. Có rất nhiều m trận vuông không khả nghịch c b d d d M trận khả nghịch được gọi là m trận không suy biến. bc b c determinnt of, denoted by det() M trận không khả nghịch được gọi là m trận suy biến. Exmple: 55 M TRẬN SƠ CẤP 4 3 5 3 4 56 CHÚ Ý M trận thu được từ m trận đơn vị I bằng đúng phép biến đổi sơ cấp được gọi là m trận sơ cấp. Ví dụ. Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng củ m trận đồng nghĩ với nhân bên trái với m trận sơ cấp tương ứng. Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột củ m trận đồng nghĩ với nhân bên phải với m trận sơ cấp tương ứng. 57 7 58 IẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM M TRẬN NGHỊCH ĐẢO T có: 59 60 0
8 - TÌM M TRẬN NGHỊCH ĐẢO 8 - TÌM M TRẬN NGHỊCH ĐẢO 6 6 CLSS WORK Hãy tìm m trận nghịch đảo củ m trận su nếu có. TÍNH CHẤT Cho him trận, đều khả nghịch. T có: i) ii).. T iii) T iv). C. C v). C. C 63 64 SỰ TỒN TẠI M TRẬN KHẢ NGHỊCH 9 Tìm m để các m trận su khả nghịch. m 3 4 3 3 3 m m 65 66
COROLLRY If nd C re squre mtrices such tht C = I, then lso C = I. In prticulr, both nd C re invertible: C = -, nd = C -. Corollry bove is flse if nd C re not squre mtrices 67 68 TỔNG HỢP ÀI M trận là gì? Phân loại? Các phép toán với m trận? Hạng củ m trận? M trận khả nghịch? 69 70 ÀI ÀI 3 7 7
ÀI 4 ÀI 5 73 74 ÀI 6 ĐỊNH THỨC DETERMINNT 75 76 NỘI DUNG Cách tính định thức củ một m trận vuông iến đổi định thức Ứng dụng định thức ĐỊNH THỨC Cho m trận vuông, cấp n. Định thức củ m trận, ký hiệu: det hy Đây là một số thực, được xác định dựtrên các phần tử trong m trận. 77 78 3
ĐỊNH THỨC CỦ M TRẬN VUÔNG CẤP, M trận vuông cấp : M trận vuông cấp : det hy ĐỊNH THỨC (M TRẬN VUÔNG) CẤP 3 det() = = + - + b c d e f g h i det.... +.det e h f - b.det i d f g i + c.det = ei fh (bdi bgf) + cdh cge d e g h 79 80 QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3 T có quy tắc Srrus. det...... 33 3 3 3 3...... 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 3 Tính các định thức su bằng quy tắc Srrus 3 0 5 7 C 0 0 8 m m 5 7 6 0 m 5 D 0 3 9 3 m 3 8 8 ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT Dùng phầnbù đại số và khi triển theo hàng (cột)... n... n...... n n nn n n Ký hiệu M ij là m trận nhận được từ m trận bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. Phần bù đại số (cofctor) củ phầntử ij ký hiệu và xác định như su: i j i j det M M ij ij ij 83 Cho m trận: 3 0 9 7 4 0 6 6 4 3 4 4 M 3 =??? Cofctor( 3 )= 3 =??? Giá trị, số M trận 84 4
M boû høng vø coät 3 M 3 3 3??? 3 9 4 6 6 4 3 KHI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT Định thức củ m trận vuông cấp n: det..... n n Đây là khi triển theo dòng. T có thể khi triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ. det i i i i in in ij ij j n det = + + = j j j j nj nj ij ij i= n 85 86 TỔNG QUÁT ) k : thì det b k thì ) : det.... 3 c) k 3 : thì det.. 3 3 3 3 3 33 3 Tính định thức su: Khi triển theo dòng : 3 0 5 7 0 8 + 5 7 + 0 7 +3 0 5 det=. - +. - +3. - 8 0 8 0 det=. 5.8-.7-0.8-0.7 +3 0.-5.0 =6 Khi triển theo cột. + 5 7 det=. - +0. +0.. 5.8-.7 =6 3 8 87 Nên chọn cột có nhiều số 0 để khi triển. 88 ĐỊNH THỨC CỦ M TRẬN TM GIÁC ĐỊNH THỨC CỦ M TRẬN TM GIÁC Ví dụ. Tính định thức củ hi m trận su: 3 4 0 0 0 0 5 7 6 5 0 0 0 0 6 5 3 9 6 0 0 0 0 4 8 DETERMINNT =. nn 89 90 5
Tìm det(), det(), det(), det(+) biết rằng: Tìm det(), det(3), det( ) nếu: = 3 và = 5 4 = 3 5 det(.) = det().det() det(+) det() + det() o det(c) = c n det() o det( k ) = [det()] k 9 9 TÍNH CHẤT Cho, là các m trận vuông cấp n. T có: o det(.) = det().det() o det(k) = k n det() o det( T ) = det() o det( - ) = /det() o det( k ) = [det()] k 93 o Tính các định thức su: = 3 0 3 =.3. = 6, 0 0 0 3 3 = 6 // đổi dòng với dòng từ m trận, 0 0 4 6 0 3 = // nhân hàng củ m trận với số - 0 0 94 o Tính định thức su: IẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC 0 5 = 5 4 5 và 0 5 = 5 0 0 M trận trong định thức su cóđược từ m trận bn đầu bằng cách thy dòng 3 bằng (* dòng + dòng 3) Chúng có cùngđịnh thức 95 96 6
ELEMENTRY OPERTIONS ND DETERMINNTS EXMPLE 97 98 4 TÍNH ĐỊNH THỨC ẰNG ĐSC 99 00 5 5 0 0 7
NGUYÊN TẮC TÍNH ẰNG ĐSC 6 SINH VIÊN TỰ LÀM.. 3. Tính định thức m trận su: 3 0 5 7 8 5 0 6 4 3 C= 3 4 6 3 4 0 5 7 6 8 5 0 0 0 03 4 5 04 ĐỊNH THỨC HẠNG KHẢ NGHỊCH Định thức con củ m trận: Cho là m trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên gio củ k dòng và k cột củ t được một m trận vuông cấp k. Định thức củ m trận vuông cấp k này t gọi là định thức con cấp k củ. 05 Hỏi. Có bo nhiêu định thức con cấp k trong m trận cấp mxn - Số cách chọn k dòng - Số cách chọn k cột Số định thức con cấp k??? 06 8 Cho m trận. 0 0 3 3 Hãy lập tất cả các định thức con cấp ; cấp ; cấp 3? Định thức con cấp mấy lớn nhất? HẠNG CỦ M TRẬN Định nghĩ: Cho là m trận cấp m.n khác O. Hạng củ m trận, kí hiệu rnk() hy r() là cấp co nhất trong các định thức con khác 0 củ m trận. Nếu rnk()=r thì: ) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 củ. b) Mọi định thức con củ cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0. 07 08 8
ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT Cho m trận vuông cấp n. T có: i) khû nghòch I n ii) khû nghòch r n iii) khû nghòch det 0 iv) khoâng khû nghòch det 0 Nếu m trận khả nghịch thì: ) det b)detp det det n 09 M TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGTE MTRIX) M trận phụ hợp củ m trận, ký hiệu dj() hy P Là m trận chuyển vị củ m trận chứ các phầnbù đại số củ m trận. dj ij n... n... n n P............... n n nn n n nn 0 T T Cho m trận ) Tìm m trận phụ hợp củ ) Tính các m trận tích su: P. P. M TRẬN NGHỊCH ĐẢO M TRẬN PHỤ HỢP Định lý. Nếu là m trận vuông thì:.p =P.=k.I, k det Nếu det 0 thì m trận khả nghịch và m trận nghịch đảo củ cho bởi công thức su: P det 3 0 det, P 0 0 0 0 0 3 / 3 / P 0 0 / / det 0 0 0 0 9 Tìm m trận nghịch đảo củ m trận su nếu có 3 4 6 0 3 4 det??? Chú ý: 3 4 9
9 9 ước. Tính det T có: 3 4 6 3 4 3 det 0 0 0 3 4 3 T có: 0 0 3 4 4 3 3 4 6 3 6 3 4 3 4 4 0 3 3 4 6 3 6 3 4 3 3 0 3 33 0 3 det 0 nên m trận khả nghịch. T tìm các phần bù đại số và lập m trận phụ hợp P 3 0 P 0 3 3 3 3 3 3 3 33 T 5 6 3 ÀI T có: P T 0 0 3 3 3 3 P 0 3 0 3 det 3 3 Tính định thức củ các m trận su: 7 8 ÀI ÀI 3 9 0 0
ÀI 3 ÀI 4 ÀI 5 ÀI 6 3 4 ÀI 7 GIẢI TOÁN M TRẬN ẰNG FX570 ES. Nhập m trận. Nhấn Mode 6 (Mtrix) Chọn ( mt) Chọn mtrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. Nhập kết quả vào bằng phím =, Su khi nhập xong m trận, có thể nhập thêm m trận bằng cách: Nhấn Shift 4 (Mtrix) (Dim) (Mt) Lập lại tương tự cho MtC. Lưu ý: nên nhập qu Shift +4 + để đỡ bị lỗi 5 6
GIẢI TOÁN M TRẬN ẰNG FX570 ES KIỂM TR 0PH. Tính định thức Tho tác như su để tính định thức cho Mt: Shift 4 (Mtrix) 7 (Det) Shift 4 (Mtrix) 3 (Mt) = 3. Tìm m trận nghịch đảo Tho tác như su để tìm m trận nghịch đảo củ Mt: Shift 4 (Mtrix) 3 (Mt) x - (x - : là phím nghịch đảo củ máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: X = Tho tác theo các bước bên trên để tính: Mt x - x Mt để cho kết quả củ X. 7 ài. Cho hi m trận: 3 4 6 3 0 4 9 3 4 6 5 Tìm: ) 3 I b) T c). ài. Tìm r() và m trận nghịch đảo củ nếu có: 3 4 6 0 3 4 8