AW_09 «√ “√ ¡°

ª Ÿª Àπ ß âπµ ß π«π µá π âªí À π ß Õßæπ ß π Õ «A Comparative Study of Integer Linear Programming Formulations for Solving the Bottleneck Traveling Salesman Problem æ Õ à µ 1 àõ ªí À π ß Õßæπ ß π Õ «(The Bottleneck Traveling Salesman Problem, BTSP) ªìπ Õ «ß π ß ºà π ÿ n µ Àπàß Õß ø ß Õß π ß À«à ß Ÿàµ Àπàß Ë à Ë ÿ µâõß Àâ à πâõ ÿ ªìπªí À Ë ªìπ âõ ªí À ÕÁπæ â πõ Ÿª µ» µ å 3 Ÿª æ ËÕÀ µõ Ë À Ë ÿ â µ «Õ à ß Ë Õ Ÿà Õâ ßÕ ß Õߪí À π ß Õßæπ ß π Ëߺ Õ àß Õ «à Ÿª µ» µ å Ë 2 âπà µõ â «Á«Ë ÿ Abstract The Bottleneck Traveling Salesman Problem is a cycle of length n in a graph on n nodes where the longest arc distance is minimized. This problem is another well known NP-Hard class. Three integer linear programming formulations have been implemented on a series of well-known benchmark problems for optimality. Additionally, results obtained from the second formulation provides the most efficient computation times for obtaining the global optimum. 1 Àπà««π πß π «««Õÿµ À µ å À «µ» µ å «µ ß π 98

π Àπ Àâ ø G ß π ß ºà π ÿ i ª j à c ij Àâ G=(V, A) V ={1,...,n} n Õ π«πª (Nodes) ÈßÀ A = {(i,j): i,j V, i j} ªìπ µ Õß âπ ËÕ (Arcs) ÈßÀ π À âπ ß πºà πª ÿ ª Õ à ßπâÕ 1 Èß ÿ Ë «à Õ Œ µ π Ë π (Hamiltonian Cycle, HAMC) â µâõß À HAMC Ë ßπâÕ Ë ÿ ªí À π È«à ªí À π ß Õßæπ ß π (Traveling Salesman Problem, TSP) ªí À π È ªìπ âõªí À ÕÁπæ (NP-Hard) æ à «Ë Õß «à âπà µõ â π «æàÿπ Ë πàπõπ (Deterministic Polynomial Time) â c ij = c ji π ÿ ÿ âπ ËÕ ªí À π È«à ªí À π ß Õßæπ ß π µ (Symmetric Traveling Salesman Problem, STSP) â c ij c ji π ß âπ ËÕ «à ªí À π ß Õßæπ ß π Õ µ (Asymmetric Traveling Salesman Problem, ATSP) Laporte [6] ß π«à âªí À TSP Àâ â µõ Ë Ë ÿ 2 «Õ «µ Ëß Õ µ (Branch-and-Bound, B&B) «µ Ëß æ Ë π µ (Branchand-Cut, B&C) B&B ªí À ß π (Assignment Problem) ËÕ Õ ËÕÀπ Ëß«à «ÕßÕ µå π (Eastmanûs Algorithm) ªí À π ß Õßæπ ß π Õ «(the Bottleneck Traveling Salesman Problem, BTSP) Õ À HAMC ˵âÕß Àâ ß Ë à Ÿß ÿ À«à ß Ÿàª µõ Ë â à πâõ ÿ à ß Ÿß ÿ À«à ߪ π È «à à Õ «(Bottleneck Value) Reinelt [8] âõ «à ªí À π È ªìπ âõªí À ÕÁπæ (NP-Hard) àπ «π â ÿ ß À«à ß âπ ËÕ Àâ à à B à Õ â«à ÿ âπ ËÕ Ë à ßπâÕ «à à B HAMC À Õ à µ «Õ ªí À BTSP Carpento et al. [2] â âªí À «µ Ëß Õ µ (Branch-and-Bound, B&B) π«õ µ à ß Õß à Õ «à Ë ÿ Õß âªí À µàõ ªπ È Õ ªí À ß π Õ «(Bottleneck Assignment Problem) ªí À âπ ß Õ «(Bottle neck Paths) ªí À ËÕ µàõ Õß ÿ Õ (Linkage of Vertices) ªí À ËÕ µàõ Õß Õ àõ (Linkage of Subtours) π ËÕß π«õ µ à ß Èß 4 «π È Àâ π«π µà Ëß Õß µ Ëß Õ µ à â ßπ Èπ æ å [1] ß â πõ«µ Ëß Õ µ Ë π«õ µ à ß «ß π Õ «µà æ ßÕ à ß «Ëß «à «ª ß ÕßÕ µå π ª ÿ µå âß π Õߪí À BTSP Garfinkel and Gilbert [5] ß Àâ ÀÁπ«à π ˵âÕß À µõ Õߪí À TSP Ë «à πàπõπ À«à ß à ß À«à ß Ÿàª ËÕ µâõßà Ë ß π ߺà π âπ ËÕ ËÕ à ß À«à ߪ ªí À π È ßµâÕß â π ªí À BTSP 99 Ë 54-55 ªï Ë 18 π«2547 - Ø 2548

πß π«π È â Õ â«µ Ëß æ Ë π µ (Branch-and-Cut, B&C) π âªí À BTSP π ËÕß Fischetti and Toth [4] ß π «ª «à 3 π 4 Õß ªí À Ë Õ «B&C Àâ ««Á««à «B&B π âπà µõ Ëß Õ â «B&C Ÿª µ» µ å 3 Ÿª Ëß Õß ª π â π «âπà µõ à Õ «ËµË ÿ Ÿª µ» µ å Õߪí À π ß Õßæπ ß π Õ «Ÿª µ» µ å Õߪí À BTSP â æ π Ÿª µ» µ å Õߪí À TSP Ë â Õ Ë ÿ ªìπ Ÿª µ» µ å Õß Dantzig et al. [3] x ij ªìπµ «ª Ë à 1 â âπ ß À«à ß Ÿàª i,j ËÕ Ÿà π µõ c ij ªìπ ß À«à ߪ i,j S ªìπ π Õß Õ àõ Ë π π«µà Èß Ÿª Ë ß Àâ ÀÁππ È â â Èߪí À STSP ATSP µ «π È π«πµ «ª n 2 - n µ «ª (1) (2) (3) (4) (5) n Õ π«πª ÈßÀ V Õ µ Õß π«πª ÈßÀ T Õ à Õ «ËµâÕß Àâ à πâõ Ë ÿ ß ËÕπ ß Ë 4 «à ß ËÕπ ß Õ àõ (Subtour Elimination Constraints, SECs) æ Ë â ªÀ ß π«π µà Èß æ ËÕ Õ àõ Ë æ â æ Ë â ª À πµõπ π«π ß 2 n - 2 ß ËÕπ ß π Õߪí À BTSP «âπ Ë (1) π ß ËÕπ ß À à â ßπ È (6) (7) Ë (2)-(7) ªìπ Ÿª µ-» µ å Õߪí À BTSP Ÿª µ» µ å Ë πõπ È «π âªí À æ Ë Èπ «à ªí À TSP π ËÕß ß ËÕπ ß Ë (7) æ Ë µ â ßπ Èπ ß âπ πõ«ëºàõπª π â Àπ ß âπµ ß π«π µá æ Ë ß ËÕπ π Ë (1)-(5) ßπ È 100

(8) UBT Õ à Õ «Ë ªìπ Õ µ π Õß BTSP π À à Õ «Ë Ë ÿ µâõß âªí À â Ë (1)-(5) π«π À Õ µ «ª Ë «à UBT Ë â π µà Õ Ëß â âªí À π Õ â Õ µàõ ««Á«π â ªí À æ Ë Èπ æ µ «ª Ÿ æ Ë Èπ π ËÕß à Õ «Ë ß Ÿª µ» µ å ºàÕπª πõ Ÿª Àπ Ëß π âªí À BTSP ß â ßπ È b j (9) (10) (11) Ÿª µ» µ å ß Ë (9)-(11) π È æ Ë µ «ª (Artificial Variables) Ëß Á Õ a i b j i,j ªÑ À µâõß µõ Ë ªìπ ª â Õߪí À TSP à π Èπ Ëß Á Õº «Õßµ «ª à ªìπ»Ÿπ å ËÕ «Ë (4)-(5) (8) ªìπ Ÿª µ» µ å Õߪí À BTSP Ëß â ªí À â Ë (4)-(5) (8)-(11) µà Õ µ «ª Ë «à à Õ «Ë ªìπ Õ µ π àπ «Ÿª µ» µ å (2)-(5) (6)-(8) µ Ëß Õ µ Õߪí À π ß Õßæπ ß π Õ «Carpento et al. [2] â πõ âªí À BTSP µ Ëß Õ µ - æ å [1] ⪠ÿ µå πõ ªìπ ÈπµÕπ â ªí À ßµàÕ ªπ È Èπ Ë 1 Ë µâπ âªí À ß π Õ «(Bottleneck Assignment Problem, BAP) à ß À«à ß âπ ËÕ Ë Ë ÿ Ë â Õ ªìπ Õ µ à ß (LB) Èπ Ë 2 â «ß Õ àõ Èπ Àâ ª Èπ Ë 3 â à «ß Õ àõ Õ«à â µõ Õß BTSP Èπ Ë 3 Õ «ß Õ àõ Ë π«πª πâõ ÿ µ ÕÕ ªìπªí À àõ µà ªí À àõ Õ âπ ËÕ À«à ߪ 1 âπ Àâ Ÿ ÕÕ (Exclude) Õ âπ ËÕ À«à ߪ Ë À Õ Àâ ªìπ Õß Õ µ π (Include) â àæ «ß Õ àõ Õ«à ªìπ Õ µ π (UB) ªí À àõ Õ Ëπ Ë À ÕÕ Ÿà µà â æ «ß Õ àõ Àâ ª Èπ Ë 4 Èπ Ë 4 ªí À àõ π Èπ Ë 3 «Àå æ ËÕÀ à Õ µ à ß Õߪí À àõ Ë q (LB q ) æ à ßµàÕ ªπ È. à Ë Ë ÿ Õß à ß âπ ËÕ ËπâÕ Ë ÿ ËÕÕ µà «ß Õ àõ. à ËπâÕ ÿ Õß Õß ß Ë Èπ Ë ÿ (Shortest Path) ª Àπ Ëß ª ÿ ª. à ß ËπâÕ Ë ÿ ªí À BAP Õ à Ë Ë ÿ... ªìπ Õ µ à ß ª Èπ Ë 5 101 Ë 54-55 ªï Ë 18 π«2547 - Ø 2548

Èπ Ë 5 â Õ µ à ß à Õ µ π Õ«à â µõ Õß BTSP â à à Àâ ª ÈπµÕπ Ë 3 ª ÿ µå âß π ªí À BTSP æ πõÿµ À ª Õ Èπ à«π ß ºß«ß Õ Á Õπ å ËÕπ Ë Õß ºß«ß ªìπ ø (Chebychev) Õ (12) c ij Õ ß π ËÕπ Ë Õß π X-Y À«à ß ÿ æ µ Àπàß i ß j x i Õ æ æ π X µ Àπàß i y i Õ æ æ π Y µ Àπàß i π ª Õ ºß«ß µâõß «ª Õ Ë Á«Ë ÿ µà «æ π å À«à ß ß ËÕπ Ë Õß ºß«ß «Ë â à ß π øíß å π ß âπ ß µ» µ å â ËÕπ Ë Ë â ß Èπ «ËÕπ Ë æ Ë Èπ ªìπ à«π Ë ËÕ ß ËπâÕ «à ßπ Èπ π π«ß à π ß ß ß «ËπâÕ ÿ µà π ß ß ß Ë Ë ÿ Àâ à πâõ ÿ Ëß ªìπªí À BTSP Õÿª å «Õø å «å Ë â π âªí À Àπ ß âπµ ß π«π µá Õ LINGO6.0 ËÕ µàõ ª Borland C++5.02 π ªØ µ Windows XP ËÕß Õ æ «µõ å à«π ÿ PENTIUM IV 2.4 GHz. RAM 256 MB. âªí À BTSP Ÿª µ-» µ å Èß 3 Ÿª «Ëπ πõ âà µ «ª Ë ªìπ âπ ËÕ Ë ß «à Õ µ π Õߪí À BTSP Õ µ π Ë â âªí À TSP «ÕÕ å Àâ À Ë ÿ π ÈπÀ ß Ë ÿ âπ ß Ë â ß Ë à «à À Õ à ß Ë â À µõ Õß TSP À à ÈπµÕπ ÈßÀ π È Õ π à«π ª «Ëπ πõ π Ÿª µ» µ å ªí À BTSP ºàÕπª π Ë µâπ âªí À TSP Àâ â µõ ª â«õõ å Àâ À Ë ÿ Õ Laporte [5] «π È ÿ àπµ ß Ë â â Èߪí À ATSP STSP µõ Ë â «ÕÕ å Àâ À Ë ÿ ß Ë à «à à Õ «Ë â µõ ÕÕ À µõ À à â à µõ Ë ªìπ ª â Õ«à à Õ «ÿ â Ë Àâ µõ Ë ªìπ ª â ªìπ µõ Õ µ π Õߪí À BTSP ËÕ â Õ µ π π À µõ Ë Ë ÿ «Àπ ß âπµ ß π«π µá µ Ÿª µ» µ å Èß 3 Ÿª ßπ È Ÿª µ» µ å Ë 1 Ë (2)- (5) (6)-(8) 102

Ÿª µ» µ å Ë 2 Ë (1)- (5) (8) Ÿª µ» µ å Ë 3 Ë (4)- (5) (8)-(11) ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ À BTSP πõ Èß πªï æ.». 2519 ÕÕ å (Or. I.) â À âªí À Ë ªìπ Èß STSP ATSP Miller and Penky [7] âπ â π À Õ µ π Õߪí À ATSP π «à 1,000 ª À Õß«π È Ë µõ Ë ªìπ ª â Ë ß π π«πàπ Ëß π ª π Ÿà Õ Ëπ Ë À Õ Õ Ë Èπ À à â Àâ â ß «ß «à Àâ γ Õ µ Àπàß Ë Ë µâπ Õß â ª δ Õ π«πª Ë â η Õ µ Àπàß Ë â ª ÈπµÕπ«ßµàÕ ªπ È Èπ Ë 1 Ë µâπ âπ ß Ë ªìπ ª â Àπ æ µõ å γ δ ÀâπâÕ «à π«π ª ÈßÀ Èπ Ë 2 ª ËÕ Ÿàµ π ªìπ π«π δ ˵ Àπàß η Èπ Ë 3 ª π«π δ ß ª π µà âπ ËÕ Ë À ÕÕ Ÿà π HAMC â Àâ à «µ ÿª ß å ß Àâ η=γ â à à Àâ η=η+1 Èπ Ë 4 â η > π«πª ÈßÀ - δ Àâ η=γ δ=δ - 1 Èπ Ë 5 â δ > 0 ª Èπ Ë 2 â à à Àâ ÿµ ÈπµÕπ ÕÕ å Àâ À Ë ÿ π ª â π âªí À BTSP µ Èπ µõ𫪠ßπ È ÈπµÕπ«âªí À BTSP ÈπµÕππ È Ë µâπ À à Õ «Ë ªìπ Õ µ π Õߪí À BTSP â ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ Õß BTSP ËÕ â à Õ «Ë ªìπ Õ µ π π ªìπ ±å π µ «ª Àπ ß âπµ ß π«π µá æ ËÕ Àâ âªí À ««Á«Èπ à º µàõ à Õ «ËπâÕ Ë ÿ Èπ Ë 0 Àâ w ij ªìπ ß ª i ª ª j Èπ Ë 1 âªí À TSP å w ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ Õß BTSP Àâ b-value ªìπ à Õ «µõ Ë â Èπ Ë 2 â à b-value à à à Õπ πµå ª Èπ Ë 3 â à à Àπ Àâ à w ij Ë «à à à b-value à ªìπ à Õπ πµå ⫪ Èπ Ë 1 Èπ Ë 3 âªí À TSP Àπ ß âπµ ß π«π µá (ILP) µ Ÿª µ» µ å Èß 3 Ÿª å w µ «ª Ë ª Ï ß à à Õπ πµåõõ Àπ ß âπµ ß π«π µá (ILP) Èπ Ë 4 µõ Ë â ILP Àâ c- value ªìπ à Õ «Õß µõ Ë â Èπ Ë 5 â c-value à ªìπ à Õπ πµå ÿµ π«à Õ «Ë â Õ b-value â c- value à à à Õπ πµå π Ÿª µ» µ å Ë 1 ÿµ π«à c-value Õ à Õ «Ë â π Ÿª µ» µ å Ë 2 À Õ 3 Àπ Àâ à w ij Ë à «à à c-value 103 Ë 54-55 ªï Ë 18 π«2547 - Ø 2548

à ªìπ à Õπ πµå ª Èπ Ë 3 Àπ ß âπµ ß π«π µá Ë πõ Àâ à Õ «ËµË ÿ π ËÕß ÈπµÕπ Ë 1-2 µ «ª Ë ª Ï ß «à µõ à Õ «ËµË Ë ÿ Àâ âπà µõ π µ Õßµ «ª Ë À ÕÕ Ÿà Ë ª Ï ß Ë ªìπ à Õ «ËµË ÿ ß à Ÿ ÕÕ ª º Õß âªí À BTSP À º Õߪí À BTSP π È â à Õ µ π Õß à Õ «Õߪí À âπ ËÕ Ë à πè Àπ «à À Õ à à Õ µ π Õß à Õ «â º æ å πµ ß Ë 1 â«à µõ ª «ÕÕ å Àâ À Ë ÿ ªí À π TSPLIB (http://www.iwr.uni-heidelberg.de/ iwr/comopt) Ë ÿ µ «Õ à ß π µ Èß µà 100 ª Èπ ª µ ß Ë 1 ªí À Rbg 443 Rbg403 Rbg358 æ Ÿ πå â«à â µõ Ë À Ë ÿ â ÈπµÕπ«ÕÕ å æ ËÕ à Õ «Ë ªìπ Õ µ π Ë â à À µõ â Ë (1)-(5) (8) πªí À Rbg323 Pcb442 Att532 π ËÕß π«πµ «ª À ß ÕÕ â à Õ «Õ µ π ß π«π âπà µõ ß à Èπ ÿ π «Ë Àπ ß ßº â µà Õ µ π ªí À Pcb442 Att532 π«π«øíß å π ß À«à ß ÿ - ÕÕ å πµ π ËÕß æ Èπ ËÀπà««Ë ß à â Á à ß «â π ª µà â π«à à ÿ Èß ß Àâ «à â π À à Õ µ π à«πªí À Kro124p FTV110-170 ËÕ µ «ª Ë à Õ ««à Õ µ π ÕÕ À µõ Ë Ë ÿ â â Ÿª µ» µ å Ë 2 ßµ ß Ë 2 µ «Õ «Ÿ µâõß Õß π«ª º Õß Õß æ å[1] àõπ Àπâ â à µõ à π ß ß πµ ß Ë 3 «å ÿªº Õß π âªí À BTSP «Ëπ πõ â ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ π ߪí À Àâ µõ Ë À Ë ÿ â ßµ ß Ë 1 à«πªí À Ë ß à æ Ÿ πå â«à Àâ µõ Ë Ë ÿ ËÕπ â Àπ ß âπµ ß π«π µá π ª π À«à ß Ÿª µ» µ å Èß 3 Ÿª â«à Ÿª µ» µ å Ë 2 ª æ «à Ÿª µ» µ å Ë 1 3 π â π ««Á«π âπà µõ Àµÿ ªìπ æ 1. Ÿª µ» µ å Ë 1 ß ËÕπ ß Ë æ Ë µ â ß n ß ËÕπ Àâ â «π B&C «à B&C π Õ Õß Ÿª µ» µ å Ë 2 ß â π«πµ «ª à π Áµ 2. Ÿª µ» µ å Ë 3 Õ àõ âªí À ILP à Ÿ ß º «ß ÈßÀ Õß µõ Õß TSP ßπ Èπ Õ àõ Ë º «ß ÈßÀ «à à µõ Õß TSP Èπ â Àâ π«π Õ àõ ÈßÀ Ë ªìπ ª â π«π «à π«π Õ àõ 104

µ ß Ë 1 º π«ªí À BTSP µ «Õ à ߪí À TSPLIB ªí À n 1 Or-Opt 2 «(«π ) Att532 532 921 7,156 Pcb442 442 600 3,804 Rbg443 443 20 1,854 Rbg403 403 23 1,725 Rbg358 358 10 902 Rbg323 323 20 655 FTV110 111 103 24 FTV130 131 88 42 FTV150 151 112 61 FTV170 171 89 140 Kro124p 100 889 35 1 π«πª Õߪí À ªí À Ë Õ «πå À TSPLIB 2 µõ ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ 3 À µõ ªí À ß π π å w Ë à Ë «à à µõ ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ µ ß Ë 2 º ª «π À à Õ «Õß Ÿª µ» µ åªí À BTSP «π À µõ («π ) à Õ «ËµË Ë ÿ Õß Ÿª µ» µ å Èß 3 ªí À π«πª 1 2 3 Kro124p 100 >3,600 460.10 >3,600 604 FTV110 111 >3,600 509.33 >3,600 39 FTV130 131 >3,600 919.27 >3,600 39 FTV150 151 >3,600 889.39 >3,600 37 FTV170 171 >10,800 7,520.41 >10,800 37 Õß µ Èß«µ ÿª ß å µ Ÿª µ» µ å Ë 2 Àâ Ÿª µ» µ å Ë 2 â «π â ß ß ËÕπ Õ àõ πâõ «à ß π«ëπà π» µàõ ªìπ π«µàõ Õ æ «µõ å π π (Parallel Computing) π À à Õ «ËµË Ë ÿ àß à«ß Õß à Õ «À«à ß à Õ «Ë ªìπ à Õ µ π à ß âπà µõ π µà Àπ૪ «º π µà à«ß Ë àß «µÿª ß å æ ËÕ «π π«õ Õâ ßÕ ß [1] æ å π Õß. (2544). â ªí À π ß Õß å π Õ ««105 Ë 54-55 ªï Ë 18 π«2547 - Ø 2548

µ ß Ë 3 ß à Õ «Ë â «Ëπ πõ π π à Õ «Ë â «B&B æ å [1] à Õ «ªí À π«π æ «B&B π«ÿª µ» µ å Ë 2 br17 17 8 8 Ftv33 34 113 113 Ftv35 36 113 113 Ftv38 39 113 113 P43 43 5014 5014 Ftv44 45 113 113 Ftv47 48 104 104 Ft53 53 977 977 Ftv55 56 68 68 Ftv64 65 104 104 Ft70 70 1398 1398 Ftv70 71 104 104 ª ß ÕßÕ µå π. «π æπ å µ À ± µ («Õÿµ - À ) ««Õÿµ À. π π æ Õ â æ π Àπ Õ. [2] Carpaneto, G. and P. Toth. (1981) An Algorithm for the bottleneck traveling salesman problem. Computing. 26 : 380-389. [3] Dantzig, G.B., D.R. Fulkerson and S.M. Johnson. (1954). Solution of a Large Scale Travelling-Salesman Problem. Operations Research. 2:393-410. [4] Fischetti, M. and P. Toth. (1997) A Polyhedral Approach to the Asymmetric Traveling Salesman Problem. Management Science. 43 : 1520-1536. [5] Garfinkel, R.S. and K.C. Gilbert. (1978). The Bottleneck Traveling Salesman Problem: Algorithms and Probabilistic. Journal of ACM. 25 : 435-448. [6] Laporte, G. (1992). The Traveling Salesman Problem: An overview of exact and approximate algorithms. European Journal of Operational Research. 59 : 231-247. [7] Miller, D.L. and J.F., Penky. (1989). Result from a parallel branch and bound algorithm for solving large asymmetric traveling salesman problems. Operation Research Letter. 8 : 129-135. [8] Reinelt, G. (1994). The Traveling Salesman : Computational Solution for TSP Applications. Springer-Verlag, New York, U.S.A. 1994. 106