ÈË ÈÖÓ ØØ Þ ÓÒ Ø Ñ ÓÒØÖÓÐÐÓ Ä Þ ÓÒ ÔÖ Ð ¾ ÁÁÁ ÌÖ Ñº ¾¼¼ Ó ÒØ ÄÙ Ë Ò ØÓ ËØ ÓÖ ÄÙ Ê ØÓ Ñ ÒÙ Ð Ë Ó º½ ÐØÖÓ Ã ÐÑ Ò Ö Ñ Ë ØÓ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ò Ñ Ó xk+1 = Ax k + w k y k = Cx k + v k ÓÚ w k v k ÓÒÓ ÔÖÓ º º º ØÖ ÐÓÖÓ ÒÓÖÖ Ð Ø Ù Ò Ñ ÒÙÐÐ Ú Ö ÒÞ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Q Rº ÁÒÓÐØÖ ÐÓ Ø ØÓ Ò Þ Ð x 0 N( x 0,P 0 ) º½µ Ò ÑÓ ÒÓÐØÖ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÒÓØ Þ ÓÒ Ð Ù ÒØ Ñ ØÖ P k+1 := P k+1 k Pk+1 := P k+1 k ij ÕÙ Þ ÓÒ Ù Ó Ð Ú Ö ÒÞ Ðг ÖÖÓÖ Ø Ñ Ð ØÐÖÓ Ã ÐÑ Ò P k+1 = AP k A T + Q AP k C T (CP k C T + R) 1 CP k A T = Φ(P k ) º¾µ Ñ ÒØÖ ÕÙ ÐÐ Ö Ð Ø Ú ÙÒ ÐØÖÓ Ø Ø Ó ÓÒ Ù ÒÓ Ó Ø ÒØ K Ö ÙÐØ P k+1 = A(I KC) P k (I KC) T A T + Q AKRK T A T = L(K, P k ) º µ Ë ÒÒÓ ÐÐÓÖ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ Þ ÓÒ º ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ º½º ijÓÔ Ö ØÓÖ L(K,P) ÑÓÒÓØÓÒÓ Ö ÒØ º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÈÖ Ù Ñ ØÖ P 1 P 2 Ø Ð P 1 P 2 ÐÐÓÖ Ö ÙÐØ L(K,P 1 ) L(K,P 2 ) = A(I KC)(P 1 P 2 )(I KC) T A T 0 ÔÓ Ô Ö ÔÓØ P 1 P 2 0º ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ º¾º Ø Ð Ñ ØÖ K P Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ú Ð Ð Ù ÒØ Ù ¹ Ù Ð ÒÞ L(K,P) Φ(P) ÓÚ Ð³Ù Ù Ð ÒÞ Ú Ð ÓÐÓ Ô Ö K = K P = PC T (CPC T + R) 1 º ¹½
ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ë Ú Ö ÐÑ ÒØ Ô Ö Ó Ø ØÙÞ ÓÒ L(K,P) = Φ(P) + (K K P )(CPC T + R)(K K P ) T Ð ØØÓ Ð ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò ³ ÑÔÖ Ñ Ò ØÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ù Ð Ø º ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ º º Ø Ð Ñ ØÖ P 0 гÓÔ Ö ØÓÖ Φ(P) ÑÓÒÓØÓÒÓ Ö ÒØ º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÈÖ Ù Ñ ØÖ Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Ú P 1 P 2 Ø Ð P 1 P 2 Φ(P 1 ) = L(K P1,P 1 ) L(K P1,P 2 ) Φ(P 2 ) Ù Ù Ô Ö Ò ÙÞ ÓÒ Ð Ø º ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ º º Ë P 0 = P 0 = 0º ÐÐÓÖ Ð Ù ÓÒ P k } k 0 P k } k 0 ÓÒÓ ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ ÕÙ Ò ÑÑ ØØÓÒÓ Ð Ñ Ø º ÁÒÓÐØÖ P k P k, k 0 Kº ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÐÐ ÔÓØ Ö ÙÐØ P 1 = Φ(P 0 ) = Φ(0) = Q 0 = P 0 Ò Ó P k+1 = Φ(P k ) ÔÖÓ Ò Ó Ô Ö Ò ÙÞ ÓÒ ÐÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ø ÐгÓÔ Ö ØÓÖ Φ Ù Ù ØÓ P 0 P 1 P 2... P k. ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÑÓ ØÖ Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ô Ö Ð Ù ÓÒ P k } k 0 ÓÒ Ö ØÓ P 1 = L(K, P 0 ) = Q + AKRK T A T 0 = P 0. È Ö ÔÓØ P 0 P 0 Ô Ö Ù Ô Ö Ð ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ º¾ P 1 = Φ(P 0 ) L(K, P 0 ) = P 1. È Ö Ò ÙÞ ÓÒ Ù Ð Ø º ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ º º Ë Ð ÓÔÔ (A,C) Ö Ú Ð Ð ÐÐÓÖ Ð Ù ÓÒ P k } k 0 P k } k 0 ÓÒÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ð Ñ Ø Ø ÕÙ Ò ÑÑ ØØÓÒÓ Ð Ñ Ø Ò ØÓº ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÐÐ ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ º Ù Ø Ú Ö Ö ØÓÒÓ Ù Ñ ØÖ K M Ñ Ò ÓÒ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ø Ð P k M <, k 0. ÈÓÒ ÑÓ ÕÙ Ò A c := A(I KC) S k+1 := A c S k A T c Ñ ØÖ S k ÔÙÓ³ Ö Ö ØØÓ ÓÑ º Ê ÙÐØ Ó Ò Ð Ñ ÒØÓ l,m ÐÐ [S k ] lm = [(A c ) k S 0 (A T c ) k ] lm = i α lm i λ k i ¹¾
ÓÚ λ i ÓÒÓ Ð ÙØÓÚ ÐÓÖ ÑÓ µ A c ½ º Ë ÕÙ Ò P k = S k + k (A c ) h L(0)(A T c ) h h=1 Ó ³ Ó Ò Ð Ñ ÒØÓ ÐÐ Ñ ØÖ P k ³ Ð ÓÑÑ ÔÓÒ ÒÞ Ð Ù Ó ÒØ ÓÒÓ Ø ÑÓ ÐÐ Ñ ØÖ A c º Ò P k M Ø A c Ø Ð º È Ö Ð³ ÔÓØ Ö Ú Ð Ð Ø ØÓÒÓ Ò Ò Ø Ñ ØÖ K Ø Ð (A K C) Ø Ð º Ê Ø ÓÖ Ú Ö Ö ØÖ ÕÙ Ø Ñ ØÖ K Ò Ø ÙÒ Ø Ð Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ AK = K ÑÑ ØØ ÓÐÙÞ ÓÒ º Ë A ÒÚ ÖØ Ð Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø ÙÒ º Ë ÒÚ A ÒÓÒ ÒÚ ÖØ Ð Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ³ ÙÒ ÔÓ³ Ô Ù³ ÓÑÔÐ º ÁÒ ÔÖ Ø ³ ÔÓ Ð ÑÓ ØÖ Ö K ³ ÐØ Ò ÑÓ Ó Ø Ð ÒÓÒ ÔÓ Ø Ö ÑÓ ÒÙÐÐ λ i = 0 ÓÚÚ Ñ ÒØ ÓÒÓ Ø Ð ÐÐÓÖ AK = K ÓÐÙÞ ÓÒ º ÌÙØØ ÔÖ ÒØ Ö ÙÐØ Ø ÔÓ ÓÒÓ Ö Ö ÙÒØ Ò Ð Ù ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ º½º Ë Ð ÓÔÔ (A,Q 1/2 ) Ø Ð ÞÞ Ð ÐÐÓÖ Ø ÙÒ Ð Ñ ØÖ P > 0 Ø Ð P k P, P 0 0º Ë ÒÓÐØÖ Φ(P ) = P P k+1 = L(K, P k ) P ÓÒ K = P C T (CP C T + R) 1 º º¾ ËØ Ñ ØÓÖ ÓØØ ÑÓ ÓÒ Ô Ö Ø Ô ØØ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ó Ò Ù Ð Ñ ÙÖ ÚÓÒÓ Ö ØÖ Ñ ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ø Ñ ÓÑÙÒ Þ ÓÒ Ø Ð º Ø Ð ÔÖÓÔÓ ØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐÓ Ñ º º½ ÑÑ ØØ Ð Ö Ø ÓÑÙÒ Þ ÓÒ ÔÓ Ú Ö Ô Ö Ø Ô ØØ Ø º ÎÓ Ð ÑÓ ØÙ Ö ÓÑ ÑÓ ÒÓ Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÐØÖÓ Ã ÐÑ Ò Ò Ø Ð Ú Ò ÒÞ º ÈÓ ÑÓ Ò Þ ÐÑ ÒØ Ô Ò Ö Ù ÔÔÖÓ Ø ÓÒ ÐÐ Ô Ö Ø Ø ½º ÙØ Ð ÞÞ Ö Ð³ Ò ÓÖÑ Þ ÓÒ Ö ÚÙØ Ð Ô Ó ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ ÒÙÓÚ Ø Ñ yk Ð ØÓ ÖÖ Ú ØÓ y e k = yk 1 e ÐØÖ Ñ ÒØ ¾º Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ø Ñ ÔÖ ÒØ yk Ð ØÓ ÖÖ Ú ØÓ y e k = 0 ÐØÖ Ñ ÒØ ÓÚ ¼ ÒÓÒ Ò Ñ ÙÖ ÒÙÐÐ Ñ ÒÞ Ð ØÓº ½ Æ Ð Ó Ð ÙØÓÚ ÐÓÖ ÒÓÒ Ó ÖÓ ØÙØØ Ø ÒØ ÚÖ ÖÓ Ò ÑÓ Ð Ø ÔÓ kλ k i Ñ ÕÙ ØÓ ÒÓÒ Ö Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ðг Ò Ð Ù ¹
ÙÖ º½º Ë Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ñ ÓÒ ÐÐ Ñ ÙÖ ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ö Ø ÓÑÙÒ Þ ÓÒ º Ð Ñ Ø ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ð ÓÒ Ó ÔÔÖÓ Ó Ò ÕÙ ÒØÓ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ Ö ÓØØ ÑÓ ÕÙ Ò ÙÖ Ñ ÒØ ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÔÖ ÒØ º Ø Ð ÓÔÓ Ò ÑÓ ÙÒ ÒÙÓÚ Ú Ö Ð ÒÓØ µ γ k ÓÑ Ô Ö Ù Ö ÙÐØ γ k = 1 Ð ØÓ ÖÖ Ú ØÓ 0 ÐØÖ Ñ ÒØ y e k = γ k y k = γ k Cx k + γ k v k = C k x k + ṽ k ÓÚ C k = γ k C ṽ k = γ k v k N(0,γ k R)º ÁÐ ÒÙÓÚÓ ÔÖÓ Ó ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ò xk+1 = Ax k + w k y e k = C kx k + ṽ k ¹
Ð ÕÙ Ð Ð Ò Ö Ø ÑÔÓ Ú Ö ÒØ º Ä ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÐØÖÓ Ú ÒØ ÒÓ Ð Ù ÒØ ˆx k+1 k+1 := E[x k+1 yk+1,...,y e 0,γ e k+1,...,γ 0 ] = Aˆx k k + K k+1 (yk+1 e C k Aˆx k k ) = Aˆx k k + γ k+1 K k+1 (y k+1 CAˆx k k ) º µ P k+1 k = P k+1 = AP k A T + Q AP k C T k (C k P k C T k + γ k R) C k P k A T = AP k A T + Q γ k AP k C T (CP k C T + R) 1 CP k A T ÓÚ K k+1 = P k C T (CP k C T + R) 1 º Ä ÕÙ Þ ÓÒ ÓÒÓ Ø Ø ÓØØ ÒÙØ Ó Ø ØÙ Ò Ó Ð Ñ ØÖ C k = γ k C R k = γ k R Ö ÓÖ Ò Ó Ð Ô Ù Ó ÒÚ Ö ÙÒ Ñ ØÖ ÒÙÐÐ ³ Ð Ñ ØÖ ÒÙÐÐ º Ë ÒÓØ ÓÖ P k+1 = P k+1 (γ 0,...,γ k ) ÒÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ñ ÙÒ Úº º Ô Ò ÐÐ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ö Ð ÞÞ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ó γ k } ÕÙ Ò ÒÓÒ Ô Ò Ó Ô ÖÐ Ö ÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ó Ø ÒØ º Ë Ô Ö Ó ÒÓ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ù Ö Ð ÔÖ Ø Þ ÓÒ Ð Ø Ñ º ¹