Lez 17.dvi

Bản ghi

1 ÈË ÈÖÓ ØØ Þ ÓÒ Ø Ñ ÓÒØÖÓÐÐÓ Ó ÒØ ÄÙ Ë Ò ØÓ ËØ ÓÖ Ä Þ ÓÒ ½ Ù ÒÓ ½ ÁÁÁ ÌÖ Ñ ¾¼¼ ÒÖ Ó Ò ÒÙ Å ØØ ÖÙ ØØ ÖÐÓ Å ÓÒ ÒÖ Ó Å ÓÒ ÄÙ È ÖÓÐ Ò Å Ð Æ ØØÓ Ë ÔÖÓ Ù Ò ÐÐ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ð Ì ÓÖ Ñ ½ ½ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ò Ù µ Ø A > 0 ½ v > 0 Ø Ð Av = ρ(a)v ¾ λ λ(a) λ ρ(a) λ < ρ(a) ρ(a) ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ð Ö ½ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ð Þ ÓÒ ÓÒÓ ÒÓØ Ð Ù ÒØ ÖÑ Þ ÓÒ ½ A = max A ½ A 1 = ½ T max A ¾ lim k A k 1/k = ρ(a) A Ú Ð Ó Ô Ö ÕÙ Ð ÒÓÖÑ ØÓ A 0 ½ T A = ρ(a)1 T ρ(a) = A 1 A½ = ρ(a)1 ρ(a) = A ÔÖ 0 A B ρ(a) ρ(b) ØÓ A 0 Ú Ð ÓÒÓ min{a½} ρ(a) max{a½} min{½ T A} ρ(a) max{½ T A} ÓÚ ÒØÖ Ñ Ð ÔÖ Ñ Ù Ù Ð ÒÞ ÓÒÓ Ú Ö Ö ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ë A½ = δ 1 δ N ÓÒ δ i 0 Ò ÕÙ ÒØÓ A 0 ØÓ δ = min{δ i } Ú Ö ÒÓ Ù δ = 0 ÓÚÚ Ó Ò ÕÙ ÒØÓ ρ(a) > 0 δ > 0 Ó ØÖÙ ÐÐÓÖ Ð Ñ ØÖ δ/δ 1 0 D = 0 δ/δ N I ÓÑÔÓÖØ 0 AD A ρ(da) ρ(a) ½ ¹½

2 ÈË Ä Þ ÓÒ ½ Ù ÒÓ ½ ÁÁÁ ÌÖ Ñ ¾¼¼ DA½ = D δ 1 δ N = δ δ ÖÙØØ Ò Ó Ð³ ÖÑ Þ ÓÒ ÓØØ Ò ρ(da) = DA = max{ DA 1} = δ Ë Ô Ö ρ(da) ρ(a) δ ρ(a). Ì ÓÖ Ñ ½ ¾ Ë A > 0 ÐÐÓÖ Ø x > 0 Ø Ð Ax = ρ(a)x ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ρ(a) ÙØÓÚ ÐÓÖ A ÕÙ Ò Ø ÙÒ x Ø Ð Ô Ö Ù Ax = λx ÓÒ λ = ρ(a) Ë ÚÙÓÐ ÐÐÓÖ ÑÓ ØÖ Ö A x = λ x Ò ØØ ρ(a) x = λ x = λx = Ax A x = A x Ó Ò Ô Ö Ú Ð Ö Ð Ñ ÓÖ Þ ÓÒ ÓÒ ÙÒ³Ù Ù Ð ÒÞ Ó ÑÓ ØÖ Ö a ij x j = a ij x j. Ë Ò ÕÙ ØÓ ÔÖÓÔÓ ØÓ Y = A x ρ(a) x 0 Ë Ó ÖÚ ÕÙ ÒØÓ ÚÙÓÐ ÑÓ ØÖ Ö Ó Ò ÓÒ ÑÓ ØÖ Ö Ð ÒÙÐÐ Ø Ð Ú ØØÓÖ Y ÈÓ ØÓ z = A x > 0, Ó ØÖÙ ÙÒÕÙ Ð Ñ ØÖ Z = z z N ÓØØ Ò Ò Ó 0 Ay = AZ ρ(a)z Ë Ô Ö ÙÖ Ó Ó Y > 0 ÚÖ 0 Ay ρ(a)y 0seA(...) > 0 0 < AZ ρ(a)z ½ ¹¾

3 ÈË Ä Þ ÓÒ ½ Ù ÒÓ ½ ÁÁÁ ÌÖ Ñ ¾¼¼ 0 < Z 1 (AZ ρ(a)z) = Z 1 AZ½ ρ(a)½ Ñ ρ(a)½ < Z 1 AZ½ ÕÙ Ò min Z 1 AZ½ ρ(z 1 AZ) = ρ(a) ÓÒ ρ(a) < min{z 1 AZ½} ÕÙ ØÓ ÔÓÖØ ÙÒ ÙÖ Ó ÕÙ Ò x > 0 ÙØÓÚ ÐÓÖ Ó Ò ÓÖ ÑÓ ØÖ Ö Ð Ô Ô ØØÖ Ð Ó Ð ÙØÓÚ ÐÓÖ ÓÒÓ ØÖ ØØ Ñ ÒØ Ñ ÒÓÖ ρ(a) Ì ÓÖ Ñ ½ ρ(a) гÙÒ Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ ÓÒ = ρ(a) ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ËÙÔÔÓÒ Ò Ó Ô Ö ÙÖ Ó Ð ÔÙÒØÓ ÒÓÒ ÙÒ Ó λ Ø Ð Ax = λx ÓÒ λ = ρ(a) Ð Ø ÓÖ Ñ ½ ¾ A x = ρ(a) x Ó Ö ÙÐØ ÙÒ ÐØÖÓ ÙØÓÚ ÐÓÖ Ô Ö ÐÓ Ø Ó ÙØÓÚ ØØÓÖ ÓÒ x > 0 Î ÐÙØ Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ô Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓØØ Ò ρ(a) x i = a ij x j, ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó ÔÖ ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ö Ú Ax A x = ρ(a) x ÓÒ Ax = a ij x j Ô Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ¹ Ñ Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ù Ð A x i Ñ Ò Ó Ö ÙÑ Ò Ó a ij x j = λx i = ρ(a) x i, ρ(a) x i = λx i = a ij x j = ρ(a) x i ½ ½µ = a ij x j. ij٠٠РÒÞ ½ ½ Ú Ö Ø Ò ÕÙ ÒØÓ c i c i ÑÔÖ Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒÓ ÐÐ Ò Ø c i = c i e jϑ ÓÒ Ð Ñ Ñ ÐÐÓÖ ÐÐ Ò ÒÓ ÔÔÐ Ò Ó Ð ÒÓ ØÖÓ Ó a ij x j = a ij x j ÕÙ Ò ÕÙ ØÓ ÑÔÐ a ij x j = a ij x j e jϑ = a ij x j e jϑ x j = x j e jϑ, ½ ¹

4 ÈË Ä Þ ÓÒ ½ Ù ÒÓ ½ ÁÁÁ ÌÖ Ñ ¾¼¼ Ó Ð x ij ÓÒÓ ÐÐ Ò Ø Ê ÙÐØ ÐÐÓÖ x = x 1 x N = x 1 x N e jϑ = x e jϑ ÓÒ ÙØÓÚ ÐÓÖ ÒÒÓ ÐÓ Ø Ó ÑÓ ÙÐÓ Ð Ö Ó Ô ØØÖ Ð ËÓ Ø ØÙ Ò Ó Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÓØØ ÒÙØÓ x = x e jϑ Ò Ax = λx ÚÖ A x }{{} e jϑ = λ x e jϑ λ x e jϑ = ρ(a) x e jϑ = ρ(a) x e jϑ = ρ(a)x }{{} λ x =ρ(a) x x Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ax = ρ(a)x Ó λ = ρ(a) ÁÒ Ò Ð³ÙÐØ ÑÓ Ö ÙÐØ ØÓ Ö Ù Ö Ð ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô ØØÖ Ð ρ(a) ÓÑ Ö ØØÓ Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ρ(a) ÑÓÐØ ÔÐ Ø ÓÑ ØÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÙÒ ÙÒ Ó Ñ Ò ÐÓÓ ÂÓÖ Ò Ö Ð Ø ÚÓ Ðг ÙØÓÚ ÐÓÖ µ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÓÒ Ö ÒÓ x y ÙØÓÚ ÐÓÖ Ó Ax = ρ(a)x Ay = ρ(a)y ÓÑ ¹ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ù ÙØÓÚ ÐÓÖ αx + βy α,β R Ö ÙÐØ ÒÓ Ö ÐÓÖÓ ÚÓÐØ ÙØÓÚ Ð¹ ÓÖ ÓÒ Ö Ò Ó ÓÐÓ {α,β αx + βy 0} ÔÓÒ ÓÒÓ ÓÒ Þ ÓÒ Ù Ò ÓÐ Ú ÐÓÖ Ó αx i + βy i 0 ÓØØ Ò Ò Ó ÙÒ³ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ñ Ô Ò ÓÑ Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ Ò ÙÖ ½ ½ ÙÖ ½ ½ ËÙÐ ÓÖ Ó ÙÒ ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù Ù Ð Þ ÖÓ α,β αx + βy = 0 ÖÖ Ú ÙÒ ÙÖ Ó Ò ØØ Ò ÕÙ ØÓ Ó ÒÓÒ Ó Ô ÙØÓÚ ØØÓÖ ÕÙ ØÓ Ù Ú Ö ρ(a) ÙÒ Ó ÉÙ ÐÐ Ö Ù Ö Ó Ð ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ð Ö Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ô ÒØ Ö Ô Ö Ô Ö Ð Ò Ñ A k ÖÚ Ö ÔÓ Ô Ö Ð Ò Ñ Ú ÓÐ Z(t) = P t Z(0) ½ ¹

5 ÈË Ä Þ ÓÒ ½ Ù ÒÓ ½ ÁÁÁ ÌÖ Ñ ¾¼¼ Ì ÓÖ Ñ ½ ÈÖ A > 0 ÓÒ Ö ÙÒ ÙØÓÚ ØØÓÖ Ö Ð Ø ÚÓ Ðг ÙØÓÚ ÐÓÖ ρ(a) Ø Ð Ax = ρ(a)x ÐÓÐ y T A = ρ(a)y T ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Ò Ó ÔÓ Ð ØÖÓÚ Ö y T x = 1 ÓÒ ÕÙ Ø ÙØÓÚ ÐÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Ø ÓØØ Ò Ö ( lim ρ(a) 1 A ) k = xy T = L k ÓÒ L Ö Ò Ó ½ ÁÐ ÑÓØÓ Ú ÓÐ ØÓ ÐÐÓÖ P t Z(0) xy T Z(0) P ½ = ½. ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Î ÐÙØ ÑÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø L L k = x 1 y T x 1 y T x A k L = A k 1 AL = A k 1 1 y T x y T = xy T = L Ñ ØÖ ÑÔÓØ ÒØ ρ(a)x Ax y T = A k 1 ρ(a)xy T = ρ(a) k L (A ρ(a)l) k = A k ρ(a) k L ÑÓ ØÖ Ð Ô Ö Ò ÙÞ ÓÒ Ë [ ρ(a) 1 (A ρ(a)l) ] k = ρ(a) k ( A k ρ(a) k L ) = ( ρ(a) 1 A ) k L ÑÓ ØÖ Ò Ó [ρ(a) 1 (A ρ(a)l)] k 0 ÐÐÓÖ Ú Ö (ρ(a) 1 A) k L Ó Ò Ó ÑÓ ØÖ Ö Ð³ ÙØÓÚ ÐÓÖ Ñ ÑÓ ρ (A ρ(a)l) < ρ(a) Ë λ ÙØÓÚ ÐÓÖ A ρ(a)l Ó (A ρ(a)l)v = λlv ÒÓØÓ LA = ρ(a)l ÓØØ Ò ρ(a)lv ρ(a)lv = 0 ÕÙ Ò Lv = 0 ÑÔÐ Av = λv Ç Ò ÙØÓÚ ÐÓÖ ÐÐ ÒÙÓÚ Ñ ØÖ A ρ(a)l ÙØÓÚ ÐÓÖ A Ô Ö λ (A ρ(a)l) λ(a) Ð Ñ ÑÓ Ð Ö Ó Ô ØØÖ Ð Ó ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ú Ð Ð³Ù Ù Ð ÒÞ ËÙÔÔÓÒ Ò Ó Ô Ö ÙÖ Ó ρ (A ρ(a)l) ρ(a). ρ (A ρ(a)l) = ρ(a) Ó ρ(a) λ (A ρ(a)l), ½ ¹

6 ÈË Ä Þ ÓÒ ½ Ù ÒÓ ½ ÁÁÁ ÌÖ Ñ ¾¼¼ ÕÙ Ò Ö ÙÐØ x ÙØÓÚ ØØÓÖ Ö Ð Ø ÚÓ Ô Ö Ù Ù Ò Ò Ó (A ρ(a)l)x = ρ(a)x Ax ρ(a) xy }{{} T x = ρ(a)x L Ax ρ(a)x = ρ(a)x, Ax = 2ρ(A)x. Å Ò Ó Ax = ρ(a)x ÖÖ Ú ÙÒ ÙÖ Ó Ò ØØ x ÒÓÒ ÔÙ Ö ÒÙÐÐÓ ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ ( k A Ò Ð ρ(a)) xy T Ò Þ ÓÒ ½ ½ Å ØÖ ÓÔÔ Ñ ÒØ ØÓ Ø µ Ë ÙÒ Ñ ØÖ P ÓÔÔ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ú Ò ÓÒÓ Ú Ö Ø Ð Ù ÒØ ÓÒ Þ ÓÒ P ½ = ½ ½ T P = ½ T. ½ ¹