Phân tích các bài toán giải tích trong kì thi Olympic toán sinh viên TS. Lê Phương Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh Ngày 25 tháng 12 năm 2016

Phân tích các bài toán giải tích trong kì thi Olympic toán sinh viên TS. Lê Phương Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh Ngày 5 tháng năm 6

Mục lục Kiến thức cơ sở 4. Giải bài toán Olympic như thế nào.................... 4.. Phân tích bài toán......................... 4.. Trình bày bài giải.......................... 5..3 Cách đọc sách............................ 5. Hằng đẳng thức............................... 5.3 Bất đẳng thức................................ 6 Hàm số. Định lí giá trị trung gin........................... Phương trình hàm............................. 5.. Thử giá trị và đổi biến....................... 5.. Phương trình hàm hồi qui tuyến tính............... 8..3 Phương trình hàm Cuchy.......................4 Phương trình với nhiều ẩn hàm.................. 3 3 Phép tính vi phân 5 3. Tính đơn điệu, cực trị và bất đẳng thức.................. 6 3. Định lí giá trị trung bình.......................... 7 3.3 Tính giới hạn bằng qui tắc L Hôpitl................... 3 3.4 Phương trình vi phân và bất đẳng thức vi phân............. 34 4 Phép tính tích phân 38 4. Tính tích phân xác định.......................... 38 4. Tính chất củ tích phân.......................... 4 4.3 Bất đẳng thức tích phân.......................... 4 4.3. Các bất đẳng thức thông dụng................... 43 4.3. Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần.......... 48 4.3.3 Đư về bất đẳng thức vi phân................... 54 5 Dãy số 57 5. Tóm tắt lí thuyết.............................. 57 5. Số hạng tổng quát củ dãy số....................... 6 5.3 Giới hạn củ dãy số............................. 63 5.3. Ánh xạ co.............................. 63 5.3. Dãy đơn điệu bị chặn........................ 65 5.3.3 Định lí Cesàro-Stolz........................ 69

MỤC LỤC MỤC LỤC 5.3.4 Thu gọn tổng bằng si phân.................... 7 5.3.5 Nguyên lí kẹp............................ 73 5.3.6 Tổng tích phân........................... 75 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 3

Chương Kiến thức cơ sở. Giải bài toán Olympic như thế nào.. Phân tích bài toán Giải một bài toán là thông qu các suy luận logic, t biến đổi các giả thiết bn đầu thành kết luận củ bài toán. Do đó, định hướng chính khi giải toán là biến đổi bài toán P bn đầu lần lượt thành các bài toán đơn giản hơn P, P,..., P n. Bài toán P Bài toán P Bài toán P n Kết luận Bài toán đơn giản hơn (P ) có trong dạng:. Tương đương với bài toán P bn đầu (P P ): khi đó bài toán P chỉ giải được khi và chỉ khi bài toán P giải được. T có thể tự tin tập trung vào việc giải bài toán P đơn giản hơn bài toán bn đầu.. Bài toán bn đầu là hệ quả củ bài toán P (P P ): trong trường hợp này t cần dự phòng tình huống bài toán P này là si (không thể giải được), khi đó t phải đi tìm một cách tiếp cận khác. Trong quá trình đi tìm lời giải bài toán, t có thể vận dụng linh hoạt 3 phương pháp suy luận cơ bản su:. Phương pháp phản chứng: Để chứng minh mệnh đề P đúng, t hãy giả sử rằng P si và từ đó suy r một điều vô lí.. Phương pháp qui nạp: Để chứng minh mệnh đề P (n) đúng với mọi số tự nhiên n, t có thể chứng minh rằng: P () đúng và nếu P (n) đúng thì P (n + ) đúng. 3. Phương pháp chi trường hợp: Để chứng minh mệnh đề P đúng, t có thể viết mệnh đề P thành tích củ các mệnh đề đơn giản hơn: P = P P P n rồi chứng minh tất cả các mệnh đề P, P,..., P n đều đúng. Mục tiêu chính củ tài liệu nhỏ này là hướng dẫn bạn đọc cách suy luận trong việc tìm lời giải một bài toán giải tích. 4

CHƯƠNG. KIẾN THỨC CƠ SỞ.. HẰNG ĐẲNG THỨC.. Trình bày bài giải Quá trình phân tích bài toán để tìm lời giải không đơn thuần là một quá trình suy luận logic chặt chẽ, mà dự nhiều trên kinh nghiệm và trực giác. Do đó t sẽ không ghi những gì t suy nghĩ vào trong lời giải mà t chỉ ghi những suy luận chặt chẽ về logic mà thôi.. T viết r một lời giải đúng chứ t không viết r lí do tại so t lại tìm được lời giải như vậy. Ví dụ: để giải bài toán tìm công thức tổng quát củ một dãy số truy hồi, t có thể tính toán thử một số phần tử đầu tiên củ dãy để dự đoán công thức tổng quát, su đó sẽ cố gắng chứng minh dự đoán đó bằng qui nạp toán học. Bước tính toán thực nghiệm để dự đoán công thức tổng quát là bước phân tích được tiến hành ngoài nháp, không đư vào bài giải. Trong bài giải t chỉ cần ghi Bằng phương pháp qui nạp t sẽ chứng minh công thức... và su đó ghi r phần chứng minh mà không cần lí giải bằng cách nào t tìm được công thức đó.. Một lời giải tốt cần cô đọng, súc tích nhưng đầy đủ các bước suy luận. Để lời giải đỡ nặng nề và dễ đọc, t không nên quá lạm dụng các kí hiệu,, mà nên sử dụng các mệnh đề logic thy thế như T có..., do đó..., Vì... nên...,.....3 Cách đọc sách Làm quen với nhiều dạng toán khác nhu là phương pháp hữu hiệu nhất để nâng co khả năng suy luận và trực giác trong giải toán. Bạn có thể xem các bài toán có sẵn lời giải ở trong các sách, giáo trình hoặc các chuyên đề tìm thấy trên Internet. Tuy nhiên để đọc sách hiệu quả và tiết kiệm thời gin t cần lưu ý một số điểm su:. Tìm ý toán chính: Phải nắm được ý toán chính củ lời giải và tự phân loại xem bài toán đó thuộc nhóm nào trong các dạng bài và phương pháp đã học. Nhiều khi lời giải dài nhiều trng nhưng ý tưởng chính chỉ cô đọng ở, dòng (nên gạch dưới hoặc đánh dấu những dòng này).. Phân tích lời giải: Khi gặp các lời giải (có vẻ) không tự nhiên nên tự đặt và trả lời câu hỏi: tại so họ lại tìm được lời giải như vậy. Nếu không trả lời được, bạn có thể thảo luận với giảng viên hoặc các sinh viên khác về lời giải củ bài toán đó. 3. Xem lướt những phần phụ: Khi đọc bài giải trong sách chỉ nên xem lướt (không nên đọc) những chứng minh thuần túy tính toán dài dòng không qun trọng... (ví dụ như chứng minh một công thức bằng qui nạp hy các tính toán kĩ thuật chi tiết cồng kềnh) vì đọc những dòng ấy không giúp t nâng co được năng lực về tư duy.. Hằng đẳng thức. Khi triển nhị thức Newton: ( + b) n = Cn k k b n k. TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 5

.3. BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG. KIẾN THỨC CƠ SỞ. Hiệu củ lũy thừ cùng bậc: n n b n = ( b) k b n k. k= 3. Tổng các lũy thừ cùng bậc củ n số tự nhiên đầu tiên: () (b) (c) k = n(n + ). k n(n + )(n + ) =. 6 ( ) n(n + ) k 3 =..3 Bất đẳng thức Định nghĩ.. Hàm số f : D R được gọi là lồi trên D nếu với mọi x, y D và với mọi α (, ) t có f(αx + ( α)y) αf(x) + ( α)f(y). Nếu dấu bằng chỉ xảy r khi x = y thì f được gọi là lồi chặt trên (, b). Hàm số f được gọi là lõm (chặt) trên D nếu f là lồi (chặt) trên khoảng đó. Định lí.. Cho f là một hàm số khả vi hi lần trên (, b) thì f lồi (chặt) trên (, b) khi và chỉ khi f (x) (tương ứng f (x) > ) với mọi x (, b). Định lí.. Nếu f : [, b] R là một hàm lồi thì nó liên tục trên (, b). Định lí.3 (Bất đẳng thức Jensen). Cho hàm số lồi f, các số thực,,..., n và các số thực dương λ, λ,..., λ n thỏ mãn n ( ) f λ k k λ k =. T có bất đẳng thức λ k f( k ). Nếu f là lồi chặt thì dấu bằng xảy r khi và chỉ khi = = = n. Áp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lồi f(x) = ln x, t có: Định lí.4 (Bất đẳng thức trung bình tổng quát). Cho các số thực dương,,..., n và các số thực dương λ, λ,..., λ n thỏ mãn λ k k n n Dấu bằng xảy r khi và chỉ khi = = = n. λ k =. T có bất đẳng thức 6 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh λ k k.

CHƯƠNG. KIẾN THỨC CƠ SỞ.3. BẤT ĐẲNG THỨC Đặt biệt khi λ = λ = = λ n = n hoặc n = t có các bất đẳng thức quen thuộc: Định lí.5 (Bất đẳng thức AM GM (bất đẳng thức Cuchy)). Trung bình cộng củ các số thực không âm,, n không bé hơn trung bình nhân củ các số đó, nghĩ là n ( n k Dấu bằng xảy r khi và chỉ khi = = = n. k ) n. Bất đẳng thức AM GM còn được gọi là bất đẳng thức Cuchy. Định lí.6 (Bất đẳng thức Young). Cho các số thực dương, b, p và q thỏ mãn p + =. T có q p p + bq q b. Dấu bằng xảy r khi và chỉ khi p = b q. Định lí.7 (Bất đẳng thức Hölder). Cho các số thực không âm,,..., n, b, b,..., b n, và các số thực dương p và q thỏ p + q ( k b k =, t có p k ) /p ( /q bk) q. Dấu bằng xảy r khi và chỉ khi các bộ số k và b k tỉ lệ với nhu. Chứng minh. Nếu vế phải củ bất đẳng thức bằng không thì k = b k = với mọi k =,..., n và bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Do đó t chỉ cần xét trường hợp vế phải củ bất đẳng thức khác không. Đặt c k = ( n k p k ) /p, d k = ( n b k b q k ) /q. Áp dụng bất đẳng thức Young t có c k d k ( c p ) k p + dq k = q p c p k + q d q k = p + q =. Từ đó suy r điều phải chứng minh. Đặc biệt khi p = q = t có bất đẳng thức quen thuộc TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 7

.3. BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG. KIẾN THỨC CƠ SỞ Định lí.8 (Bất đẳng thức Cuchy Schwrz). Cho các số thực,,..., n, b, b,..., b n, t có ( ) k b k b k. k Dấu bằng xảy r khi và chỉ khi các bộ số k và b k tỉ lệ với nhu. Ngoài cách chứng minh tổng quát như trên, t có thể chứng minh bất đẳng thức Cuchy Schwrz một cách đơn giản bằng cách sử dụng đồng nhất thức Lgrnge: ( ) b k k b k = ( i j j i ). k i<j n Định lí.9 (Bất đẳng thức Minkovski). Cho p và các số thực không âm,,..., n, b, b,..., b n, t có ( ) ( p ( k + b k ) p p k ) ( p + Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Hölder với chú ý q = ( k + b k ) p = k ( k + b k ) p + ( p k b k ( k + b k ) p ) /p ( ) /q ( ( k + b k ) q(p ) + ( /p ( = k) p + b p k b p k ) p. p p b p k t có: ) /p ( ) /q ( k + b k ) q(p ) ) /p ( ) (p )/p ( k + b k ) p. Suy r ( ) p ( k + b k ) p ( p k ) ( p + b p k ) p. Định lí. (Bất đẳng thức tổng Chebyshev). Cho các số thực k và b k thỏ mãn n và b b b n. T có ( ) ( ) k b n+ k k b k k b k. n n n n Chứng minh. T có ( i k )(b i b k ) = n k b k i= k b k. 8 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG. KIẾN THỨC CƠ SỞ.3. BẤT ĐẲNG THỨC Do đó ( n k ) ( n ) b k n k b k. Vế còn lại chứng minh tương tự bằng cách xét khi triển củ ( i k )(b n+ i b n+ k ). i= TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 9

Chương Hàm số Bạn đọc cần nắm vững định nghĩ hàm số, giới hạn và tính liên tục củ hàm số, vô cùng bé, vô cùng lớn, hiểu rõ tính chất củ hàm số liên tục, hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn (cộng tính, nhân tính) và các hàm số sơ cấp cơ bản. Một trong những tính chất qun trọng nhất củ hàm số liên tục được phát biểu trong định lí giá trị trung gin (còn gọi là định lí Bolzno Cuchy): Định lí. (Định lí giá trị trung gin). Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [, b] thì nó có thể nhận mọi giá trị trung gin giữ f() và f(b). Một hàm số liên tục trên một đoạn thì luôn có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó. Từ định lí trên t suy r nếu f liên tục trên đoạn [, b] và nếu m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất củ f trên đoạn [, b] thì với mọi c [m, M]. Phương trình f(x) = c luôn có nghiệm trong [, b]. Từ định lí giá trị trung gin t suy r Định lí.. Cho f là hàm số liên tục trên [, b].. Nếu phương trình f(x) = vô nghiệm trên [, b] thì f(x) >, x [, b] hoặc f(x) <, x [, b].. Nếu f là đơn ánh thì f là hàm số đơn điệu (tăng chặt hoặc giảm chặt).. Định lí giá trị trung gin Dạng toán: Chứng minh tồn tại số thực x thỏ mãn một đẳng thức nào đó liên qun đến các hàm số liên tục. Phương pháp giải:. Biến đổi đẳng thức về dạng g(x) = c với g là một hàm số liên tục.. Chứng minh min g(x) c mx g(x). x [,b] x [,b] 3. Khi đó sự tồn tại củ x [, b] thỏ g(x) = c được đảm bảo bởi định lí giá trị trung gin.

CHƯƠNG. HÀM SỐ.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Bài.. Cho hàm số liên tục f : [, b] [, b]. Chứng minh rằng f có điểm bất động. (T định nghĩ điểm bất động củ hàm số f là nghiệm củ phương trình f(x) = x). Giải. Đặt g(x) = f(x) x. T có g() = f() và g(b) = f(b) b nên tồn tại c [, b] thỏ mãn g(c) =. Đó chính là điểm bất động củ f. Bài.. Cho f : [, b] (, b) là hàm số liên tục. Chứng minh rằng tồn tại α > và c (, b) so cho f(c) + f(c + α) + f(c + α) = 3(c + α). Phân tích. Nhận xét là (c)+(c+α)+(c+α) = 3(c+α). Do đó nếu đặt g(x) = f(x) x thì phương trình đã cho được đư về dạng g(c) + g(c + α) + g(c + α) =. Nhận thấy g() > và g(b) < nên t chỉ cần xê dịch c và α một chút từ đầu mút là đẳng thức g(c) + g(c + α) + g(c + α) = sẽ được thỏ mãn. Giải. Đặt g(x) = f(x) x thì g liên tục trên [, b]. T có g() = f() > và g(b) = f(b) b < nên từ tính liên tục củ g suy r tồn tại ε > so cho g(x) > với mọi x [, + ε] và g(x) < với mọi x [b ε, b]. Chọn α = ε và đặt h(x) = g(x) + g(x + α) + g(x + α) t có h() > > h(b α) và h liên tục trên [, b] nên tồn tại c (, b α) so cho h(c) =, nghĩ là g(c) + g(c + α) + g(c + α) =, hy nói cách khác f(c) + f(c + α) + f(c + α) = 3(c + α). Bài.3. (VN7) Chứng minh rằng nếu tm thức bậc hi f(x) = x + bx + c với, b, c R và có hi nghiệm thực phân biệt thì có ít nhất một nguyên hàm củ nó là đ thức bậc b có các nghiệm đều là số thực. Giải. Xét hàm số F (x) = x3 3 + bx + cx thì F (x) = f(x). Theo đề bài f(x) có hi nghiệm thực x < x nên đó cũng là điểm cực trị củ F (x) ( cực đại và cực tiểu). Do đó với các giá trị m nằm giữ F (x ) và F (x ) thì đường thẳng y = m sẽ cắt đường cong y = F (x) tại 3 điểm và phương trình F (x) = m có đúng 3 nghiệm. Vậy F (x) m là nguyên hàm củ f(x) cần tìm. Bài.4. (VN8) Cho hàm số g(x) có g (x) với mọi x R. Giả sử hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thỏ mãn các điều kiện f() > g() và π f(x) dx < o g()π + g () π. Chứng minh rằng tồn tại c [, π] so cho f(c) = g(c). Phân tích. Do f() > g() nên t chỉ cần tìm [, π] so cho f() g() rồi vận dụng định lí giá trị trung gin cho hàm số f g. Vì đã có π f(x) dx < g()π + g () o π nên nếu t chứng minh được g()π + g () π π g(x) dx o TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN CHƯƠNG. HÀM SỐ thì π f(x) dx < π g(x) dx và t sẽ tìm được. Vế trái gợi ý t sử dụng khi triển o o Tylor đến cấp củ g tại x = : g(x) = g() + g ()x + g (b) x g() + g ()x ở đây t b [, π] và t đã sử dụng giả thiết g (x) với mọi x R. Lấy tích phân từ đến π thì bất đẳng thức trên được chứng minh. Giải. Xét hàm số h(x) = g(x) f(x) thì h liên tục và h() <. Khi triển Tylor Tylor đến cấp củ g tại x = t được h(x) = g() + g ()x + g (b) x f(x) g() + g ()x f(x) ở đây t b [, π] và t đã sử dụng giả thiết g (x) với mọi x R. Lấy tích phân từ đến π t có π π h(x) dx (g() + g ()x f(x)) dx = g()π + g () π π f(x) dx >. o o o Suy r tồn tại [, π] so cho h() >. Do tính liên tục củ hàm số h(x) trên đoạn [, ] thì tồn tại c [, ] [, π] so cho h(c) =. Từ đó suy r f(c) = g(c). Bài.5. (VN9) Giả sử f và g là các hàm số liên tục trên R thỏ mãn f(g(x)) = g(f(x)) với mọi x R. Chứng minh rằng nếu phương trình f(x) = g(x) không có nghiệm thực thì phương trình f(f(x)) = g(g(x)) cũng không có nghiệm thực. Giải. Đặt h(x) = f(x) g(x). Theo đề bài phương trình h(x) = không có nghiệm thực nên h(x) >, x R hoặc h(x) <, x R. Không mất tính tổng quát, t có thể giả sử h(x) >, x R hy f(x) > g(x), x R. Thy x bởi f(x), t có f(f(x)) > g(f(x)) = f(g(x)) > g(g(x)) với mọi x. Từ đó suy r phương trình f(f(x)) = g(g(x)) không có nghiệm thực. Bài.6. Giả sử f, g : [, ] [, ] là các hàm số liên tục trên thỏ mãn f(g(x)) = g(f(x)) với mọi x R. ) Chứng minh rằng tồn tại x so cho f(x ) = g(x ). b) Giả sử rằng f đơn điệu, chứng minh tồn tại x [, ] so cho f(x ) = g(x ) = x. c) Hãy cho phản ví dụ trong trường hợp thy miền [, ] bởi R. Bài.7. (VN) T gọi đoạn thẳng [α, β] là đoạn thẳng tốt nếu với mọi bộ số, b, c thỏ mãn điều kiện + 3b + 6c = thì phương trình x + bx + c = có nghiệm thực thuộc đoạn [α, β]. Trong tất cả các đoạn thẳng tốt, tìm đoạn có độ dài nhỏ nhất. Bài.8. (VN3) Cho hàm số f(x) liên tục trên [, ]. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm g(x) đơn điệu thực sự và liên tục trên [, ] so cho f(x)gk (x)dx = với mọi k =,,,..., 3 thì phương trình f(x) = có ít nhất 4 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (, ). Hãy chỉ r ví dụ nếu bỏ tính đơn điệu củ hàm số g(x) thì định lí có thể không đúng. TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG. HÀM SỐ.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Bài.9. (VN5A) Cho f : [, ] R là một hàm liên tục. Chứng minh rằng tồn tại các số x, x, x 3 (, ) so cho f(x ) 4x + f(x ) 6x = f(x 3 ). Phân tích. Chỉ cần chọn x và x thỏ 4x = 6x = thì vế trái là trung bình cộng củ f(x ) và f(x ) nên theo định lí giá trị trung gin, tồn tại x 3 thỏ bài toán. Bài.. (VN5) Cho số dương và hàm số f có đạo hàm liên tục trên R so cho f (x) với mọi x R. Biết rằng < Chứng minh rằng khi đó trên đoạn π/ f(x) sin x dx <. [, π ], phương trình f(x) = có duy nhất nghiệm. Phân tích. Do( giả thiết f (x) > nên f đồng biến. Do đó chỉ cần chứng minh π ) f() và f là xong. Tích phân từng phần để làm cho f xuất hiện dưới dấu tích phân > π/ f(x) sin x dx = f(x) cos x f() + π/ π/ + π/ cos x dx f (x) cos x dx = f() +. ( π ) ( π ) Vậy f() <. Chỉ còn phải chứng minh f. Thật vậy, nếu f < thì t có [ f(x) < với mọi x, π ], dẫn đến π/ f(x) sin x dx <, mâu thuẫn với giả thiết đã cho. Bài.. Cho f : [, ] R là hàm số liên tục thỏ mãn f(x) dx = 4. Chứng minh 9 rằng tồn tại x (, ) thỏ mãn x < f(x ) < x. Phân tích. T chỉ cần tìm được hàm mẫu f thỏ đề bài với mọi x rồi so sánh hàm f tổng quát với f để đi đến kết luận. Do đó t tìm f thỏ f (x) dx = 4 9 () và x < f (x) < x. () TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 3

.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN CHƯƠNG. HÀM SỐ với mọi x (, ). Nếu tìm được f như vậy thì bài toán sẽ được giải. Thật vậy, giả sử đã tìm được hàm số f như vậy thì t có f(x) f (x) dx =. Do đó hàm số liên tục f(x) f (x) nhận giá trị không âm và giá trị không dương nên phương trình f(x) f (x) = có nghiệm x (, ). Theo cách xác định f, nghiệm đó hiển nhiên thỏ mãn x < f(x ) < x. T cần chỉ r cách chọn f thỏ () và (). Để thỏ () cách đơn giản nhất là chọn f là trung bình gi quyền củ đầu mút f (x) = αx + ( α)x với α (, ). Để thỏ () t cần có αx + ( α)x dx = 4 9, nghĩ là α =. T có thể trình bày bài giải 3 như su Giải. Đặt g(x) = f(x) 3 x x t có 3 g(x) dx = f(x) dx ( 3 x + ) 3 x dx = 4 9 4 9 =. Do đó hàm số liên tục g nhận cả giá trị không âm và không dương trên (, ) nên tồn tại x (, ) thỏ mãn g(x ) =, nghĩ là f(x ) = 3 x + 3 x. Hiển nhiên x < f(x ) < x. Bài.. Cho f : [, ] R là hàm số liên tục thỏ mãn f(x) dx = π. Chứng minh 4 rằng tồn tại x (, ) thỏ mãn < f(x ) <. + x x Phân tích. Tương tự bài trên t chỉ cần tìm được hàm số f thỏ f (x) dx = π 4 và + x < f (x) < x với mọi x (, ) thì bài toán sẽ được giải. Trong bài toán này do và dx dx = ln + x dx x dx = + nên không thể chọn ngy f là bình quân gi quyền củ đầu mút f (x) = α + x + α x (vì lúc này f (x) dx = + ) mà cần khéo léo cắt xén bớt thành phần α x củ f ở gần để làm cho f (x) < +, chẳng hạn tìm f ở dạng α f (x) = + x + α, x (ε, ] x β, x (, ε) + x 4 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG. HÀM SỐ.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM ( α)( + ε) Trước hết xác định β để f liên tục: β = α +. Su đó cố định α = ε. Vậy ( + x) +, x (ε, ] 4x f (x) = ( + + ε ), x (, ε) 4ε + x Cuối cùng xác định ε để f (x) dx = π. Tính toán cụ thể dành cho bạn đọc. 4 Ngoài r bài này còn nhiều cách chọn khác, ví dụ có thể chọn f (x) =. Với cách + x chọn này thì lời giải sẽ gọn nhẹ hơn nhưng thiếu tự nhiên hơn. Bài.3. Cho f : R R là hàm số đơn điệu giảm và liên tục. Chứng minh rằng hệ phương trình x = f(y) có nghiệm duy nhất. y = f(z) z = f(x) Bài.4. Cho đ thức P (x) = k x k, Q(x) = k k xk. Chứng minh rằng nếu Q() = Q( n+ ) thì đ thức P (x) có nghiệm trong (, n ). Bài.5. Cho các hàm số liên tục f, g : [, ] [, + ) thỏ mãn sup f(x) = sup g(x). x x Chứng minh rằng tồn tại t [, ] so cho f (t) + 3f(t) = g (t) + 3g(t).. Phương trình hàm.. Thử giá trị và đổi biến Ý tưởng chung trong việc giải một phương trình và bất phương trình hàm. Thử cho các biến nhận các giá trị đặc biệt (,, giá trị đối, giá trị nguyên, giá trị biên, đảo biến, lặp biến... ) để rút dần r các tính chất củ hàm số cần tìm,. Dùng các phép đổi biến để đư phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn, 3. Nếu dự đoán phương trình đã cho chỉ có nghiệm duy nhất f (x) thì thử đặt g(x) = f(x) f (x) (hoặc g(x) = f(x)/f (x)) để được phương trình hàm đơn giản hơn theo g rồi cố gắng chứng minh g(x) (tương ứng g(x) ). TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 5

.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHƯƠNG. HÀM SỐ Bài.6. (VN6) Tồn tại hy không hàm số f : [, b] [, b] với < b và thỏ mãn bất đẳng thức f(x) f(y) > x y, x, y [, b] và x y. Phân tích. Số gi củ hàm số lớn hơn số gi củ biến số trong khi giá trị củ hàm số lại "bị nhốt" trong tập xác định [, b] nên t nghĩ tới việc thy x và y bởi đầu mút củ tập xác định để có mâu thuẫn. Giải. Giả sử tồn tại hàm số f thỏ mãn bài toán. Chọn x =, y = b t có f() f(b) > b. Mặt khác do f(), f(b) [, b] nên f() f(b) b. T có mâu thuẫn. Bài.7. Tìm tất cả các hàm số f : [, b] [, b] với < b và thỏ mãn bất đẳng thức f(x) f(y) x y, x, y [, b]. Bài.8. (VN9) Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn điều kiện f(x) 4 + 9x, x R f(x + y) f(x) + f(y) 4, x, y R Phân tích. Khử số hạng tự do (-4) ở bất phương trình bằng cách đặt g(x) = f(x) 4 t được bài toán đơn giản hơn g(x) 9x, x R () g(x + y) g(x) + g(y), x, y R () Dự đoán g(x) = 9x là nghiệm duy nhất. Thử thy giá trị đặc biệt x = vào () được g() nhưng nếu thy x = y = vào () thì được g() nên g() =. T phải tận dụng giá trị g() = mà t vừ tìm được bằng cách thy y = x vào () để được g(x) + g( x). Mặt khác theo () thì g(x) 9x và g( x) 9x (do thy x bởi x) nên t được g(x) + g( x). Do đó các bất đẳng thức trên đều phải trở thành đẳng thức nghĩ là g(x) = 9x. Vậy t tìm được f(x) = 9x+4 là hàm số duy nhất thỏ mãn bài toán. Bài.9. (VN4) Xác định các hàm số f thoả mãn đồng thời các điều kiện su: i) f(x) e 4x, với mọi x R, ii) f(x + y) f(x)f(y), với mọi x, y R. Bài.. (VN) Tìm hàm số f : R R thỏ mãn với mọi x, y R. (x y)f(x + y) (x + y)f(x y) = 4xy(x y ) 6 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG. HÀM SỐ.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM Phân tích. T chi vế cho (x y)(x + y) để tách riêng được yếu tố x y và x + y: f(x + y) x + y f(x y) x y = 4xy. Để đơn giản, đặt u = x+y và v = x y t tính được 4xy = (x+y) (x y) = u v. Do đó phương trình đã cho trở thành f(u) u f(v) v = u v f(u) u u = f(v) v v. Do điều này đúng với mọi u, v nên với mọi u t phải có f(u) u u = c hy f(u) = u 3 +cu. Mặt khác nếu chọn x = y = trong phương trình bn đầu thì f() =. Vậy f(x) = x 3 + cx với mọi x R. Bài.. (VN9) Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn với mọi x, y, z R. f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) 3f(x + y + 3z) Bài.. (VN) Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn ( ) x + y f = ( ( x ) ( y )) f + f 3 4 với mọi x, y R. Bài.3. (VN3) Cho α β >. Hãy tìm các hàm số f : (, + ) R thỏ mãn điều kiện f(x) = mx{x α y β f(y) : y x} với mọi x (, + ). Phân tích. T viết lại điều kiện f(x) = mx{x α y β f(y) : y x} ở dạng cân đối hơn với mọi y x và tồn tại y x so cho f(x) + f(y) x α y β () f(x) + f(y ) = x α y β. () Chọn y = x trong () t có f(x) xα+β. Do đó từ () suy r x α y β xα+β + yα+β ( ) β x + y ( y ) α. x ( ) β x Mặt khác + y ( y ) ( ) α β x + x y ( y ) β theo bất đẳng thức AM GM. Như x vậy tất cả các bất đẳng thức trên phải trở thành đẳng thức, nghĩ là f(x) = xα+β. TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 7

.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHƯƠNG. HÀM SỐ Bài.4. Chứng minh rằng không tồn tại các hàm số thực f thỏ mãn ( ) f(x) + f(y) x + y f + x y với mọi số thực x và y. Bài.5. Tìm tất cả các hàm số liên tục f : R [, + ) so cho tồn tại R và k > so cho f(x)f(x) f(nx) n k, với mọi số thực x và số nguyên dương n. Phân tích. Trực giác cho thấy vế trái có độ lớn cỡ hàm mũ trong khi vế phải cỡ hàm lũy thừ nên t dự đoán chỉ có hàm số f(x) thỏ bài toán. Trước hết đơn giản hó giả thiết bằng cách lấy logrit vế ln f(kx) ln + k ln n. Vế trái khiến t liên tưởng đến tổng tích phân. Cố định b > và chọn x = b n t được Do đó ln f ln f(x) dx = lim ( ) kb ln + k ln n. n b n ln f ( ) kb (ln + k ln n)b lim n n Kết hợp với giả thiết f(x) t suy r f(x) = với mọi x [, b]. Vì b > được chọn bất kì nên f(x) = với mọi x. Lập luận tương tự t cũng có f(x) = với mọi x. Vậy f(x). =... Phương trình hàm hồi qui tuyến tính Đây là lớp các phương trình hàm có dạng f(ω(x)) = g(x)f(x) + h(x) trong đó g, h và ω là các hàm số cho trước. Phương trình dạng xoắn Hàm ω thỏ mãn tính chất: tồn tại n so cho ω n (x) := ω} ω {{ ω} (x) = x với n lần mọi x R. Khi gặp dạng này t sẽ lần lượt thy x bởi ω(x), ω (x),..., ω n (x) vào 8 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG. HÀM SỐ.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM phương trình hàm đã cho để được hệ phương trình tuyến tính cấp n f(ω(x)) g(x)f(x) = h(x) f(ω (x)) g(ω(x))f(ω(x)) = h(ω(x)) f(x) g(ω n (x))f(ω n (x)) = h(ω n (x)) (với n biến số là f(x), f(ω(x)), f(ω (x)),..., f(ω n (x))). Từ đó xác định được f(x). ( ) x + Bài.6. (VN7) Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏ mãn điều kiện f = x f(x) + 3 với mọi x. x Giải. Thy x bởi x + x trong phương trình đã cho, t có f(x) = f ( ) x + 3(x ) + x với mọi x. Nhân vế củ phương trình đã cho với rồi cộng vào phương trình này t được f(x) = x + x Thử lại hàm số f(x) = x toán. với mọi x. + x Bài.7. Tìm tất cả các hàm số f : R \ {} R thỏ mãn ( ) (x )f(x) + f = x x với mọi x. Bài.8. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn ( ) ( ) x 3 3 + x f + f = x x + x với mọi x ±. Bài.9. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn ( ) f(x) + f = x với mọi x. với mọi x và f() tùy ý thỏ mãn bài TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 9

.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHƯƠNG. HÀM SỐ Bài.3. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn ( f x + ) = x 3 +, x. x x3 Bài.3. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn ( ) x + f = x + 5, x. x x + Bài.3. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏ mãn Phương trình dạng liên tục (f(x)) + f(x) = 3, x R. Tổng quát để tìm tất cả các hàm liên tục f thỏ mãn t có thể làm như su f(ω(x)) = g(x)f(x) + h(x) (). Mò một nghiệm đặt biệt f nào đó củ (), rồi đặt u(x) = f(x) f (x) để đư bài toán về dạng thuần nhất: tìm các hàm liên tục u thỏ mãn u(ω(x)) = g(x)u(x). (). Mò một nghiệm đặt biệt u nào đó củ (), rồi đặt v(x) = u(x) u (x) toán về dạng thuần nhất hệ số : tìm các hàm liên tục v thỏ mãn để đư bài v(ω(x)) = v(x). (3) 3. Có trường hợp thường gặp: () Nếu ω(x) = x + với mọi x thì v là hàm tuần hoàn chu kì. (Trường hợp này không cần đến giả thiết f liên tục.) (b) Nếu lim ω n (x) = R với mọi x: áp dụng (3) liên tiếp t có v(x) = v(ω n (x)) nên qu giới hạn t nhận được v(x) = lim v(ω n (x)) = v ( ) lim ω n(x) Bài.33. Tìm tất cả các hàm số liên tục f : R R thỏ mãn với mọi x R. f(x) f(x) = x, = v(). TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG. HÀM SỐ.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM Phân tích. Nhận thấy f (x) x là một nghiệm củ phương trình ( nên t sẽ đặt g(x) = x ) f(x) x thì g thỏ mãn g(x) = g(x), x R suy r g(x) = g, x R. Áp dụng ( x ) liên tiếp t được g(x) = g, x R. Do đó n ( x ) g(x) = lim g = g(). n Vậy g là hằng số, suy r f(x) x + c là tất cả các hàm số thỏ bài toán. Bài.34. (VN5B) Với mỗi số thực α ±, tìm tất cả các hàm f : R R liên tục tại so cho f(αx) = f(x) + x với mọi x R. Có tồn tại hàm f thỏ mãn các điều kiện nói trên không nếu α = ±. Phân tích. T tìm một nghiệm đặc biệt ở dạng f(x) = cx, thy vào giả thiết đã cho được c =. Do đó bằng cách đặt g(x) = f(x) x t sẽ triệt tiêu được số α α hạng x trong giả thiết để được dạng thuần nhất g(αx) = g(x) với mọi x R. Áp dụng liên tiếp n lần t có g(x) = g(α n x). Do đó nếu α < thì g(x) = lim g(α n x) = g( lim α n x) = g(). Tương tự nếu α > thì t cũng có g(x) = lim g( x x ) = g( lim ) = g(). Vậy hàm số f(x) = x αn αn α + c với c R là tất cả các hàm số thỏ bài toán. Nếu α = thì giả thiết không được thỏ mãn với x =. Nếu α = thì giả thiết không được thỏ mãn với x = hoặc x =. Do đó không tồn tại hàm số f thỏ bài toán trong trường hợp trên. Bài.35. Tìm tất cả các hàm số f : R R liên tục thỏ mãn: f(x )+f(x) = x 6 +x 3 +, với mọi x R. ( ) x + Bài.36. Tìm tất cả các hàm số f : (, + ) R thỏ mãn f(x) = f với mọi x > và giới hạn lim f(x) tồn tại. x + Phân tích. Mặc dù không có điều kiện f liên tục nhưng t vẫn có thể vận dụng ý tưởng trên. Với mỗi x >, đặt ω (x) = x, ω(x) = x + và ω n (x) = ω ω ω }{{}(x). Dễ n lần dàng kiểm tr dãy (ω n (x)) tăng và hội tụ đến +. Mặt khác t có f(x) = f(ω n (x)), do đó nghĩ là f là hằng số. f(x) = lim f(ω n (x)) = lim f(x), x + TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHƯƠNG. HÀM SỐ Bài.37. Tìm tất cả các hàm f xác định, liên tục trên R và thỏ mãn điều kiện f(9x) + f(6x) = f(x), x R. ( ) ( ) 4 3 Phân tích. Đặt g(x) = f(x) f 3 x thì g liên tục thỏ g 4 x Bài.38. Tìm tất cả các hàm số liên tục f : R R thỏ mãn với mọi x R. f(x ) = f(x), = g(x). Bài.39. Xác định các hàm f thỏ mãn một trong các điều kiện su:. f(x)f(x + ) =, x R,. f(x)f( x) = x( x), x R, 3. f(x)f( ) = x, x R. x Bài.4. Xác định các hàm f thỏ mãn đồng thời các điều kiện su:. f(5x) = f(x),. f(x)f(x)f(3x) = x, với mọi x R...3 Phương trình hàm Cuchy Đây là lớp các phương trình hàm có thể đư về dạng su thông qu một số phép biến đổi phù hợp Định lí.3 (Phương trình hàm Cuchy). Tất cả các hàm số f : R R liên tục thỏ mãn f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y R đều có dạng f(x) = cx với c R. Chứng minh. Bằng qui nạp theo n t có f(nx) = nf(x) với mọi x R và n N. Áp dụng với x = ( ) ( ) n t có f() = nf, suy r f = n n n f(). Áp dụng với x = ( n ) ( ) m t có f = nf = n m m m f(). Đặt c = f() thì theo lập luận trên f(x) = cx với mọi số hữu tỉ x. Mà f liên tục trên R nên suy r f(x) = cx với mọi x R. Bài.4. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ mãn f(x + y) = f(x)f(y), x, y R. ( ) x + y Bài.4. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ f(x)+f(y) = 3f, x, y R. 3 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG. HÀM SỐ.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM Bài.43. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ f(xy) = f(x)f(y), x, y R. Bài.44. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ f(xy) = f(x) f(y), x, y R. Bài.45. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ f( x ) = f(x) f(y), x, y R. y Bài.46. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ f(x) + f(y) f(x + y) = xy, x, y R. Bài.47. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ (x + y)f(xy) = f(x) + f(y), x, y R, x + y. Bài.48. Tìm các hàm f liên tục trên R thỏ xf(y)+yf(x) = (x+y)f(x)f(y), x, y R, x + y. Bài.49. Tìm các hàm f : R R + liên tục trên R thỏ mãn điều kiện ( ) x + y f = f(x)f(y), x, y R. f(x) + f(y) Bài.5. (VN) Tìm tất cả các hàm số f : R R liên tục thỏ mãn f() = và f(x + y) = x f(y) + y f(x) với mọi x, y R. Phân tích. Chi cả vế cho x y và đặt g(x) = f(x) thì g liên tục và phương x trình đã cho được đơn giản về dạng g(x + y) = g(x) + g(y). Đây chính là phương trình hàm Cuchy...4 Phương trình với nhiều ẩn hàm Đây là các dạng phương trình hàm chứ nhiều hàm số chư biết mà t cần phải xác định. Định hướng giải chủ yếu là chọn các giá trị đặc biệt củ biến để giảm số ẩn hàm, khi đó bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Bài.5. Tìm cặp hàm f, g xác định trên R so cho: f(x)g(y) = x y, x, y R. Phân tích. Giảm ẩn hàm bằng cách chọn, chẳng hạn y = để được f(x)g() = x với mọi x. Suy r g() và f(x) = x. Tương tự chọn x = t suy r được g(y) = by nhưng cặp hàm này không thỏ đề bài nên bài toán đã cho vô nghiệm. Bài.5. Tìm các hàm f, q, g xác định và liên tục trên R so cho: f(x ) f(y ) = q(x + y) g(x y), x, y R. Phân tích. Có thể giảm được ẩn hàm bằng cách chọn y = x, khi đó q(x) = g() với mọi x, nghĩ là q(x) g(). Phương trình bn đầu trở thành (chỉ còn ẩn hàm) f(x ) f(y ) = g() g(x y), x, y R. Có thể giảm ẩn hàm bằng cách chọn y = x, khi đó g(x) = g() với mọi x, nghĩ là g là hằng số. Phương trình bn đầu trở thành f(x ) = f(y ), x, y R. Do đó f là hằng số trên [, + ), nhận giá trị tùy ý trên (, ) và g(x) = q(x) = c với mọi x R. TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 3

.. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHƯƠNG. HÀM SỐ Bài.53. (VN4) Cho hàm số f và g xác định trên R thỏ mãn điều kiện (f(x) f(y)))(g(x) g(y)) = với mọi x, y R. Chứng minh rằng ít nhất trong hàm f hoặc g là hàm hằng. Phân tích. Viết lại giả thiết ở dạng đơn giản hơn: với mọi x, y R t có f(x)=f(y) g(x)=g(y) Giả sử f không phải là hàm hằng, nghĩ là tồn tại x, y so cho f(x ) f(y ), suy r g(x ) = g(y ). T cần chứng minh rằng g là hàm hằng. Muốn vậy lấy x R bất kì, t cần chỉ r g(x) = g(x ) = g(y ). Thật vậy do f(x ) f(y ) nên phải xảy r trong trường hợp su:. f(x) f(x ): khi đó theo giả thiết t có g(x) = g(x ).. f(x) f(y ): khi đó theo giả thiết t có g(x) = g(y ). Bài toán đã được chứng minh xong. Bài.54. Tìm cặp hàm f, g xác định và liên tục trên R so cho: f(x) f(y) = (x y )g(x y), x, y R. Bài.55. Tìm các cặp hàm f, g xác định và liên tục trên R so cho f(x ) f(y ) = (x y)g(x + y), x, y R. Bài.56. Tìm các cặp hàm f, g xác định và liên tục trên R so cho f(x ) f(y ) = g(x y)g(x + y), x, y R. Bài.57. Tìm các cặp hàm f, g xác định và liên tục trên (, ) so cho f(xy) = xg(y) + yg(x). Bài.58. Tìm tất cả các hàm số f, g : R R thỏ mãn f(x + y)g(x y) = x y, x, y R. 4 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

Chương 3 Phép tính vi phân Bạn đọc cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, các qui tắc tính đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và tìm giới hạn củ hàm số bằng qui tắc L Hôpitl. Kiến thức bổ sung Khi triển Tylor Công thức khi triển Tylor là mở rộng củ định lí qun trọng trong giải tích: định lí Lgrnge và định lí Newton-Leibniz. Công thức khi triển Tylor áp dụng với các hàm số f khả vi đến cấp n + và có dạng chính Công thức Tylor với phần dư Lgrnge f(x) = f() + f ()! (x ) + f ()! (x ) + + f (n) () n! với c là một số nằm giữ và x. Khi n =, t kí hiệu x = b thì công thức Tylor trở thành (x ) n + f (n+) (c) (x )n+ (n + )! Định lí 3. (Định lí giá trị trung bình (Lgrnge)). Nếu f : [, b] R là hàm số liên tục trên [, b] và khả vi trên (, b) thì tồn tại c (, b) so cho f (c) = Trong trường hợp f() = f(b) t có f(b) f(). b Định lí 3. (Định lí Rolle). Nếu f : [, b] R là hàm số liên tục trên [, b], khả vi trên (, b) và thỏ mãn f() = f(b) thì tồn tại c (, b) so cho f (c) =. Áp dụng định lí Rolle cho hàm số ϕ(x) = f(x)(g() g(b)) + g(x)(f(b) f()) + f()g(b) f(b)g() trên đoạn [, b] t có dạng mở rộng su củ định lí Lgrnge Định lí 3.3 (Định lí Cuchy). Nếu f, g : [, b] R là các hàm số liên tục trên [, b] và khả vi trên (, b) thì tồn tại c (, b) so cho (f(b) f())g (c) = (g(b) g())f (c). 5

3.. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG CHƯƠNG THỨC3. PHÉP TÍNH VI PHÂN Công thức Tylor với phần dư tích phân f(x) = f()+ f ()! (x )+ f ()! (x ) + + f (n) () (x ) n + n! x f (n+) (t) (x t) n dt. n! Khi n = thì công thức trên trở thành f(x) = f() + x f (t) dt. Đó chính là công thức Newton-Leibniz quen thuộc. Thu gọn biểu thức chứ đạo hàm Một số lượng không nhỏ các bài toán thi Olympic chỉ có thể giải được nếu t biến đổi được một biểu thức chứ các đạo hàm phức tạp thành đạo hàm củ một hàm số đơn giản hơn. Đây chính là bước làm đơn giản hó bài toán và là kĩ thuật được sử dụng xuyên suốt với các dạng toán khác nhu trong chương này. Cụ thể, cho trước hàm số nhiều biến g, t sẽ không làm việc trực tiếp với biểu thức g(x, f (x), f (x),..., f (n) (x)) củ đề bài mà t sẽ tìm hàm số h thỏ mãn q(x)g(x, f (x), f (x),..., f (n) (n)) = (h(f(x), x)) (n) (với q là một hàm số nào đó) rồi làm việc với biểu thức (h(f(x), x)) (n) đơn giản hơn. Phép biến đổi này đặc biệt hữu ích trong các bài toán giải phương trình vi phân và khảo sát tính đơn điệu củ hàm số. 3. Tính đơn điệu, cực trị và bất đẳng thức Bài 3.. Bằng cách sử dụng khi triển Tylor, hãy chứng minh các bất đẳng thức su. x e x x + x với mọi x,. x x ln( + x) x với mọi x, 3. x x3 3! 4. x! 5. x x3 3 sin(x) x với mọi x, x cos(x)! + x4 4! rctn(x) x với mọi x, với mọi x, Phân tích. T có khi triển Tylor củ hàm số f(x) = e x tại x = đến cấp : e x = f() + f ()( x) + f (c ) ( x) = x + ec x, với c [, x] Tương tự khi triển Tylor củ hàm số f(x) = e x tại x = đến cấp : e x = f()+f ()( x)+ f () ( x) + f (c ) ( x) 3 = x+ x 6 ec 6 x3, với c [, x]. Từ đẳng thức trên t suy r được bất đẳng thức đầu tiên, các bất đẳng thức còn lại cũng chứng minh tương tự. 6 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN 3.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Bài 3.. Cho các số thực dương, b, c thỏ bc =. Chứng minh rằng + b + c 3 + b 3 + c 3. Phân tích. Đặt f(x) = x +b x +c x. T có f () = và f (x) >, do đó f (x) f () = với mọi x. Vậy f tăng trên [, + ) nên t có f() f(3). Bài 3.3. Tìm tất cả các bộ số thực,, 3 so cho (x )(x ) + (x )(x 3 ) + (x 3 )(x ) với mọi số thực x. Giải. Đặt thì f(x) = (x )(x )(x 3 ) f (x) = (x )(x ) + (x )(x 3 ) + (x 3 )(x ) với mọi số thực x nên f là hàm số tăng. Nếu trong 3 số,, 3 có số khác nhu, chẳng hạn, thì mọi số thực x nằm giữ và đều là nghiệm củ phương trình f(x) =, mâu thuẫn vì f là đ thức. Vậy = = 3. Thử lại các bộ số thỏ điều kiện này đều thỏ mãn bài toán. Bài 3.4. Cho f : R R là hàm khả vi, có đạo hàm cấp không âm. Chứng minh rằng f(x + cf (x)) f(x) với mọi x R và c. Bài 3.5. Tìm tất cả các nghiệm thực dương củ phương trình x = x. Bài 3.6. Tìm tất cả các nghiệm thực củ phương trình 4 x + 6 x = 5 x + 5 x. Phân tích. T chứng minh bài toán không có nghiệm nào khác ngoài và. Xét hàm số f(t) = t x + ( t) x t có f(5) = f(6) = nên tồn tại c (5, 6) thỏ f (c) =. Từ đó suy r điều vô lí nếu x / {, }. Bài 3.7. Cho các số thực,,..., n. Tìm tất cả các số thực x so cho đạt giá trị nhỏ nhất. x + x + + x n 3. Định lí giá trị trung bình Dạng toán: Chứng minh tồn tại số thực x thỏ mãn một đẳng thức nào đó chứ các đạo hàm củ một hàm số khả vi f. Phương pháp giải:. Sử dụng kĩ thuật thu gọn biểu thức chứ đạo hàm để biến đổi đẳng thức về dạng g (x) = c với g là một hàm số khả vi trên [, b].. Sử dụng định lí Lgrnge hoặc định lí Rolle để chỉ r sự tồn tại củ x thỏ mãn điều kiện trên. Bài 3.8. (VN5) Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [, b] và thoả mãn điều kiện f(x)dx =. Chứng minh rằng tồn tại c (, b) so cho f(c) = 5 c f(x)dx. TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 7

3.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN Phân tích. Để đơn giản, khử tích phân bằng cách đặt F (x) = x f(t) dt. T cần tìm c (, b) thỏ F (c) = 5F (c), thu gọn biểu thức đạo hàm để chuyển về dạng ( e 5x F (x) ) x=c =. Để tìm được c như vậy chỉ cần áp dụng định lí Rolle cho hàm số g(x) = e 5x F (x) trên đoạn [, b] với lưu ý F () = F (b) =. Bài 3.9. (VN8) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [, π] và f() = f(π) = thỏ mãn f (x) < với x (, π). Chứng minh rằng: i) Tồn tại c (, π) so cho f (c) = tn f(c). ii) f(x) < π với mọi x (, π). Phân tích. Với câu i) t cần thu gọn điều kiện f (x) = tn f(x) Một nguyên hàm củ tn x là dx tn x = cos xdx sin x = d(sin x) sin x = f (x) = (ln sin f(x) x) tn f(x) f (x) tn f(x) =. = ln sin x do đó Biểu thức đã được thu gọn, tuy nhiên nó không xác định tại x = và x = π nên t thy bằng biểu thức e ln sin f(x) x = e x sin f(x) thì t cần tìm x (, π) so cho (e x sin f(x)) =. Mà giá trị đầu mút đã được biết nên t nghĩ đến việc vận dụng định lí Rolle với hàm số g(x) = e x sin f(x) trên đoạn [, π]. Với câu ii) t có thể sử dụng định lí Rolle hoặc công thức Newton-Leibniz để khi thác mối liên hệ giữ f và f. Giải. i) Xét hàm số g(x) = e x sin f(x) thì g liên tục trên [, π], khả vi trong (, π) và g() = g(π) =. Theo định lí Rolle, tồn tại c (, π) so cho g (c) =. Mặt khác g (x) = e x ( sin f(x) + cos f(x)f (x)) nên sin f(c) + cos f(c)f (c) f (c) = tn f(c). ii) Do f() = f(π) = nên: Nếu x π thì f(x) = x f (x) dx x f (x) dx < π/ dx = π. Nếu x > π thì f(x) = π x f (x) dx π x f (x) dx < π π/ dx = π. Bài 3.. (VN8) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [, ] và f() =, f() =, khả vi trong (, ). Chứng minh rằng với mọi α (, ), luôn tồn tại x, x (, ) so cho α f (x ) + α f (x ) =. 8 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN 3.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Phân tích. Bằng trực giác t thấy nếu tồn tại (x, x ) thỏ bài toán thì có lẽ sẽ tồn tại vô hạn cặp số như vậy vì từ cặp (x, x ) bn đầu t chỉ cần thy đổi phù hợp một chút giá trị củ x và x thì t thu được cặp mới cũng thỏ mãn. Bởi vậy có thể thử tìm cho α trường hợp đặc biệt x = x = c. T cần tìm c thỏ f (c) + α f (c) = hy f (c) =. Hiển nhiên giá trị c đó có thể tìm được bằng định lí Lgrnge. Giải. Theo định lí Lgrnge, tồn tại c (, ) so cho f (c) = f() f() =. Chọn x = x = c thì đẳng thức ở bài toán được thỏ mãn. Bài 3.. (VN) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [, ] và thỏ mãn f(x) + f( x) = với mọi x [, ]. Chứng minh f(x)dx = và (x )f(x) = x f(u)du có nghiệm trong khoảng (, ). Phân tích. Với phần đầu tiên, t có f(x) dx = = = 6 6 f(x) dx + f(x) dx + 6 6 f(x) dx f(x) + f( x) dx =. f( x)d( x) dx Với phần còn lại t đặt F (x) = x f(u)du thì F (x) = f( x) = f(x), bài toán chuyển về chứng minh tồn tại x (, ) thỏ ( x)f (x) = F (x) ( x)f (x) F (x) =. T hi vọng có thể thu gọn vế trái về dạng ((x)f (x)) = (x)f (x) + (x)f (x). T cần có (x) (x) = x. Từ đó tìm được (x) = dx e x = (x ). Vậy ( x)f (x) F (x) = ((x ) F (x)) =. Chỉ cần lưu ý ( ) F () = ( ) F () =, sử dụng định lí Rolle t có điều phải chứng minh. Bài 3.. (VN9) ) Cho P (x) là đ thức bậc n có hệ số thực. Chứng minh rằng phương trình x = P (x) có không quá n + nghiệm thực. b) Cho f(x) x, f(x) x 3 là những hàm số đơn điệu tăng trên R. Chứng minh rằng 3 hàm số f(x) x cũng là hàm số đơn điệu tăng trên R. TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 9

3.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN Giải. ) Xét hàm số g(x) = x P (x) thì dễ thấy do P (x) là đ thức bậc n nên P (n+) (x) = g (n+) (x) = x (ln ) n+ >. Đạo hàm cấp n + củ hàm số g không đổi dấu nên theo định lí Rolle thì phương trình g(x) = có không quá n + nghiệm. b) Giả thiết đã cho có thể viết lại là f (x) >, f (x) > 3x với mọi x. Nhân bất đẳng thức theo từng vế t có (f (x)) > 3x. Mặt khác f (x) > > nên suy r f (x) > 3 x 3 3x. Do đó hàm số f(x) x cũng là hàm số đơn điệu tăng trên R. Bài 3.3. (VN) Cho hàm số f(x) khả vi liên tục trên [, ]. Giả sử rằng f(x) dx = xf(x) dx =. Chứng minh rằng tồn tại điểm c (, ) so cho f (c) = 6. Phân tích. Vì cần chứng minh f (c) = 6 nên t sẽ làm cho f xuất hiện dưới dấu tích phân bằng cách dùng công thức tích phân từng phần: = = f(x) dx = xf(x) xf (x) dx = f() xf (x) dx, xf(x) dx = x f(x) x f (x) dx = f() x f (x) dx. Do t chư có thông tin về f() nên lấy lần đẳng thức dưới trừ đi đẳng thức trên để triệt tiêu f(), t được: (x x )f (x) dx =. Đến đây bài toán đã trở nên dễ dàng: T có 6(x x ) dx = nên nếu f (x) > 6 với mọi x (, ) thì (x x )f (x) dx >, tương tự nếu f (x) < 6 với mọi x (, ) thì (x x )f (x) dx <. Do đó từ tính liên tục củ f và định lí giá trị trung gin suy r tồn tại c (, ) so cho f (c) = 6. Bài 3.4. Cho f : [, b] R là hàm liên tục trên [, b] và khả vi trên (, b). Giả sử rằng tồn tại c (, b) thỏ mãn thì tồn tại ξ (, b) so cho f (ξ) =. f(b) f(c) f(c) f() < Bài 3.5. Cho f : [, b] R là hàm liên tục trên [, b] và khả vi trên (, b). Cho biết phương trình f(x) = có n + nghiệm phân biệt, chứng minh rằng phương trình f (n) (x) = có nghiệm. 3 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN 3.. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Bài 3.6. Cho f : [, b] R là hàm liên tục trên [, b] và khả vi hi lần trên (, b). Cho biết phương trình f() = f(b) và f () = f (b), chứng minh rằng với mọi số thực α, phương trình f (x) α(f (x)) = có nghiệm trong (, b). Bài 3.7. Cho hàm số f có đạo hàm cấp liên tục trên đoạn [, b]. Biết rằng phương trình f(x) = có 3 nghiệm thực phân biệt trên đoạn [, b]. Chứng minh rằng tồn tại x [, b] thỏ mãn f (x) + 4xf (x) + ( + 4x )f(x) =. Phân tích. T tìm cách thu gọn f (x) + 4xf (x) + ( + 4x )f(x) = thành dạng (g(x)f(x)). Tính toán trực tiếp và so sánh các hệ số t được g(x) = e x. Do đó t có lời giải su Giải. Đặt g(x) = e x f(x) t có g (x) = e x (f (x) + 4xf (x) + ( + 4x )f(x)). Gọi x < x < x 3 là 3 nghiệm củ phương trình f(x) = thì đó cũng là 3 nghiệm củ phương trình g(x) =. Áp dụng định lí Lgrnge với hàm g, t tìm được y (x, x ) và y (x, x 3 ) thỏ mãn g (y ) = g(x ) g(x ) x x =, và g (y ) = g(x 3) g(x ) x 3 x =, Tiếp tục áp dụng định lí Lgrnge với hàm g, t tìm được z (y, y ) thỏ mãn hy nói cách khác g (z) = g (y ) g (y ) y y =, f (z) + 4zf (z) + ( + 4z )f(z) =. Bài 3.8. Tìm các nghiệm thực củ phương trình 6 x + = 8 x 7 x. Giải. Phương trình có dạng 3 + b 3 + c 3 = 3bc với = x, b = 3 x, c =. Phân tích thành nhân tử 3 + b 3 + c 3 3bc = ( + b + c)(( b) + (b c) + (c ) ) t suy r + b + c =. Vậy t có phương trình đơn giản hơn như su: x = 3 x +. Đặt f(t) = f x, t có f(3) f() = f() f() nên theo định lí giá trị trung bình tồn tại t (, 3) và t (, ) so cho f (t ) = f (t ) Điều này dẫn đến (x )t x = (x )t x. Suy r phương trình đã cho chỉ có nghiệm là x = và x =. TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 3

3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG QUI TẮC L HÔPITAL CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN 3.3 Tính giới hạn bằng qui tắc L Hôpitl T có thể kết hợp kết hợp phương pháp thy vô cùng bé và qui tắc L Hôpitl để giải các bài toán tính giới hạn ở dạng vô định. Bài 3.9. Cho các số thực dương,,..., n. Tính giới hạn ( /x lim x x n k). Phân tích. Gọi hàm số cần tính giới hạn là f(x), đây là giới hạn dạng vô định nên t tính ( ) ln x k ( x k n n ) x ln k n lim ln f(x) = lim = lim = lim = ln k. x x x x x x x n Suy r lim x ( n /x ( n ) /n k) x = k. Bài 3.. Cho các số thực,,..., n và f(x) = n k sin kx. Chứng minh rằng nếu f(x) sin x với mọi x R thì Phân tích. Nhận xét rằng n k k. k k = f (). Do đó t dùng định nghĩ củ đạo hàm để đư r đánh giá su k k = f () = lim f(x) f() x x = lim f(x) x x = lim f(x) x sin x sin x x. Bài 3.. (VN7) Cho hàm số f(x) xác định và khả vi trên [, + ). Biết rằng lim (f(x) + f (x)) =. Tính lim f(x). x + x + Phân tích. Với định hướng thu gọn biểu thức vi phân, t sẽ biến đổi f(x) + f (x) thành (h(x)f(x)). Lập luận tương tự như các bài trên, t chọn h(x) = e x thì giả thiết được (e x f(x)) viết thành dạng lim =. Biểu thức này có dạng u gợi ý t sử dụng qui x + e x v tắc L Hôpitl. Giải. Áp dụng qui tắc L Hôpitl t có: lim f(x) = lim e x f(x) (e x f(x)) = lim = lim x + x + e x x + (e x ) (f(x) + f (x)) =. x + 3 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh

CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG QUI TẮC L HÔPITAL Bài 3.. Cho hàm số f(x) xác định và khả vi trên [, + ). Biết rằng xf (x)) =. Tính lim x + f(x). Bài 3.3. (VN) Cho hàm số f(x) = ln(x + ). lim (f(x) + x + ) Chứng minh rằng với mọi x >, tồn tại duy nhất số thực c thỏ mãn f(x) = xf (c) mà t kí hiệu là c(x). b) Tìm giới hạn lim x + c(x) x. Phân tích. Dễ dàng tính được c(x) = được bằng qui tắc L Hôpitl. Bài 3.4. (VN4) ) Cho hàm số f đơn điệu trên [, + ) và Chứng minh rằng lim x + x lim f(x) = +. x + x. Do đó giới hạn ở câu b) có thể tính ln(x + ) x f(t) dt = +. b) Kết luận trên còn đúng không khi f là hàm liên tục trên [, + ) nhưng không đơn điệu trên khoảng đó? Tại so? Phân tích. ) Có vẻ như bài toán này có thể giải bằng qui tắc L Hôpitl: x ( x f(t) dt + = lim = lim f(t) dt) = lim x + x x + f(x). x + ( x f(t)dt) Tuy nhiên lập luận trên là si vì t chư biết lim có tồn tại hy không. x + Để có lời giải đúng t có thể cảm nhận bài toán bằng trực giác như su: x x f(t)dt là giá trị trung bình củ hàm số f trên [, x] nên nếu f giảm thì giá trị trung bình này không vượt quá f() (không thể tiến tới + ). Ngược lại nếu f tăng thì giá trị trung bình này không vượt quá f(x), từ đó suy r lim f(x) lim x f(t) dt = +. x + x + x b) Để tìm một phản ví dụ t sẽ xuất phát từ một hàm số nào đó thỏ mãn câu ), x ví dụ hàm số f(x) = x. T sẽ cắt xén bớt giá trị củ f so cho lim f(t) dt vẫn x + x bằng + nhưng giá trị củ f tại các số tự nhiên thì bằng (khi đó f(x) không tồn tại). Chẳng hạn có thể xây dựng hàm số f như su: [ x nếu x / n f(x) = 4, n + ] với mọi n N 4 nếu x N so cho f là hàm tuyến tính liên tục trên [n 4 ] [, n và n, n + ]. 4 lim x + TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 33

3.4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ BẤT ĐẲNG CHƯƠNG THỨC3. VIPHÉP PHÂNTÍNH VI PHÂN Bài 3.5. (VN5A) Cho f : [, + ) [, + ) là một hàm liên tục. Biết rằng tồn tại giới hạn x lim f(x) (f(t)) dt = (, + )). x + Hãy tìm lim x + 3 xf(x). Phân tích. Khử tích phân bằng cách đặt F (x) = x (f(t)) dt thì F (x) = (f(x)) và giả thiết đã cho trở thành F (x)f (x) =. Sử dụng kĩ thuật thu gọn đạo hàm t có T tìm lim x + lim x + lim (F ( x + (x)) F (x) = lim ) (F (x)) 3 = 3. ( ) x + 3 xf(x) = lim x + 3 x F (x). Muốn vậy t chỉ cần tính được lim x + x/3 F (x). Ý tưởng là dùng (*) và qui tắc L Hôpitl để ước lượng F 3 su đó sẽ ước lượng được F và F. Cụ thể từ (*) dễ thấy F (x) = + và t có lim x + (F (x)) 3 lim x + x Lấy căn bậc 3 để được ước lượng cho F (x): ((F (x)) 3 ) = lim x + F (x) lim x + x = /3 (3 ) /3. = 3. Dùng qui tắc L Hôpitl để chuyển thành ước lượng cho F (x): lim x + F (x) 3F (x) = lim = lim x/3 x + x /3 x + 3x/3 F (x). Vậy lim x + x/3 F (x) = (3 ) /3 3 ( = 3 ) /3 lim x + 3 xf(x) = 3 3. Bài 3.6. Chứng minh nếu f : R R là hàm số khả vi thỏ mãn lim x f(x) tồn tại và hữu hạn thì nếu lim x xf (x) tồn tại giới hạn này phải bằng. Bài 3.7. Với mỗi số thực λ, kí hiệu f(λ) là nghiệm thực củ phương trình x( + ln x) = λ. Chứng minh rằng f(λ) ln λ lim λ λ 3.4 Phương trình vi phân và bất đẳng thức vi phân Kĩ thuật thu gọn biểu thức chứ đạo hàm đóng vi trò then chốt trong việc đơn giản hó giả thiết trong các bài toán về phương trình vi phân, bất phương trình vi phân và bất đẳng thức vi phân. 34 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh =.

CHƯƠNG 3. PHÉP 3.4. TÍNH PHƯƠNG VI PHÂN TRÌNH VI PHÂN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN Bài 3.8. Tìm các hàm số f thỏ mãn f (x) + kf(x) = với k R. Phân tích. Nhắc lại qui tắc: thử giải bài toán với trường hợp đơn giản trước rồi tìm cách đư trường hợp tổng quát về trường hợp đơn giản. Nếu k = thì vế trái là đạo hàm củ f, còn vế phải đã biết nên bài toán quá đơn giản. Trong trường hợp tổng quát, t sẽ tìm cách đư biểu thức ở vế trái về dạng (h(x)f(x)) = h(x)f (x) + h (x)f(x). Để tỉ lệ hệ số củ f và f được bảo toàn, t cần chọn h thỏ mãn h (x) h(x) = k = k. Do đó, (ln(h(x))) = k. Có thể chọn ln(h(x)) = kx hy h(x) = e kx. Do đó nếu nhân cả vế củ phương trình vi phân với e kx thì vế trái sẽ trở thành đạo hàm đúng. Giải. Nhân cả vế với e kx, t có e kx f (x) + ke kx f(x) = e kx, nghĩ là (e kx f(x)) = e kx. Nếu k = thì f(x) = x + C. Nếu k, t có f(x) = e kx e kx dx = Ce kx + k. Bài 3.9. (VN6) Tìm tất cả các đ thức P (x) thỏ mãn điều kiện P () = và P (x) P (x), x (, ). Phân tích. Rõ ràng giả thiết cốt lõi cần phải xử lí được là P (x) P (x). T đơn giản hó giả thiết này bằng cách đư nó về dạng (h(x)p (x)) hoặc (h(x)p (x)) (khi đó t sẽ suy r được tính đơn điệu củ một hàm số phù hợp). Lập luận như bài toán trên t có thể chọn h(x) = e x và bất phương trình trên sẽ có dạng khá đẹp (e x P (x)). Do đó e x P (x) là hàm số nghịch biến trên (, ). Từ đó kết hợp với các giả thiết còn lại t tìm được lời giải như su: Giải. Theo đề bài t có (e x P (x)) = e x (P (x) P (x)) nên e x P (x) là hàm số nghịch biến trên (, ). Do đó e P () e x P (x) e P (). Do P () = và P () = lim P (x) nên P (x), dẫn đến P (x) = với mọi x x (, ). Suy r đ thức P (x) là đ thức duy nhất thỏ mãn bài toán. Bài 3.3. (VN4) Tìm tất cả các hàm số f xác định, liên tục trên đoạn [, ], khả vi trong khoảng (, ) và thỏ mãn điều kiện với mọi x (, ). f() = f() = 5 4, 3f (x) + 4f(x) 5 Phân tích. T có 3f (x) + 4f(x) 5 f (x) + 4 3 thuật thu gọn biểu thức đạo hàm để đư giả thiết này về dạng ( ( e 4 3 x f(x) 5 )). 4 ( Do đó g(x) = e 4 3 x f(x) 5 ) là hàm không giảm trên [, ], nhưng g() = g() = 4 nên f trong [, ]. Từ đó suy r f(x) = 5 4 với mọi x [, ]. 5 f(x). Dùng kĩ 3 TS. Lê Phương - Đại học Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh 35