Ý º³ ³Ø ÜØ 88-809 Þ ÒÔ Þ ÜÖÒ Þ Ô ÜÞØ ¹ ÖÝÞ ³ Ü ÕÒÕ ³ Ö Ò º Ú Ñ ÞÖÝ Ó Ò ÓÒ ºÜ Ö ÜÒ Ð Õ Ý Ò ÝÒÞÝ Ð ÜÞ Ò º ÝÞ Ð ÛÒÔÐ Ý ºÞ Ð Ý Ð ÐÖ Þ ÔÖÐ Ý dn dn 2 dn 3 = n ( n αn 2 βn 3 ) = n 2 ( n 2 αn 3 βn ) = n 3 ( n 3 αn βn 2 ) Þ ÜÖÒÐ º½ Þ Ý Þ ÛÔÝ ºn = n 2 = n 3 = ¹ Þ Ý Þ ÛÔ Ý Ñ Ñ Ö Û α, βµ +α+β ÜÛÒ Þ Ú Ó Ð ÓÞ Ô ºα + β > 2 Ñ Ú Ð α + β < 2 Ñ Ú ºÑ ÜØ Ð Ñ Ý Þ ÖÚ Ð Ð Ý Ð Þ Þ Ü ÞÐ Û ØÕÒµ α + β = 2 ÒÚÖ Ü Û Ý Þ Ô ÐÜ Ú Ü ÒÐ ÒÜ Þ Ô Ý Ü Þ Ü Ô ÐÝ Ú Ü Ò 2n αn 2 βn 3 αn βn βn 2 2n 2 αn 3 βn αn 2 αn 3 βn 2 2n 3 αn βn 2 n = n 2 = n 3 = + α + β + α + β α β β α α β Ó Ø Ò Ñ Ô Ð Ø º Ö Ö ÑÖ ÛÔ Ý Ö Ý Þ Ú Ü ÒÐÝ Ü Ü λ + c a b α det b λ + c a a = + α + β, b = β + α + β, c = + α + β a b λ + c = (λ + c) ( (λ + c) 2 ab ) a ( b(λ + c) a 2) + b ( b 2 a(λ + c) ) = (λ + c) 3 3ab(λ + c) + a 3 + b 3 = λ 3 + 3cλ 2 + 3(c 2 ab)λ + (a 3 + b 3 + c 3 3abc) = (λ + ) ( λ 2 + (3c )λ + (3c 2 3ab 3c + ) )
ÞÚÛ ÝÜ Ý Ý Ý Ñ Ö Þ Ð º a + b + c = Þ ÞÜ Ö Û Ð ÓÞ Ô µ ºÜÞ Ò Ö Ü Ñ Ô Ð Ø ÐÝ ÔÔ Ò ÜÛÕ (3c ) 2 4(3c 2 3ab 3c+) = 2ab 3(c ) 2 = 2ab 3(a+b) 2 = 3(a b) 2 0 Ö ÛÔ ÝÒÒ ÛÐ ÐÝ ÓÒ Õ º Ñ µ Ñ ÒÚ Ñ ÜÒ Ñ ÐÝ Ñ ÝÜ Ý Ó Ð ºλ ÐÝ ÑÛÒ ÐÖ Ñ ÝÒÒ ÛÐ 3c < 0 α + β > 2 Ñ α + β < 2 Ñ Þ Ú Ý Ó Ð º Ð ÐÝ ÝÒÒ ÛÐ 3c > 0 α + β < 2 α + β > 2 Ñ Þ Ú ¹ Þ Ú ÐÖ Ö Ü Ð ÓÞ Ô Ð ºÑ ÒÚ Ñ Ü Ñ Ô Ò Ñ Ö Ö ÔÝ Ö Ö Ý α+β = 2 Ñ Þ Ò Ò¹ Þ ÜÒ Ö Ü Þ Ò Ò¹ Ú Ö Ü Ý Þ Ý Þ ÛÔ ºÞ Ü Ô Ð ÐÔ Ò Þ ÜÒ Ö Ü Þ Þ Ô Ð Þ ÕÔÐ Ý n n 2 n 3 = 3 ºÞ ÜÒ Ö Ü ÐÖ Ö ÔÞ ÐÖ Ð ÞÕ Ð Ý + x y z(x, y) Ü Ú Ò Ð º z(0, 0) = 0 ÜÝ ÑÖ Ü Ú Þ ÜÒ Ö Ü Þ ÚÒÐ Ñ ÕÔÒ Ñ z(x, y) = Ax + By + Cx 2 + Dxy + Ey 2 +... A = B =, C = D = E = 0 ¹Ý Þ ÝÒ Ú ÐÖ Ñ Ú Ò dx dy ÐÖ ÞÔÞ Ô Þ ÜÒ Ö Ü ÐÖ Ö ÔÞ ( = ( α) 3 x + 2 ) 3 y + 2xy + x2 +... = ( α) ( 2 3 x ) 3 y 2xy y2 +... Ñ Ö Ü Ñ Ü ÐÐ Ü º Ð Õ ÞÔ Ð Ò Ò α = β = ÜÛÒ µ Ð ºÞ Ü Ô Ð ÐÔ ÐÖ Ó Þ ÝÖÐ ÓÞ Ô Ð ÜÝ Þ Ú Þ Ö ÛÐ Û ØÕÒ Ñ dx = H y, Ü Ú Ò Ñ Ð Þ ÝÒ Ý Ð Ñ ÝÐ Ý Ó dy = H x ( ) H = ( α) 3 (x2 + xy + y 2 ) + x 2 y + xy 2 ÜÝ ºÞ Ú Ð Ö Ü Ð Ó Ö ÓÞ Ô Ð Þ Ô Ô ÐÒ Ñ Þ ÝÒ Ü ÛÐ ÜÒ Ð Ð Ñ Ð ÖÒ Ö ÔÞ ÔÔ Þ ÜÒ Ö Ü ÐÖ Ö ÔÞÐ Ó Ü Ô Ð Ü Û Ð Ñ Ý ÒÞ Ó Ò Þ Ü Ô Ð Þ ÜÖÒ ÜÒ Ý ÜÝ ÐÐ ÓØ Ü ÛÝ Ò Þ ÕØ Ð ºÞ ÕØ Ð Ö ÔÞ Ð Ð Þ Ð ÖÒ Ö ÔÞ Ý Þ Ô Ü Û Þ ÔÝÐ ÓÞ Ô Ð Ö ÖÚ ÒÒ Ñ Þ ÜÐ r 2 = x 2 + y 2 ÐÖ Ð ÞÕ Ð Ü Ö Ü Ð Ò Ú Þ ºx 2 + xy + y 2 Ó ÞÜ Þ Ö Ü Ü Ú ÜÚ ÐÐ ÓØ Ü
Þ ÜÖÒÐ Ý Ó Û µ ÜÝ Ý Þ Ü Ð ÜÛÔ Ø¹ ÕÔ Ð Þ Ý Ü Ö º¾ dx dy = µx + y xy 2 = µy x y 3 x = y = 2µ sin t +... 2µ cost +... Ü Ú Ò Ð Ð ÐÕÒ µ = 0 ÜÝ Þ ÜÖÒÐ Ý ÚÛÜ Ø ºÓ ÜÞØ Ð Ü Ð µ Ü Þ ÚÒ Supercritical Hopf bifurcation
ÕÜ ÛÜÐ º x n+ = λ sinπx n λ ÜÝ Ú Þ Ý Þ ÛÔ Ý Ý Þ ÜÒ Ô Þ ÚÐ Ò Õ Ñ Ú Ò ¹Ð 0 Ó Ö Û λ µ º ÐÖÒ 0.72 ÜÖ λ ÜÝ Ú 2 Ü ÒÒ Ü Ò Ð ÐÕÒ 0.72 ¹Ð Þ ÞÒ ÞÚÛ ÜÖ Þ Ð ÛÐ ÓÞ Ô Ó Ò ÜÝ Þ ÝÒ Þ Þ Ø Ý ÚÛÜ Ø Õ µ º ÚÛÜ Ø ÞÝ ÜÞÒ λ ÐÝ ÓÐ Ð Ü Ò Ð ÐÕÒ ÐÝ Þ Ý Þ ÛÔ ÐÝ x ÐÝ Ñ ÜÖ Ñ Ú Ò µ λ x 0.70 0.6424239608744 0.75 0.64353279494046 0.720 0.64205528564739, 0.6494824859946 0.725 0.60270577640549, 0.68758666857785 ÐÝ ÜÖ Þ Ñ ÚÒÐ Ý µ ÚÛÜ Ø Þ ÛÔÐ ÓÒ ÚÒÐ Ð Ñ Ô ÞÔ Ü Ö º x ÐÝ ÜÖ Þ Ñ λ ÞÒ ÛÒ x 0 Þ Ý Þ ÛÔ ÕÜ ÛÜÐ Ý ºPeriod doubling bifurcation µ x = λ sin πx º Ý Ð Ø Ò ÜÝ ÞÝ ÜÞÒ ÚÛÜ Ø λπ cosπx ÛÔ Ð Ø Ò Þ ÝÒÐ x 0 Ó ÜÞØ Ý Ý λ ÐÝ ÜÖ ÜÒ Ð x = λ sin πx, λπ cosπx = x ¹Ð ÛÜ ÝÒ Þ Ð λ Þ ÙÐ Ð ÓÞ Ô tan πx = πx º ¹Ð 2 Ó x ÐÝ ÜÖ Þ Þ ÝÖÐ Ñ Ü Ü Ý µ ¹ Þ Ý Þ ÛÔ Ý ÔÔ x n+ = F(x n, λ) ÛÞÖ Þ Þ Ô Þ ÐÐ Ü Þ ÑÖ x, λ x = F(x, λ ), F x (x, λ ) = Ü Ú λ > λ ¹Ð Ñ ÔÝ Ü ÒÒ Ü Ò Ð ÐÕÒ ÝØ Ô x = x + a λ λ + a 2 (λ λ ) +... x 2 = x + b λ λ + b 2 (λ λ ) +... ÜÒ Ð ºx = F(x 2, λ) x 2 = F(x, λ) Ý ÜÐ Ý x + b λ λ + b 2 (λ λ ) +... = F ( x + a λ λ + a 2 (λ λ ) +...,λ + (λ λ ) ) = F(x, λ ) + ( a λ λ + a 2 (λ λ ) ) F x (x, λ ) + 2 a2 (λ λ )F xx (x, λ ) +(λ λ )F λ (x, λ ) +...
Ó Ð ºÑ ØÐ Ò b ¹ a ÑÖ Ü Þ b = a b 2 = a 2 + 2 a2 F xx(x, λ ) + F λ (x, λ ) a = b a 2 = b 2 + 2 b2 F xx(x, λ ) + F λ (x, λ ) ÜÕÐ Þ ÐÐ Ü Ú Ý ºa Ò Ö ÛÐ Ð Þ Ô Õ ÕÔ Û Ñ Þ ÝÒ ÐÝ x = x + a λ λ + a 2 (λ λ ) + a 3 (λ λ ) 3/2 +... x 2 = x + b λ λ + b 2 (λ λ ) + b 3 (λ λ ) 3/2 +... x + b λ λ + b 2 (λ λ ) + b 3 (λ λ ) 3/2 +... = F ( x + a λ λ + a 2 (λ λ ) + a 3 (λ λ ) 3/2 +...,λ + (λ λ ) ) = F(x, λ ) + ( a λ λ + a 2 (λ λ ) + a 3 (λ λ ) 3/2) F x (x, λ ) + ( a 2 2 (λ λ ) + 2a a 2 (λ λ ) 3/2) F xx (x, λ ) + 6 a3 (λ λ ) 3/2 F xxx (x, λ ) +(λ λ )F λ (x, λ ) + a (λ λ ) 3/2 F xλ (x, λ ) +... Ñ ÔÞ Þ Ñ Ø Õ Ò b 3 = a 3 + a a 2 F xx + 6 a3 F xxx + a F xλ a 3 = b 3 + b b 2 F xx + 6 b3 F xxx + b F xλ Ñ Ñ Ô Õ ÕÔ Û Ð a a 2 F xx + 6 a3 F xxx + a F xλ = b b 2 F xx + 6 b3 F xxx + b F xλ Ý Ü Þ Ð ÛÐ b 2 = a 2 + 2 a2 F xx + F λ b = a Ñ Õ ÝÒÞÝÔ a 2 = 6 2F xλ + F λ F xx 2F xxx + 3F 2 xx a 2 = 6 λ π 2 2 + π 2 x 2 2 + 3π 2 x 2 ÔÐ Ý ºÜ Ö Ý ÔÐ ÛÝ Ò Ò ÐÖ ÛÜ Ð ÞÕ Ð Ñ Ô ÞÔ Ò ÚÛÜ Ø Þ ÛÔ Þ Ú Ð ÐÛ Ü ¹Ý ÔÐ Ý ÚÛÜ Ø ÐÖÒ Ñ ÚÒÔ Ô Ô Þ ºλ = 0.720 ¹ Ü ÛÝ x = x + a λ λ +... x 2 = x a λ λ +... x 2 (x + x 2 ) 0.645768 Ó Ð
ÝÒ ÞÒ x = λ sin πx ÝÒ ÞÒ λ ¹Ð ÓÒ Ð ÛÐ ÓÞ Ô Þ ÝÒ ÞÝÒ ÝÞ Þ Ð ÛÔ Ð Û Ò Ô x ¹ Þ ºπλ cosπx = Ü Û Ý Ð Ñ Ý º λ 0.79988 ÔÝ Ò λ 0.79949 Ó Ý Ü Ò Ñ Ð ÛÒ ÜÞ Ð Ð ÜÕÒ ÜÔ Ý λ λ ÐÝ Ð ÜÕÒ Ñ Ü Ô Ô Ø Ô ÝÖÝ Ð Ñ Ü Ñ Ô ÞÔ ÝÒÞÝ Ð ÜÝØ Ü Û Þ ÜØÝÐ ÓÞ Ô º0.00005¹Ò Ó Ö Ý λ ¹ x ¹Ð Û Ò Ü Û ÔÐ ÛÝ Þ ÜÒÐÝ Ð Ñ ÝÐ ÓÞ Ô Ñ ÛÒ Õ Ô Ý Ò Ý ÐÖ Þ ÓÛÞÐ ÓÞ Ô º 0.72 λ ÝÜØ Þ Ð Ò ÖÒ Þ x x 2 2a λ λ a 0.5999 ÓÞ Ô ºa Ý x, λ ¹Ð Ñ Ô Ñ Ü Û Ñ ÝÒÞÝÒ ÜÝ 0.72 λ 0.00003832 λ 0.799668 Ñ Ð ÛÒ Ò Þ ÜØÕ ÐÝ Û ÓÞ Ô 0.72 λ ÝÜØ Þ ÜØÕ ¹ ÐÝ Û Þ ÜØÕ ¹Ð Û Ò ÒÚÖ λ ¹ ºÓ Ð ÓÞ ÔÝ Ü Ö Ý
ÛÞÖ Ð º x n+ y n+ = y n + ax n x 3 n = bx n Ñ Ö Û a, bµ ºÞ Ý Þ ÛÔ Ð Þ ÚÒ µ º ÜØÔ µ Þ Ý Þ ÛÔÒ Ð ÐÝ Þ Ú Ð a, b ÐÖ Ñ ÔÞ ÚÒ µ º µ Þ Ú Ó Þ Ý Þ ÛÔ Ð Ý a ÐÝ Þ ÚÒ b = 4 ÜÛÒ µ Ý a + b Ñ Ó Ð ºx = (b + a)x x 3 ¹ y = bx Ñ Þ Ý Þ ÛÔ (x, y) µ ¹ Þ ØÕ Ô Þ Ý Þ ÛÔ ÞÝ Ý a + b > Ñ Ð (0, 0) ¹ Þ Þ Ý Þ ÛÔ ÛÜ º (± a + b, ±b a + b ) λ 2 Tr(A)λ + det(a) = 0 Ó Ø Ò Ñ Ô Ð Ø 2 2 Ú Ü ÒÐ µ ( Tr(A) ± (Tr(A)) 2 4 det(a) 2 Ñ Ñ ÒÚÖ Ñ ÜÖ ) º Ð Ò ÜÖ ¹Ò Ñ Ô Û Ñ Ñ Ö Ö ÔÝ ÞÒ ÞÖÐ Ñ Ú Ü Ô Ô º det(a) < ÜÚ det(a) > 4 (Tr(A))2 ÜÒ Ð Ð ÐÝ ÔÔ Ò ÜÛÕ Ñ ºdet(A) > Tr(A) ÜÚ det(a) < 4 (Tr(A))2 ÜÒ Ð ÔÔ Ò ÜÛÕ Ñ º Tr(A) < 2 ÜÚ det(a) = 4 (Tr(A))2 ÜÒ Ð ÕØ ÔÔ Ò ÜÛÕ Ñ 4 (Tr(A))2 < det(a) < Tr(A) < det(a) < 4 (Tr(A))2 Ý det(a) = 4 (Tr(A))2 < Tr(A) < det(a) < ÜÒ Ð ( a b 0 Þ ÛÐ Þ Ü Ô ÞÚ Ü Ò (0, 0) ¹ ) a < b < < b < a Ñ Þ Ú Ý Ó Ð
Þ ÛÐ Þ Ü Ô ÞÚ Ü Ò (± a + b, ±b a + b) ¹ ( 3 2a 3b b 0 ) 3 2a 3b < b < < b < 3 2a 3b Ñ Þ Ú Ý Ó Ð Ñ ÝÐ ÝÒ ÔÝ Ô
Þ Þ Ý Þ ÛÔ Ý ÔØÐ ¹ a + b = ÜÝ pitchfork bifurcation Þ ÜÖÒÐ Ý ºÞ Ú Ñ ÞÝ ÑÖ Ý ÐÝÐ ÞÐÚØÞÒ Ú Ú Ð a < 3 4 Ñ Ú Þ Þ Ý Þ ÛÔ ÛÜ Ý a 3 4 Ñ b = 4 ÒÝ Ô Ð ¹ ÐÝ Ô Þ Ð Ð ÜÛÒ Þ ÔÛ Ðµ º a > 3 4 Ñ Þ ÛÔ Ý a > 3 4 Ñ µ ÜÝ ºÓ Þ ÝÖÐ ÛÚ Ñ Ð Õ Þ Ó Ñ Ô Õ Ò Ý º Ú Ð Þ Þ ØÐ Ñ Þ Ý