mod18a.dvi

ÏÓÐ Ò Ãº Ë Ð Ö Ì Ðº 55 ¾¼½ ½ º ÂÙÒ ¾¼½ Modulklausur Zahlentheorie Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen! Aufgabe : ( ÈÙÒ Ø µ µ a 0,...,a r Ò ÒÞ Ð Ò ÙÒ e 0,...,e r N 0 º Ò Ë Lösung: Ï Ò 0 ÑÓ 9 Ø Ù 0 e ÑÓ 9 ĐÙÖ ÐÐ e N 0 º r a i 0 e i r a i ÑÓ 9 µ Ò Ò ØĐÙÖÐ Ð n Ø Ò Ù ÒÒ ÙÖ Ò ÙÒ Ø Ð Ö Û ÒÒ ËÙÑÑ Ö Ö Þ ¹ Ñ ÐÞ «ÖÒ Ö ÉÙ Ö ÙÑÑ µ ÙÖ Ò ÙÒ Ø Ð Ö Øº Lösung: Ø Ö ËÔ Þ Ð ÐÐ ÚÓÒ µ Ñ ÐÐ e i = i Ò ÙÒ a i {0,,...,9}º µ n N Þ Ñ ÐÞ Ð ÒØ Ø Ø Û ÒÒ Ñ Ò Ð Ò ÚÓÒ Ò ½¼¼ Ó Ò Û ÒÖĐ ÙÑ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ö Ø Ð Ó i=0 n = 345678903...9697989900 º Ø ÑÑ Ò Ë Ê Ø ÚÓÒ n Ö Ú ÓÒ ÙÖ a =,3,4,5,6,7,8,9,0 ¾ Ò ËØ ÐÐ ÚÓÒ Ø kein ÖÙ Ð Ö Ö Ê Ø ÑÓ ÙÐÓ ÛĐ Ö ÒÙÖ Ñ Ø ÖÓ Ñ Ù Û Ò ÞÙ Ø ÑÑ Ò Ö ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÐĐ Ø Ò Ù Ò Ò Ö Ò Ö Ò Òºµ Lösung: n Ø ÙÖ ÙÒ ÖØ Ø Ð Ö Ð Ó Ö Ø Ö Ø ÙÖ,4,5 ÙÒ 0º Ë ØÞ Ò Û Ö a i = i ÐĐ Ø n Ñ Ø Ò Ø Ò e i Ò Ö ÓÖÑ Ù µ Ö Ò ÓÑ Ø Ø 00 00 n a i = i = 00 0 i= i= = 5050 5+5 = 0 ÑÓ 9 ÙÒ Ñ Ø Ø Ù n ÑÓ 3º n ÑÓ 3 Ø n ÑÓ 6 Ó Ö n 4 ÑÓ 6º n Ö Ø ÓÑÑØ ÒÙÖ ÞÛ Ø ÅĐÓ Ð Ø Ò ØÖ Øº ½¼¼¼ ÙÒ Î Ð ÚÓÒ ÙÖ Ø Ø Ð Ö Ò Ø n 00 4 ÑÓ 8º 7 = 8 9 Û Û Ö Ö Ø Û Ò Ø n 4 ÑÓ 8 ÙÒ n ÑÓ 9º Ø ÙÒ Ò ÙÒ Ø Ð Ö Ö Ñ Ò ĐÓÒÒ Ò Û Ö Ò Ò Ò Ê Ø ØÞ ÒÛ Ò Ò ÙÑ n ÑÓ 7 ÞÙ Ø ÑÑ Ò { { ÑÓ 8 9 ÙÒ 0 ÑÓ 8 8 0 ÑÓ 9 ÑÓ 9 ÓÑ Ø Ø n 8 +9 4 = 8 ÑÓ 7º Ö Ù Ø Ú ÓÒ Ö Ø Ø Ð Ó 8º µ Ð Ö Ð ÒÒ n Ò ØĐÙÖÐ Ò Ø ÔÖ Ñ Òº Ï ÒÒ Û Ö ÒØ Ò ÒÓ Ð ½¼½ Ò Đ Ò Ò Ö ÐØ Ò Û Ö Ò ÙÒ Ö Ð mº Á Ø m Ò ÈÖ ÑÞ Ð Lösung: Æ µ Ø m 0 i= Ð ĐÙÖ m Ó Ù m Ò ÈÖ ÑÞ Ð Øº i=0 i = 0 0 ÑÓ 9º ½¼¾ ÙÖ Ö Ø Ð Ö Ø ÐØ

Aufgabe : ( ÈÙÒ Ø µ Ö Ù ÐÐÛ ÐØÑ Ø Ö Ø ÖÒ Ò Ò Ñ Ê Ø ÙÖ ÒØ Ò Ù ÐÐ Ô Ð Ö ÓÛ ÝÖ ÙÒ ÖÙ Ò º ÍÑ ÙÒ Ö ÎÓÖÙÖØ Ð ÞÙ Ö Ô Ø Ö Ò Ø ÐÐØ Ö ÝÖ ¹ Ò Ò Å Ö ÙÒ Ö ÖÙ Ò ÙÒ ÖØ Ö ÑÑ ÏÓ º Ù ÐÐ Ô Ð Ö Ò Ò ÖÙÔÔ Ò ÚÓÒ Û Ð Ð Ö ÙÒ Ò ÓÑÑ Ò ÙÒ Ò Ò Ö ÖÑ ÒÙÒ Ò Ò ÌÖ Ò Ö Ø ÐÐØ Ö ÚÓÒ Ò Ò Ò Ð Å Ò Ö ÐÛ Öº Ò Å Ö Ó Ø Ø ¼¼ ÊÙ Ð ÙÒ ÖØ Ö ÑÑ ÏÓ ÙÒ ÖØ ÊÙ Ð ÙÒ Ò Ð Å Ò Ö ÐÛ Ö ¼¼ Ê٠к Ö Ã ÐÐÒ Ö ÖÚ ÖØ Þ ØÖĐ Ò ÙÒ ÖØ Ó Ò ÌÖ Ò Ð µ 400 Ê٠к Ï Ú Ð Ù ÐÐ Ô Ð Ö ÙÒ Û Ú Ð ÝÖ ÞÛº ÖÙ Ò Ò ÒÛ Ò Lösung: x ÒÞ Ð Ö Ù ÐÐ Ô Ð Ö y Ö ÝÖ Ò Ò ÙÒ z Ö ÖÙ Òº Ï ÒÒ Û Ö ÈÖ Ö Ò Ø Ð Ö Ò ÙÒ ÖØ ÊÙ Ð Ù ÖĐÙ Ò Ö ÐØ Ò Û Ö Ò Ð ÙÒ Ò x+y+z = 70 ÙÒ 6x+3y+z = 4 º Ù Ö Ñ Ø x ÙÖ Ð Ø Ð Öº ËÙ Ø ØÙ Ö Ò Û Ö z = 70 x y Ò Ö ÞÛ Ø Ò Ð ÙÒ Ö ÐØ Ò Û Ö 5x+y = 4 70 = 44 º Ö Ì Ò ÚÓÒ ĐÙÒ ÙÒ ÞÛ ÐĐ Ø Ð = 5 Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ó Ø 44 = 5 44 88 º ÎÓÒ Ö Ð ÙÒ ĐÓÒÒ Ò Û Ö ÒÓ Î Ð ÚÓÒ 0 = 5 5 Ù ØÖ Ö Ò ÐÐ Ñ Ò ÒÞÞ Ð ÄĐÓ ÙÒ Ø Ð Ó x = 44 k, y = 88+5k ÙÒ z = 70 x y = 4 3k º x,y,z ÔÓ Ø Ú Ò ÑĐÙ Ò Ø k < 7 k > 88/5 > 57 ÙÒ k < 4/3 < 7 º º 58 k 7º Ñ Ø Ð Ø x ÞÛ Ò 54 7 = ÙÒ 54 58 = 38 ÙÒ Ø Ò Ö ÙÖ Ð Ø Ð Ö Ðº ËÓÑ Ø Ø x = ÙÒ k = 6 Ð Ó y = 5 6 88 = 7 ÙÒ z = 70 7 = 3º ÒÛ Ò Ò ÓÑ Ø ¾¾ ËÔ Ð Ö ½ ÝÖ ÙÒ ½ ÖÙ Ò º Aufgabe 3: ( ÈÙÒ Ø µ µ Ö Ò Ò Ë Ñ ÃĐÓÖÔ Ö F 0 Ð Ñ ÒØ x = 9 +0 +, x = 5 40 ÙÒ x 3 = 5 33 Lösung: ÁÒ F 0 Ø 9 = 8 = 0 0 = 00 = ÙÒ = 44 = 43 Ð Ó x = 0 43 = º x = 5 40 = 000 Û Ò 00 = Ø x = 0 = 9º ÙÖ Ö ÒÙÒ ÚÓÒ x 3 ÑĐÙ Ò Û Ö ÞÙÒĐ Ø ĐÙ Ö Ò ÖÛ Ø ÖØ Ò Ù Ð Ò Ð Ó¹ Ö Ø ÑÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÁÒÚ Ö ÚÓÒ 33 Ø ÑÑ Ò 0 33 = 3 Ê Ø = 0 3 33 33 = 6 Ê Ø = 33 6 (0 3 33) = 49 33 6 0 ËÓÑ Ø Ø 49 33 ÑÓ 0 Ñ ÃĐÓÖÔ Ö F 0 Ø Ð Ó x 3 = 5/33 = 5 49 = 45 = 43º ÙÖ ÈÖÓ ĐÓÒÒ Ò Û Ö ÒÓ Ò Ö Ò Ò Ò Ö Ì Ø 43 33 = 49 = 4 0+5 غ

µ Ò Ë Ò F 0 ÐØ 99 i= i = Lösung: Æ Ö Ï Ð ÓÒ Ò ÃÓÒ ÖÙ ÒÞ Ø 00! = 00 i=i ÑÓ 0 Û Ò 00 ÑÓ 0 Ø ÈÖÓ Ù Ø Ð Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÞÙ + Û ÒÒ Ñ Ò Ò ØÓÖ ½¼¼ Û ÐĐ Øº µ Ò Ë ÞÛ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÏÙÖÞ Ð ÑÓ ÙÐÓ ½¼½ Ø Lösung: 0 = 00 = 5 Ò Ð Ñ ÒØ a Ø Ð Ó Ò Ù ÒÒ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÏÙÖÞ Ð Û ÒÒ a 00 ÑÓ 0 Ø Ö a 0 ÙÒ a 50 ÑÓ ÙÐÓ ½¼½ ÚÓÒ Ò Ú Ö Ò Ò º 0 = 04 4 ÑÓ 0 Ð Ó Ø 0 4 = 96 6 ÑÓ 0 Ó«Ò ØÐ ÚÓÒ Ò Ú Ö Òº 50 = 0 0 0 ( 6) 4 = 504 ÑÓ 0 Ø Ò ÐÐ ÚÓÒ Ò Ú Ö Ò Ö ÉÙ Ö Ø 00 Ø ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò º ËÓÑ Ø Ø ÞÛ Ò Ö Ì Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÏÙÖÞ Ðº µ Ò Ò Ë ÐÐ ÄĐÓ ÙÒ Ò Ö Ð ÙÒ x + = 0 Ò F 0 Lösung: Ð ÙÒ Ø Đ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙ x = = 00 Ø Ð Ó Ó«Ò ØÐ ±0 Ð ÄĐÓ ÙÒ Òº Û Ö Ò Ò Ñ ÃĐÓÖÔ Ö Ò ÒÒ Ò Ø Ñ Ö Ð ÞÛ ÄĐÓ ÙÒ Ò Ò ÓÑ Ø Ò x = 0 ÙÒ x = 0 0 = 9 ÒÞ Ò ÄĐÓ ÙÒ Òº Aufgabe 4: ( ÈÙÒ Ø µ 08 = 009 ÙÒ ½¼¼ Ø Ò ÈÖ ÑÞ Ðº µ Ï Ð Ð Ò ÞÛ Ò ÒÙÐÐ ÙÒ ¾¼½ Ò ÒÚ ÖØ Ö Ö ÑÓ ÙÐÓ ¾¼½ ÙÒ Û Ú Ð Ò Lösung: Ò ÐÐ Ø Ð Ö Ö Ñ ÞÙ ¾¼½ Ò Ð Ó Û Ö ÙÖ ÞÛ ÒÓ ÙÖ ½¼¼ Ø Ð Öº ÁÑ Ò Ò Ò Ö Ò ÐÐ ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ù Ö ½¼¼ Ð Ó ½¼¼ ËØĐÙ º µ Ï Ú Ð Ð Ñ ÒØ Ø ÔÖ Ñ Ê Ø Ð Ò ÖÙÔÔ ÑÓ ÙÐÓ 08 = 4036 Lösung: ÈÖ ÑÞ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ ¼ Ø 009 Ð Ó Ø ϕ(4036) = ϕ( ) ϕ(009) = ( ) (009 ) = 06 º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÒ Ñ Ò Ò ØĐÙÖÐ Ù Û µ Ö ÙÑ ÒØ Ö Òºµ µ À Ø ÃÓÒ ÖÙ ÒÞ x 7 ÑÓ 009 ÒÞÞ Ð ÄĐÓ ÙÒ Ò Lösung: ( ½¼¼ Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ø ÐØ Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ Ä Ò Ö ¹ËÝÑ ÓÐ 7 09) = غ 09 ÑÓ 4 Ø ÙÒ 009 7 = 44 Ê Ø ½ ÐØ Ò Ñ ÕÙ Ö Ø ¹ Ò Ê Þ ÔÖÓÞ ØĐ Ø ØÞ ( ) 7 = 009 ( ) 009 = 7 ( ) = 7 ÒÒ Ò Ø Ò ØĐÙÖÐ Ò ÕÙ Ö Ø Ö Ê Ø ÑÓ ÙÐÓ Òº ËÓÑ Ø Ø ÃÓÒ ÖÙ ÒÞ ÐĐÓ Öº µ À Ø ÃÓÒ ÖÙ ÒÞ x 7 ÑÓ 08 ÒÞÞ Ð ÄĐÓ ÙÒ Ò Lösung: Ï Û Ö Ö Ò Ò Ø x Z Ñ Ø x 7 ÑÓ 009º Ù Ö Ñ Ø y Z Ñ Ø y 7 ÑÓ Ô Ð Û y = º Æ Ñ Ò Ò Ê Ø ØÞ Ð Ò Ù x ÙÒ y Ð Ò z Ø ÑÑ Ò Ñ Ø z 7 ÑÓ 08º ÃÓÒ ÖÙ ÒÞ Ø Ö ÐĐÓ Öº

µ Ù Û Ð Ò ÏÓ ÒØ Đ ÐÐØ Ö ½º ÅĐ ÖÞ 4036 Lösung: ÆÙÑÑ Ö ÏÓ ÒØ Ø ÑÓ ÙÐÓ Ò ÓÒ ÖÙ ÒØ ÞÙ [ ] [ ] [ ] 4035 4035 4035 4035+ + +3+9+ = 4035+008 40+0+6 = 5074 6 ÑÓ 7 º 4 00 400 Ö ½º ÅĐ ÖÞ ¼ Ø Ð Ó Ò Ë Ñ Ø º Aufgabe 5: ( ÈÙÒ Ø µ µ Ð N = 040553 Ø ÈÖÓ Ù Ø ÞÛ Ö ÙÒ Đ Ö Ð ÖÓ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Òº Ø ÑÑ Ò Ë Lösung: ÁÒ Ö Ë ØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Î Ö Ö Ò ÚÓÒ ÖÑ Ø Ò º º Û Ö Ù Ò Ò i ĐÙÖ N+i Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Øº ĐÙÖ i = 0,,,3 Ø N+i Ò ÒÞ Ð Ö N+4 = 040569 = 4587 º ËÓÑ Ø Ø N = 4587 4 = (4587 4)(4587+4) = 4583 459 µ Ï ÒÒ Û Ö ÐÐ ÑÔ ÐÙÒ Ò ÞĐÙ Ð Ö ÖĐÓ Ö È Ö Ñ Ø Ö ÒÓÖ Ö Ò ĐÓÒÒ Ò Û Ö N Ð ÊË ¹ÅÓ ÙÐ Ú ÖÛ Ò Òº Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ð Ò ØÑĐÓ Ð Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Ø Ñ ÙÒ Ø ÓÒ ÖØ Lösung: e ÑÙ Ø Ð Ö Ö Ñ Ò ÞÙ p = 458 ÙÒ ÞÙ q = 4590º Ñ Ø ÑÙ e Ò ÓÒ Ö ÙÒ Ö Òº ¼ Ø ÓÛÓ Ð ÙÖ Ö Ð Ù ÙÖ ĐÙÒ Ø Ð Ö Ð Ó ÓÑÑ Ò Ð Ò Ò Ø Ò Ö º Ú ÓÒ ÙÖ Ò Ø ¾ Ò Ê Ø Ú Ö ÙÒ ¼ Ê Ø ĐÙÒ Ð Ó Ø e = 7 Ö Ð Ò ØÑĐÓ Ð ĐÓ«ÒØÐ ÜÔÓÒ Òغ µ Ò Ò Ë ÞÙ Ò Ò ÑĐÓ Ð Ø Ð Ò Ò ÔÖ Ú Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò d Lösung: q Ø Ó«Ò ØÐ ÙÖ ÞÛ ĐÙÒ ÙÒ Ò ÙÒ Ø Ð Ö Ú ÓÒ ÙÖ Ö Ò ÈÖÓ Ù Ø ¼ Ö Ø Ò ÉÙÓØ ÒØ Ò 5 = 3 7º ËÓÑ Ø Ø 4590 = 3 3 5 7º ÏĐ Ö p ÙÖ Ö ĐÙÒ Ó Ö Þ Ò Ø Ð Ö Ó Ù «Ö ÒÞ q p = 8 ÙÒ Ø Ó«Ò ØÐ Ò Ø Ö Ðк Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Î Ð ÚÓÒ p ÙÒ q Ø Ö λ = (p )(q ) = 458 4590 = 055690 º Ï Ö ÑĐÙ Ò Ò Ð Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ù Ö Ð ÙÒ Ò Ù ÖĐÙ Ò Ð Ó Ò ÖÛ Ø ÖØ Ò Ù Ð Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÛ Ò Ò 055690 7 = 504 Ê Ø 3 3 = 055690 7 504 7 3 = Ê Ø = 7 (055690 7 504) = 3004483 7 055690 º ËÓÑ Ø ĐÓÒÒ Ò Û Ö d = 3004483 ÛĐ Ð Òº Aufgabe 6: ( ÈÙÒ Ø µ µ Ø ÑÑ Ò Ë Ã ØØ Ò ÖÙ ÒØÛ ÐÙÒ ÚÓÒ = 3 Lösung: 3 < < 4 Ø Ö ÒÞÞ Ð ÒØ Ð Ö Ö Ã ÖÛ ÖØ Ö «Ö ÒÞ Ø +3 = 3 3 = + 3

ÙÒ Ø ÒÞÞ Ð Ò ÒØ Ð ÞÛ º Ð Ò Û Ö Û Ö Ò Ã ÖÛ ÖØ Ö «Ö ÒÞ 3 = 3 = 3( +3) = +3 3 3 Ó Ø Ò ÒÞ Ð Ö ÒØ Ð º «Ö ÒÞ Ø 3 Û Û Ö ÓÒ Ó Ò ØØ Ò º º Ö Û Ö ÐÐ Ô Ö Ó ÙÒ = 3+ º + 6+ + 6+ µ Ò Ò Ë Ò ÒÞÞ Ð ÄĐÓ ÙÒ Ö Ð ÙÒ x y = Lösung: Ù x y = ÓÐ Ø ( ) ( )( ) x x x = y y y + = y x y = ( ) º x y y + ( ) x Ï Ò > Ø x y y > Ð Ó Ø Ö Æ ÒÒ Ö Ö Ø Ò ÓÒ Ö ÖĐÓ Ö Ð y ÙÒ Ñ Ø ÑÙ x/y Ò Ä Ò Ö Ò ÃÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ã ØØ Ò ÖÙ ÒØÛ ÐÙÒ ÚÓÒ Òº Ï Ö ÑĐÙ Ò Ð Ó Æ ÒÒ Ö ÙÒ Đ Ð Ö Ö ÃÓÒÚ Ö ÒØ Ò Ö Ã ØØ Ò ÖÙ ÒØÛ ÐÙÒ ÙÖ ÔÖÓ Ö Òº 3 = 3 Ð ÖØ 3 = 3º ÒĐ Ø ÃÓÒÚ Ö ÒØ Ø 3 = 7 ÙÒ 7 = º ËÓÑ Ø Ø x = 7,y = Ò ÄĐÓ ÙÒ º µ Ò Ò Ë Ò Ò ÆĐ ÖÙÒ ÖÙ Ñ Ø ÑĐÓ Ð Ø Ð Ò Ñ Æ ÒÒ Ö Ö ĐÓ Ø Ò ÙÑ 0 3 ÚÓÒ 6/576 ÙÒØ Ö Ø Û Ò Ë Ë Ö Ò Ó Ò Þ Ñ Ð Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Ö Ð Ú ÒØ Ò ÖĐÙ ÞÙ Ö Ò Òº Lösung: Ø Ò ÆĐ ÖÙÒ Ò Ò ÃÓÒÚ Ö ÒØ Ò Ö Ã ØØ Ò ÖÙ ÒØÛ ÐÙÒ Ø p/q Ò ÓÐ ÃÓÒÚ Ö ÒØ Ó Ø Ö ØÖ Ö Û ÙÒ Ð Ò Ö Ð /q º 6 576 = + 35 576 ÙÒ 576 35 = 6+ 6 35 Ö Ö Ø ÆĐ ÖÙÒ ÖÙ Ø Ð Ó 6 º 6 = 8 = 56 Ð Ò Ö Ð Ì Ù Ò Ø Ö Ø ÒÓ Ò Øº 35 6 = + 3 Ö ÒĐ Ø ÆĐ ÖÙÒ ÖÙ Ø Ð Ó 6 + 6+ = 33 = 35 33 º 33 = 089 > 000 Ø ÙÒØ Ö Ø Ö ÖÙ ÙÑ ĐÓ Ø Ò Ò Ì Ù Ò Ø Ð ÚÓÒ 6/576º

Aufgabe 7: ( ÈÙÒ Ø µ µ Ò Ë i Ñ Ê Ò Z Zi Ö Ù Ò Ð Ò Ð ÉÙ Ö Ø Ò ÖÖ ÙÞ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ò Û Ö Ò ÒÒ Lösung: ÒÒØÐ Ø = (+i)( i) Ð Ó Ø i = (+i) (i( i) ) = (+i)(i+) = (+i) º +i Ø ÖÖ ÙÞ Ð Ò ÆÓÖÑ ÞÛ Ò ÈÖ ÑÞ Ð Øº µ ÖÐ Ò Ë 34i Ò Z Zi Ò Ò ÈÖÓ Ù Ø ÚÓÒ ÈÓØ ÒÞ Ò Ò Ø ÓÞ ÖØ Ö ÖÖ ÙÞ Ð Ö Ð Ñ ÒØ Lösung: 34 = 7º 7 ÑÓ 4 ÙÒ ÔÖ Ñ Ø ÐĐ Ø Ð Ð ËÙÑÑ ÞÛ Ö ÉÙ Ö Ø Ö Ò Ò Ö Ì Ø Ø 7 = 4 + º ËÓÑ Ø Ø 7 = (4 + i)(4 i)º ØÓÖ Ò Ò ÖÖ ÙÞ Ð Ö ÆÓÖÑ ÈÖ ÑÞ Ð ½ Ø ÙÒ Ò Ò Ø ÓÞ ÖØ Ò Z Zi ÒÙÖ Ú Ö Ò Ø Ò ± ÙÒ ±i Ø ÙÒ Ö ÉÙÓØ ÒØ Ö Ò Ð Ò Ñ Ø Ò Ö ÚÓÒ ĐÙ Ö Ò Ø ÑÑغ Ù ÑÑ Ò Ñ Ø µ ÓÐ Ø Ù Ø ÖÐ ÙÒ Øº 34i = (+i) (4+i)(4 i) µ Ò Ò Ë Ù Ò ÚÓÒ µ ÙÒ µ ÐÐ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò ÚÓÒ Ð ËÙÑÑ ÞÛ Ö ÉÙ Ö Ø Lösung: 34 = 7 ÒÙÖ Ò Ò ÈÖ ÑØ Ð Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò ÑÓ ÙÐÓ Ú Ö Ø Ø Ù Ê Ò ÓÐ ÒÙÖ Ò ÓÐ Ö Ø ÐÐÙÒ º 34 = 7 = (+I)( I)(4+i)(4 ) = ( (+i)(4+i) )( ( i)(4 i) ) = (3+5i)(3 5i) = 3 +5 º µ Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ö ÆÓÖÑ Ò Z Zi Lösung: ÆÓÖÑ ÚÓÒ a+bi Ø a +b Ò µ Ø ÒÙÖ ĐÙÖ Ð Ò ±3±5i ÙÒ ±5±3i Ð º µ Ö Ò Ò Ë Ò Z Zi Ò Ì ÚÓÒ 7+9i ÙÒ 0 Lösung: 7+9i ØÞ Ò 0 = 7 0 + 9 0 ÁÑ ÒĐ Ø Ò Ë Ö ØØ Ø 0 3 i = i Ø +i Ð ÒĐ Ø Ð Ò Ð Ù Z Zi Û Ö ĐÓÒÒ Ò Ð Ó (7+9i) 0 = +i Ê Ø 3 iº 30+0i ( 3 i)( 3+i) = 30+0i = 3+i 0 Ú ÓÒ Ø Ð Ó Ù Ó Ò Ê Ø ÓÑ Ø Ø Ö Ì Ð 3 iº Ò Ì ÒÙÖ Ù Ò Ø Ò Ò ÙØ Ø ÑÑØ Ø ĐÓÒÒ Ò Û Ö ÒÓ Ô Ð Û Ñ Ø Ö Ò Ø ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ÙÑ ØÛ ĐÓÒ Ö Ö Ò 3+i ÞÙ ÓÑÑ Ò Û Ö ĐÓÒÒØ Ò Ù Ñ Ø i ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ÙÒ Ò Ì Ð +3i ÖÞÙ Ø ÐÐ Òº

Aufgabe 8: ( ÈÙÒ Ø µ p,...,p r Ò Ú Ö Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÙÒ N Ö ÈÖÓ Ù Øº µ Ï Ú Ð Ð Ñ ÒØ Ø ÔÖ Ñ Ê Ø Ð Ò ÖÙÔÔ (Z/N) Lösung: ÇÖ ÒÙÒ Ö ÔÖ Ñ Ò Ê Ø Ð Ò ÖÙÔÔ Ø ϕ(n) = ϕ(p ) ϕ(p r ) = (p ) (p r ) º µ λ Ò Ñ Ò Ñ Î Ð ÐÐ Ö Ð Ò p i º Ò Ë a λ+ a ÑÓ N ĐÙÖ alle a Zº Lösung: Á Ø a Ø Ð Ö Ö Ñ ÞÙ p i Ó Ø a p i ÑÓ p i Ò Ñ Ð Ò Ò Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Øº λ Ò Î Ð ÚÓÒ p i Ø ÓÐ Ø ÒÒ Ù a λ ÑÓ p i Ø ÙÒ Ñ Ø a λ+ ÑÓ p i º Ò Ò Ø ÞÙ p i Ø Ð Ö Ö Ñ Ð a Ø ÙÖ p i Ø Ð Ö ÙÒ Ð ÐØ Ò ØĐÙÖÐ Ù ĐÙÖ a λ+ º º a λ+ 0 a ÑÓ p i º ËÓÑ Ø Ø a λ+ a ÑÓ p i ĐÙÖ ÐÐ a Zº ĐÙÖ ÐÐ i ÐØ ÓÐ Ø a λ+ a ÑÓ N ĐÙÖ ÐÐ a Zº µ e Ø Ð Ö Ö Ñ ÞÙ ÐÐ Ò Ð Ò p i º Ò Ë Ð ÙÒ { Z/N Z/N x x e Ø Ú Ø Lösung: λ Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Î Ð Ö Ð Ò p i º Å Ò ĐÓÒÒØ Ù ÈÖÓ Ù Ø Ò Ñ Òºµ Æ µ Ø ÒÒ a λ+ a ÑÓ N ĐÙÖ ÐÐ a Zº e Ø Ð Ö Ö Ñ ÞÙ ÐÐ Ò p i Ø Ø Ù Ø Ð Ö Ö Ñ ÞÙ λ Ö ÖÛ Ø ÖØ Ù Ð Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ð ÖØ Ð Ó Ð Ò d,k Ñ Ø de kλ = º ÙÖ Ø ÓÒ Ò Î Ð Ò Ö Ð ÙÒ eλ λe = 0 ĐÓÒÒ Ò Û Ö Ò Ò ÐÐ ÖÖ Ò d ÙÒ k ÔÓ Ø Ú Ò º ÒÒ Ø a de = a +kλ a ÑÓ N ĐÙÖ ÐÐ a Z ÒÒ Ñ Ø λ Ø Ù kλ Ò Ñ Ò Ñ Î Ð ÐÐ Ö p i Ó Û Ö µ ÒÛ Ò Ò ĐÓÒÒ Òº Þ Ø Ð ÙÒ { Z/N Z/N x x d ÒÚ Ö ÞÙÖ Ó Ò Ð ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ò ÑĐÙ Òº µ ÓÐ ÖÒ Ë Ñ Ò Ñ ÊË ¹Î Ö Ö Ò Ù Ò Ò ÅÓ ÙÐ N ÒÙØÞ Ò ÒÒ Ö ÈÖÓ¹ Ù Ø ÚÓÒ Ñ Ö Ð ÞÛ Ô ÖÛ Ú Ö Ò Òµ ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ø ÙÒ ÖĐÙÒ Ò Ë Û ÖÙÑ Ñ Ò Ò Ø ØÙغ Lösung: Ï ÄĐÓ ÙÒ ÚÓÒ µ Þ Ø ÒÒ Ñ Ò Ö ØÓÖ ÖÙÒ ÚÓÒ N ÒÒØ Ò ÍÑ Ö Ð ÙÒ ÞÙÖ ÈÓØ ÒÞ ÖÙÒ Ñ Ø e Ø ÑÑ Ò ÙÒ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖØ Ò Ù Ó Û ÊË º Ò Ö ÚÓÖ Ò Ò ÖĐÓ ÚÓÒ N Û Ö ÐÐ Ö Ò Ñ Ø Ø Ò Ö ÒÞ Ð ÖĐÓ Ð Ò Ø Ò ØÓÖ ÑÑ Ö Ð Ò Ö Û ØÓÖ ÖÙÒ ÚÓÒ N ÖÐ Ø Öغ ÊË Ñ Ø Ñ Ö Ð ÞÛ ØÓÖ Ò ÛĐ Ö ÓÑ Ø ÙÒ Ö Ö Ð Ð Î Ö Ö Ò Ñ Ø ÒÙÖ ÞÛ ÈÖ ÑÞ Ð Òº