CHƯƠNG 04 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC... Các khái niệm cơ bản nhất Chủ đề. Các bài toán tính toán số phức Bài tập áp dụng chi tiết Chủ đề. Phương trình số phức Bài tập áp dụng chi tiết Chủ đề 3. Các bài toán liên quan đến biểu diễn điểm, tập hợp điểm Bài tập áp dụng chi tiết
CHƯƠNG 04 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC Trong chương trình phổ thông, các bài toán số phức thường khá đơn giản, không quá khó. Tuy nhiên cũng có những bài toán vận dụng và vận dụng cao mà chúng a nếu không nghiên cứu kĩ lưỡng, lần đầu tiên gặp sẽ rất khó giải quyết. Trước khi đến với lớp bài toán này chúng ta cùng nhắc lại các khái niệm căn bản nhất. Các khái niệm cơ bản nhất Định nghĩa - Một biểu thức dạng a bi với a, b R, i được gọi là một số phức. - Đối với số phức a bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của. - Tập hợp số phức kí hiệu là Hai số phức bằng nhau - Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a c - Công thức: a bi c di b d Biểu diễn hình học của số phức. M a; b trong hệ tọa độ vuông góc Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức - Điểm a bi. Môđun của số phức. - Cho số phức a bi có điểm biểu diễn là M a; b trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là mô đun của số phức và kí hiệu là. - Công thức OM a bi a b. Số phức liên hợp - Cho số phức a bi, số phức dạng a bi được gọi là số phức liên hợp của. Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia. - Cho số phức a bi, ta có a bi c di a c b d i. - Cho số phức a bi, ta có a bi c di a c b d i. - Cho số phức a bi, ta có. a bi. c di ac bd ad bci. - Cho số phức a bi, (với 0 ) tacó : a bi a bic di ac bd bc ad i. c di c di c di c d c d Phương trình bậc hai với hệ số thực. Cho phương trình bậc hai ax bx c 0 với a, b, c R và a 0. Phương trình này có biệt thức b 4 ac, nếu: b - 0 phương trình có nghiệm thực x. a
b - 0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x,. a b i - 0 phương trình có hai nghiệm phức x,. a Acgumen của số phức 0 ĐỊNH NGHĨA Cho số phức 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgumen của. CHÚ Ý Nếu là một acgumen của (hình dưới) thì gọi acgumen của có dạng k, k Z. (người ta thường nói: Acgumen của 0 xác định sai khác k, k Z ). y M() O x Dạng lượng giác của số phức a bi 0 a, b. Kí hiệu r là mô đun của và của một acgumen của Xét số phức (hình dưới) thì dễ thấy rằng: a r cos, b r sin. Vậy a bi 0 r cos + isin. có thể viết dưới dạng y M (a+bi) r O x
ĐỊNH NGHĨA r cos + isin, trong đó r 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức 0. Dạng Dạng a bi 0 a, b, được gọi là dạng đại số của số phức. Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác r cos + isin của số phức a bi 0 a, b 0 cho trước ta cần: khác. Tìm r : đó là mô đun của, r a b ; số r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số trong mặt phẳng phức.. Tìm : đó là một acgumen của ; là số thực sao cho cos = a r và sin b r ; số đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM. CHÚ Ý. Z khi và chỉ khi Z c i os + sin ;.. Khi 0 thì r 0 nhưng acgumen của không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 0cos + isin. r trong dạng lượng giác r cos + isin 3. Cần để ý đòi hỏi 0 của số phức 0. Nhân và chia số phức lượng giác Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức. ĐỊNH LÝ r cos + isin ' r ' cos '+ i sin ' r 0, r ' 0 Nếu ; r Thì ' rr ' cos ' + i sin ' ; cos ' + i sin ' ; khi r 0 ' r ' Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen. Chứng minh ' r cos + isin r ' cos '+ isin ' lim rr ' cos. cos ' sin.sin ' i sin. cos '+cos.sin ' x rr ' cos ' + i sin '. Mặt khác, ta có cos i sin. r Theo công thức nhân số phức, r Ta có:. cos ' + i sin '. ' ' r ' Công thức Moa-vrơ (Moivre) Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng
với mọi số nguyên dương n. n n os + sin osn + sin r c i r c i n Và khi r, ta có n cos + i sin cosn + i sin n Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa vrơ. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác r cos + i sin, r 0 có căn bậc hai là Từ công thức Moa vrơ, dễ thấy số phức r cos + i sin và r cos + i sin r cos( + )+ i sin( ). Để nắm được các kiến thức trên học sinh cần phải luyện tập khá nhiều bài tập, xin chú ý để làm các bài tập ngay sau đây quý bạn đọc cần phải khá vững phần căn bản số phức. CHỦ ĐỀ. CÁC BÀI TÍNH TOÁN SỐ PHỨC. Bài : Cho hai số phức, thảo mãn ; 3. Tính A. B. C. 3 D. 4 Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi a b i; a b i a, a, b, b sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho: a b a b 3 a a b b 3 Và viết cái cần tính ra a a b b bình phương lên là có thể dùng được giả thiết. a b i; a b i a, a, b, b Ta có:. Hãy quan sát cái cần tính và thấy rằng chỉ cần a b a b ab ab a a b b 3 a a b b 3 Vậy: a a b b. Chọn A. 3 008 Bài : Tính i i i... i có kết quả: A. 0 B. C. i 3 008 009 3 008 Ta có i i i... i i và i i i... i. i 009 008 i i i i 0 0 Suy ra Chọn A. D. i
Bài 3: Tìm số phức có và i : max A. B. C. i D. i Đặt a bi thì a b ; i a b Khi đó ta có: a b b i a b a b b b ; Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng khi a 0; b ; i. Chọn C. Bài 4: Trong các số phức thỏa mãn. Tìm số phức để 3 đạt giá trị lớn nhất. 4 3 4 3 A. i, i. 5 5 5 5 B. 4 3 4 3 C. i, i. 5 5 5 5 D. x yi, x, y Giả sử Vì x y x y Khi đó: 3 x y 3 x y x x 3 x x x 3 x Xét hàm số f x x 3 x trên đoạn ; 3 3 i, i. 5 5 3 4 3 i, i. 5 5 5 ta có: 3 4 f ' x ; f ' x 0 x x x 5 Ta có: f 4 6; f 0 5 4 3 4 x ; y 4 x 5 5 Vậy fmax f 0 5 5 4 3 y x x ; y 5 5 4 3 4 3 Vậy i, i. 5 5 5 5 Chon A. Bài 5: Cho là số phức có mô đun bằng 07 và w là số phức thỏa mãn. w w của số phức là: A. 05 B. C. 07 D. 0
Từ w w ta suy ra w w 0 Lấy mô đun hai vế ta có w 07. Chọn C. w i 3w i 3 w Bài 6: Số phức có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện A. 3i B. + Gọi x yi Từ giả thiết ta có: x y x y + Đồng thời i C. 3 3. 4 x y lớn nhất. Kiểm tra các đáp án và so sánh. 3 Z i 3 i là: 3 3 5 i D. i 4 4 Chọn D. Bài 7: Số phức 0 thỏa mãn. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức i P. A. B. C. 3 D. 4 Ta có i i i i. Mặt khác suy ra P 3. Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 3,. Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là. Chọn B. i n, n thỏa mãn phương trình: Bài 8: Tìm phần thực của số phức log n 3 log n 9 3 4 4 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Điều kiện n 3, n log n 3 log n 9 3 log n 3 n 9 3 n 7 (so đk) Phương trình: 4 4 4