writeup.dvi

ÓÛ ØÖÒ ÑÓØÓÒ ÖÐ ÇÐ ÓÒ ÅÝ ¾¼½ ÈÖØ Á ÅÓØÚØÓÒ Ì ÚÓÐÒ ÔØÚØ ÔÝ Ø ÒÓØÐÝ ÀÖÑÒÒ ÚÓÒ ÀÐÑÓÐØÞº Ø Ò ØÖÙÑÒØ ØØ ÓÙÒ ÐÓ Ø ØÓ Ø ÙÑÒ ÚÓ Ø ÚÓÐÒ ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ø ÔØÚØÒ Ò ÙÒÕÙ ÑÙ Ð Ò ØÖÙÑÒØ º ÔÖØ ÖÓÑ ÑÓ Ø ØÖÒ Ò ØÖÙÑÒØ Û Ö ÔÐÙ Ø ÚÓÐÒ ÓÛ Ì ÑÒ Ø ÑÙ Ò ÖÛ ÓÛ Ó ÓÖ Ö ÓÚÖ Ø ØÖÒº Ì ØÓÒ ÔÖÓÙ Ò ÚÖÝ ÖØÐÝ ÔÒÒ ÓÒ Ø ÓÛÒ ØÒÕÙ Ù ÔØÓ ÐØÓ Ø ÙÐ ÔÓÒØÐÐÓ Øº ÚÓÐÒ ÔÐÝÖ ÑÝ Ð Ø ÚÖÝ ÒØÖ ØÒ ØÓ ÓÒ Ö ÓÛ Ø ÔÝ Ð ÔÖÑØÖ ØØ Ô Ø ØÓÒ ÔÖÓÙ Ý ÓÛ ØÖÒº ÈÖØ ÁÁ ÈÐÙ ØÖÒ ÌÓ Ò ØÓ ÙÒÖ ØÒ Ø ÔÝ Ó ÓÛ ØÖÒ ÑÓØÓÒ Á Ö Ø ÑÓÐ Ø ÑÓØÓÒ Ó ÔÐÙ ØÖÒº ÓÖ ÒÝ ØÖÒ Ø ÒØÖÐ ÕÙØÓÒ Ó ÛÚ ÑÓØÓÒ ÚÒ δ 2 y δt 2 = c 2δ2 y δx 2 ÏÖ c Ø ÛÚ ÚÐÓØݺ ÆÜØ Û ÓÒ Ö Ø ØÖÒ Ö Ó ÖØ ÐÑÒØ Ù ØØ ÐÑÒØ ÐÒØ x Ò Ñ µ x ÛÖ µ Ø Ñ ÔÖ ÙÒØ ÐÒغ Á Û ÖÛÖØ ÕÙØÓÒ ¼º½µ Ò ØÖÑ Ó ÒÐ ØÖÒ ÐÑÒØ Ò ÑÙÐØÔÐÝ Ý Ø Ñ Ó ØÖÒ ÐÑÒØ µ x Û Ø (µ x) δ2 y(i) δt 2 = (µ x)c 2δ2 y(i) δx 2 ÁÒÒØÐÐÝ Ø ÐØ Ò Ó ÕÙØÓÒ ¼º¾µ Ù Ø Ñ ØÑ Ø ÐÖØÓÒ Ó Ø ØÖÒ ÐÑÒØ i ÓÖ ÑÔÐÝ Ø ÓÖ ÓÒ Ø ØÖÒ ÐÑÒغ Ì ÖØ Ò Ó ÕÙØÓÒ ¼º¾µ Ø ØÖÒ ÚÖ ÓÑÔÓÒÒØ Ó Ø ØÒ ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÐÑÒØ i ÖÓÑ Ø ØÛÓ ÒØ ÐÑÒØ º ÏÖØÒ Ø ÛÚ ÕÙØÓÒ Ò ÒØ ÖÒ ÓÖÑ Û Ø ¼º½µ ¼º¾µ ½

y(i,n+1) = 2 [ 1 r 2] y(i,n) y(i,n 1)+r 2 [y(i+1,n)+y(i 1,n)] ¼º µ ÏÖ i Ø ÐÒØ ÐÓÒ Ø ØÖÒ n Ø ØÑ ØÔ Ò r c t x º Í Ò Ø ÕÙØÓÒ Á Ò Ù ÙÐÐÝ ÑÓÐ Ø ÑÓØÓÒ Ó ÔÐÙ ØÖÒº ËÒ Û Ö ÐÒ ÛØ ÓÒ¹ÓÖÖ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ Û ÖÕÙÖ ØÛÓ ÒØÐ ÓÒØÓÒ º ØÖÒ ÔÖÓÐ Ø ØÑ n =,1µº ÌÓ Ó Ó Á ÑÓÐ Ø ÒØÐ ÔÐÙ Ý ÚÒ Ø ØÖÒ ØÖÒÙÐÖ ÔÖÓÐ y Ö Ý Ò ÑÔÐØÙ Ò ÛÖ ÐÓÒ Ø ØÖÒ Ø ÔÐÙ Ò ÙÑ ØØ Ø ØÖÒ Ð Ü ÛØ Ô y (x) ÔÖÓÖ ØÓ t = º Ì Ô ÙÓÓ ÓÖ ÑÓÐÒ Ø ÑÓØÓÒ Ó ÔÐÙ ØÖÒ ÐÓÛº È ÙÓÓ ÓÖ ÔÐÙ ØÖÒ ÑÓØÓÒ ËØ Ø ÔÖÑØÖ ÓÑÒØÓÒ r = c t x ÓÖ ØÑ ØÔ n ÄÓÓÔ ØÖÓÙ Ø ÒØÖÓÖ ÔÓÒØ ÐÓÒ Ø ØÖÒ³ ÐÒØ i = 1 ØÖÓÙ i = M 1 ÜÐÙÒ Ø Ò Ó Ø ØÖÒ Û Ö Ü Ø ÔÐÑÒØ Ó y(,n) = y(m,n) = ÍÔØ Ø ÒØÖÓÖ ÔÓÒØ ³ ÔÐÑÒØ ÓÖÒ ØÓ ÕÙØÓÒ ¼º µ y(i,n+1) = 2 [ 1 r 2] y(i,n) y(i,n 1)+r 2 [y(i+1,n)+y(i 1,n)] Ì Ò Ó Ø ØÖÒ Ø i = Ò i = M Ö Ü Ó y(,n) = y(m,n) = ÓÖ ÐÐ ØÑ ØÔ n Í Ò Ø Á ÑÙÐØ Ø ÑÓØÓÒ Ó ÔÐÙ ÚÓÐÒ ØÖÒ ÓÖÒ ØÓ Ò ÒØÐ ØÖÒÙÐÖ ØÖÒ ÔÖÓк ÅÝ Ö ÙÐØ Ö ÓÛÒ ÐÓÛº Motion of a perfectly flexible, plucked violin string (triangular pluck profile) 5 5 Motion of a perfectly flexible, plucked violin string (triangular pluck profile) 4.1 3.2 2.3 1 1.4 2 5.5 3 4.6 5 1 15 2 25 3 35 4 1.1.2.3.4.5.6 ÙÖ ¼º½ ÅÓØÓÒ Ó ÔÖØÐÝ ÜÐ ÔÐÙ ÚÓÐÒ ØÖÒ ÓÖ Ø ÑÙÐØÓÒ c ÓÖ ÛÚ ÚÐÓØÝ ÓÒ ØÒØ ØÖÓÙÓÙØ Ø ÐÒØ Ó Ø ØÖÒ Ù ÚÓÐÒ ØÖÒ Ö ØÝÔÐÐÝ Ó ÙÒÓÖÑ ØÒ Ò ÛØ ÐÓÒ ØÖ ÐÒغ ÜÔØ ØÖ Ø ØÖÒ ÖÐ Ø ÒØÐ Ò Ò Ø ØÖÒ ÔÐØ ÒØÓ ØÛÓ ÔÖØ Ò Û ÔÖÓÔØ ¾

ØÓÛÖ ØÖ Ò Ó Ø ÚÓÐÒ ØÖÒº Ì Ò Ö ÖØ Ò ÒÚÖØ Ø Ø Ò Ò ØÖ ÓÒ Ð Ó ÔÖÓ ØÝ ØÓØÖ Ò ÒÚÖØ ÚÖ ÓÒ Ó Ø ÒØÐ ÔÐÙº ÁÒ ÖÐ Ð ÓÛÚÖ ÚÓÐÒ ØÖÒ Ö ÒÓØ ÔÖØÐÝ ÜÐ Ò ØÖ ÛÐÐ ÐÛÝ ØÒ ÓÖ ØØ ÓÔÔÓ Ø ÒÒ Ó Ø ØÖÒº ËØÒ ØÓ Ø ÑÓÐ Ý Ò ØÖÑ ØÓ Ø ÓÖÒÐ ÛÚ ÕÙØÓÒ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÒØ ÖÒ ÓÖÑ ÛÖ ǫ Ø ØÒ Ò M Ø ÒÙÑÖ Ó ÔØÐ ÙÒØ º M = L x µº δ 2 ( y δ δt 2 = c 2 2 ) y y δx 2 ǫl2δ4 δx 4 ¼ºµ y(i,n+1) = [ 2 2r 2 6ǫr 2 M 2] y(i,n) y(i,n 1) +r 2[ 1+4ǫM 2] [y(i+1,n)+y(i 1,n)] ǫr 2 M 2 [y(i+2,n)+y(i 2,n)] ¼ºµ ËÒ ÕÙØÓÒ ¼ºµ ÒÚÓÐÚ Ø ÔÐÑÒØ Ø Ø ±2 ÙÒØ ÛÝ ÖÓÑ Ø Ø Ò ÕÙ ØÓÒ ÑÒ Û Ú ØÓ ÐØÖ ÓÙÖ ÓÙÒÖÝ ÓÒØÓÒ º Ù Ò Ø ØÐ ÑÓÐÒ Ó ÔÒÓ ØÖÒ Á ÙÑ ØØ Ø Ò Ó Ø ØÖÒ Ö Ò ½ º Ì ÑÒ Û Ø Ø ÔÐÑÒØ Ø Ò ØÓ ÞÖÓ Ò ÙÑ ØÖ Ö ÔÒØÓÑ ÐÓØÓÒ ÓÒ ÙÒØ ÝÓÒ Ø Ò Û Ú ÔÐÑÒØ ØØ Ö ÓÔÔÓ Ø Ø ÔÐÑÒØ Ø ÐÓØÓÒ ÓÒ ÙÒØ Ò Ø Ò º ÁÒ ÓØÖ ÛÓÖ Ø ØÖÒ Ò Ú ÔÐÑÒØ y(,n) = y(m,n) = Ù ÙÐ Ò Ø ÔÒØÓÑ ÐÓØÓÒ Ú ÔÐÑÒØ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ y( 1,n) = y(1,n) Ò y(m +1,n) = y(m 1,n)º Motion of a slightly stiff, plucked violin string (triangular pluck profile) 5 5 Motion of a slightly stiff, plucked violin string (triangular pluck profile) 4.1 3.2 2.3 1 1.4 2 5.5 3 4.6 5 1 15 2 25 3 35 4 1.1.2.3.4.5.6 ÙÖ ¼º¾ ÅÓØÓÒ Ó ÐØÐÝ Ø ÔÐÙ ÚÓÐÒ ØÖÒ ǫ = 1 1 5 µ ÜÔØ Ø ÑÓØÓÒ Ó ÐÐÝ Ø ÔÐÙ ÚÓÐÒ ØÖÒ ÚÖÝ ÑÐÖ ØÓ ÙÖ ¼º½º ÀÓÛÚÖ ÝÓÙ Ò Ø Ø Ó ØÖÒ ØÒ Ø Ø ÛÚ Ô Û ÑÓÖ ÖÓÙÒ ØÒ ØØ Ó Ø ÔÖØÐÝ ÜÐ ÔÐÙ ÚÓÐÒ ØÖÒº

ÈÖØ ÁÁÁ ÓÛ ØÖÒ ÑÓØÓÒ Ö Ý ÀÐÑÓÐØÞ ÓÛ ØÖÒ ÑÓØÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø¹ ÐÔ ÔÖÓ Ø ÓÛ³ ÓÖ Ö Ø ØÓ Ø ØÖÒ ÙÒØÐ Ø ØÒ ÓÒ ÖÓÑ Ø ØÖÒ ÓÚÖÓÑ Ø ÖØÓÒÐ ÓÖ ØÛÒ Ø ÓÖ Ö Ò Ø ØÖÒ Ø Û ÔÓÒØ Ø ÓÛ³ ÓÖ Ö Ò ØÓ ÐÔ ÖÓ Ø ØÖÒº ÀÐÑÓÐØÞ ÓÚÖ ØØ Ø ÖÕÙÒÝ Ó ÓÛ ØÖÒ ÑÓØÓÒ Ø Ñ Ø ÔÐÙ ØÖÒº Ï ÙÑ ØØ Ø ØÖÒ ÓÛ Ø ÔÓÒØ ØØ ØÒ βl ÖÓÑ Ø Ò Ó Ø ØÖÒ ÛÖ β ÖØÓ Ó Ø ØÖÒ ÐÒØ Lº Ø ÓÛ Ò ØÓ ÑÓÚ ÖÓ Ø ØÖÒ Ø ØÑ t = Ø ØÖÒ Ø Ò ÑÓÚ ÛØ ÚÐÓØÝ ÕÙÚÐÒØ ØÓ ØØ Ó Ø ÓÛ ÒÑÐÝ v bow º Ì ÖÙÔØ ØÖÒ ØÓÒ ØÓ ØÒ ÜØ ÛÚ ØØ ØÖÚÐ ÛÝ ÖÓÑ Ø ÔÓÒØ Ó ÓÒØØ ÛØ Ø ÓÛ ØÓÛÖ Ø ØÛÓ Ò Ó Ø ØÖÒº Ì ÛÚ Ö ÖØ Ò Ö ÙÐØ Ò Ò ØÓÒÐ ÓÖ ØÛÒ Ø ÓÛ Ò Ø ØÖÒ ØØ Ò Ù ØÖÒ ØÓ ÐÔ ÖÓÑ Ø ÓÛ Ø ÓÖ ÐÖ ÒÓÙµº Ï ÙÑ ØØ ØÖ Ö ØÛÓ ÓÒØ Ó ÖØÓÒ ÓÒ ÛÒ Ø ØÖÒ ØÖ ØÒ µ s Ò ÓÒ ÛÒ Ø ØÖÒ ÐÔÔÒ µ k º ÓÖ Ø¹ ÐÔ ÑÓØÓÒ ØÓ ÓÙÖ µ s > µ k Û Ñ Ò Ò Ø ÓÒØ Ó ÒØ ÖØÓÒ ÐÑÓ Ø ÐÛÝ ÖØÖ ØÒ Ø ÓÒØ Ó ØØ ÖØÓÒº ÌÓ ÖØ ÓÙÖ ÕÙØÓÒ Ó ÑÓØÓÒ Û ÖÙ Ø ÒÐ ÐÑÒØ ÛÚ ÕÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ¼º¾µº Á Û ÒÐÙ Ò ÜØÖÒÐÐÝ ÔÔÐ ÓÖ F h Ù Ø ÖØÓÒ ÓÖ ÔÖÓÙ Ý ÓÛµ Û Ò ÑÔÐÝ Ø ØÓ Ø ÖØ Ò Ó ÕÙØÓÒ ¼º¾µº (µ x) δ2 y(i) δt 2 = (µ x)c 2δ2 y(i) δx 2 +F h Á Û ÒÐÙ ØÖÒ ØÒ Ò ÔÙØ Ø Ö ÙÐØÒ ÕÙØÓÒ ÒØÓ ÒØ ÖÒ ÓÖÑ Û Ú ¼ºµ ( (µ x) δ2 y δ δt 2 = (µ x) c 2 2 ) y y δx 2 ǫl2δ4 δx 4 +F h ¼ºµ y(i,n+1) = [ 2 2r 2 6ǫr 2 M 2] y(i,n) y(i,n 1) +r 2[ 1+4ǫM 2] [y(i+1,n)+y(i 1,n)] ǫr 2 M 2 [y(i+2,n)+y(i 2,n)] + ( t)2 µ x F h ¼ºµ ÔÒÒ ÓÒ ÛØÖ Ø ØÖÒ ÐÔÔÒ Ø ÜØÖÒÐ ÓÖ F h ÛÐÐ Ò Ò ÕÙØÓÒ ¼ºµº ÏÒ Ø ØÖÒ ÐÔÔÒ Ø ÓÖ ÑÒØÙ F slip = µ k N ¼ºµ Ò ÛÒ Ø ØÖÒ ØÒ Û ÒÓÛ ØØ Ø ÓÖ ÒÓ ÖØÖ ØÒ µ S N ØÙ

F stick µ s N ¼º½¼µ ÛÖ N Ø ÒÓÖÑÐ ÓÖº Ì Ô ÙÓÓ ÓÖ ÑÓÐÒ Ø ÑÓØÓÒ Ó ÓÛ ØÖÒ ÐÓÛº È ÙÓÓ ÓÖ ÓÛ ØÖÒ ÑÓØÓÒ ÄØ Ø ÚÐÓØÝ Ó Ø ÓÛ v bow Ò Ø ØÖÒ ÔÐÑÒØ Ø Ø ÓÛÒ ÔÓÒØ y(i bow,n) ÛÖ n Ø ØÑ ØÔ ËØÖØ ÛØ Ø ØÖÒ Ò Ø ØÒ ØØ ÛØ Ø ØÖÒ ÚÐÓØÝ Ø Ø ÓÛÒ ÔÓÒØ ÕÙÐ ØÓ v bow ÚÒ ÓÒ ØÑ ØÔ Ò ÙÑ ØØ Ø ØÖÒ ÓÒØÒÙ ØÓ Ø y(i bow,n +1) = y(i bow,n)+v bow t Í ÕÙØÓÒ ¼ºµ ØÓ ÐÙÐØ Ø ÚÐÙ Ó Ø ÓÖ ÖÕÙÖ ØÓ ÓØÒ y(i bow,n+1)º Á Ø ÖÕÙÖ ÓÖ Ð ØÒ Ø ÐÑØ Ò ÕÙØÓÒ ¼º½¼µ ØÒ Ø ØÖÒ ÓÒØÒÙ Ò Ø ØÒ ÑÓ Á Ø ÖÕÙÖ ÓÖ ÐÖÖ ØÒ Ø ÐÑØ Ò ÕÙØÓÒ ¼º½¼µ ØÒ Ø ØÖÒ Ó ÒØÓ Ø ÐÔÔÒ ÑÓ Ò Ø ÓÖ ÚÒ Ý ÕÙØÓÒ ¼ºµº ÇÒ ÑÙ Ø ØÒ ÖÐÙÐØ y(i bow,n+1) Ù Ò ÕÙØÓÒ ¼ºµ ÛØ Ø ÓÖ F slip Ì ÑÓØÓÒ Ó Ø Ö Ø Ó Ø ØÖÒ ÐÙÐØ ÓÖ ÛØ ÕÙØÓÒ ¼ºµ Ù Ò Ò ÜØÖÒÐ ÓÖ Ó ÞÖÓ F h = ÊÔØ Ø ÔÖÓÙÖ ÓÖ Ø Ö ÒÙÑÖ Ó ØÑ ØÔ Í Ò Ø Á ÑÙÐØ Ø ÑÓØÓÒ Ó ÓÛ ØÖÒ

versus time.12 Frequency spectrum of bowed string 1 2 3 4 5.1.8 6 5 1 15 2 25 3 35 4 at bow versus time.1 Power (db).6.8.6.4.2.2.4 5 1 15 2 25 3 35 4.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequency (Hz).1 at bow versus time.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Sticking State of bow across string Slipping 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ÙÖ ¼º ÅÓØÓÒ Ó ÐØÐÝ Ø ÓÛ ÚÓÐÒ ØÖÒº Ì ÔÖÑØÖ Ù Ö Ö L =.15 Ñ β =.6 x =.6 ÑÑ c = 3 m s r =.25 µ s =.9 µ 1 =.55 µ 2 =.35 v bow =.2 m s ǫ = 1 1 5 Ò N =.65 ƺ Á ÐÙÐØ µ k Ù Ò µ k = µ 1 exp( vbow v 1 )+µ 2 ÛÖ v 1 =.1 m s

versus time.14 Frequency spectrum of bowed string 2 4 6 8 1.12.1 12 5 1 15 2 25 3 35 4 at bow versus time.1 Power (db).8.6.8.6.4.2.2 5 1 15 2 25 3 35 4.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequency (Hz).1 at bow versus time.8.6.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Sticking State of bow across string Slipping 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 ÙÖ ¼º ÅÓØÓÒ Ó ÐØÐÝ Ø ÓÛ ÚÓÐÒ ØÖÒº Ì ÔÖÑØÖ Ù Ö Ö Ø Ñ ÓÖ ÙØ ÛØ L =.3 Ñ

versus time 3.5 x 1 3 Frequency spectrum of bowed string 2 4 6 8 1 3 2.5 12 5 1 15 2 25 3 35 4 at bow versus time.15 Power (db) 2 1.5.1.5 1.5.5 5 1 15 2 25 3 35 4 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequency (Hz) ÙÖ ¼º ÅÓØÓÒ Ó ÐØÐÝ Ø ÓÛ ÚÓÐÒ ØÖÒº Ì ÔÖÑØÖ Ù Ö Ö Ø Ñ ÓÖ ÙØ ÛØ Ø ÓÛ ÔÓ ØÓÒ ÑÓÚ ØÓÛÖ Ø Ö β =.2º Ì ØÓ ÑÙÐØ ÔÐÝÒ Ù Ò Ø ÙÐ ÔÓÒØÐÐÓ ØÒÕÙ Û ÑÒ ÓÒ Ø Ö Ò ÁØÐÒº ÓÛÒ Ø ØÖÒ ÓÚÖ Ø Ö Ñ Ø ÚÖØÙÐÐÝ ÑÔÓ Ð ØÓ Ø ÙÔ ØÐ ÖÙÐÖ ÀÐÑÓÐØÞ ÑÓØÓÒ Ò ÖØÖ Ý ØÓ ÜØ Ø Ð Ø ÖÝ ÓÑ ÖÑÓÒ ÀÐÑÓÐØÞ ÑÓØÓÒº ÆÓØ ÓÛ Ø ÖÕÙÒÝ ÔØÖÙÑ Ò ÒÒ ÑÒÝ ÖÕÙÒÝ ÖÑÓÒ Ò ÚÒ Û ÙÒÑÒØÐ ÖÕÙÒݺ Ì ÐÐÙ ØÖØ ÛÝ ÔÐÝÒ ÙÐ ÔÓÒØÐÐÓ Ö ÙÐØ Ò Ò Ö ÓÙÒ ØØ ÓÙÒ Û Ò ØÒ Ò ÙÐÐ Ó ÖÕÙÒÝ ÖÑÓÒ º versus time.14 Frequency spectrum of bowed string 2 4 6 8 1.12.1 12 5 1 15 2 25 3 35 4 at bow versus time.1 Power (db).8.6.8.6.4.2.2 5 1 15 2 25 3 35 4.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequency (Hz) ÙÖ ¼º ÅÓØÓÒ Ó ÐØÐÝ Ø ÓÛ ÚÓÐÒ ØÖÒº Ì ÔÖÑØÖ Ù Ö Ö Ø Ñ ÓÖ ÙØ ÛØ Ø Ø ÖØÓÒ ÓÒØ Ö Ö ØÐÐÝ µ 1 =.25 Ò µ 2 =.15º Ì ØÓ ÑÙÐØ ÔÐÝÒ ÛØÓÙØ ÖÓ Ò ØÝ Ù ØÒ Ù ØÓ ÒÖ Ø ÓÖ Ö³ ØÒ º ÁØ ÚÖÝ ÑÐÖ ØÓ ÔÐÝÒ ÛØ ÖÓ Ò Ò Ø ÖÕÙÒÝ ÔØÖÙÑ ÚÐØ Ø º ÊÖÒ ½ ÒØÓÒ Òº ÆÙÑÖÐ ÑÙÐØÓÒ Ó ÔÒÓ ØÖÒ º Áº ÔÝ Ð ÑÓÐ ÓÖ ØÖÙ ØÖÒ Ù Ò ÒØ ÖÒ ÑØÓ ½º

¾ ÒØÓÒ Òº ÆÙÑÖÐ ÑÙÐØÓÒ Ó ÔÒÓ ØÖÒ º ÁÁº ÓÑÔÖ ÓÒ ÛØ Ñ ÙÖÑÒØ Ò Ý ØÑØ ÜÔÐÓÖØÓÒ Ó ÓÑ ÑÑÖ¹ ØÖÒ ÔÖÑØÖ ½º ÓÖÒÓ Æº ÆÒ Àº ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÈÝ º ÈÖÒØ ÀÐÐ ÍÔÔÖ ËÐ ÊÚÖ Æ ¾ ØÓÒ ¾¼¼º źº ÅÁÒØÝÖ Ò Âº ÏÓÓÓÙ º ÖØÓÒ Ò Ø ÓÛ ØÖÒ ½º ÈÓÔÔ Ãº ËØÐØÖ Èº ËعËÐÔ ÎÖØÓÒ Ò Ó º ÈÐÓ ÓÔÐ ÌÖÒ ØÓÒ ÈÝ Ð ËÒ Ò ÒÒÖÒ ½¾µ½¼ ½¼º ÂÓÒ º ËÐÐÒº Ì ÓÛ ØÖÒ Ò Ø ÔÐÝÖ ½ º ËØÒ ËÖÒ ÖÓ ÚÒÞÒ Ô ÁÒ Ò Ú ÊÓ Óº ÓÛ ËØÖÒ ËÑÙÐØÓÒ Í Ò Ò Ð ØÓ¹ÈÐ Ø ÖØÓÒ ÅÓк ËØÓÓÐÑ ÅÙ ÓÙ Ø ÓÒÖÒ ¾¼¼ ½ ¾¼¼ º ź ËØÖÐÒ Ò Åº ÓÓº ÑÔÖÐ ÔÝ Ð ÑÓÐÒ ÓÖ ÓÛ ØÖÒ Ò ØÖÙÑÒØ º ÓÙ Ø ËÔ Ò ËÒÐ ÈÖÓ Ò ÁËËȵ ¾¼½¼ Á ÁÒØÖÒØÓÒÐ ÓÒÖÒ ÓÒ ¾¼½¼º  ÏÓÓÓÙ º ÈÝ Ð ÑÓÐÒ Ó ÓÛ ØÖÒ º ÓÑÔÙØÖ ÅÙ ÂÓÙÖÒÐ ½ ½¾º