Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí KHỐI CHÓP ĐỀU 0 Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt

Bản ghi

1 KỐ ÓP ĐỀU âu ho hình chóp tm giác đều có cạnh đá bằng Góc giữ mặt bên với mặt đá bằng 6 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng () bằng: [ách ] Phương pháp dựng hình Gọi G là trọng tâm tm giác, su r G là hình chiếu củ trên mặt phẳng () Gọi là trung điểm củ su r góc giữ () với () là góc G Tm giác đều cạnh bằng nên G = = 6 Theo bài G = 6, su r G G = Gtn G = tn 6 = 6 G = Vì nên d(,) = d( G,) = G Gọi là hình chiếu củ G trên () ( thuộc đoạn thẳng ) u r G G (,) 6 d G = G = G G = =, su r d(,) = d( G,) = + + [ách ] Phương pháp thể tích T có: V = sin 6 =, = Gcos 6 =, su r = 6 V Vậ ( ;) 8 d = = = 6 [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, ; // G (ình vẽ) Khi đó, ;;, ; ; ; ;; 6, su r ;;, ; ;, ;; 6, su r d(,) = =, âu ho hình chóp tm giác đều có cạnh đá bằng Gọi G là trọng tâm tm giác Góc giữ đường thẳng với mặt phẳng () bằng 6 Khoảng cách giữ hi đường thẳng G và bằng: Group: G

2 [ách ] Phương pháp dựng hình Gọi, N lần lượt là trung điểm củ hi cạnh và Gọi là hình chiếu củ G lên đường thẳng đi qu và song song với G GK là đường co củ tm giác G Khi đó, d( G, ) = d( G,( )) = GK T có: G = ;, = G = 6 G = Gtn 6 =, G = =, su r [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với G G G d( G, ) = GK = = G + G, G, // N, G (ình vẽ) Khi đó, ; ; 6 ; ( ;; ), su r ( ;; ) ;; su r ;;, G, G ; ; 6, G, G d(, G) = = G, âu ho hình chóp tứ giác đều có =, = Gọi G là trọng tâm tm giác Góc giữ đường thẳng G với mặt phẳng () bằng: 8 rctn 7 rctn 7 K K 8 rcsin 7 G G N N 8 rccos 7 [ách ] Phương pháp dựng hình Gọi là trung điểm, kẻ GK song song với và cắt tại K, su r K là hình chiếu củ G trên mp(), su r ( G,( ) ) = GK T có: =, =, GK = =, 6 vì K = nên K =, su r K = 6 GK 8 tn ( G,( ) ) = tn GK = = K 7 G K Group:

3 [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, Khi đó, G 6 ; 6 ; 6 ; ;; ;; = ( ;; ) = k ; ;, ; ; ;; n 6 6 = =, 6 6, su r G nk 7 8 sin( G,( )) = = cos( G,( )) = tn( G,( )) = n k 7 âu ho hình chóp tứ giác đều có =, = Gọi G là trọng tâm tm giác Góc giữ đường thẳng G với đường thẳng bằng: rccos rccos rccos rccos [ách ] Phương pháp dựng hình Gọi là trung điểm, Gọi E =, su r GE// u r ( G, ) = ( G, GE) Vì G, E lần lượt là trọng tâm tm giác và nên GE = = Kẻ GK song song với và cắt tại K, su r K là hình chiếu củ G trên mp() T có: =, =, GK = = E = 6 Vì K = nên K =, su r K = G = 6 Xét tm giác EG, có E =, GE =, G =, G + GE E su r cos GE = = G GE [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, Khi đó, ; ; E G K Group:

4 G 6 ; 6 ; 6 ; ;;, ;;, ; ; ;; n 6 6 = =, 6 6 su r G ;; = ( ;; ) = k u r Group: nk cos( G, ) = = n k âu ho hình chóp tứ giác đều có cạnh đá bằng, = là trung điểm củ cạnh Góc giữ hi mặt phẳng () với () bằng: rctn rctn rctn rctn [ách ] Phương pháp dựng hình Gọi là tâm hình vuông, Gọi E = su r E là trọng tâm tm giác Gọi là hình chiếu củ lên mặt phẳng (), thuộc đường thẳng, su r hình chiếu củ E lên mặt phẳng () nằm trên đoạn thẳng và = Kẻ K tại K ( K // ), khi đó (( ), ) = ( K, EK) T có: = =, E = = = + K = = u r 6 tn ( ), = tn( K, EK) = tn KE = [ách ] Phương pháp thể tích d(,( )) Đặt = (( ), ) su r sin = d(, ) V T có d( ; ) = =, d( ;( )) = V = = Tm giác có =, = E E K

5 và =, su r =, 8 V u r d(,( )) = = d(,( )) u r sin = = tn = d(, ) [ách ]Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, Khi đó, ; ;, ; ; ; ;;, ; ; ; ;; E ; ; = ;; =, ; ; = ( ;; ) su r = ; ;= ( ; ; ) = u n ;; ;; v = =, ; = [, ] = ( 6 ; ; ) và k [ u, v] ( ; ; ) = = u r nk cos = = n k tn = âu 6 ho hình chóp có,, đôi một vuông góc, =, = và diện tích tm giác bằng 6 [ách ] Phương pháp dựng hình Kẻ vuông góc với tại, kẻ K vuông góc với tại K Khi đó d(,) = K T có nên Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng () bằng: = + =, và = = Group: 6 K

6 6 = =, = = + u r d(,) = K = = [ách ] Phương pháp thể tích T có thể tích củ khối chóp là V = = = 9 8 V u r d(,) = = [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,,, Khi đó, ( ;; ), (; ;), ;; su r ( ; ;), ;;, ( ;;) su r, d(,) = =, âu 7 ho hình chóp tm giác có vuông góc với mặt đá, tm giác vuông cân tại, = =, góc giữ mp() với mp() bằng 6 Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tm giác Tính khoảng cách giữ hi đường thẳng với 6 [ách ] Phương pháp dựng hình Vì tm giác vuông tại nên tâm đường tròn ngoại tiếp tm giác là trung điểm củ T góc giữ mp() với mp() là góc, theo bài góc = tn = Kẻ //, là đỉnh thứ tư củ hình bình bình hành Kẻ E tại E E tại Khi đó: d(, ) = d(,( )) = d(,( )) = T có E = =, su r E + = 6, su r: d(, ) = d(,( )) = = [ách ] Phương pháp tọ độ Gọi là trung điểm củ, vì tm giác vuông cân tại nên họn hệ trục tọ độ, với,, E Khi đó, ;;, (; ;), ;;, ; ;, Group:

7 su r ; ;, ; ;,, d(, ) = =, [ách ] Phương pháp thể tích Kẻ J //, J thuộc cạnh u r d(, ) = d(,( J )) = d(,( J )) T có: Tm giác J vuông tại J và J = =, J = = su r J = V J = V J = V = V V J u r d(, ) = d(,( J )) = = J ; ; u r âu 8 ho tứ diện có,, đôi một vuông góc, góc bằng, góc bằng 6 và = 6 Điểm nằm trên cạnh so cho = Tính góc giữ hi đường thẳng và 9 rctn rctn 9 rctn 6 J rctn [ách ] Phương pháp dựng hình Gọi là hình chiếu củ lên mp() Vì = nên = u r (, ) = (, ) = Đặt = T có =, = 6 6 T có = =, = 9 + = u r tn( ) = = [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, + = = = = Đặt = T có =, =, 6 6 = = Khi đó, + = = = = (; ;), ;;, ;;, Group:

8 u = = su r ; ; ( ; ; ) uv, 9 cos(, ) = cos ( u, v) = = tn(, ) = u v Group: ;; = ;; = v su r âu 9 ho tứ diện có,, đôi một vuông góc, góc bằng, góc bằng 6 và = 6 Điểm nằm trên cạnh so cho = Tính góc giữ hi mặt phẳng () và () rcsin [Phương pháp tự luận] [ách ] Phương pháp thể tích Gọi là hình chiếu củ lên mp() Vì = nên = u r (, ) = (, ) = Đặt = T có =, = = = = = rcsin T có = =, su r 7 = + = Gọi φ là góc giữ hi mặt phẳng () và () d(,) u r sin = d(, ) rcsin rcsin 7 T có: V = = Tm giác có = =, = 6 su r 6 =, V su r (,) d = = = Vì tm giác vuông tại nên d(,) d(, ) = = u r sin = = = + d(, ) [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, Đặt = T có =, =, = = = = = = Khi đó, (; ;), ( ;; ), ;;, ( ;;)

9 (; ;) = ;; =, u r ;; = ( ;; ) = ; ( ; ;) = ( ; ; ) = ; ( ;; ) = ( ;; ) = = [, ] = ( ;; ) và k [ u, v] ( ; ; ) u v n = = nk u r cos = = = n k 7 Vậ sin = âu ho tứ diện có,, đôi một vuông góc Góc giữ đường thẳng và mp() bằng 6, =, = Gọi là trung điểm củ cạnh Góc giữ đường thẳng với mặt phẳng ( bằng: rcsin rcsin rcsin rcsin [ách ] Phương pháp thể tích] T có Góc giữ và mp() bằng 6 = tn 6 = 6 u r = + = = + = = + = u r = V = = 6 6 V u r d(,( )) = = d(,( )) Gọi là góc giữ với (), su r sin = = 7 [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, (; ;), ( ;; 6 ), ;; u r, = ;; 6 = ( ;; 6 ) =, Group:

10 = ; ;= ; ; =, n = [, ] = ; 6; và = ;; 6 = 6 ;; = 6 k Gọi là góc giữ với (), u r nk sin = = n k 7 âu ho tứ diện có,, đôi một vuông góc Góc giữ đường thẳng và mp() bằng 6, =, = Gọi là trung điểm củ cạnh Tính góc giữ hi mặt phẳng () và () bằng: rcsin rcsin rcsin rcsin [ách ] Phương pháp thể tích T có Góc giữ và mp() bằng 6 = tn 6 = 6 u r = + = = + = = + = u r = V = = u r 6 6 V d(,( )) = = = d(,( )) 6 Kẻ vuông góc với tại su r vuông góc với và d(, ) = = = 6 Tm giác vuông tại có =, = = d(,( )) sin (( ), ) = = [ách ] Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ, với,, (; ;), ( ;; 6 ), ;;, ( ;; ) u r, = ;; 6 = ( ;; 6 ) =, = ; ;= ( ; ; ) = Group:

11 = ( ) = n, = ( ; ;) = ( ; ; ) =, k = u, v= ( ; 6; ) [, ] ; 6; v = ;; 6 = ;; 6 = u, nk Gọi là góc giữ () với (), u r cos = = sin = n k KỐ ÓP Ó ẠN ÊN VUÔNG GÓ VỚ ẶT ĐÁY âu ho hình chóp có đá là hình thng vuông tại và iết =, = = = ạnh bên vuông góc với mặt đá, gọi là trung điểm củ Tính khoảng cách h từ đến mặt phẳng 6 h = 6 : phương pháp dựng hình 6 h = h = 6 Tứ giác là hình vuông nên = = su r tm giác vuông tại, T có h = Kẻ tại khi đó do ( ) ( ) Vậ d (,( ) ) = d (, ( ) ) = Tm giác vuông tại, đường co nên = + = + = 6 6 u r = d (,( ) ) = 6 : Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ như hình vẽ, khi đó t có : ;;, ;;, ; ;, ;; Từ đó su r ( ; ; ), ( ; ;) = ( ; ; ) = ( ; ; ), = ( ; ; ), ; ;,, = = 6 Vậ khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) là (,( ) ) d = = =, 6 6, 6 Group:

12 âu ho hình tứ diện có đá là tm giác vuông tại, =, = ạnh vuông góc với mặt phẳng (), =, gọi là trung điểm củ Tính khoảng cách h giữ hi đường thẳng và h = h = h = h = ách : phương pháp dựng hình Gọi N là điểm đối ứng củ qu Khi đó // N ( tính chất đường trung bình ) // d, = d, N = d, N ( ) do đó ( N ) u r ựng K N, ( ) N N K ựng K khi đó ( N ) Từ đó d (, ) Tm giác N vuông tại, đường co K nên = + = + = K N Tm giác K vuông tại, đường co nên = + = + = = K Vậ d (, ) = ách : Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó ( ;; ), ( ;; ), ( ;; ), ( ; ;) ; ; u r ; ;, = ( ;; ), = ( ;;), ; ;,, = = Vậ d (, ), = =, = âu ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh, vuông góc với mặt phẳng ( ), = Gọi F là trung điểm, tính góc giữ hi đường thẳng F và = 9 = 6 = N = K Group:

13 : Phương pháp dựng hình Gọi là gio điểm củ và khi đó F // F F Lại có nên F F F Vậ (, F ) = 9 ách : phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ như hình vẽ, khi đó t có : ;;, ;;, ; ;, ;; u r F ; ;, F = ; ;, = ( ; ;) Vậ F = F ( F, ) 9 = F âu ho hình chóp có đá là tm giác đều cạnh, cạnh vuông góc với mặt đá và = Gọi là trung điểm củ Tính côsin củ góc giữ đường thẳng và mặt phẳng cos = 7 cos = cos = 7 : phương pháp dựng hình // Gọi là trung điểm củ khi đó Vậ hình chiếu củ lên mặt phẳng ( ) là u r (,) (, ) = = T có : =, =, = = Tm giác vuông tại nên 7 = + = cos = = 7 cos = 7 Group:

14 : phương pháp tọ độ Gọi là trung điểm củ khi đó // ( ) họn hệ trục tọ độ như hình vẽ, khi đó ( ;; ), ( ;; ), ;; = ;;, = ( ;; ) Giả sử góc giữ và mặt phẳng () là thì t có : 7 sin = = cos = 7 7 âu 6 ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh, cạnh bên vuông góc với đá và = Tính góc giữ hi mặt phẳng ( ) và = 6 : phương pháp dựng hình = 9 = T chứng minh được, Kẻ ( ) T có ( ) Từ ( ), ( ) Vậ (( ),( )) = (, ) = Tm giác vuông tại, đường co nên t có 6 = + = = = Áp dụng định lí cô sin vào tm giác t có + cos = = Vậ cos (,( ) ) = cos (, ) = ( ),( ) = 6 : phương pháp tọ độ Group:

15 họn hệ trục tọ độ như hình vẽ, khi đó ;;, ;;, ; ;, ; ;, ;; u r ( ;; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ặt phẳng ( ) có một VTPT là : n =, = ( ;; ) ặt phẳng ( ) có một VTPT là : k =, = ( ; ; ) nk n k Vậ cos (( ),( )) = = (( ),( )) = 6 = ác mặt phẳng âu 7 ho hình chóp có đá là hình thoi tâm cạnh, góc cùng vuông góc với mặt đá Gọi là trung điểm, thể tích khối chóp là ( ) và ã tính khoảng cách h từ tới mặt phẳng ( ) theo 8 8 h = h = h = h = ách : phương pháp dựng hình cắt nhu theo gio tuến và i mặt phẳng ( ) và cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) nên ( ) d (,( )) d (, ( )) = = // // d (, ( )) = d (, ( )) Vậ d (, ) = d (, ( )) Gọi là trung điểm củ, do tm giác đều nên, lại có ( ) nên ( ) ( ) ( ) ựng K K ( ) d, ( ) = K iện tích hình thoi là : = sin 6 = V Từ đó su r = = Tính được = Tm giác vuông tại, đường co K nên : 9 8 K K 9 = + = + = = Vậ, K 8 d ( ) = K = 8 Group:

16 Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ như hình vẽ, // Khi đó t có ( ;; ), ;;, ; ;, ;; ; ; ;;, ; ; = ; ;, = ( ;; ), = ; ; Vậ d,( ), = =, 8 8 âu 8 ho hình chóp có đá là hình thoi tâm cạnh, góc ( ) và ( ) cùng vuông góc với mặt đá Thể tích khối chóp là cách h giữ hi đường thẳng và theo = ác mặt phẳng ã tính khoảng h = h = ách : phương pháp dựng hình i mặt phẳng ( ) và vuông góc với mặt phẳng ( ) nên ( ) 6 h = cắt nhu theo gio tuến và cùng ựng đường thẳng d qu và song song với ựng d, K K T chứng minh được ( ) // // d, = d, = K, su r // Vậ tứ giác là hình chữ nhật nên = = iện tích hình thoi là V u r = = = sin 6 = 6 h = Tm giác vuông tại, đường co K nên = + = + = K = K Vậ d (, ) = d K Group:

17 ách : phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ như hình vẽ, // Khi đó t có ( ;; ), ( ;;), ( ; ;), ( ;;), ( ;; ) u r = ( ; ; ), = ( ; ; ), = ( ;;) Vậ d (, ), = =, âu 9 ho hình chóp có đá là tm giác vuông cân tại, = i mặt phẳng và ( ) cùng vuông góc với mặt đá, khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) là bởi hi đường thẳng và = 6 ách : phương pháp dựng hình = 9 = = Tính góc tạo i mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) nên ( ) cắt nhu theo gio tuến và ựng K T có :, K Vậ K ( ), từ đó su r K = Tm giác vuông tại, đường co K nên t có : = = = = K ựng hình bình hành như hình vẽ, khi đó: // (, ) = (, ) K Tính được =, =, = nên tm giác đều Vậ, = = 6 ách : phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ như hình vẽ, // Khi đó theo cách t có : ;;, ;;, ; ;, ;; u r = ( ;; ), = ( ; ; ) cos, = =, = 6 Vậ Group:

18 âu ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh, hi mặt phẳng ( ) và ( ) cùng vuông góc với mặt đá iết thể tích khối chóp là ( ) = ách : phương pháp dựng hình = 6 Tính góc giữ đường thẳng và mặt phẳng = i mặt phẳng ( ) và cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) nên ( ) o đó V = = cắt nhu theo gio tuến và Tm giác vuông tại nên = + =, T có Vậ diện tích tm giác là : Gọi là hình chiếu củ lên mặt phẳng V V ặt khác = = = = 9 = = khi đó, ( ) =, = Tm giác vuông tại nên = + = Tm giác vuông tại nên sin = = = Vậ (,) = ách : phương pháp tọ độ họn hệ tọ độ như hình vẽ, khi đó theo cách t tính được = ;;, ;;, ; ;, ; ;, ;; Nên u r = ( ;; ), = ( ; ; ), = ( ; ; ) ặt phẳng ( ) có một vectơ pháp tuến là: n =, = ( ; ; ) n = = = n Vậ sin (, ( ) ) (, ( ) ) âu ho hình chóp có đá tm giác đều cạnh, hi mặt phẳng ( ) và ( ) cùng vuông góc với mặt đá và = Tính côsin củ góc giữ hi mặt phẳng ( ) và Group:

19 cos = cos = 7 7 cos = 7 cos = ách : phương pháp dựng hình i mặt phẳng ( ) và vuông góc với mặt phẳng ( ) nên ( ) cắt nhu theo gio tuến và cùng Gọi là trung điểm củ, do tm giác đều nên, lại có su r ựng thì ( ) Vậ, (,( )) = (, ) i tm giác và đồng dạng nên : = = = = + Tm giác vuông tại nên : = = Tm giác vuông tại nên : = = Tm giác vuông tại nên : = = Áp dụng định lí côsin cho tm giác t có : + cos = = cos = ách : phương pháp tọ độ họn hệ tọ độ như hình vẽ, là trung điểm, // Khi đó ( ;; ), ;;, ; ;, ;; = ( ;; ), = ; ; = ;;, = ; ; ặt phẳng ( ) có một vectơ pháp tuến là n =, = ; ; ặt phẳng ( ) có một vectơ pháp tuến là k =, = ;; Group:

20 Vậ cos (,( )) nk = = n k ho hình chóp có đá là hình vuông tâm cạnh, cạnh vuông góc với mặt đá Góc là, gọi G là trọng tâm tm giác Tính khoảng cách giữ đường thẳng và mặt phẳng h giữ hi đường thẳng chéo nhu G và h = h = h = h = ách : phương pháp dựng hình Gọi, N lần lượt là trung điểm củ, // N // N d, N = d (, N ) = d (, ( N )) T có : N, N N ( N ) ựng K N ( N ) d (, ( N )) = K Lại có ( ) nên là hình chiếu củ lên mặt phẳng ( ) N K G Từ đó su r (, ( )) = (, ) = = Vậ giác vuông cân, su r = = Tm giác N vuông tại, đường co K su r : 9 = + = + = K = K N ách : phương pháp tọ độ họn hệ tọ độ như hình vẽ, theo cách t tính được = Khi đó ( ;; ), ( ;; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ;; ) u r ; ;, ; ;, ; ; G = G = 6 6 = ( ; ; ), = ; ; Vậ d (, G), G = =, G G âu ho hình chóp có đá là hình thoi tâm, cạnh, Group: = i mặt phẳng là ( ) và ( ) cùng vuông góc với mặt đá, góc giữ đường thẳng và mặt phẳng Gọi G là trọng tâm tm giác, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng ( ) theo

21 7 h = h = h = h = 7 7 ách : phương pháp dựng hình cắt nhu theo gio tuến và cùng vuông góc với mặt phẳng i mặt phẳng ( ) và ( ) nên ( ) T có Gọi, N lần lượt là trung điểm củ, khi đó G = ( ) // d, = d, G = = = Tm giác đều nên N, mà Lại có d ( G, ( ) ) d (,( ) ) d (, ( ) ) ( N ) ( N ) ( ) ựng, o ( ) ( ) su r K N K d = K nên là hình chiếu củ lên mặt phẳng (,) (, ) = = = = = T tính được N = Tm giác N vuông tại, đường co K nên t có : 7 = + = + = K = K N 7 Vậ d ( G, ( ) ) = K = ách : phương pháp tọ độ G K N họn hệ tọ độ như hình vẽ, theo cách t tính được = Khi đó ( ;; ), ;;, ;;, ; ; G ; ;, ;; = ;; 6 ; ;, G ; = = ; 6 Vậ d G, ( ), G = =, G Group:

22 KỐ ÓP Ó ẶT ÊN VUÔNG GÓ ẶT ĐÁY ÌN ẾU VUÔNG GÓ âu ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh, mặt bên là tm giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đá Tính khoảng cách h từ điểm đến mặt phẳng h = h= h = h = 7 7 [ách ]: Phương pháp dựng hình : [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi là trung điểm, t có: ( ) ( ) = ( ), (,) =, (vì // ( ) ) Gọi E là trung điểm, kẻ E, E thì (,) d = d d Tm giác E vuông tại : E = = = + E 7 + Vậ: d (, ( )) = 7 [ách ]: Phương pháp thể tích đổi đỉnh T tính được V = = 6 V V d (,( ) ) = = Tính diện tích tm giác : T có: = ; = = = = + = 7 Vì = nên gọi E là trung điểm : E = E = 7 = E = d (,( ) ) = 7 Group: E

23 (ó thể dùng công thức ê-rông kết hợp TT để tính diện tích tm giác ) [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là E, trục co là như hình ( ;; ), ;;, ;;, ; ; ; ; ;, = ; ; Vậ, d (, ( ) ) = = =, 7 + âu ho hình chóp có đá là tm giác vuông cân tại, mặt bên là tm giác đều vuông góc với mặt đá Tính theo khoảng cách h giữ hi đường thẳng cạnh và mặt phẳng, h = h = h = h = : [ách ]: Phương pháp dựng hình Trước tiên, t cần kiểm tr em và có vuông góc với nhu không Gọi là trung điểm, là đường co củ hình chóp T nhận thấ có, và do là tm giác vuông cân tại nên: u r: nên cắt tại, kẻ ( ) u r là đoạn vuông góc chung củ và nên d, = T có: = = + E Group:

24 Vậ d (, ) = [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là, trục co là T có: ;;, ;;, ; ; ; ; ; Vậ d ( ),, = =, âu ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh, = ; = và mặt phẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng đá Gọi, N lần lượt là trung điểm củ các cạnh, Tính côsin củ góc giữ hi đường thẳng, N : [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi E là trung điểm, F là trung điểm E T có F / / E / / N, N =, F + = = =, với là trung điểm E = + E = F = ; F = = ; = = F = + F = ( F vuông tại ) Group: N F E

25 F = + F F cos F Định lí côsin trong F : = + cos F cos F = cos (, F ) = [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành, trục tung là K, trục co là = = ;;, ;;, ; ; ; N ; ; N cos, = = N Vậ ( N ) âu 6 ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh, tm giác là tm giác đều và Gọi là trung điểm củ Tính côsin nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đá củ góc giữ và ( ) : [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi K là trung điểm, = K T có: ( ) tại và tm giác là hình chiếu củ lên vuông tại ( ) cos, = cos, = cos K = = K + 6 ; = = = = ; Vậ cos (, ( ) ) = cos = = [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, N K K Group:

26 trục hoành là, trục tung là E, trục co là ( ;; ), ;;, ; ; ; ; ; T có:, = ; ; n = ( ;; ) là một vectơ pháp tuến củ n sin (, ( ) ) = cos (, n) = = n cos, = = Vậ âu 7 ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh Tm giác vuông tại và một nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đá ( ), đường thẳng tạo với mặt phẳng góc 6 Tính góc giữ ( ) và ( ) 6 E : [ách ]: Phương pháp dựng hình Từ dựng, su r ( ) dựng / /,, su r Góc giữ ( ) và ( ) là Từ 6 = = và T có: ( ) (, ( )) 6 = = tn 6 = = = = Theo T-let: = = = = vuông cân tại Vậ = [ách ]: Phương pháp tọ độ Group:

27 Từ dựng, su r ( ) Từ dựng / /, Góc giữ ( ) và ( ) là họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là song song, trục co là T có: ( ), = = 6 và ( ) = = = = tn 6 = = ;;, ;; ; ; ; (vì = = ) ( ;; ), T có:, = ( ) ; ; n = ;;, = ;; n = ;; nn cos (( ),( ) ) = cos ( n, n) = = n n Vậ =, su r là một vectơ pháp tuến củ ( ) là một vectơ pháp tuến củ ( ) âu 8 ho hình chóp có đá là hình vuông cạnh, =, hình chiếu vuông góc củ trên ( ) là trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách h từ đến mặt phẳng h = : [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi là trung điểm, t có: h = h = Gọi K là trung điểm thì K, kẻ K, K ( ) =, = 6 6 h = thì, d = Group:

28 K (,) (,) d = d = = = = + K + 8 = = ; K = = [ách ]: Phương pháp thể tích đổi đỉnh T tính được V = = V V (,) d = = = Tính diện tích tm giác : T có: = ; = = + = ùng công thức ê-rông kết hợp TT: + + ; p = = p p p ( p ) = [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là E, trục co là như hình = = ( ;; ), ;;, ( ;; ), ;; ; ; ;, = ; ;, d (, ( ) ) = = =, âu 9 ho hình chóp có đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ trên mặt là điểm thuộc cạnh so cho = Góc giữ đường thẳng và mặt phẳng phẳng ( ) bằng 6 Tính khoảng cách h giữ hi đường thẳng và theo h = h = 8 : [ách ]: Phương pháp dựng hình d, = d, t, t / / Group: K h = với E h =

29 = d (, ( t )), vì //( t ) Gọi N là trung điểm, qu dựng EK / / N, E t, K EKN là hình chữ nhật, ( t ) là E ựng E t có: E (,) = = d E + E 7 = = = + = 6 6, ( ) = = 6, tn 6 = = K = N E = N = E d (, ( E )) = = = + E ( E) =, = d (, ( E )) = d (, ( E )) = 8 Vậ d (, ) = 8 [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là, trục co là // T có: 7 = = = + = 6 6 (, ( )) = = 6, tn 6 = = ; ;, ; ; 6, ; ; ; ;; 7, = ; ; 6, d (, ) = =, 8 âu ho hình chóp có đá là hình chữ nhật, là gio điểm hi đường chéo và, có ; là trung điểm củ, = = ình chiếu vuông góc củ đỉnh lên = Tính côsin củ góc (, ) E 6 6 N K Group:

30 7 7 : [ách ]: Phương pháp dựng hình, =, 7 = + = = + = = ; = = = = 9 = + = Định lí côsin trong tm giác : = + cos cos = cos (, ) = cos (, ) = cos = [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là, trục co là ;;, ;; ( ;; ), ; ; ; ( ) ( ) cos, = cos, 7 = = âu ho tứ diện có đá là tm giác vuông tại, cosin củ góc giữ và ( ) 6 6 = = =, = Tính Group:

31 : [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi là trung điểm cạnh, su r ( ) = = ) (,) = = = Vậ cos (, ( )) = cos = = = [ách ]: Phương pháp tọ độ T thấ di chuển trên đường tròn đường kính nên, không đổi th đổi, và góc giữ và T chọn vị trí so cho tm giác vuông cân tại Khi đó với là trung điểm thì họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là, trục co là = =, = = ; ( ;; ), ;;, ; ; ; ;; T có:, = ;; n = ( ;;) là một vectơ pháp tuến củ n sin (, ( )) = cos (, n) = = n ( ( )) cos, = = âu ho hình chóp có đá là tm giác vuông tại đỉnh, cạnh cạnh bên (vì =, = = = Tính góc tạo bởi mặt bên ( ) và mặt phẳng đá 6 rctn : [ách ]: Phương pháp dựng hình 6 =, các Group:

32 Gọi là trung điểm, t có: (,) = = =, = = ; 6 = = 6 tn = = = 6 6 Vậ (,( )) = = [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ có gốc tại, trục hoành là, trục tung là, trục co là // = = ; ( ;; ), ;;, ; ; 6 ; ; 6 ; T có: 6, = ; ; n ( ; ;) = là một vectơ pháp tuến củ, = ;; n = ( ;;) là một vectơ pháp tuến củ nn cos (,( )) = cos ( n, n) = = n n, = Vậ ( ( )) Ủ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG - ÌN ỘP Ữ NẬT- ÌN LẬP PƯƠNG âu ho hình lăng trụ đứng có mặt đá là tm giác vuông tại có =, =, = Gọi là trung điểm củ Khoảng cách từ đến là: Group:

33 [ách ]: Phương pháp cổ điển + Đi tính d (, ) Kẻ,có: ' d (, ) = ' ó = = ó = + = = ó = và là trung điểm d (,( )) = d (,( )) = [ách ] : Phương pháp tọ độ: họn hệ trục to độ như hình vẽ Khi đó t có: (;;); (; ;); ( ;;); ' (; ; ); ( ; ;) T có: = (; ; ); = ( ;;) = = Khi đó phương trình (; 6; ) (; ;) ( ): + = u r d (,( ) ) = = ' ' ' âu ho hình lăng trụ đứng có mặt đá là tm giác đều, cạnh = iết góc giữ và đá bằng Tính khoảng cách hi đường chéo nhu và theo là: [ách ]: phư ơng pháp cổ điển: Group:

34 T có // // u r d, = d, Kẻ T chứng minh đư ợc Khi đó d,( ) = T có = Kẻ T chứng minh được ( ) = ( ) T có = ( ) ( ) u r (( ), ) = (, ) = Khi đó vuông cân tại = = à đều nên = = Vậ d, = [ách ]: Phương pháp tọ độ T tính được = họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó t có (;;); (; ; ); ( ;;); ( ;;); ( ;; ) T có: = ( ; ; ); = (;; ); ' ' ' ' ' = ( ;;) Lại có: T tính được: Khi đó t có: = ( 9 ; ;) ( ) = 8 = 6 ( ) d (, ) = = ' âu ho hình lăng trụ tm giác đều có cạnh bên, góc tạo bởi và mặt đá là 6 Gọi là trung điểm Tính cosin góc tạo bởi đường thẳng và 9 7 [ách ]: Phương pháp tích vô hướng Group:

35 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đá là tm giác đều Áp dụng công thức: cos (, ) = T có (, ) = (, ) = = 6 Trong v có: tn = = Lại có = ( ) ( + ) = + = ( os6 ) + c = ' ' N ' [ách ]: Phương pháp dựng hình ặt khác = + = ; = = (Trung tuến trong tm giác đều) Khi đó cos (, ) = = Gọi N là trung điểm củ N //, =, N u r cos, = cos, N = cosn Xéttm giác N có : cos N = T có : N = = = N = + N = + N N N Khi đó cos N = cos (, ) = [ách ]: Phương pháp hệ trục tọ độ Group:

36 họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó: (;;); (; ;); ( ;;); (; ; ) T có = ( ; ; ) = = (; ;) = Khi đó: cos (, ) = = ' ' ' âu 6 ho hình lăng trụ đứng có =, = 6, = 7 ; = Tính góc tạo bởi đường thẳng và rctn rctn rcsin [ách ]: Phương pháp cổ điển Kẻ u r là hình chiếu vuông góc củ trên Khi đó + + T có p= = 9 = p( p )( p )( p ) = 6 6 à = = 6 ó = = T có = + = Xét (,) (, ) = = 6 v có tn = = = 7 Khi đó = cr tn 7 ' rcsin 7 ' ' Group:

37 [ách ] : Phương pháp tọ độ T tính được = 6; = họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó t có: (;;); (6 ;; ); ( ; 6;) T có : = Lại có : T có : = ( ; 6; ) = (; 6;) ( ) có VTPT là n = (;;) có VTP là u = (; 6;) ' ' ' nu 87 Khi đó sin ( ;( )) = = n u 9 Đặt =,( ) T 7 + cot = cot = tn = sin 7 Vậ góc giữ và là = rctn 7 âu 7 ho hình lăng trụ đứng với đá là tm giác vuông tại có = 8cm = 6,diện tích tm giác là cm Tính tn củ góc tạo bởi hi mặt phẳng ( ) và 6 6 [ách ]:Phương pháp cổ điển T có = Kẻ T chứng minh được ( ) = ( ) ' T có = ( ) () Nên, =, = Trong V có cos = = cm Trong = = V : sin 6 cm ó = = cm Trong V t có: tn = = 6 Group: ' '

38 [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục to độ như hình vẽ Khi đó t có (;;); (;;) ( ;;); (;;) T có ( ) : = Lại có = (;; ); = ( ;; ) = ( ; ; 6 ) ' ' u r ( ) có VTPT là n = (; ; ) ' và ( ) có VTPT là n = (;;) Khi đó nn cos (( ), ) = = n n 7 o đó: + tn = tn (, ) = cos 6 âu 8 ho hình hộp chữ nhật có =, =, góc tạo bởi và mặt đá là Gọi là trung điểm củ Tính khoảng cách giữ hi đường thẳng chéo nhu và [ách ]: Phương pháp cổ điển: Gọi Tcó N là trung điểm //(N) (, ) (,( )) (,( )) d = d N = d N Kẻ E N, K E hứngminh được K ( N) d,( N ) = K Kẻ đường co củ N t có = E 6 T có = + = = E N T có,( ) = = u r vuông cân tại = = Lại có = + = E 66 ' ' N N ' ' K E E [ách ]: Phương pháp tọ độ Group:

39 họn hệ trục to độ như hình vẽ khi đó : (;;);( ;;); (;; ); ( ; ;) ó = ( ; ;); = ( ;; ); = ( ;;) T có : = ( ; ;6 ); ( ) = 6; = ( ) Khi đó d (, ) = = 66 ' ' ' ' âu 9 ho hình lập phương có diện tích tm giác bằng Tính khoảng cách giữ điểm và mặt phẳng ( ) là: [ách ]: Phương pháp cổ điển Gọi = ; = d (,( ) ) o ( ) = = = d,( ) (,( )) (,( )) d = d Kẻ T có: ( ) d,( ) = Đặt = ó = = = ó = + = Khi đó d (,( ) ) = [ách ]: Phương pháp tọ độ ' ' ' ' Group:

40 họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó : (;;); ( ;;); (; ;); (;; ); (; ; ) T có = (; ; ); = ( ;; ) ' ' = = ( ; ; ) (;;) u r ( ) nhận n = (;;) là VTPT và qu điểm ( ;;) Nên ( ) có PT: + + = + Khi đó d (,( ) ) = = ' ' âu ho hình hộp chữ nhật có =, =, góc tạo bởi đường thẳng và mặt đá là 6 Gọi là trung điểm củ Tính góc giữ hi đường thẳng và rccos rccos rccos rccos 6 ách : Phương pháp tích vô hướng Áp dụng công thức: ( ) cos, = T có :,( ) = = 6 ; = Trong V có = tn 6 = T có = ( + + )( + ) = ( + + )( ) = + = T tính được: = ; = Khi đó cos (, ) = = 6 ' ' ' ' Vậ, = rccos 6 ( ) [ách ]: Phương pháp tọ độ: Group:

41 họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó t có (;;); ( ; ;); (; ;); ( ;;); ( ;; ) T có = ( ; ; ) = = ( ; ;) = Khi đó cos (, ) = = = 6 Vậ: (, ) = rccos 6 ' ' ' ' âu ho hình lập phương có thể tích là 7cm Tính tn góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng ( ) : [ách ]: Phương pháp cổ điển Gọi = ; K = ; = K T chứng minh: ( ); K ( ) u r K là hình chiếu vuông góc củ lên ( ) Nên (,) (, ) = K = K Đặt = ó thể tích hình lập phương là 7 = = cm Tính được = Xét tm giác vuông K có tn = = Vậ góc giữ và mặt phẳng ( ) là góc ' ' K ' ' thỏ mãn tn = [ách ]: Phương pháp tọ độ Group:

42 họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó t được: (;;); (;;) (;;); (;;); (;;) T có u r ( ) có VTPT là n = (; ;) và có VTP là = (;;); = (;;); = ( ;;) = (9; 9;) = 9(; ;) u = ( ;;) ' ' ' ' nu 6 Khi đó sin (,( ) ) = = n u Đặt =,( ) o + cot = cot = tn = sin âu ho hình hộp chữ nhật có = ; = ; = Tính góc tạo bởi mặt phẳng ( ) và mặt đá rccos rccos rccos [ách ]: Phương pháp cổ điển T có = ( ) ( ) Kẻ T chứng minh: ( ) ( ) ( ) = T có ( ) ( ) = ( ),( ) =, = T có = + = Trong tm giác vuông tại có tn = = ' rccos ' ' ' o + tn = cos = cos u r = rccos ách : Phương pháp tọ độ Group:

43 họn hệ trục tọ độ như hình vẽ Khi đó t có (;;); ( ;;); (; ;); (;; ) T có ( ) ( ) ( ) : = Lại có u r và = (; ; ); = ( ;; ) = = ( 8 ; ; ) (;;) ( ) có VTPT là n = (;;) ( ) có VTPT là n = (;;) ' ' ' ' Khi đó nn cos (( ),( ) ) = = nn Vậ (( ),( ) ) = rccos LĂNG TRỤ XÊN âu ho hình lăng trụ có mặt đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng 6 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo là: 7 [ách ]: Phương pháp dựng hình 9 T có: là hình chiếu vuông góc củ lên nên:,, 6 Gọi là trung điểm củ và là trung điểm củ Kẻ K Khi đó: ; ; T có: K d, K K Xét tm giác vuông tại có: K ặt khác: d, d, K d, [ách ]: Phương pháp dùng thể tích Group:

44 V V T có: d, d, V có: ; ; 6 u r: Vậ d, [ách ]: họn hệ trục tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ;;, ;;, ; ;, ;; T có: ; ; ; ;; ; ; ; Vậ d, âu ho hình lăng trụ có mặt đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng 6 Tính khoảng cách hi đường chéo nhu và theo là: 7 K 9 [ách ]: Phương pháp dựng hình T có: là hình chiếu vuông góc củ lên nên:,, 6 K Khi đó: ; ; Gọi là trung điểm củ và là trung điểm củ Kẻ K T có: K d, K Xét tm giác vuông tại có: K Group:

45 ặt khác: d, d, K d, họn và có // nên: d, d, d, [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ;;, ;;, ; ;, ;; Vì ;; T có: ; ; ; ;; ; ; ; d, âu ho hình lăng trụ có mặt đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng 6 Tính khoảng cách hi đường chéo nhu và theo là: [ách ]: Phương pháp dựng hình 7 K 9 T có: // nên: d, d, d, Gọi E là điểm đối ứng với qu điểm t có: // E và E Vì: d, d E, E Nên: d, d E, Kẻ EK ; EF K hứng minh được: EF d E, EF K F E Group:

46 Xét tm giác KE vuông tại K và Xét tm giác EK vuông tại E t có: EF Vậ d, EF= KE 6 t có: EK E sin6 EK E EK E [ách ]: Phương pháp dùng thể tích V V T có: d, d, d, d, V có: ; ; E E 6 u r: Vậ d, = [ách ]: họn hệ trục tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ;;, ;;, ; ;, ;; T có: K ; ; ; ;; ; ; ; Vậ d, âu 6 ho hình lăng trụ có mặt đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng 6 Gọi là góc giữ hi đường thẳng và Khi đó cos : cos cos cos cos [ách ]: Phương pháp cổ điển T có: // nên: cos, cos, cos Tính được:,, 6 Áp dụng định lý cosin trong tm giác t được: Group:

47 cos cos Vậ cos [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ;;, ;;, ; ;, ;; Vì ;; T có: ; ; ; ;; T có: cos, Vậ cos âu 7 ho hình lăng trụ có mặt đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng 6 Tính góc giữ hi đường thẳng và là: 6 [ách ]: Phương pháp cổ điển rcsin T có: nên: là hình chiếu vuông góc củ lên Khi đó:,, Xét tm giác vuông tại t có: tn Vậ, [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: Group:

48 ;;, ;;, ;;, ; ;, ;; ặt phẳng : có vtpt k ;; VTP củ đường thẳng là: u ; ; Khi đó: sin, uk u k Vậ, âu 8 ho hình lăng trụ có mặt đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng 6 Tính góc giữ hi mặt phẳng và là: rctn rctn rctn rctn ách : [Phương pháp dựng hình] Gọi E là điểm đối ứng với qu điểm t có: // E và E E Kẻ EK ; EF K T có: EK K Khi đó:, K, EK K E K F E Xét tm giác KE vuông tại K và Xét tm giác EK vuông tại E có: tn KE E EK Vậ, rctn ách : [Phương pháp tọ độ] KE 6 t có: EK E sin6 Group:

49 họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ;;, ;;, ; ;, ;; ặt phẳng : có vtpt k ;; ặt phẳng có vtpt: n ;; cos, nk n k tn, Vậ, rctn âu 9 ho hình lăng trụ có mặt đá đá là tm giác vuông tại,, ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng Tính khoảng cách từ điểm đến là: 8 7 ách : [Phương pháp dựng hình] Tm giác vuông tại có: ; Vì nên là hình chiếu vuông góc củ lên, khi đó:,, u r, tn 6 T có: nên: d, d, E Vì: d, d, Nên: d, d, Kẻ E ; E hứng minh được: d, T có: Group: E

50 Xét tm giác E vuông tại t có: Vậ 8 d, = 7 E 8 E 7 [ách ]: Phương pháp dùng thể tích V V T có: d, d, d, V 6 có: ; ; u r: Vậ 8 d, 7 [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ;;, ; ;, ; ;, ; ; 6 Vì ; ; 6 Phương trình mặt phẳng là: 6 8 Vậ d, d, d, 7 âu ho hình lăng trụ có mặt đá đá là tm giác vuông cân tại, ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trung điểm củ cạnh iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng Tính khoảng cách giữ hi đường thẳng chéo nhu và là: ách : [Phương pháp dựng hình] 9 7 Group:

51 Tm giác vuông cân tại có: 6 6 ; Vì nên là hình chiếu vuông góc củ lên, khi đó:,, u r, tn Kẻ K, t có: K nên: K u r, d, K K Xét tm giác vuông tại có: K 6 6 Vậ d, [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ;;, ; ;, ; ;, ; ; T có: ; ; ; ; ; ; ;; Vậ d, 6 âu ho hình lăng trụ có mặt đá là tm giác đều cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với trọng tâm G củ tm giác, biết Tính góc giữ hi mặt phẳng và là: 6 rccos rccos rccos rccos Group:

52 ách : [Phương pháp dựng hình] Tính được: ; Kẻ GE T có: E G EG ; 69 G G Vậ, E, EG EG Xét tm giác EG vuông tại G t được: G tn EG cos EG EG Vậ 6, rccos 6 [ách ]: Phương pháp tọ độ họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ; ;, ;;, ;;, 69 G ; ;, ; ; E G ặt phẳng : có vtpt k ;; ặt phẳng có vtpt 69 n ; ; nên: cos, nk n k 6 Vậ 6, rccos âu ho lăng trụ có đá là hình chữ nhật tâm có, Gọi, lần lượt là trung điểm củ, ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng trùng với điểm iết góc giữ cạnh bên và mặt đá bằng 6 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : ách : [Phương pháp dựng hình] 9 Group: 7

53 o là hình chữ nhật tâm có, nên: ; T có: ; Nên là hình chiếu vuông góc củ lên, su r:,, 6 tn 6 Vì // nên: d, d, K E ựng hình bình hành E t có: E, E và d, d E, E u r, d, d E, T có: KE// và E nên tính được: KE Xét tm giác KE vuông tại E có: E KE E 8 KE E 8 8 Vậ d, 9 [ách ]: Phương pháp dùng thể tích T có: V d, d, d, V V Xét tm giác t có:, E E E K KE 9 u r, 8 8 Vậ d, 9 [ách ]: họn hệ trục tọ độ Group:

54 họn hệ trục tọ độ so cho: ;;, ; ;, ;;, ; ;, ; ; 7 ; ;, ; ; 8 8 Vì ; ; ; T có: ; ; ; ; ; ; 7 7 ; ; Vậ d, 9 Ủ ĐỀ TỔNG ỢP âu ho hình chóp có đá là tm giác vuông tại, đỉnh cách đều các điểm,, iết, = =, góc giữ đường thẳng và điểm củ đến mp ( ) theo [ách ]: Phương pháp dựng hình 6 Gọi hình chiếu củ uống mặt phẳng ( ) là u r ( ) T có : cách đều các điểm,, nên = = Vì = = (tm giác vuông có cạnh huền bằng nhu) nên = = h là tâm đường tròn ngoại tiếp à vuông tại nên là trung điểm mp bằng 6 Tính khoảng cách từ trung là trung điểm củ nên d (, ) = d (, ) = d (, ) Gọi K là trung điểm K Kẻ K tại Group:

55 T có : K K = K K, ( K ) ( K ) à ( K ) nên K Lại có : K = K K,, d = Góc giữ đường thẳng và mp ( ) bằng góc nhọn = 6 K T có = = ; K = = Xét : = tn 6 = Xét K vuông tại su r = + = + K 9 d ( ) = = Vậ, 9 = [ách ]: Phương pháp dùng thể tích T có : d V =, Tm giác vuông tại = = = ặt khác : V V = V = V Lại có : V = = = = 6 Tm giác K vuông tại nên o đó : 9 = K = = K = + K = + = V = V = Group: K

56 V 9 Vậ : d (, ) = = [ách ]: Phương pháp toạ độ họn hệ trục toạ độ như hình vẽ, K ;; Khi đó ( ;; ), ( ;; ) ; ;, ; ; u r: ;;, ; K K ;, K ; ; = = = Vậ d, K, K K = = K, K âu ho hình chóp có đá là hình thoi tâm cạnh, khoảng cách giữ và 6, = = = = Tính [ách ]: Phương pháp dựng hình có =, = 6 nên đều Gọi G là trọng tâm tm giác, K là trung điểm củ T có : G = = nên Group: 8 ặt khác: // ( ) d (, ) = d (, ( ) ) = d (, ( ) ) = d ( G, ( ) ) Vì G là trọng tâm đều nên G h G Kẻ G G G T có: ( G ) G G = G G, G ( G) mà G ( G ) nên G G G K Lại có G ( ) = G, ( )

57 h, d G = G đều có cạnh bằng nên Tm giác G vuông tại G su r G = K = = G = G = = = + G = G G G 6 d, = d ( G, ) = = 6 Vậ [ách ]: Phương pháp dùng thể tích V // d, = d, = d, = Tm giác G vuông tại G su r ( ) G = G = = Tm giác đều có cạnh bằng nên: =, = Tm giác vuông tại : = = = o đó: V = G = = G G T có: ( G ) G G = G G, G ( G) Tm giác vuông tại : = = = V Vậ d (, ) = = K [ách ]: Phương pháp toạ độ họn hệ trục toạ độ như hình vẽ trong đó: G G ( ;;), ;;, ;;, ; ; 6, ;; u r: ; ; = 6, = ; ; Group:

58 = ; ; u r: d (, ) d, ( ), = = =, âu ho tứ diện có,, đôi một vuông góc và = = =, là trung điểm củ Tính góc giữ hi đường thẳng và rctn rctn rctn rctn [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi là trung điểm củ T có // Nên góc giữ và là góc giữ và và bằng góc T có : ( ) mà // nên ( ) nên Lại có Xét tm giác vuông tại nên t có: = = ; = + = + = = tn = = = rctn Vậ góc giữ hi đường thẳng và bằng rctn [ách ]: Phương pháp dùng tích vô hướng T có: cos (, ) = cos (, ) T ét: cos (, ) = = + = + = = cos, = = ó: cos, = = = cos, = tn, = 6 6 o đó: ( ) ( ) ( ) Vậ góc giữ hi đường thẳng và bằng [ách ]: Phương pháp toạ độ rccos rctn 6 = Group:

59 họn hệ trục toạ độ như hình vẽ: T có: ( ;; ), ( ;; ), ( ;;), ( ; ;), ; ; u r: = ; ; ; = ( ;;) cos (, ) = cos (, ) = = tn (, ) = 6 Vậ góc giữ hi đường thẳng và bằng rctn âu 6 ho hình chóp đều có đá là hình vuông tâm cạnh, cạnh bên bằng Gọi, N lần lượt là trung điểm và Tính góc giữ N và mặt phẳng ( ) rctn rctn rctn [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi E, F lần lượt là trung điểm củ, Vì hình chóp đều, là tâm củ đá nên ( ) Lại có là hình vuông nên T có =, E // T có : E ( ) ( ) Lại có : NF ( ) o đó : ình chiếu củ N lên mặt phẳng ( ) là EF Nên góc giữ N và mặt phẳng ( ) là góc giữ N và EF bằng góc NF rctn Vì là hình vuông cạnh nên = NF là đường trung bình củ tm giác NF = ặt khác EF = = Tứ giác NEF là hình bình hành nên hi đường chéo N, EF cắt nhu tại trung điểm củ mỗi đường F = EF = E F N Group:

60 Tm giác NF vuông tại F nên Vậ góc giữ N và mặt phẳng [ách ]: Phương pháp toạ độ họn hệ trục toạ độ như hình vẽ: ;; T có ( ;; ), FN tn NF = NF rctn F = = = bằng rctn, ; ;, ;; ; ; ;, ; ;, ;;, ; N ; N = ; ; là: n= i = ( ;; ) Véctơ pháp tuến củ E F N N n N n ( N ( )) = ( N n) = = N ( ) sin, cos, tn ; = âu 7 ho hình lăng trụ ' ' ' có đá là tm giác đều cạnh, cạnh bên bằng và ' ' ' ' = = Tính giá trị tn với là góc giữ hi mặt phẳng ( ) và mặt phẳng [ách ]: Phương pháp dựng hình Gọi là tâm củ đá u r ' ( ) Gọi là trung điểm T có ( tm giác đều ) ' T có : ( ' ) ' ' = ', ( ' ) ( ' ) ( ) = ặt khác : ( ) : ( ' ) : ' Nên góc giữ hi mặt phẳng ( ' ) và mặt phẳng ( ) bằng góc ' = ó, ' ' = = = = = = 6 Group: ' ' ' tn = = ' ' '

61 [ách ]:Phương pháp toạ độ họn hệ trục toạ độ như hình vẽ: ( ;; ), ; ;, ; ;, ; ; 6 6 ' = ' = ' ;; ' = ; ; ; = ;; 6 Véctơ pháp tuến củ ( ' ) là: Véctơ pháp tuến củ ( ) là: n k ( ;;) T có: cos cos ( n, n) n = ', = ; ; 6 = = = = tn = âu 8 ho hình chóp có đá là hình chữ nhật với =, =, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đá và cạnh bên tạo với đá một góc 6 Gọi, N là trung điểm các cạnh bên và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng N 6 6 [ách ]: Phương pháp dựng hình (,) T có cắt ( N ) tại d N d, N = = (,), Kẻ N // T có : N ( ) ( ) à N N T có: N =, N N h d, N = d N = d N ( ) Group: ( ) ( N ) N

62 T có là hình chiếu củ lên mặt phẳng Nên góc giữ và bằng góc = 6 Tm giác vuông tại su r: = tn 6 = 6 Xét tm giác vuông tại nên: = + = + = = 6 6 Vậ d (, ( N )) = [ách ]: Phương pháp dùng thể tích V N T có: d, N = ( ) N N // T có: N ( ) N ( ) Tm giác N vuông tại : N = N = = 8 ặt khác VN N = = = = = = V 8 VN V V 6 Vậ d (, ( N )) = [ách ]: Phương pháp toạ độ họn hệ trục toạ độ như hình vẽ: ( ;; ); ( ;; ); ( ; ; ); ;; ; N ;; N = ; ; ; N = ; ; ; = ( ; ; ) ( ;( N )) d, N 6 = =, N âu 9 ho hình chóp đều có đá là hình vuông cạnh, tâm Góc giữ và mặt phẳng bằng 6 Gọi là trung điểm củ Tính khoảng cách giữ và Group:

63 [ách ]: Phương pháp dựng hình ình chóp đều, là tâm củ đá nên Vì là hình vuông nên T có: ( ) Góc giữ và là góc giữ và bằng góc = 6 // T có // à nên d, = d, = d, Gọi là trung điểm củ Kẻ T có: ( ) mà ( ) Lại có d (, ) = Vì là đường trung bình củ tm giác nên = = 6 Tm giác vuông tại nên t có: = = = tn 6 6 = + = + = = 6 6 Vậ d (, ) = d (, ) = d (, ) = = [ách ]:Phương pháp toạ độ u r: ( ) 6 họn hệ trục toạ độ so cho: ( ;; ); ;; ; ; ; ; ; ; ; ;; 6 6 = ; ; ; = ; ; ; = ; ; 6, d (, ) = d (, ) = =, âu 6 ho hình lập phương ' ' ' ' có cạnh bằng Gọi, N lần lượt là trung điểm và Tính khoảng cách giữ ' và N Group:

64 [ách ]: Phương pháp dựng hình T có // N N // ' ( ) d N, ' = d N, ' = d, ' Gọi = ' ' và là trung điểm củ // T có ' ' ' Lại có : ' ( ( ' ' )) o đó: d ( N, ' ) = d (, ( ' )) = = = ' = [ách ]: Phương pháp toạ độ ' ' ' N ' họn hệ trục toạ độ so cho: ( ;; ); ( ;; ); ( ; ; ); ' ( ;; ) ; ;; u r: ' = ( ;; ) ; = ( ; ; ); = ;; ', d ( N; ' ) = d ( N; ( ' ) ) = d ( ;( ' )) = = ', âu 6 ho hình chóp có đá là hình thng cân //, =, = = iết ( ), = Tính cosin góc giữ hi đường thẳng và [ách ]: Phương pháp dựng hình T có // nên góc giữ hi đường thẳng và là góc giữ hi đường thẳng và Vì là hình thng cân nên = = Gọi là trung điểm củ = = T có: nên tứ giác là hình bình hành // nên = = Tm giác có = tm giác vuông tại Tm giác vuông tại nên t có: = = = = Tm giác vuông tại nên t có: = + = + = = Group:

65 Tm giác vuông tại nên t có: = + = + = = + Áp dụng định lí cosin trong tm giác : cos = = Vậ cosin góc giữ hi đường thẳng và bằng [ách ]: Phương pháp toạ độ họn hệ trục toạ độ như hình vẽ t có: u r: ( ;; ); ( ;; ); ( ; ; ); ( ;; ) = ( ;; ); = ; ; cos (, ) = cos (, ) = = Vậ cosin góc giữ hi đường thẳng và bằng âu 6 ho hình chóp có đá là tm giác vuông tại, = =, cạnh bên, Tính góc giữ và = rctn rctn rctn rctn [Phương pháp tự luận] Gọi là trung điểm cạnh Kẻ Vì tm giác vuông cân tại nên T có: ( ) à T có: ( ) u r : góc giữ và là góc giữ và bằng góc Tm giác vuông tại : có =, = = tn [ách ]: Gán hệ trục tọ độ họn hệ trục toạ độ so cho: ;; ; ; ;; ; ; ; ; ;; T có : Vậ góc giữ và bằng rctn = = = ( ;; ), = ( ; ;) Group:

66 u r:, = ; ; = ;; ặt phẳng có véctơ pháp tuến là: n = ;; Đường thẳng có véctơ chỉ phương là: k = ;; u r: ( ) ( ) = ( n k ) = ( ) sin ; cos ; ( ( )) tn, = Vậ góc giữ và ( ) bằng rctn cot ; = Group: