Scool

Bản ghi

1 796 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» òåë : [095] quantum@sovamcom (ñ ïîìåòêîé Êâàíò ) ¹ ã / Øêîëà â Êâàíòå Ë Ñåì íîâà Òðèãîíîìåòðè åñêèå òîæäåñòâà Êâàíò Èñïîëüçîâàíèå èëè ðàñïðîñòðàíåíèå ýòîãî ìàòåðèàëà â êîììåð åñêèõ öåëÿõ âîçìîæíî ëèøü ñ ðàçðåøåíèÿ ðåäàêöèè Îáðàçîâàòåëüíûé ñåòåâîé âûïóñê VVS V! - ÇÎÂÓ ÆÈÂÛÕ!

2 ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ» ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ» 37 Тригонометрические тождества В Ñß ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈß ÎÑÍÎÂÀÍÀ íà äâóõ ôîðìóëàõ: sin + sin cos + cossin, () cos + cos cos sin sin ËÑÅÌ ÍÎÂÀ () Ñêàæåòå, ñëèøêîì ñìåëîå óòâåðæäåíèå? Â øêîëå ó àò íå äâå, à äâà äåñÿòêà ôîðìóë, íèêàêîé ñèñòåìû íå âèäíî, îäíî ñïàñåíèå øïàðãàëêà Òåì íå ìåíåå, ÿ âñêîðå ðàññêàæó, êàê èç ýòèõ äâóõ òîæäåñòâ ìîæíî âûâåñòè ìíîãèå äðóãèå È ñòàíåò ÿñíî, òî íè îäíó èç ìíîãî èñëåííûõ ôîðìóë òðèãîíîìåòðè åñêîé øïàðãàëêè íå îáÿçàòåëüíî (äàæå âðåäíî!) çàó èâàòü íàèçóñòü Ãîðàçäî ïîëåçíåå ïîíÿòü îñíîâíóþ èäåþ òîãäà ïðè íåîáõîäèìîñòè ìîæíî áûñòðî âûâåñòè íóæíóþ ôîðìóëó Êîãäà âû âïîëíå îâëàäååòå ýòîé èäååé, íåèçáåæíî âñòàíåò âîïðîñ: êàê äîêàçûâàòü ñàìè òîæäåñòâà () ()? Òàê âîò, ìû äîêàæåì èõ øåñòüþ ñïîñîáàìè! Íàèáîëåå áåñõèòðîñòåí âòîðîé ñïîñîá, êîòîðûé ðàñêðûâàåò ãåîìåòðè åñêèé ñìûñë âñåõ âûðàæåíèé, âõîäÿùèõ â ýòè òîæäåñòâà Îñòàëüíûå ñïîñîáû òîæå î åíü êðàñèâû è ïîêàçûâàþò ðàçíîîáðàçíûå ñâÿçè òðèãîíîìåòðèè: ïåðâûé ñ òåîðåìîé ñèíóñîâ, òðåòèé ñ ïîâîðîòàìè, åòâåðòûé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, ïÿòûé ñ òåîðåìîé Ïòîëåìåÿ, øåñòîé ñ êîìïëåêñíûìè èñëàìè Следствия из двух основных формул Ïîäñòàâèì âìåñòî â ôîðìóëû () è ():, sin sin cos cos sin (3) cos g coscos + sinsin (4) ëîæèì () è (3): sin + g + sin sin g cos (5) ëîæèì () è (4) è âû òåì () èç (4):, cos + + cos coscos cos cos + sinsin (6) (7) Òðè ïîñëåäíèå ôîðìóëû ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèé òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé â ñóììû: sincos csin + + sin h, coscos ccos + + cos h, sinsin ccos cos + h Ïîëîæèì òåïåðü Òîãäà +,,, è èç ôîðìóë (5) (7) ïîëó àåì ôîðìóëû äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóìì è ðàçíîñòåé òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèÿ: sin + sin sin cos, cos + cos cos cos, cos cos sin sin Èç ôîðìóë () è () ìîæíî âûâåñòè è äðóãèå òðèãîíîìåòðè åñêèå ôîðìóëû Íàïðèìåð, ïîäñòàâèâ, ïîëó- èì sin sincos, cos cos sin Ëåãêî ïîëó èòü è ôîðìóëó òàíãåíñà ñóììû: sin + tg + cos + sin cos + cossin coscos sinsin sin sin + cos cos tg + tg sin sin tg tg coscos Çàìåíèâ íà, ïîëó èì ôîðìóëó òàíãåíñà ðàçíîñòè: tg tg tg tg tg + Ôîðìóëû äëÿ òàíãåíñà ðàçíîñòè è òàíãåíñà ñóììû âåðíû íå ïðè ëþáûõ çíà åíèÿõ ïåðåìåííûõ è, à òîëüêî ïðè òåõ, äëÿ êîòîðûõ tg è π tgñóùåñòâóþò (ò å, + πn íè ïðè êàêîì öåëîì n) è çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â íîëü (ò å â ñëó àå òàíãåíñà ñóììû tg tg, à â ñëó- àå òàíãåíñà ðàçíîñòè tg tg ) Ïîýòîìó ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò îáðàùàòü âíèìàíèå íà çíà åíèÿ ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ ôîðìóëû ïðèìåíÿòü íåëüçÿ Óïðàæíåíèÿ Äîêàæèòå, òî à) cos cos sin ; á) sin sin sin g sin + g Äîêàæèòå ôîðìóëû à) cos + sin sin + 45 g; F π á) cos sin coss+ HG 4 K J ; â) cos + 3 sin sin + 30 g 3 Óáåäèòåñü, òî åñëè õîòÿ áû îäíî èç èñåë a è îòëè íî îò íóëÿ, òî acos + sin a + F HG a a + cos + a + K sin J a + sinϕcos + cosϕ sin a + sin + ϕ g, ãäå ϕ òàêîé óãîë, òî sinϕ a a + è cosϕ a + (Ìû ïîëó èëè òàê íàçûâàåìóþ ôîðìóëó ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî óãëà Åñëè ωt, ãäå ω íåíóëåâàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè- èíà, t âðåìÿ, òî ïîëó àåì, òî ñóììà äâóõ ãàðìîíè åñêèõ êîëåáàíèé acosωt è sinω t ãàðìîíè åñêîå êîëåáàíèå) 4 Ðåøèòå óðàâíåíèÿ à) sin + cos ; g

3 38 á) sin + cos 5 Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà åíèå ôóíêöèè fg 3cos 4sin 6 Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà åíèé ôóíêöèè g g sin + 5 cos 7 Äîêàæèòå ôîðìóëû 3 à) sin 3 3sin 4sin ; 3 á) cos 3 4cos 3cos 8 Âûðàçèòå cos4 åðåç cos 9 Äîêàæèòå ôîðìóëû tg à) sin ; + tg á) cos tg ; + tg cos â) tg sin (Ýòè ôîðìóëû íàçûâàþò ôîðìóëàìè óíèâåðñàëüíîé òðèãîíîìåòðè åñêîé ïîäñòàíîâêè Îíè ïîçâîëÿþò ëþáîå óðàâíåíèå, â êîòîðîì ïðèñóòñòâóþò sin è cos, ñâåñòè ê óðàâíåíèþ ñ îäíîé íåèçâåñòíîé: tg Îáðàòèòå âíèìàíèå, òî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ëåâûõ è ïðàâûõ àñòåé íå ñîâïà- äàþò Ïîýòîìó áåçîãëÿäíîå ïðèìåíåíèå ýòèõ ôîðìóë ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåïðèÿòíîñòÿì) 0 Äîêàæèòå ôîðìóëû sin à) tg ; + cos sin + g á) tg + tg ; coscos ; sin â) tg tg coscos sin + g ã) ctg + ctg ; sin sin sin g ä) ctg ctg sin sin à) Íàðèñóéòå íà êëåò àòîé áóìàãå ïðÿìûå, çàäàííûå óðàâíåíèÿìè õ 3 è 5 3 Èçìåðüòå òðàíñïîðòèðîì âåëè èíó óãëà ìåæäó íèìè è çàòåì íàéäèòå ýòó âåëè èíó íå ïðèáëèæåííî, à òî íî ïðè ïîìîùè ôîðìóëû òàíãåíñà ðàçíîñòè á) Íàéäèòå âåëè èíó óãëà ìåæäó ïðÿìûìè, çàäàííûìè óðàâíåíèÿìè k + è k + (óãëîâûå êîýôôèöèåíòû k è k ýòî òàíãåíñû óãëîâ íàêëîíà ïðÿìûõ ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè àáñöèññ) Ó åíèê ðåøàë çàäà ó è ïîëó èë íåâåðíûé îòâåò Ìîãëà ëè áûòü òîìó âèíîé èñïîëüçîâàííàÿ èì ôîðìóëà tg tg? tg 3 Ðåøèòå óðàâíåíèå, tg ctg âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé tg + tg + 45 tg a) á) ÊÂÀÍT$ 000/ 4 Íóæíî ëè îòäåëüíî ðàññìàòðèâàòü çíà åíèÿ n, ãäå n öåëîå èñëî? Проведем высоту Ïåðåéäåì ê ñàìîìó èíòåðåñíîìó ê äîêàçàòåëüñòâàì òîæäåñòâ () è () Äëÿ óäîáñòâà èòàòåëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîíóìåðîâàíû Ñåé àñ, êàê âèäíî èç çàãîëîâêà ýòîãî ðàçäåëà, ìû ðàññìîòðèì ïåðâûé ñïîñîá Îïóñòèì âûñîòó H íà ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà (ðèñ,à): H + H cos + cos (8) Âñïîìíèì òåîðåìó ñèíóñîâ: Rsin γ, Rsin è Rsin, Рис H γ ãäå R ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó (8) è ðàçäåëèì íà R Ïîëó èì sin γ sin cos + sin cos Îñòàëîñü çàìåòèòü, òî sin γ sin80 g sin + g, è ôîðìóëà () äîêàçàíà Ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê ýòîãî äîêàçàòåëüñòâà â òîì, òî è äîëæíû áûòü îñòðûìè óãëàìè èíà å òðåóãîëüíèê ñ íóæíûìè íàì óãëàìè ëèáî âîîáùå íå ñóùåñòâóåò, ëèáî æå âûñîòà H ïàäàåò íå íà ñòîðîíó, à íà åå ïðîäîëæåíèå Âïðî åì, ýòè îãðàíè- åíèÿ ìîæíî îñëàáèòü, çàìåíèâ èõ íà íåðàâåíñòâà 0 <, 0 <, + < 80 : íàïðèìåð, åñëè óãîë Â òóïîé (ðèñ,á), òî ÀÂ ÀÍ ÂÍ cos cosd80 o i cos +cos Îäíàêî â ôîðìóëå () âåëè èíû è ìîãóò áûòü ëþáûìè, íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíûìè; è äàæå åñëè îíè ïîëîæèòåëüíû, èõ ñóììà + íå îáÿçàòåëüíî ìåíüøå 80 Êàê áûòü? Ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ôîðìóëû γ H ïðèâåäåíèÿ: cos sin(90 ), sin( + 80 ) sin è ò ï Ïðè ïîìîùè íèõ ìîæíî ñâåñòè îáùèé ñëó- àé ê ñèòóàöèè, äëÿ êîòîðîé ôîðìóëà áëàãîïîëó íî äîêàçàíà Íî íè åãî îñîáåííî èíòåðåñíîãî â ýòîì ñêó íîì ðàçáîðå ñëó àåâ íåò À ïîòîìó ÿ íå áóäó ýòèì çàíèìàòüñÿ è âàì íå ñîâåòóþ, îñîáåííî åñëè ïðåäñòîèò ñäàâàòü ýêçàìåí: âðÿä ëè ó ýêçàìåíàòîðà õâàòèò òåðïåíèÿ âûäåðæàòü òàêîé ïåðåáîð Îí ïðîñòî ñêàæåò âàì: «Äî òåõ ïîð, ïîêà íå ðàçîáðàíû âñå ñëó àè, ñ èòàòü ôîðìóëó äîêàçàííîé íåëüçÿ Ïðèõîäèòå åðåç ãîä!» È áóäåò ïðàâ: åñëè ïåðåáîð íåïîëîí, òî óòâåðæäåíèå íå äîêàçàíî, à îöåíêà çà ýòî ïîëàãàåòñÿ ñàìè çíàåòå êàêàÿ Выясним геометрический смысл Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü åäèíè íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà àëå êîîðäèíàò è îòëîæèì îò îñè àáñöèññ ïðîòèâ àñîâîé ñòðåëêè óãîë âåëè èíîé, à îò ïîëó åííîãî ëó à óãîë âåëè èíîé (ðèñ ) Îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû D è E íà îñü àáñöèññ è ëó Рис D Çàòåì èç òî êè E îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû EF è E íà ïðÿìûå D è D Ïî ñâîéñòâó óãëîâ ñ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè, E EF Èìååì: sin + g D + D + EF E cos + E sin sin cos + cossin ; cos + F E E cos E sin coscos sin sin Èçëîæåííîå äîêàçàòåëüñòâî ãîðàçäî ëó øå ïåðâîãî: îíî âåðíî äëÿ ëþáûõ âåëè èí è äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ, áîëüøèõ è ìàëåíüêèõ (Èñïîëüçîâàííûå âåëè èíû «ñàìè ñîáîé» â íóæíûõ ñëó àÿõ ïîëîæèòåëüíû, â íóæíûõ îòðèöàòåëü- F E D F DF

4 ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ» 39 íû) Óáåäèòü â ýòîì ýêçàìåíàòîðà ëåã- å, åì â ïåðâîì äîêàçàòåëüñòâå íî âñå-òàêè óáåæäàòü íàäî Скалярное произведение Âåñüìà ëàêîíè íîå äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû () ïîëó èì, åñëè ïîñ èòàåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a cos ; sin g, cos ; sin g Ñ îäíîé ñòîðîíû, îíî ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ äëèí ýòèõ âåêòîðîâ íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè: a cos + g Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçâåñòíî, òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò: a cos cos sin sin Îñòàëîñü ñðàâíèòü ïîñëåäíèå äâå ôîðìóëû Çàïóòàòüñÿ, ñîãëàñèòåñü, íåãäå Íî îäèí ñêîëüçêèé ìîìåíò âñå-òàêè åñòü: âñÿ òðóäíîñòü ñïðÿòàíà â ôîðìóëå, âûðàæàþùåé ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ åðåç èõ êîîðäèíàòû Ïîýòîìó, ïðåæäå åì èñïîëüçîâàòü íà ýêçàìåíå ýòîò ñïîñîá, íàäî âñïîìíèòü äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (È ãîäèòñÿ íå âñÿêîå äîêàçàòåëüñòâî, à òîëüêî òî, â êîòîðîì íå èñïîëüçîâàíû òðèãîíîìåòðè åñêèå ôîðìóëû ñëîæåíèÿ, èíà å âîçíèêíåò ïîðî íûé êðóã) V Повороты Ñåé àñ ÿ èçëîæó ñïîñîá, ê êîòîðîìó ïðèäðàòüñÿ òðóäíåå âñåãî Ïîâîðîò âîêðóã òî êè íà óãîë ϕ ýòî îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì âñÿêàÿ òî êà M ïåðåõîäèò â òàêóþ òî êó N, òî M N è MN ϕ (ðèñ 3) Óãîë ϕ îòêëàäûâàþò ïðîòèâ àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ϕ ïîëîæèòåëåí; åñëè æå ϕ < 0, òî îòêëàäûâàþò ïî àñîâîé ñòðåëêå óãîë âåëè èíîé ϕ Ïîâîðîò îáû íî îáîçíà àþò R ϕ, ïî ïåðâîé áóêâå ñëîâà rotation âðàùåíèå (ñðàâíèòå: ðîòîð, ðîòàöèÿ) Рис 3 ϕ N M Ðàññìîòðèì ïîâîðîòû R è R âîêðóã íà àëà êîîðäèíàò íà óãëû è (Ïîñêîëüêó â èçëàãàåìîì äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçîâàíû ïîâîðîòû òîëüêî âîêðóã íà àëà êîîðäèíàò, öåíòð ïîâîðîòà ìû íå óêàçàëè) Ïîñëåäîâàòåëüíîå âûïîëíåíèå ýòèõ äâóõ ïîâîðîòîâ äàåò ïîâîðîò íà óãîë + : R o R R + (9) Îêàçûâàåòñÿ, åñëè âûïèñàòü ôîðìóëû, êîòîðûå îïèñûâàþò â êîîðäèíàòàõ ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè, òî ôîðìóëà (9) ïðèâåäåò ê ôîðìóëàì () è () Ïðîäåëàåì ýòè âû èñëåíèÿ Ïðè ïîâîðîòå íà óãîë âîêðóã íà àëà êîîðäèíàò òî êà (;0) ïåðåõîäèò, êàê Рис 4 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé êîñèíóñà è ñèíóñà, â òî êó ñ êîîðäèíàòàìè (cos ; sin ) (ðèñ4) Òî êà (0;) ïðè ýòîì ïîâîðîòå ïåðåõîäèò â òî êó ( sin ; cos ) Äàëåå, âåêòîð (; ) ìîæíî ðàçëîæèòü â ñóììó âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíûõ îñÿì êîîðäèíàò, ïî ôîðìóëå ; g 0 ; g + 0 ; g Ïîñêîëüêó ïðè ïîâîðîòå ëþáîé ïàðàëëåëîãðàìì ïåðåõîäèò â ïàðàëëåëîãðàìì, ëåãêî ïîíÿòü, òî äëÿ ëþáûõ èñåë, è ëþáûõ âåêòîðîâ a, âåðíî ðàâåíñòâî F HG KJ R a+ R a R F H G + KJ F H G KJ Çíà èò, âåêòîð (; ) ïðè ïîâîðîòå R ïåðåõîäèò (ðèñ5) â âåêòîð sin cos sin cos R 0 ; + R 0 ; cos ; sin g + sin ; cos g cos sin ; sin + cos g Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò íàïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò c ; h òî êè, â êîòîðóþ ïåðåõîäèò òî êà ; g ïðè ïîâîðîòå íà óãîë âîêðóã íà àëà êîîðäèíàò: cos sin, (0) sin + cos () Äëÿ êîîðäèíàò c ; h òî êè, â êîòî- Рис 5 ðóþ ïåðåõîäèò òî êà c ; h ïðè ïîâîðîòå R, âåðíû àíàëîãè íûå ôîðìóëàì (0) è () ôîðìóëû cos sin, () sin + cos (3) Ïîäñòàâèâ â () âûðàæåíèÿ (0) è (), ïîëó èì cos sin cos sin + cos g sin (4) Ðàñêðîåì ñêîáêè è ñãðóïïèðóåì: cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin g sin cos + cos sin g (5) Òåïåðü çàìåòèì, òî cos + g sin + g, (6) è ñðàâíèì ôîðìóëû (5) è (6) Â îäíîé ôîðìóëå êîýôôèöèåíò ïðè ðàâåí cos cos sin sin, â äðóãîé ôîðìóëå (äëÿ òîé æå ñàìîé êîîðäèíàòû ) êîýôôèöèåíò ïðè ðàâåí cos + g Ïîëó àåì ôîðìóëó () Àíàëîãè íî, ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè, ïîëó àåì ôîðìóëó () (Âîçìîæíî, êîìó-òî ñðàâíåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïîêàæåòñÿ ïîäîçðèòåëüíûì ïðèåìîì Ñàìûé ïðîñòîé, íà ìîé âçãëÿä, ñïîñîá îáîñíîâàòü åãî çàêîííîñòü ïîäñòàâèòü â ôîðìóëû (5) è (6) ñíà àëà, 0, à çàòåì 0, ) Óïðàæíåíèÿ 4 Äëÿ âûâåäèòå ôîðìóëó, àíàëîãè íóþ ôîðìóëå (4), è óáåäèòåñü, òî òàêèì îáðàçîì ïîëó àþòñÿ òå æå ñàìûå ôîðìóëû () è () 5 Íàéäèòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, â êîòîðóþ ïåðåõîäèò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì (0;3) è ðàäèóñîì ïðè ïîâîðîòå âîêðóã íà àëà êîîðäèíàò íà à) 90 ; á) 45 6 Â êàêóþ òî êó ïåðåõîäèò òî êà (;) ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé åðåç íà àëî êîîðäèíàò ïîä óãëîì

5 40 ϕ ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè àáñöèññ? 7 Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî êè, â êîòîðóþ ïåðåõîäèò òî êà (; ) ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî à) òî êè (0; 0); á) òî êè (a; ); â) ïðÿìîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì + ; ã*) ïðÿìîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì tg ϕ+ 8 Ãèïåðáîëó, çàäàííóþ óðàâíåíèåì, ïîâåðíóëè íà 45 ïðîòèâ àñîâîé ñòðåëêè Êàêîâî óðàâíåíèå ïîëó åííîé êðèâîé? 9 Ýëëèïñ, çàäàííûé óðàâíåíèåì + 4 4, ïîâåðíóëè íà 30 ïî àñîâîé ñòðåëêå Êàêîâî óðàâíåíèå ïîëó åííîé êðèâîé? V Теорема Птолемея Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè è ñ îáùåé ãèïîòåíóçîé Îáà îíè âïèñàíû â îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì (ðèñ6) Рис 6 Íàïîìíþ, òî òåîðåìà Ïòîëåìåÿ ãëàñèò: ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé âïèñàííîãî åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí Çíà èò, + (7) Ïîñêîëüêó, cos, cos, sin è sin, ðàâåíñòâî (7) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå cos sin + cos sin Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ, sin + g (â ñàìîì äåëå, ýòî äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà, + âåëè èíà óãëà ) Ôîðìóëà () îêàçàëàñü àñòíûì ñëó àåì òåîðåìû Ïòîëåìåÿ! (Ðàçóìååòñÿ, íàøå äîêàçàòåëüñòâî èìååò ñìûñë òîëüêî äëÿ îñòðûõ óãëîâ è ) Ìåæäó ïðî èì, Ïòîëåìåé èñïîëüçîâàë ñâîþ òåîðåìó èìåííî äëÿ âû èñëåíèÿ òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé îäíèõ óãëîâ åðåç ôóíêöèè äðóãèõ óãëîâ Ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, òî èñòîðè åñêè òåîðåìà Ïòîëåìåÿ (îê 90 îê 60) ïðåäøåñòâîâàëà ôîðìóëàì () è () Â ñîâðåìåííóþ ôîðìó òðèãîíîìåòðèþ ïðèâåë Ëåîíàðä Ýéëåð ( ) Рис 7 ÊÂÀÍT$ 000/ 4 Задача Архимеда Ïÿòü èç îáåùàííûõ øåñòè äîêàçàòåëüñòâ ðàçîáðàíû Äàâàéòå ïîâðåìåíèì ñ øåñòûì ñïîñîáîì, òîáû âñïîìíèòü îäíó èñòîðèþ Êîãäà â 986 ãîäó «Çàäà íèê «Êâàíòà» ïðèáëèæàëñÿ ê Ì000, áûë îáúÿâëåí êîíêóðñ íà ëó øóþ çàäà ó ãîäà Ïîñòóïèëè ðàçíûå çàäà è, íî íè îäíà èç íèõ íå ïîíðàâèëàñü íàñòîëüêî, òîáû ïðèñâîèòü åé ñòîëü «êðóãëûé» íîìåð È òîãäà áûëî ïðèíÿòî ðåøåíèå: îáúÿâèòü ïîáåäèòåëåì êîíêóðñà Àðõèìåäà èç Ñèðàêóç (îê 87 äî íý) Ì000 Â äóãó âïèñàíà ëîìàíàÿ M èç äâóõ îòðåçêîâ (M > > M) Äîêàæèòå, òî îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà KH, îïóùåííîãî èç ñåðåäèíû K äóãè íà îòðåçîê M, äåëèò ëîìàíóþ ïîïîëàì: H HM + + M Ãåîìåòðè åñêîå ðåøåíèå èñïîëüçóåò íåîæèäàííîå äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå (ðèñ7): íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà M îòëîæèì òî êó òàêóþ, òî M M Óãîë M êàê âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà M ðàâåí ñóììå óãëîâ M è M Â òî æå âðåìÿ óãîë K H M KM êàê âïèñàííûé èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè K è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåí ïîëóñóììå óãëîâ M è M Ïîýòîìó MK áèññåêòðèñà óãëà M Çíà èò, MK è K K Îòñþäà ñëåäóåò, òî K K K Ïîñêîëüêó â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå K âûñîòà KH ÿâëÿåòñÿ çàîäíî è ìåäèàíîé, èìååì H H HM + M, òî è òðåáîâàëîñü Òðèãîíîìåòðè åñêîå ðåøåíèå íå òðåáóåò ôàíòàçèè: îáîçíà èì M è M Òîãäà M R sin è M R sin, ãäå R ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà M Ïîýòîìó M + M R sin + sin g + 4R sin cos Ñ äðóãîé ñòîðîíû, K Rsin + è KM g Ñëåäîâàòåëüíî, H K cos KM + R sin cos M M + g V Умножение комплексных чисел Ñëåäóþùåå äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò íå ýëåìåíòàðíóþ ãåîìåòðèþ, à êîìïëåêñíûå èñëà Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå èñåë cos + i sin è cos + i sin Ñ îäíîé ñòîðîíû, cos + isin cos + isin cos cos + i cos sin + + i sin cos sin sin (8) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òîáû ïåðåìíîæèòü èñëà, çàäàííûå â òðèãîíîìåòðè- åñêîé ôîðìå, äîñòàòî íî ïåðåìíîæèòü èõ ìîäóëè è ñëîæèòü àðãóìåíòû Ìîäóëè èñåë cos + i sin è cos + +i sin ðàâíû ; àðãóìåíòû ðàâíû è ñîîòâåòñòâåííî Çíà èò, cos + isin gcos + isin g cos + g + sin + g i (9) Ñðàâíèòå ôîðìóëû (8) è (9) îïÿòü ïîëó èòå ôîðìóëû () è ()! Ïðàâèëüíî èëè íåò èçëîæåííîå äîêàçàòåëüñòâî, íåò ëè â íåì ïîðî íîãî êðóãà? Âäðóã ïðè îïðåäåëåíèè êîìïëåêñíûõ èñåë áûëè èñïîëüçîâàíû òðèãîíîìåòðè åñêèå ôîðìóëû ñëîæåíèÿ? Ñìîòðèì â ó åáíèêè Äà, â áîëüøèíñòâå èç íèõ ïðè ââåäåíèè êîìïëåêñíûõ èñåë èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû () è () Òåì íå ìåíåå, èçáåæàòü ïîðî íîãî êðóãà ìîæíî Êàê ýòî ñäåëàòü, ðàññêàçàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ñòàòüè À çäåñü íàïîñëåäîê çàìå ó, òî äîêàçàòåëüñòâî âûãëÿäèò åùå ýôôåêòíåå, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà e cos + isin Ïðàâè- i ëî óìíîæåíèÿ èñåë, çàïèñàííûõ â òðèãîíîìåòðè åñêîé ôîðìå, ïðèìåò âèä ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè: e i e i e i + g (0) (Ðàçóìååòñÿ, ïðè ýòîì òîæå íàäî ïîçàáîòèòüñÿ îá îòñóòñòâèè ïîðî íîãî êðóãà Âî âñÿêîì ñëó àå, äëÿ ýêñïîíåíòû e i æåëàòåëüíî äàòü îïðåäåëåíèå, îòëè íîå îò ôîðìóëû Ýéëåðà È òî ñîâåðøåííî îáÿçàòåëüíî äîêàçûâàòü ôîðìóëó (0) íàäî áåç èñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóë () è () Âñå ýòî ìîæíî ñäåëàòü, íî ñòàòüÿ è òàê óæå ñëèøêîì äëèííàÿ)

6 ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ» 4 Геометрический способ определения комплексных чисел и операций над ними Ñ àëãåáðàè åñêèì ñïîñîáîì ââåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ èñåë ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ïî ñòàòüÿì «Êîìïëåêñíûå èñëà» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ çà 994 ã), «Ìíîãî ëåíû äåëåíèÿ êðóãà» («Êâàíò» ¹ çà 998 ã) è «Ñóììû êâàäðàòîâ è öåëûå ãàóññîâû èñëà» («Êâàíò» ¹3 çà 999 ã) Ñåé àñ íàñ èíòåðåñóåò äðóãîé ãåîìåòðè åñêèé ñïîñîá Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü, â êîòîðîé çàäàíà ñèñòåìà êîîðäèíàò (ðèñ8) Ëþáóþ òî êó z Рис 8 ϕ r ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàâàòü íå òîëüêî äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (; ), íî è ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè (r; ϕ ), ãäå r + ðàññòîÿíèå îò òî êè z äî íà àëà êîîðäèíàò; ϕ óãîë, íà êîòîðûé ìîæíî ïîâåðíóòü ïðîòèâ àñîâîé ñòðåëêè ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóîñü èñëîâîé ïðÿìîé äî òîãî ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì îíà ïðîéäåò åðåç òî êó z Êàê âèäèì, âñåãäà r 0, ïðè åì r 0 òîëüêî ïðè z 0 Êðîìå òîãî, äëÿ âñåõ z 0 âåëè èíà ϕ îïðåäåëåíà ñ òî íîñòüþ äî êðàòíûõ 360, òàê òî â èíòåðâàëå 0 ϕ < 360 âåëè èíà ϕ îïðåäåëåíà îäíîçíà íî Âåëè èíó r íàçûâàþò ìîäóëåì (èëè z àáñîëþòíîé âåëè èíîé) èñëà z, ϕ àðãóìåíòîì èñëà z Îáîçíà åíèÿ: r z, ϕ arg z Ñóììó z + z ëþáûõ äâóõ òî åê z è z îïðåäåëèì êàê ñóììó âåêòîðîâ, òå ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ9) Ïðîèçâåäåíèå zz èñåë, ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû z+z z Рис 9 0 d i è dr êîòîðûõ ñóòü r ; ϕ ; ϕ i, îïðåäåëèì êàê òî êó ñ ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè drr ; ϕ + ϕ i (ìîäóëè ïåðåìíîæàåì, àðãóìåíòû ñêëàäûâàåì) Î åâèäíî, äëÿ òî åê âåùåñòâåííîé èñëîâîé ïðÿìîé âûøåîïðåäåëåííûå îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íå âûâîäÿò çà ïðåäåëû ýòîé ïðÿìîé è ñîîòâåòñòâóþò îáû íûì îïåðàöèÿì ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ èñåë (Ïðîâåðüòå ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ, îñîáåííî ïðàâèëî «ìèíóñ íà ìèíóñ äàåò ïëþñ») Èç îñíîâíûõ ñâîéñòâ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ è ñëîæåíèÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ èñåë íåî åâèäåí òîëüêî ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí: z d i () zz + z zz + zz zz Рис 0 z 0 zz ( + z) zz+ zz zz z+z Äëÿ íàñ ýòîò çàêîí î åíü âàæåí: â ôîðìóëå (8) èìåííî îí ïîçâîëèë ðàñêðûòü ñêîáêè Äàâàéòå åãî äîêàæåì Ãåîìåòðè åñêè óìíîæåíèå íà z îçíà àåò ïîñëåäîâàòåëüíîå (â ëþáîì ïîðÿäêå) ïðèìåíåíèå ãîìîòåòèè ñ êîýôôèöèåíòîì z è ïîâîðîòà âîêðóã íà àëà êîîðäèíàò íà óãîë ϕ Ïðè ãîìîòåòèè ïàðàëëåëîãðàìì ïåðåõîäèò â ïàðàëëåëîãðàìì Ïðè ïîâîðîòå òî æå ñàìîå, ïàðàëëåëîãðàìì ïåðåõîäèò â ïàðàëëåëîãðàìì! À ýòî è åñòü ôîðìóëà ()! (Äðóãèìè ñëîâàìè, ñëîæèòü ñíà àëà äâà âåêòîðà z + z (ðèñ0) è óâåëè èòü çàòåì äëèíó ïîëó åííîé ñóììû â z ðàç, îñóùåñòâèâ ê òîìó æå ïîâîðîò íà óãîë ϕ, ýòî âñå ðàâíî òî ñíà àëà êàæäûé èç âåêòîðîâ z è z óâåëè- èòü â z ðàç è ïîâåðíóòü íà óãîë ϕ, à óæå çàòåì ñëîæèòü ïîëó åííûå âåêòîðû) z