Ìàòåìàòè åñêèé êðóæîê. Ñóììû îäèíàêîâûõ ñòåïåíåé íàòóðàëüíûõ èñåë. Àâòîð: Â.Ñ. Àáðàìîâè. Ïåðåâîä ñòàòüè â L A TEX: À.Â. Ñëîâåñíîâ. Ïðèìå àíèå ïåðåâîä

Bản ghi

1 Ìàòåìàòè åñêèé êðóæîê. Ñóììû îäèíàêîâûõ ñòåïåíåé íàòóðàëüíûõ èñåë. Àâòîð: Â.Ñ. Àáðàìîâè. Ïåðåâîä ñòàòüè â L A TEX: À.Â. Ñëîâåñíîâ. Ïðèìå àíèå ïåðåâîä èêà. Äàííàÿ ñòàòüÿ âçÿòà ñ âåá-ñòðàíèöû æóðíàëà ¾Êâàíò è ïåðåâåäåíà ñî ñêàíèðîâàííûõ èçîáðàæåíèé æóðíàëà â ôîðìàò L A TEX, pdf. Ñêîïèðîâàííûé îðèãèíàë íàõîäèòñÿ ïî àäðåñó Íà âîïðîñ: "Óìååòå ëè âû ñêëàäûâàòü îäèíàêîâûå ñòåïåíè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ èñåë? ìíîãèå íåäîóìåííî ïîæìóò ïëå àìè: êòî æå íå óìååò... ñêëàäûâàòü? Îäíàêî ñêëàäûâàòü ìîæíî ïî-ðàçíîìó. Âñåì, íàâåðíîå, èçâåñòíà íåáîëüøàÿ èñòîðèÿ - ëåãåíäà î 8-ëåòíåì Ãàóññå.  òî âðåìÿ êàê åãî îäíîêëàññíèêè òðóäèëèñü íàä âû èñëåíèåì ñóììû , Ãàóññ óâèäåë ïðîñòóþ çàêîíîìåðíîñòü =... = = 1 è ñðàçó ïîëó èë îòâåò: 10. Êîíå íî, íàéòè ñóììû ïðè ñëîæåíèè âòîðûõ, òðåòüèõ, åòâåðòûõ,... ñòåïåíåé íàòóðàëüíûõ èñåë óæå çíà èòåëüíî ñëîæíåå.  ýòîé ñòàòüå ðàññêàçûâàåòñÿ î òðåõ ïðîñòûõ ñïîñîáàõ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóë ñóììèðîâàíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ âû ëåãêî âû èñëèòå ëþáóþ òàêóþ ñóììó. Èòàê, ñóììû, êîòîðûìè ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ, èìåþò âèä S q (n) = 1 q + q n q (1) èñëî q ïðåäïîëàãàåòñÿ öåëûì è íåîòðèöàòåëüíûì. Íàïðèìåð. S (4) = = 0 S 10 () = = 105. ßñíî, òî S 0 (n) äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ñîâïàäàåò ñ n, òàê êàê íà âñå n ñëàãàåìûõ â ýòîì ñëó àå ðàâíû 1. 1 òî äàåò áèíîì Íüþòîíà? Ïðè âû èñëåíèè ñóìì (1) íàì ïîìîæåò áèíîì Íüþòîíà. (Î áèíîìå Íüþòîíà ñì. Í. ß. Âèëåíêèí, ¾Êîìáèíàòîðèêà, ¾Íàóêà, 1969.) 1

2 (k 1) q+1 = k q+1 C 1 q+1k q + C q+1k q ( 1) q C q q+1 k ( 1)q. () Ïåðåíåñåì ïåðâîå ñëàãàåìîå èç ïðàâîé àñòè â ëåâóþ è, ïîëàãàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî k = 1,,..., n, ñëîæèì ïîëó åííûå ðåçóëüòàòû. Åñëè èñïîëüçîâàòü îáîçíà åíèå (1), ìû ïîëó èì n q+1 = C 1 q+1s q (n) + C q+1s q 1 (n)... + ( 1) q C q q+1 S 1(n) ( 1) q S 0 (n) Èç ýòîãî òîæäåñòâà íàõîäèì S q (n) = 1 ( n q+1 + C q + 1 q+1s q 1 (n)... + ( 1) q C q q+1 S 1(n) ( 1) q S 0 (n) ) () Ïðè q = 1 S 1 (n) = 1 ( n + C S 0 (n) ) = 1 (n + n) Òåïåðü, ïîëó èâ âûðàæåíèå äëÿ S 1 (n), ïîëîæèì â () q = : S (n) = 1 {n +C S 1 (n) S 0 (n)} = 1 { n + } (n + n) n = 1 (n + n + 1 ) n. Òàê ïîñëåäîâàòåëüíî ìû ìîæåì ïîëó èòü ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà () âûðàæåíèÿ äëÿ S (n), S 4 (n) è ò.ä. Â ýôôåêòèâíîñòè òàêèõ ôîðìóë âû ìîæåòå óáåäèòüñÿ, ïðîäåëàâ íåêîòîðûå êîíêðåòíûå âû èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ïîëó åííîãî âûðàæåíèÿ äëÿ S (n) òàêàÿ áîëüøàÿ ñóììà, êàê íàõîäèòñÿ î åíü áûñòðî: S (100) = 850. À ñêîëüêî ïîòðåáîâàëîñü áû âðåìåíè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñëîæåíèÿ! Âìåñòî q ëåíîâ - îäèí. Èòàê, ê êàæäîé èç ôîðìóë äëÿ âû èñëåíèÿ ñóìì S q (n), q = 1,,... ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèéòè ñ ïîìîùüþ îáùåãî ñîîòíîøåíèÿ (). Òàêèå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò íîâûé ëåí íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî åå ïðåäûäóùèì ëåíàì, íàçûâàþòñÿ ðåêóððåíòíûìè. Êîíå íî, áîëåå ïðåäïî òèòåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ òàêèå ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ñîäåðæàò â ïðàâîé àñòè âîçìîæíî ìåíüøå ëåíîâ, - â ëó øåì ñëó àå òîëüêî îäèí: ïðåäøåñòâóþùèé îïðåäåëÿåìîìó. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñóìì S q (n) òàêîå ïðîñòîå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå ñóùåñòâóåò. Äëÿ òîãî, òîáû åãî çàïèñàòü, ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà åíèå. Ïóñòü P m (n) - íåêîòîðûé ìíîãî ëåí ñòåïåíè m îòíîñèòåëüíî n: P m (n) = a 0 n m + a 1 n m a m 1 n + a m.

3 Òîãäà P m(n) - ýòî ìíîãî ëåí ñòåïåíè m+1, ïîëó àþùèéñÿ èç ìíîãî ëåíà P m (n) çàìåíîé â íåì ñòåïåíåé n k âûðàæåíèÿìè: n k+1 n k + 1 (k = 0, 1,..., m). Î åâèäíî ñëåäóþùåå ïðîñòîå ñâîéñòâî: åñëè P (n) è Q(n) - äâà ìíîãî- ëåíà, òî (P (n) + Q(n)) = P (n) + Q (n) (4) Òåïåðü äîêàæåì òåîðåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ óòâåðæäåíèé. Ò å î ð å ì à Ñóììà S q (n) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîãî ëåí ñòåïåíè q+1 îòíîñèòåëüíî n áåç ñâîáîäíîãî ëåíà.. Ñóììà S q (n) ñâÿçàíà ñ ñóììîé S q 1 (n) (q = 1,,... ) ñîîòíîøåíèåì S q (n) = n + qs q 1(n). (5) Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáà ïóíêòà äîêàæåì, ïðèìåíÿÿ ïîëíóþ ìàòåìàòè åñêóþ èíäóêöèþ. 1. Òàê êàê S 0 (n) ñîâïàäàåò ñ n, òî ïåðâîå óòâåðæäåíèå ïðè q = 0 ñïðàâåäëèâî. Ïðåäïîëîæèì, òî îíî âåðíî äëÿ ñóìì S 0 (n), S 1 (n),..., S q 1 (n). Òîãäà â ïðàâîé àñòè () ìû ïîëó èì ìíîãî ëåí ñòåïåíè q + 1 áåç ñâîáîäíîãî ëåíà, òî åñòü óòâåðæäåíèå âåðíî è äëÿ ñëåäóþùåé ñóììû S q (n). Ñëåäîâàòåëüíî, îíî èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ ñóìì S q (n), q 0.. Ñîîòíîøåíèå (5) âûïîëíÿåòñÿ, î åâèäíî, äëÿ q = 1: S 1 (n) = n + n = n + n n = n(n + 1). Ïðåäïîëîæèì, òî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ q = 1,,..., m 1. Òîãäà ñîãëàñíî òîæäåñòâó () äëÿ q = m ïîëó èì S m (n) = 1 m + 1 {nm+1 + Cm+1[n + (m 1)Sm (n)] Cm+1[n+ +(m )Sm (n)] ( 1) m Cm+1[n m + S0(n)] ( 1) m Cm+1 m+1 n} = = 1 m + 1 {nm+1 + n(cm+1 Cm ( 1) m+1 Cm+1 m+1 )+ +(m 1)Cm+1S m (n) (m )Cm+1S m ( 1) m Cm+1S m 0(n)} Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü òåì, òî 1 C 1 m+1 + C m ( 1) m+1 C m+1 m+1 = 0

4 è, ñëåäîâàòåëüíî C m+1 C m ( 1) m+1 C m+1 m+1 = C1 m+1 1 = m Çàìå àÿ åùå, òî Cm+1 k m + k 1 = Cm k m + 1 è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (4) îïåðàöèè, ïîëó èì òàêîå âûðàæåíèå äëÿ S m (n): S m (n) = nm+1 + nm m [C ms m (n) C ms m (n) ( 1) m C m ms 0 (n)]. Ïîëàãàÿ â () q = m 1, ïîëó èì, òî âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ðàâíî ms m 1 (n) n m, ñëåäîâàòåëüíî, = nm+1 + nm m + 1 S m (n) = nm+1 + nm m ms m 1(n) nm+1 n m [ms m 1 (n) n m ] = = n + ms m 1(n). Òàêèì îáðàçîì, (5) âåðíî è äëÿ q = m. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ï ð è ì å ð. Ïðåäïîëîæèì, âû çíàåòå, òî Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ S 4 (n): S (n) = 1 4 (n4 + n + n ). S 4 (n) = n + 4S(n) = n + (n 4 + n + n ) = n + n5 n n4 n 4 Îáùàÿ ôîðìóëà. + n n = n5 5 + n4 + n n 0. Áèíîì Íüþòîíà, îäíàêî, ìîæåò äàòü çíà èòåëüíî áîëüøå, åì òîæäåñòâî (), äîêàçàííîå â 1. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (m è n ïðåäïîëàãàþòñÿ íàòóðàëüíûìè èñëàìè): m n 1 = [(m 1) + 1] n 1 = (m 1)C 1 n + (m 1) C n (m 1) n C n n. Ïóñòü m 1. Ðàçäåëèâ îáå àñòè òîæäåñòâà íà m 1, ïîëó èì 1 + m + m m n 1 = C 1 n + (m 1)C n (m 1) n 1 C n n. (6) 4

5 Ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûì m è n, â òîì èñëå è äëÿ m = 1 (â ýòîì ñëó àå îíî î åâèäíî). Ïîñêîëüêó ñëåâà è ñïðàâà ìû èìååì ìíîãî ëåíû ñòåïåíè n 1 îòíîñèòåëüíî m, òî ýòî âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó àå, åñëè ìíîãî ëåíû òîæäåñòâåííî ðàâíû, òî åñòü èõ êîýôôèöèåíòû ñîâïàäàþò (â äàííîì ñëó àå âñå îíè ðàâíû åäèíèöå). Åñëè ðàñêðûòü ñêîáêè â ïðàâîé àñòè (6) è ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè m k, k = 0, 1,..., n 1, åäèíèöå, òî ïîëó èòñÿ ðÿä òîæäåñòâ, ñâÿçûâàþùèõ áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû. Äëÿ íàñ âàæíî ñëåäóþùåå: åñëè ñòåïåíè m k, k = 0, 1,..., n 1 ñëåâà è ñïðàâà â (6) çàìåíèòü ëþáûìè èñëàìè a 0, a 1,..., a n 1, ðàâåíñòâî íå íàðóøèòñÿ: âåäü êîýôôèöèåíòû ïåðåä èñëàìè a k îñòàíóòñÿ ðàâíûìè åäèíèöå! Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó òîæäåñòâó, âåðíîìó äëÿ ëþáûõ èñåë a 0, a 1,..., a n 1 : a 0 + a a n 1 = C 1 n + (a 1 a 0 )C n + (a a 1 + a 0 )C n [a n 1 C 1 n 1a n + C n 1a n... + ( 1) n 1 ]C n n (7) Ò å î ð å ì à ôîðìóëå. Ñóììà S q (n) â îáùåì ñëó àå ìîæåò áûòü âû èñëåíà ïî S q (n) = C 1 n + ( q 1)C n + ( q q + 1)C n [(q + 1) q C 1 q q q + C q (q 1) q... + ( 1) q ]C q+1 n. (8) Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîëîæèì â òîæäåñòâå (7) a k = (k + 1) q, k = 0, 1,..., n 1 è ðàññìîòðèì âíà àëå çíà åíèÿ n q+1. Òàê êàê â ýòîì ñëó àå C p n = 0 äëÿ p > q+1, òî èç (7) âûòåêàåò ôîðìóëà (8) ïðè óñëîâèè 1 n q+ 1. Îäíàêî ñëåâà è ñïðàâà ìû èìååì ìíîãî ëåíû ñòåïåíè q + 1 îòíîñèòåëüíî n áåç ñâîáîäíîãî ëåíà è, ñëåäîâàòåëüíî, îíè äîëæíû ñîâïàäàòü äëÿ âñåõ n. Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì ñëó àå èç ðàçíîñòü - ìíîãî ëåí ñòåïåíè íå âûøå q èìåë áû q + âåùåñòâåííûõ êîðíÿ: 0, 1,,..., q + 1. Ïîïûòàéòåñü ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü, òî òîãäà ýòîò ìíîãî ëåí òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ * ). Ôîðìóëà (8) ïðåäñòàâëÿåò ñóììó S q (n) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñî- åòàíèé C 1 n, C n,..., C q+1 n. S 0 (n) = Cn, 1 S 1 (n) = Cn 1 + Cn, S (n) = Cn 1 + Cn + Cn, S (n) = Cn 1 + 7Cn + 1Cn + 6Cn, 4 S 4 (n) = Cn Cn + 50Cn + 60Cn 4 + 4Cn. 5 è ò. ä. * Åñëè âàì íå óäàñòñÿ ýòî ñäåëàòü, âû ìîæåòå íàéòè äîêàçàòåëüñòâî â ¾Êâàíòå 1, 197, ñòð. 7 5

6 Èññëåäîâàòü ëþáîïûòíûå çàêîíîìåðíîñòè, âîçíèêàþùèå ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ýòèõ êîìáèíàöèé, íàïðèìåð, çàêîíû îáðàçîâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïî ñòîëáöàì, ïðåäîñòàâëÿåì èòàòåëÿì. Ïðèâåäåì â çàêëþ åíèå åùå íåñêîëüêî çàäà î ñóììàõ S q. Ó ï ð à æ í å í è ÿ 1. Ïîêàæèòå, òî S 1 = S 1, è âîîáùå, òî ïðè k = 1,,,... (S 1 ) = S, 4(S 1 ) = S 5 + S, 8(S 1 ) 4 = 4S 7 + 4S 5, k 1 (S 1 ) k = C 1 ks k 1 + C ks k + C 5 ks k , ïðè åì ïîñëåäíèé ëåí ñòîÿùåãî ñïðàâà âûðàæåíèÿ ðàâåí S k ks k+1, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, íå åòíî k èëè åòíî. ëèáî. Ïîêàæèòå, òî S = S, 6S S 1 = 5S 4 + S, è âîîáùå, òî ïðè k = 1,,,... 1S (S 1 ) = 7S 6 + 5S 4, 4S (S 1 ) = 9S S 6 + S 4, k 1 S (S 1 ) k 1 = (C 0 k + C 1 k)s k + (C k + C k)s k +..., ïðè åì ïîñëåäíèé ëåí ñòîÿùåãî ñïðàâà âûðàæåíèÿ ðàâåí ëèáî (k + )S k+1, ëèáî S k, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, íå åòíî k èëè åòíî.. Ïîêàæèòå, òî S = (S 1 ), S 5 = (S 1 ) 4S 1 1, S 7 = (S 1 ) 6(S 1) 4S 1 + 1, è âîîáùå, òî S k 1 (ãäå k 1 ) ÿâëÿåòñÿ ìíîãî ëåíîì îò S 1 = n(n+1) ñòåïåíè k, äåëÿùèìñÿ íà (S 1 ). 6

7 4. Ïîêàæèòå, òî 6S 1 1 S 4 = S, 5 1(S 1 ) 6S S 6 = S, 7 40(S 1 ) 40(S 1 ) + 18S 1 S 8 = S, 15 è âîîáùå, òî S k S ÿâëÿåòñÿ ìíîãî ëåíîì ñòåïåíè k 1 îò S Äîêàæèòå, òî ïðè k 1 (íî íå ïðè k = 0) S k ( x 1) = ( 1) k 1 S k (x) 6. Íàéäèòå ñóììó: (n 1) 7. Íàéäèòå ñóììó: (n 1). 4 Ôîðìóëû äëÿ ñóìì íàòóðàëüíûõ ñòåïåíåé. k = 1 n + 1 n k = 1 n + 1 n n k = 1 4 n4 + 1 n n k 4 = 1 5 n5 + 1 n4 + 1 n 1 0 n k 5 = 1 6 n6 + 1 n n4 1 1 n k 6 = 1 7 n7 + 1 n6 + 1 n5 1 6 n n k 7 = 1 8 n8 + 1 n n6 7 4 n n k 8 = 1 9 n9 + 1 n8 + n n5 + 9 n 1 0 n 7

8 k 9 = 1 10 n n9 + 4 n n6 + 1 n4 0 n k 10 = 1 11 n n n9 n 7 + n 5 1 n n 8