TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN LỚP 9 ĐẠI SỐ CHƯƠNG I. CĂN ẬC HI. CĂN ẬC I. Căn bậc hi. Một số công thức cần nhớ + b = + b + b + = + + b = b + b = + b = b + b + b b = ( + b)( b + b) b b = ( b)( + b + b) = + + + = + + b + b = b ( + b) b b = b ( b). Điều kiện để căn thức có nghĩ có nghĩ khi 0. Điều kiện có nghĩ củ một số biểu thức () (x) là đ thức (x) luôn có nghĩ () (x) (x) có nghĩ (x) () (x) có nghĩ (x) 0 0
(4) (x) (x) có nghĩ (x) > 0 4. Tính chất củ căn bậc hi Với hi số và b không âm, t có: < b b 5. Các công thức biến đổi căn thức +) = = +) Nếu không âm thì = =. = ( ) +). =. (với ; 0) Tổng quát:... =.... với i n n 0 ( i n ) +) = (với 0, 0) +) Đư thừ số r ngoài dấu căn bậc hi t được. T có: = +) Đư thừ số vào trong dấu căn bậc hi: = ( với 0 ) = ( với < 0 ) +) Khử mẫu củ biểu thức dưới dấu căn bậc hi: T nhân mẫu số với thừ số phụ thích hợp để mẫu số là một bình phương.. = = ( với 0,. 0 ) +) Trục căn thức ở mẫu số: DẠNG : Mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số, t nhân tử và mẫu với căn thức.
( 0) = =. =... DẠNG : Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, t nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp củ mẫu. và + là hi biểu thức liên hợp với nhu. ( )( + ) = C C( ) ( 0; ) = ( ) m m.( ) m. = = + ( + )( ) ( + ) m m.( + ) m. = = ( )( + ) C C( ) ( 0; 0; ) = ( ) ( ) m m. m. = = + + m m. + m. + = = + 6. Phương trình chứ căn thức bậc hi. () = 0 = 0 = 0 () 0 = (hoặc 0 ) =
0 () = = (4) + = 0 = 0 và = 0 II. Căn bậc b = = +) +) < b b b =. b +) +) Vớib 0, t có = b CHƯƠNG II. HÀM SỐ ẬC NHẤT. Hàm số bậc nhất b. Khái niệm hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = x + b. Trong đó, b là các số cho trước và 0 b. Tính chất: Hàm số bậc nhất y = x + b xác định với mọi giá trị củ x thuộc R và có tính chất su: - Đồng biến trên R khi > 0 - Nghịch biến trên R khi < 0 c. Đồ thị củ hàm số y = x + b ( 0) Đồ thị củ hàm số y = x + b ( 0) là một đường thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đường thẳng y = x, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = x, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = x + b ( 0) ước. Cho x = 0 thì y = b t được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = b b t được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành Ox. ước. Vẽ đường thẳng đi qu hi điểm P và Q t được đồ thị hàm số y = x + b
d. Vị trí tương đối củ hi đường thẳng Cho hi đường thẳng (d): y = x + b ( 0) và (d ): y = x + b ( 0). Khi đó +) = d //d b b +) +) d d = = = dd b= b +) d d.= e. Hệ số góc củ đường thẳng y = x + b ( 0) * Góc tạo bởi đường thẳng y = x + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng y = x + b và trục Ox là góc tạo bởi ti x và ti T, trong đó là gio điểm củ đường thẳng y = x + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = x + b và có tung độ dương * Hệ số góc củ đường thẳng y = x + b - Hệ số trong phương trình y = x + b được gọi là hệ số góc củ đường thẳng y = x +b f. Một số phương trình đường thẳng - Đường thẳng đi qu điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) có hệ số góc k: y = k(x x 0 ) + y 0 x y - Đường thẳng đi qu điểm (x 0, 0) và (0; y 0 ) với x 0.y 0 0 là + = x0 y0. Công thức tính toạ độ trung điểm củ đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hi điểm phân biệt với với (x, y ) và (x, y ). Khi đó - Độ dài đoạn thẳng được tính bởi công thức = ( x x ) + ( y y ) - Tọ độ trung điểm M củ được tính bởi công thức x + x y + y xm = ; ym = CHƯƠNG III. HỆ HI PHƯƠNG TRÌNH ẬC NHẤT HI ẨN I. CÁC KHÁI NIỆM:
Phương trình bậc nhất hi ẩn: + Dạng: x + by = c trong đó ; b; c là các hệ số đã biết ( 0 hoặc b 0) + Một nghiệm củ phương trình là cặp số x 0 ; y 0 thỏ mãn: x 0 + by 0 = c + Phương trình bậc nhất hi ẩn x + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. + Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): x + by = c. Nếu 0;b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị củ hàm số bậc nhất: y = Hệ hi phương trình bậc nhất hi ẩn: + Dạng: x + by = c x + b y = c c x + b b + Nghiệm củ hệ là nghiệm chung củ hi phương trình + Nếu hi phương trình ấy không có nghiệm chung thì t nói hệ vô nghiệm + Qun hệ giữ số nghiệm củ hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phương trình () được biểu diễn bởi đường thẳng (d) - Phương trình () được biểu diễn bởi đường thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất *Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm. Hệ phương trình tương đương: Hi hệ phương trình được gọi là tương đương với nhu nếu chúng có cùng tập nghiệm II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: + ước : Từ một phương trình củ hệ đã cho, t biểu diễn một ẩn theo ẩn ki, rồi thy vào phương trình thứ hi để được một phương trình mới (chỉ còn ẩn). + ước : Dùng phương trình mới này để thy thế cho phương trình thứ hi trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thy thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn ki có được ở bước ). Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ ước : Cộng hy trừ từng vế hi phương trình củ hệ củ hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. + ước : Dùng phương trình mới ấy thy thế cho một trong hi phương trình củ hệ (và giữ nguyên phương trình ki) Lưu ý: Khi các hệ số củ cùng một ẩn đối nhu thì t cộng vế theo vế củ hệ. Khi các hệ số củ cùng một ẩn bằng nhu thì t trừ vế theo vế củ hệ. Khi hệ số củ cùng một ẩn không bằng nhu cũng không đối nhu thì t chọn nhân với số thích hợp để đư về hệ số củ cùng một ẩn đối nhu (hoặc bằng nhu). (tạm gọi là quy đồng hệ số) CHƯƠNG IV. HÀM SỐ Y = X ( 0). PHƯƠNG TRÌNH ẬC HI MỘT ẨN I. HÀM SỐ y = x ( 0). ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = x ( 0). Tính chất hàm số y = x ( 0) ) Tính chất: Nếu > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0 b) Nhận xét: Nếu > 0 thì y > 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất củ hàm số là y = 0. Nếu < 0 thì y < 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất củ hàm số là y = 0.. Tính chất củ đồ thị hàm số y = x ( 0) Đồ thị hàm số y x ( 0) = là một đường cong đi qu gốc tọ độ và nhận trục Oy là trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Prbol với đỉnh O. Nếu > 0 thì đồ thị nằm phí trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất củ đồ thị.
Nếu < 0 thì đồ thị nằm phí dưới trục hoành, O(0;0) là điểm co nhất củ đồ thị. II. PHƯƠNG TRÌNH ẬC HI MỘT ẨN. Định nghĩ: Pt bậc hi một ẩn là pt có dạng: x bx c 0( 0) trong đó x là ẩn;, b, c là các số cho trước.. Cách giải ) Khuyết c (c = 0): pt () trở thành: x= 0 x= 0 x + b = 0 x = x + bx = 0 x x + b = 0 b b) Khuyết b (b = 0): pt () trở thành: - Nếu - Nếu + + = (), x + c = 0 x = c x = () c c 0 thì pt () vô nghiệm, suy r pt () cung vô nghiệm c c 0 x= c) Đầy đủ: x + bx + c = 0( 0) Công thức nghiệm = b 4c + Nếu 0 thì pt có nghiệm phân biệt: Công thức nghiệm thu gọn = b c + Nếu 0 thì pt có nghiệm phân biệt: x b+ b = ; x = + Nếu = 0 thì pt có nghiệm kép: b x = x = + Nếu 0 thì pt vô nghiệm d) Cho pt: x bx c 0( 0) x b + b = ; x = + Nếu = 0 thì pt có nghiệm kép: b x = x = + Nếu 0 thì pt vô nghiệm + + =. Điều kiện để phương trình:
- Vô nghiệm: 0 ( 0 ) - Nghiệm kép: =0 ( = 0 - Có nghiệm phân biệt: 0 ( 0 ) hoặc.c < 0 - Có nghiệm cùng dấu: - Có nghiệm cùng dấu âm: ) ( ) - Có nghiệm cùng dấu dương: - Có nghiệm khác dấu: 0 P = x.x 0 ( ) 0 P = x.x 0 = + S x x 0 ( ) ( ) 0 P = x.x 0 = + S x x 0 0 P = x.x 0 III. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG - Định lý: Nếu x ; x là nghiệm củ pt x bx c 0( 0) - Ứng dụng nhẩm nghiệm củ hệ thức Vi-ét: + Nếu pt x bx c 0( 0) c x = ;x = + + = thì + + = có + b + c = 0 thì pt có nghiệm là: + Nếu pt x bx c 0( 0) c x = ;x = + + = có b + c = 0 thì pt có nghiệm là: b x+ x = c x.x =
+ Nếu tại u, v là u + v = S thì suy r u, v là nghiệm củ pt: u.v = P = S 4P 0) IV. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH ẬC HI. Phương trình trùng phương. - Dạng tổng quát: x 4 + bx + c = 0( 0) - Cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x t( t 0) t + bt + c = 0 (đây là pt bậc hi một ẩn). Phương trình chứ ẩn ở mẫu: Các bước giải - Tìm ĐKXĐ củ pt - Quy đồng mẫu thức cả vế củ pt, rồi khử mẫu - Giải pt vừ nhận được - Kết luận: so sánh nghiệm tìm được với ĐKXĐ củ pt. Phương trình tích. x Sx + P = 0 (điều kiện để tồn =. Khi đó t có pt: = 0 x - Dạng tổng quát: ( x).( x)... = 0 - cách giải: ( x).( x)... = 0 ( x) = 0 HÌNH HỌC CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TM GIÁC VUÔNG. Hệ thức lượng trong tm giác vuông. Cho tm giác C có đường co H Đặt C = ; C = b; = c; H = h; CH = b'; H = c' H, CH lần lượt là hình chiếu củ và C lên C.
T có các hệ thức su: +) b = b' ; c = c' +) h = b'c' +) h = bc +) = b + c (Định lý Py-t-go) = + h b c +). Tỉ số lượng giác củ góc nhọn ) Định nghĩ sin = cos = tn = cot = cạnh đối cạnh huyền cạnh kề cạnh huyền cạnh đối cạnh kề cạnh kề cạnh đối b) Tính chất +) Cho hi góc và phụ nhu. Khi đó sin = cos ; tn = cot ;
cos = sin ; cot = tn. +) Cho góc nhọn. T có 0 < sin < ; 0 < cos < sin tn = cos tn.cot = tn cos cot = sin + = d) Tỉ số lượng giác củ các góc đặc biệt cos sin + cos = cot + = sin Tỉ số LG 0 0 45 0 60 0 90 0 sin cos 0 tn kxđ cot 0. Hệ thức về cạnh và góc trong tm giác vuông b = sin = cosc b = ctn = ccotc c = sinc = cos
c = btnc = bcot CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN. Sự xác định đường tròn. - Một đường tròn được xác định khi biết tâm O và bán kính R củ đường tròn đó (kí hiệu (O;R)), hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính củ đường tròn đó - Có vô số đường tròn đi qu hi điểm. Tâm củ chúng nằm trên đường trung trực củ đoạn thẳng nối hi điểm đó. - Qu b điểm không thẳng hàng, t vẽ được một và chỉ một đường tròn. Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qu b điểm thẳng hàng. - Đường tròn đi qu b đỉnh củ tm giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tm giác, tm giác gọi là tm giác nội tiếp đường tròn.. Tính chất đối xứng củ đường tròn. +) Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm củ đường tròn là tâm đối xứng củ đường tròn đó. - Đường tròn là hình có trục đối xứng. ất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng củ đường tròn +) Tâm củ đường tròn ngoại tiếp tm giác vuông là trung điểm củ cạnh huyền - Nếu một tm giác có một cạnh là đường kính củ đường tròn ngoại tiếp thì tm giác đó là tm giác vuông.
vuông tại O = O = OC. Qun hệ giữ đường kính và dây củ đường tròn - Trong các dây củ một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. - Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qu trung điểm củ dây ấy. - Trong một đường tròn, đường kính đi qu trung điểm củ một dây không đi qu tâm thì vuông góc với dây ấy C MN tại I I = I 4. Liên hệ giữ dây và khoảng cách từ tâm đến dây Định lí :Trong một đường tròn: - Hi dây bằng nhu thì cách đều tâm - Hi dây cách đều tâm thì bằng nhu
= CD OH = OK Định lí : Trong hi dây củ một đường tròn - Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn - Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn MN > CD OI < OK 5. Vị trí tương đối củ đường thẳng và đường tròn: d là khoảng cách từ tâmcủ đường tròn đến đường thẳng, R là bán kính Vị trí tương đối củ đường thẳng và đường tròn Đường thẳng và đường tròn cắt nhu Số điểm chung Hệ thức giữ d và R d < R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhu d = R Đường thẳng và đường tròn không gio nhu 0 d > R Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến củ một đường tròn (O) thì nó vuông góc với bán kính đi qu tiếp điểm.
Đường thẳng là tiếp tuyến củ (O) OI 6. Tính chất củ hi tiếp tuyến cắt nhu Định lí: Nếu hi tiếp tuyến củ một đường tròn cắt nhu tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hi tiếp điểm - Ti kẻ từ điểm đó đi qu tâm là ti phân giác củ góc tạo bởi hi tiếp tuyến - Ti kẻ từ tâm đi qu điểm đó là ti phân giác củ góc tạo bởi hi bán kính đi qu các tiếp điểm. M = M M O M = M M O O = O 7. Vị trí tương đối củ hi đường tròn Cho (O ; R) và (O ; r) với R >r SỐ ĐIỂM VỊ TRÍ HÌNH CHUNG HỆ THỨC Cắt nhu R O O' r, được gọi là gio điểm R r < OO < R + r
Tiếp xúc ngoài O R r O' gọi là tiếp điểm OO = R + r Tiếp xúc trong R O O' r gọi là tiếp điểm OO = R r > 0 Không gio nhu ((O) và (O ) ở ngoài nhu) O R r O' 0 OO > R + r Không gio nhu ((O) đựng (O ) ) O' r O R 0 OO < R r Định lí: Nếu hi đường tròn cắt nhu thì hi gio điểm đối xứng với nhu qu đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực củ dây chung. {; } = (O) (O ) OO là trung trực củ +) Nếu hi đường tròn tiếp xúc nhu thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. (O) tiếp xúc (O ) tại OO - Tiếp tuyến chung củ hi đường tròn: Tiếp tuyến chung củ hi đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hi đường tròn đó.
O O' CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN. Góc ở tâm. Số đo cung m O α m cung m: cung nhỏ cung n: cung lớn O α n n α = 80 0 => m, n là nử đường tròn O = sđ m (O,R) có: O chắn m 0 sđ n = 60 O Định lí: Nếu C là một điểm nằm trên cung thì: sđ = sđc + sđc. Liên hệ giữ cung và dây Định lí : Với hi cung nhỏ trong một đường tròn hy trong hi đường tròn bằng nhu: - Hi cung bằng nhu căng hi dây bằng nhu - Hi dây bằng nhu căng hi cung bằng nhu sđ = sđ CbD = DC Định lí : Với hi cung nhỏ trong một đường tròn hy trong hi đường tròn bằng nhu: - Cung lớn hơn căng dây lớn hơn - Dây lớn hơn căng cung lớn hơn CD CbD D DC
. Góc nội tiếp - Trong một đường tròn, số đo củ góc nội tiếp bằng nử số đo củ cung bị chắn: = sđ CbD Hệ quả: Trong một đường tròn: - Các góc nội tiếp bằng nhu chắn các cung bằng nhu. - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhu thì bằng nhu. = cùng chn CbD ; = C = CD - Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 ) có số đo bằng nử số đo củ góc ở tâm cùng chắn một cung. = DOC - Góc nội tiếp chắn nử đường tròn là góc vuông. 4. Góc tạo bởi ti tiếp tuyến và dây cung Số đo củ góc tạo bởi ti tiếp tuyến và dây cung bằng nử số đo củ cung bị chắn. x = sđ n 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn.
Số đo củ góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nử tổng số đo hi cung bị chắn. FxE + DyG FHE = 6. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Số đo củ góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nử hiệu số đo hi cung bị chắn. xc + yd CM = 7. Tứ giác nội tiếp - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hi góc đối diện bằng 80 0. +) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hi góc đối diện bằng 80 0. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong củ đỉnh đối diện - Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà t có thể xác định được). Điểm đó là tâm củ đường tròn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hi đỉnh kề nhu cùng nhìn cạnh chứ hi đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhu. D C D O C D α C α D C
Tứ giác CD nội tiếp 0 Â+ Cˆ = 80 ˆ = Cˆ O = O = OC = OD DC = DC, cùng nhì n DC 8. Các công thức - Công thức tính độ dài đường tròn: C = R = d Rn - Công thức tính độ dài cung tròn: = 0 80 d - Diện tích hình tròn: S= R = 4 R n.r - Diện tích hình quạt tròn: S = = 60 Trong đó: R là bán kính, l là độ dài củ một cung n 0 CHƯƠNG IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN HÌNH CẦU. Hình trụ: Khi quy hình chữ nhật một vòng qunh một cạnh cố định, t được một hình trụ
- Diện tích xung qunh: Sxq = Rh - Diện tích toàn phần: S tp = S xq +.S đáy - Thể tích: V = S.h = R h Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều co, R là bán kính đáy. Hình nón: Khi quy tm giác vuông một vòng qunh một cạnh góc vuông cố định thì được một hình nón - Diện tích xung qunh: Sxq = R.l - Diện tích toàn phần: S tp = S xq + S đáy Stp = R + R - Thể tích: V nón = V trụ = - Đường sinh: l = h + R V = S.h = R h Trong đó: h là chiều co, R là bán kính đáy, l là đường sinh. Hình nón cụt: Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữ mặt phẳng nói trên và mặt đáy được gọi là một hình nón cụt.
- Diện tích xung qunh: S xq = (R + R )l - Diện tích toàn phần: S tp = S xq + S đáy lớn + S đáy nhỏ S = (R + R )l + (R + R ) tp - Thể tích: V = h(r + R + RR ) Trong đó: h là chiều co, R, R là hi bán kính đáy, l là đường sinh 4. Hình cầu: Khi quy nử hình tròn tâm O, bán kính R một vòng qunh đường kính cố định thì được một hình cầu. Nử đường tròn trong phép quy nói trên tạo nên mặt cầu. - Diện tích: S = 4 R = d 4 - Thể tích: V = R Trong đó: R là bán kính củ mặt cầu, d là đường kính mặt cầu