ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát HÀ NỘI- 2015

Mục lục Mở đầu 2 Các kí hiệu dùng trong luận văn 4 Lời cảm ơn 5 1 Cơ sở toán học 6 1.1 Hệ phương trình vi phân................... 6 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov................. 8 1.2.1 Các khái niệm về ổn định............... 8 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov............. 9 1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định...... 11 1.3 Bài toán ổn định hóa..................... 18 2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng 22 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến......... 23 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến..... 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 1

Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với thời gian liên tục dạng ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t 0, trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra. Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong muốn. Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế... Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ liệu đầu vào của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX bởi nhà toán học V. Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân và ứng dụng. Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân thường. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. Trong giai đoạn 1953 1962, việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động 2

lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứng dụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà không thể giải quyết được bằng các phương pháp khác. Từ đó đến nay lý thuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi động của Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển. Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phương pháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã và đang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế. Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gian liên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở toán học Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyến bằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên về bài toán ổn định hóa. Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng Trong chương này, tôi trình bày một số định lý quan trọng về tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ đó xây dựng một số ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến. 3

Các kí hiệu dùng trong luận văn - R + : Tập các số thực dương. - R n : Không gian véctơ thực n chiều với tích vô hướng.,. và chuẩn Euclide.. - R n m : Không gian các ma trận thực có số chiều n m. - A T : Ma trận chuyển vị của A. - A 1 : là ma trận nghịch đảo của ma trận A. - I: Ma trận đơn vị cấp n. - λ min (A): Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận đối xứng A. - λ(a): Tập các giá trị riêng của A. 4

Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo trong suốt thời gian qua. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, các cô khoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiện không nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015 Học viên Nguyễn Duy Khánh 5

Chương 1 Cơ sở toán học Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, nghiệm của hệ phương trình vi phân, các khái niệm về tính ổn định của hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến, đưa ra một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định của hệ tuyến tính, đồng thời trình bày những khái niệm đầu tiên về bài toán ổn định hóa. Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([2], [4], [5], [6]). 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân {ẋ(t) = f(t, x(t)), t I = [t0, t 0 + b], x(t 0 ) = x 0, x R n, t 0 0, trong đó (1.1) f(t, x(t)): I D R n, D = {x R n : x x 0 a}. Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: a) (t, x(t)) I D, b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1). Giả sử hàm f(t, x(t)) liên tục trên I D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân: x(t) = x 0 + t t 0 f(s, x(s))ds. 6

Định lý 1.1.1 (Tồn tại nghiệm địa phương). Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm f(t, x): I D R n là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là K > 0: f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) K x 1 x 2, t 0. Khi đó với mỗi (t 0, x 0 ) I D ta luôn tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có nghiệm duy nhất trong khoảng [t 0 d, t 0 + d]. Định lý 1.1.2 (Tồn tại nghiệm toàn cục). Giả sử f(t, x): R + R n R n là hàm liên tục theo t và thỏa mãn các điều kiện sau: M 0, M 1 sao cho f(t, x) M 0 + M 1 x, t R +, x R n, M 2 sao cho f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) M 2 x 1 x 2, t R +, x R n. Khi đó hệ (1.1) luôn tồn tại nghiệm duy nhất trên [0; + ) Đối với hệ tuyến tính {ẋ(t) = Ax(t) + g(t), t 0, x(t 0 ) = x 0, t 0 0, (1.2) trong đó A là ma trận hằng số, g(t): [0; ) R n là hàm khả tích thì hệ (1.2) luôn có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cauchy sau: x(t) = e A(t t 0) x 0 + t t 0 e A(t t 0) g(s)d(s). Đối với không dừng {ẋ(t) = A(t)x(t) + g(t), t 0, x(t 0 ) = x 0, t 0 0, (1.3) trong đó A(t) là hàm đo được hoặc liên tục theo t và A(t) m(t), với m(t) là hàm khả tích và g(t) cũng là hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên, nghiệm của hệ này không biểu diễn theo công thức Cauchy như hệ tuyến tính mà thông qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ thuần nhất ẋ(t) = A(t)x(t), (1.4) 7

nghiệm của hệ (1.3) được cho bởi x(t) = Φ(t, t 0 )x 0 + t t 0 Φ(t, s)g(s)d(s), (1.5) trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.4) thỏa mãn hệ phương trình ma trận { d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t s, dt Φ(t, t) = I. 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov (1.6) Trong phần này, luận văn trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến, và nghiên cứu về tính ổn định của chúng bằng phương pháp hàm Lyapunov đồng thời đưa ra một số tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định của hệ tuyến tính. 1.2.1 Các khái niệm về ổn định Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân {ẋ = f(t, x(t)), t 0, x(t 0 ) = x 0, x R n, t 0 0, (1.7) trong đó x(t) R n là véctơ trạng thái của hệ f(t, x(t)): R + R n R n. Giả sử hàm f(t, x(t)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0, t 0 0 luôn có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức x(t) = x 0 + t t 0 f(s, x(s))ds. Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định nếu với mọi số ε > 0, t 0 0, tồn tại δ = δ(t 0, ε) > 0 sao cho x(t 0 ) = x 0 thỏa mãn x 0 < δ thì x(t) < ε, t t 0. Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại một số δ > 0 sao cho x 0 < δ thì lim x x(t) = 0. 8

Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0, K > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.7) với x(t 0 ) = x 0 thỏa mãn x(t) K.e α(t t0) x 0, t t 0. Để ngắn gọn thay vì nói hệ (1.7) là ổn định ta nói nghiệm 0 của hệ là ổn định. Ví dụ 1.2.1. Xét tính ổn định của phương trình vi phân ẋ(t) = ax(t), t 0, với x(t 0 ) = x 0. Ta có nghiệm x(t) của phương trình trên cho bởi x(t) = e at x 0, t 0. Nếu a < 0 hệ đã cho ổn định tiệm cận và ổn định mũ. Nếu a = 0 thì hệ là ổn định. 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Trong phần này, đối với các hệ trong không gian thực chúng ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của chúng bằng phương phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp thứ 2 Lyapunov) là một phương pháp được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân nhất là các hệ phi tuyến. Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng ẋ(t) = f(x(t)), f(0) = 0, t R +. (1.8) Xét hàm số V (x): R n R được gọi là xác định dương nếu a) V (x) 0 với mọi x R n. b) V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0. Định nghĩa 1.2.4. Hàm V (x): D R n R, D là lân cận mở tùy ý của 0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu 9

a) V (x) là hàm khả vi liên tục trên D. b) V (x) là hàm xác định dương. c) D f V (x): = V f(x) 0, x D. x Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm vào đó bất đẳng thức trong điều kiện (c) là thực sự âm với mọi x nằm ngoài lân cận 0 nào đó, chính xác hơn: d) c > 0: D f V (x) < 0, x D \ {0}. Bằng cách lựa chọn hàm Lyapunov, ta có định lý sau. Định lý 1.2.1. Nếu hệ (1.8) có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.2.2. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân {ẋ1 = x 2 2x 1, ẋ 2 = x 2 1x 2. Lấy hàm V (x) = x 2 1 + x 2 2. Ta có V (x) khả vi liên tục trên R, xác định dương với mọi x thuộc R. Vì V (x) = 2x1 ẋ 1 + 2x 2 ẋ 2 = 2x 2 1x 2 2 + 2x 2 1x 2 2 = 0. Vậy nghiệm 0 là ổn định. Ví dụ 1.2.3. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân sau ẋ 1 = 2x 2 + x 2 x 3 x 3 1 ẋ 2 = x 1 x 1 x 3 x 3 2 ẋ 3 = x 1 x 2 x 3 3. Xét V (x) = x 2 1 + 2x 2 2 + x 2 3, V (x) thỏa mãn V (x) 0, V (x) khả vi liên tục. Ta có V (x) = 2x 1 ẋ 1 x 2 + 4x 2 ẋ 2 + 2x 3 ẋ 3 = 4x 1 x 2 + 2x 1 x 2 x 3 2x 4 1 + 4x 1 x 2 4x 1 x 2 x 3 4x 4 2 + 2x 1 x 2 x 3 2x 4 3, = 2(x 4 1 + 2x 4 2 + x 4 3) < 0. 10

Vậy nghiệm 0 của hệ ổn định tiệm cận. Đối với hệ tuyến tính không dừng (1.7) thì hàm Lyapunov được định nghĩa tương tự cho hàm hai biến V (t, x). Trước hết ta xét lớp hàm K là tập các hàm tăng chặt a(.): R + R + với a(0) = 0. Hàm V (t, x): R + D R gọi là hàm Lyapunov nếu: a) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa a(.) K: V (t, x) a( x ), (t, x) R + D. b) D f V (t, x) = V t + V x f(t, x) 0, (t, x) R+ D. Nếu hàm Lyapunov thỏa mãn thêm điều kiện c) a(.) K: V (t, x) a( x ), (t, x) R + D. d) γ(.) K: D f V (t, x) γ( x ), t R +, x D \ {0}. thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt. Định lý 1.2.2. Nếu hệ phi tuyến không dừng (1.7) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Nếu hàm là chặt thì hệ ổn định tiệm cận. 1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định Xét hệ tuyến tính ẋ(t) = Ax(t), t 0, (1.9) trong đó A là ma trận cấp n n. Nghiệm của hệ (1.9) với trạng thái ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi công thức Cauchy: x(t) = e A(t t0) x 0, t t 0. Định lý 1.2.3 (Công thức Sylvester). Cho A là ma trận n n chiều với các giá trị riêng λ 1 ; λ 2 ;... ; λ n khác nhau. Cho f(λ) là hàm đa thức bậc n có dạng n f(λ) = C k λ k. k=0 11

Khi đó trong đó Z k được xác định bởi f(a) = Z k f(λ k ) Z k = (A λ 1I)... (A λ k 1 I)(A λ k+1 I)... (A λ n I) (λ k λ 1 )... (λ k λ k 1 )(λ k λ k+1 )... (λ k λ n ) (1.10) Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.9), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. Định lý 1.2.4. Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là Reλ < 0, với mọi λ λ(a). Chứng minh. Từ lý thuyết ma trận và theo công thức sylvester áp dụng cho f(λ) = e λ, ta có e At = q (Z k1 + Z k2 t +... + Z kαk t αk 1 )e λt k, k=1 trong đó λ k là giá trị riêng của A, α k là chỉ số mũ bội của các λ k trong phương trình đa thức đặc trưng của A, Z ki là các ma trận hằng số xác định bởi hệ (1.10). Do đó, ta có đánh giá sau q α k q α k e At t i 1 e Reλkt Z ki = t i 1 e Reλkt Z hi. k=1 i=1 Vì Reλ k < 0 nên x(t) 0 khi t +. Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t 0 ) = x 0 của hệ (1.9) thỏa mãn điều kiện k=1 i=1 x(t) µ x 0 e δ(t t 0), (1.11) với µ > 0, δ > 0 nào đó. Bây giờ, ta giả sử phản chứng rằng có một λ 0 λ (A) sao cho Reλ 0. Khi đó với véc tơ riêng x 0 ứng với λ 0 này ta có Ax 0 = λ 0 x 0, và khi đó nghiệm của hệ ứng với x 0 (t) = x 0 là x 0 (0) = x 0 e λ 0t, khi đó ta có x 0 (t) = x 0 e Reλ 0t. 12

Vậy nghiệm x 0 (t) này tiến tới + khi t, mâu thuẫn với điều kiện (1.11). Định lý được chứng minh. Ví dụ 1.2.4. Xét tính ổn định của hệ { x1 = x 1 + 3x 2 x 2 = 1 4 x 1 2x 2 Ta có phương trình đặc trưng 1 λ 3 1 2 λ 4 = 0 suy ra λ 1 = 5 2 ; λ 2 = 1. Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận. 2 Ví dụ 1.2.5. Xét tính ổn định của hệ x 1 = x 1 x 2 + x 3 x 2 = x 1 + x 2 3x 3 x 3 = x 1 5x 2 3x 3 Lập phương trình đặc trưng λ 1 3 1 f(λ) = 1 λ 1 3 1 5 λ + 3 = 0, f(λ) = λ 3 + λ 2 18λ + 12 = 0. Vì f(0) = 12 > 0; f(1) = 5 < 0, mà hàm f(λ) liên tục trên [0; 1] nên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Như vậy phương trình đặc trưng có ít nhất một nghiệm với phần thức lớn hơn 0 nên hệ đã cho không ổn định. Tính ổn định của hệ (1.9) có quan hệ tương đương với sự tồn tại nghiệm của một phương trình ma trận, thường gọi là phương trình Lyapunov dạng A T X + XA = Y, (1.12) trong đó X, Y là các ma trận dạng (n n) chiều và gọi là cặp nghiệm của (1.12). Xét hệ (1.9), từ giờ ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A là âm. Theo định lý 1.2.4, điều này tương đương với hệ (1.9) là ổn định tiệm cận. 13

Định nghĩa 1.2.5. Ma trận A được gọi là xác định dương (A 0; A > 0) nếu: i) Ax, x 0, x R n, ii) Ax, x > 0, x 0. trong đó x, y là tích vô hướng của hai véctơ x = (x 1, x 2,..., x n ) và y = (y 1, y 2,..., y n ) xác định bởi Ta có tiêu chuẩn sau x, y = n x i y i. Định lý 1.2.5 (Sylvester condition). Ma trận A cỡ (n n) là xác định dương nếu trong đó i=1 det(d i ) > 0, i = 1; 2;... ; n ( ) a11 a D 1 = a 11 ; D 2 = 12 a 21 a ; D 3 = 22 ( ) a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ;... ; D n = A. a 31 a 32 a 33 Định lý 1.2.6. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi phương trình (1.12) có cặp nghiệm X, Y là ma trận đối xứng, xác định dương. Chứng minh. Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0. Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.9) với x(t 0 ) = x 0, t 0 R +, ta xét hàm số V (x(t)) = Xx(t), x(t), t t 0. Ta có Do đó d V (x(t)) = Xẋ(t), x(t) + Xx(t), ẋ(t) dt = (XA + A T X)x, x = Y x(t), x(t). t V (x(t)) V (x(t 0 )) = Y x(s), x(s) ds. t 0 14

Vì X là xác định dương nên V (x(t)) 0, với mọi t t 0 và do đó t t 0 Y x(s), x(s) ds V (x 0 ) = Xx 0, x 0. Mặt khác, vì Y là xác định dương nên tồn tại α > 0 sao cho Y x(t), x(t) α x(t) 2, x(t) R n, do đó t x(s) 2 ds Xx 0, x 0, t 0 α Cho t + ta được t 0 x(s) ds < +. (1.13) Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0 với mọi λ λ(a). Thật vậy giả sử có một số λ 0 λ(a) mà Reλ 0 0. Lấy x 0 R n ứng với giá trị riêng λ 0 này thì nghiệm của hệ (1.9) sẽ cho bởi x 1 (t) = e λ 0t x 0 và do đó t 0 x 1 (t) 2 dt = t 0 e 2Reλ 0t dt = +, vì Reλ > 0, vô lý với điều kiện (1.13). Ngược lại, giả sử A là ma trận ổn định, tức là Reλ < 0 với mọi λ λ(a). Với ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau đây {Ż(t) = A T Z(t) + Z(t)A, t t 0, Z(t 0 ) = Y. Nhận thấy hệ (1.14) có một nghiệm riêng là (1.14) Đặt X = Z(t) = e A t Y e At. t t 0 Z(s)ds. Vì A là ma trận ổn định nên dễ kiểm tra được rằng tích phân X = t 0 Z(s)ds <, 15

là xác định và do Y đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (1.14) từ t đến t 0 ta có Z(t) Y = A T X(t) + X(t)A, t t 0. Cho t + để ý rằng Z(t) 0 khi t và vì A là ổn định, nên ta được Y = A T X + XA, hay là các ma trận X và Y thỏa mãn phương trình (1.12). Ta cần chứng minh X là ma trận xác định dương. Thật vậy, Xx, x = t 0 Y e AT t x, e At x dt. Do Y > 0 và e At là không suy biến nên Xx, x > 0 nếu x 0. Vậy định lý được chứng minh. Ví dụ 1.2.6. Cho ma trận ( ) 0 1 A = 6 5 ( ) p1 p và X = 2 p 2 p 3 là nghiệm của phương trình Lyapunov dạng A T X + XA = I 2. Xét tính ổn định của ma trận A. Ta có suy ra ( ) ( ) 0 6 p1 p 2 1 5 p 2 p 3 ( ) 6p2 6p 3 p 1 5p 2 p 2 5p 3 ( ( ) ( ) ( p1 p + 2 0 1 1 0 p 2 p 3 6 5 = 0 1 ( 1 0 ( ) 6p2 p + 1 5p 2 6p 3 p 2 5p = 3 ) 12p 2 p 1 5p 2 6p 3 p 1 5p 2 6p 3 2p 2 10p 3 = p 2 = 1 12 ; p 3 = 7 60 ; p 1 = 67 60. 16 ( 1 0 0 1 ), ) 0 1, ),

Vì 67 1 X = 60 12 1 7 12 60 là ma trận đối xứng xác định dương nên theo định lý 1.2.6 ma trận A là ma trận ổn định. Ví dụ 1.2.7. Cho ma trận ( ) 1 1 A = 2 4 ( ) p1 p và X = 2 p 2 p, 3 là nghiệm của phương trình Lyapunov dạng A T X + XA = I 2. Xét tính ổn định của ma trận A. Ta có ( 1 ) ( ) 2 p1 p 2 1 4 p 2 p 3 ( ) ( ) ( ) p1 p + 2 1 1 1 0 p 2 p 3 2 4 = 0 1, ( ) ( ) ( ) p1 + 2p 2 p 2 + 2p 3 p1 + 2p p 1 + 4p 2 p 2 + 4p + 2 p 1 + 4p 2 1 0 3 p 2 + 2p 3 p 2 + 4p = 3 0 1 ) suy ra ( ) 2p1 + 4p 2 p 1 + 3p 2 + 2p 3 p 1 + 3p 2 + 2p 3 p 2 + 8p = 3 2p 1 + 4p 2 = 1 p 1 + 3p 2 + 4p 3 = 0 2p 2 + 8p 3 = 1 suy ra p 1 = 3 2 ; p 2 = 1 2 ; p 3 = 0. hay X = 3 2 1 2 1 2. 0 ( 1 0 0 1 Vì X là ma trận đối xứng xác định âm nên A không là ma trận ổn định.,, 17

1.3 Bài toán ổn định hóa Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toán ổn định hóa cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov người ta tìm lời giải, cũng như các ứng dụng cho bài toán ổn định hóa của hệ phi tuyến với thời gian liên tục. Phần này sẽ trình bày các vấn đề cơ sở của bài toán ổn định hóa và một số kết quả chọn lọc về tính ổn định hóa. Xét hệ điều khiển phi tuyến ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t 0, (1.15) trong đó, x(t) R n, u(t) R m, f(t, x(t), u(t)): R + R n R m R n, f(t, 0, 0) = 0, t 0. Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.15) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm điều khiển ngược u(t) = h(t, x(t)), h(.): R n R m, h(0) = 0 sao cho nghiệm không của hệ đóng {ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t 0, là ổn định tiệm cận. Đối với hệ tuyến tính x(t 0 ) = x 0, (1.16) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t 0, (1.17) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại điều khiển ngược u(t) = Kx(t), K R n m, sao cho hệ ẋ(t) = (A + BK)x(t) là ổn định tiệm cận. Như vậy, bài toán ổn định hóa hệ tuyến tính (1.17) được đưa thành bài toán tìm ma trận K R n m sao cho ma trận (A + BK) là ổn định, tức là phần thực của tất cả các giá trị riêng của (A + BK) là âm. Ta có tiêu chuẩn để hệ (1.17) là ổn định hóa được như sau. 18

Định lý 1.3.1. Hệ (1.17) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn phương trình Riccati phi tuyến A T P + P A P BB T P + Q = 0, và mà trận ổn định hóa là K = 1 2 BT P, tức là điều khiển ổn định hóa là u(t) = Kx(t). Chứng minh. Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng V (x(t)) = P x(t), x(t). Ta có V (x(t)) = 2 P (ẋ(t)), x(t) = 2 P (Ax(t) + Bu(t)), x(t) = 2 P Ax(t) + P Bu(t), x(t) = 2 P Ax(t), x(t) + 2 P Bu(t), x(t) với u(t) = 1 2 BT P x(t) = (A T P + P A)x(t), x(t) P BB T P x(t), x(t) = (A T P + P A P BB T P )x(t), x(t) = (Qx(t), x(t)) λ min (Q) x(t) 2. Vì Q > 0 nên λ min (Q) > 0 và ta có V (x(t)) < 0. Vậy theo định lý 1.2.4 hệ đã cho ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.3.1. Xét tính ổn định của hệ {ẋ1 (t) = x 1 (t) + 2x 2 (t) + 2u(t), ẋ 2 (t) = x 1 (t) + 3 4 x 2(t) + u(t), (1.18) Theo định lý 1.3.1 hệ (1.18) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn A T P + P A P BB T P + Q = 0. Ta có ( ) 1 2 A = 1 3 ; B = 4 ( 21 ). 19

Ta tìm được nghiệm P = ( ) 1 0 0 2 ; Q = ( ) 2 0 0 1. Thật vậy, ta có ( ) 1 1 (1 ) ( ) 1 2 A T P = 2 3 0 0 2 = 2 3, 4 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 0 P A = 0 2 2 3 = 2 3, 4 2 ( ) ( ) P BB T 1 0 21 P = 0 2 (1 2) ( ) 4 4 = 4 4, suy ra A T P + P A P BB T P + Q = 0. ( ) 1 0 0 2 Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận với ma trận ổn định hóa là K = 1 ( 1 1) 2 Ví dụ 1.3.2. Xét tính ổn định của hệ ẋ 1 (t) = 2x 1 (t) + 2x 2 (t) + x 3 (t) + 2u 1 (t) + u 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) + 1 2 x 3(t) + u 1 (t) ẋ 3 = 3x 1 (t) + x 2 (t) + 2x 3 (t) + u 1 (t) + 2u 2 (t). Theo định lý 1.3.1 hệ (1.3.2) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn A T P + P A P BB T P + Q = 0. Ta có 2 2 1 A = 1 0 1 ; B = 3 1 2 ( ) 2 1 1 0. 1 2 20

Ta tìm được nghiệm P = ( ) 1 0 0 0 2 0 ; Q = 0 0 1 Thật vậy, ta có 2 1 3 A T 2 0 1 P = 1 1 2 3 P A = ( ) 1 0 0 0 2 0 = 0 0 1 ( ) 2 2 1 1 0 0 0 2 0 1 0 1 = 0 0 1 3 1 2 ( ) 2 0 0 0 4 0. 0 0 1 ( ) 2 2 3 2 0 1, 1 1 2 ( ) 2 2 1 2 0 1, 3 1 2 ( ) ( ) 1 0 0 2 1 (2 ) ( ) P BB T P = 0 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 0 2 0 2 0 0 0 1 ( ) 6 4 4 = 4 4 2, 4 2 5 suy ra A T P + P A P BB T P + Q = 0. Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận. Sau đây là một bổ đề được áp dụng trong chương 2. Bổ đề 1.3.1 (Schur). Cho ma trận P, Q, M R n n, trong đó Q = Q T > 0, ta có ( ) P M M T < 0 P + MQ Q 1 M T < 0. Chứng minh. Xem [6]. 21

Chương 2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng Trong thực tế, các hệ động lực phần lớn được mô tả bằng các phương trình toán học phi tuyến. Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Lyapunov đưa ra hai phương pháp: Phương pháp thứ nhất: Nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov hoặc dựa trên hệ xấp xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt, ví dụ là hàm khả vi liên tục, để có thể xấp xỉ hệ đã cho bằng hệ tuyến tính tương ứng, thì tính ổn định khi đó sẽ được rút ra từ tính ổn định hệ xấp xỉ tuyến tính. Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của đạo hàm theo vế phải của hệ đã cho. Mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng, phương pháp thứ nhất đòi hỏi tính khả vi liên tục của hàm vế phải, phương pháp thứ hai lại rất khó khăn trong việc tìm hàm Lyapunov. Cho đến này chưa có phương pháp nào hiệu quả tìm hàm Lyapunov mà chỉ dựa vào kinh nghiệm, đặc thù vế phải. Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương trình phân phi tuyến đồng thời mở rộng các kết quả ổn định cho các hàm tựa Lyapunov. Từ đó vận dụng các kết quả vào giải quyết các bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến. Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([1], [3], [4]). 22

2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân ẋ(t) = f(t, x(t)), t 0, (2.1) trong đó f(t, x(t)): R + R n R n là hàm phi tuyến cho trước, f(t, 0) = 0 với mọi t R +. Như đã nói ở trên, ta luôn giả thiết các điều kiện trên f(.) sao cho hệ (2.1) có nghiệm x(t) với x(t 0 ) = x 0, t 0 0. Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (2.1) là ổn định tiệm cận khi hàm vế phải được phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễu phi tuyến đủ nhỏ. Nếu hàm f(t, x(t)) khả vi liên tục tại x = 0 thì theo khai triển Taylor bậc một tại x = 0 ta có trong đó hay f(x(t)) = Ax(t) + g(x(t)), A = f(0), g(x) = o(x). x g(x) lim x 0 x = 0. Định lý 2.1.1. Xét hệ (2.1) trong đó f(t, x(t)) = Ax(t) + g(x(t)). Giả sử A là ma trận ổn định và g(x) = o(x) thì hệ là ổn định tiệm cận Chứng minh. Nghiệm của bài toán Cauchy (2.1) với cho bởi f(x(t)) = Ax(t) + g(x(t)), x(t) = e A(t t 0) x 0 + t t 0 e A(t s) g(x(s))ds. Vì A là ma trận ổn định nên tồn tại số K > 0, δ > 0 sao cho e At Ke δt, t 0. 23

Vì Ta có đánh giá nghiệm sau đây x(t) Ke δ(t t 0) x 0 + t g(x) lim x 0 x = 0, t 0 Ke δ(t s) g(x(s)) ds. nên với mọi ε > 0 cho trước nào đó tồn tại số δ 1 > 0 sao cho với x(t) < δ 1 ta có Do đó g(x(t)) ε x(t), t 0. x(t) Ke δ(t t 0) x 0 + áp dụng bất đẳng Gronwall ta được t x(t) K x 0 e δ(t t 0) e t 0 Ke δ(t s) ε x(s) ds. t t 0 Kεds K x 0 e (Kε δ)(t t 0), t t 0. Vậy với mọi ε < δ K tiệm cận. thì x(t) dần tới 0 khi t, hay hệ đã cho ổn định Ví dụ 2.1.1. Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân sau ẋ 1 (t) = 2x 1 (t) + 3x 2 (t) 1 2 x2 1(t) cos 2 t, Ta có ẋ 2 (t) = 3x 2 + 1 2 x2 2(t) cos 2 t. A = ( ) 2 3 1 0 3, g(t, x(t)) = 2 x2 1 cos 2 t 1, 2 x2 2 cos 2 t vì ma trận A có các giá trị riêng là 2; 3 nên A là ma trận ổn định. Mặt khác g(t, x(t)) = 1 2 cos2 t x 4 1 (t) + x4 2 (t) 1 2 x 2 (t), do đó hệ đã cho là ổn định tiệm cận. 24 g(t, x(t)) = o( x(t) )

Ví dụ 2.1.2. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân sau {ẋ1 (t) = 2x 1 (t) + 2x 2 (t) + x 2 1(t)e t ẋ 2 (t) = x 1 (t) 5x 2 (t) x 2 2(t)e t t 0. xét Ta có A = ( ) 1 2 2 1 5, g(t, x(t)) = 2 x2 1(t)e t 1, 2 x2 2(t)e t det(a λi) = 2 1 λ 5 2 λ = 0 suy ra (λ + 2)(λ + 5) + 2 = 0 hay λ 1 = 3; λ 2 = 4. Vậy ma trận A ổn định. Mặt khác hay g(t, x(t)) = o( x(t) ). g(t, x(t)) = e t x 4 1 + x4 2 x2 (t), Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận. Định lý 2.1.2. Xét hệ phi tuyến ẋ(t) = Ax(t) + f(x(t)). (2.2) Giả sử tồn tại α > 0 sao cho f T (x(t))f(x(t)) α x(t) 2, x R n. Khi đó hệ (2.2) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P > 0 thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính ( ) A T P + P A + αi P < 0. (2.3) P I Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = P x(t), x(t). Lấy đạo hàm theo t dọc theo quỹ đạo của hệ (2.2) ta được V (x(t)) = 2 P ẋ(t), x(t) = 2 P (Ax(t) + f(x(t))), x(t) = P Ax(t) + P fx(t), 2x(t) = 2P Ax(t), x(t) + 2 P f(x(t)), x(t) = (A T P + P A)x(t), x(t) + 2 P f(x(t)), x(t). 25

Vì f(x(t)), f(x(t)) α x(t), x(t) suy ra V (x(t)) (A T P + P A)x(t), x(t) + 2 P f(x(t)), x(t) Theo giả thiết (2.3) ta có + α x(t), x(t) f(x(t)), f(x(t)) = (A T P + P A + αi)x(t), x(t) + 2 P f(x(t)), x(t) f(x(t)), f(x(t)) ( ) ( ) = (x(t) f(x(t))) A T P + P A + αi P x(t) P I f(x(t)). V (x(t)) < 0, t 0. Vậy theo định lý 1.2.2 hệ đã cho có hàm Lyapunov chặt nên hệ là ổn định tiệm cận. Ví dụ 2.1.3. Xét tính ổn định của hệ Ta có Ta thấy A = suy ra α = 1. {ẋ1 (t) = 2 x 1 (t) + 2x 2 (t) + x 1 (t)e x 2(t) x 2 (t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 2 (t)e x 1(t) ( ) ( ) 2 2 1 2, f(x(t)) = x 1 (t)e x2(t), x 2 (t)e x 1(t). f(x(t)), f(x(t)) = x 2 2(t)e 2 x 1(t) + x 2 1(t)e 2 x 2(t) f(x(t)) T f(x(t)) x 2 1(t) + x 2 2(t) x(t) 2 Theo định lý 2.1.2 ta phải tìm ma trận P đối xứng, xác định dương thỏa mãn bất đẳng thức trận tuyến tính ( ) A T P + P A + I P < 0 P I 26

Theo bổ đề Schur bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức ma trận đại số sau A T P + P A + P 2 + I < 0 ta tìm được nghiệm ( ) 1 0 P = 0 2 > 0 Thật vậy, ta có ( ) ( ) ( ) A T 2 1 1 0 2 2 P = 2 2 0 2 = 2 4, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 2 2 2 P A = 0 2 1 2 = 2 4, P 2 1 0 = 0 4, suy ra ( ) A T P + P A + P 2 2 0 + I = 0 3 < 0. Do đó hệ trên là ổn định tiệm cận. Định lý 2.1.3. Xét hệ phi tuyến Giả sử ẋ(t) = A(t)x(t) + g(t, x(t)), t 0 (2.4) i) K > 0, δ > 0: Φ(t, s) Ke δ(t s), t s 0. ii) g(t, x) L(t) x, t 0, x R n. iii) sup t R + L(t) M < δ K. Khi đó hệ đã cho là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Nghiệm của bài toán Cauchy (2.1) có dạng x(t) = Φ(t, t 0 )x 0 + t Ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) thỏa mãn t 0 Φ(t, s)g(s)d(s). Φ(t, s) Ke δ(t s), K > 0, δ > 0, t 0. Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh định lý 2.1.1 ta đi đến đánh giá x(t) Ke δ(t t 0) x 0 + t 27 t 0 Ke δ(t s) L(s) x(s) ds.

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được theo điều kiện iii) ta có x(t) K x 0 e δt t t e KL(s)ds 0, x(t) K x 0 e (KM δ)t. Vì M < δ, nên x(t) 0 khi t +. K Vậy hệ (2.4) là ổn định tiệm cận. Ví dụ 2.1.4. Xét tính ổn định của hệ ( 1 ẋ(t) = 2 cos t 5 ) x(t) + 1 4 7 sin2 t x(t)e 2 x(t), t 0. Ta có Φ(t) là nghiệm của hệ ( 1 ẋ(t) = 2 cos(t) 5 ) x(t), 4 suy ra Φ(t, s) = e 1 2 sin t 5 4 t 1 2 sin s+ 5 4 s. Thậy vậy, Φ(t, t) = 1 và ( 1 Φ(t, s) = 2 cos t 5 ) 4 = A(t)Φ(t), e 1 2 sin t 5 4 t 1 2 sin s+ 5 4 s hay Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s). Vì Φ(t, s) e 1 2 t 1 2 s 5 4 t+ 5 4 s e 3 4 (t s). Chọn K = 1, δ = 3 4. Với g(t, x(t)) = 1 7 sin2 t x(t)e 2 x(t), 28

suy ra g(t, x(t)) 1 7 sin2 t x(t)e 2 x(t) 1 7 sin2 t x(t), với L(t) = 1 7 sin2 t, ta có Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận. sup L(t) = sup 1 t R + t R + 7 sin2 t 1 7 < δ K. Sau đây, luận văn xét bài toán ổn định bằng cách sử dụng phương pháp hàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng. Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm 0 của hệ (2.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại δ > 0 nghiệm x(t) thỏa mãn x(t) β( x 0, t 0 )e δ(t t 0), t t 0, (2.5) trong đó β(h, t): R + R + R + là hàm tăng không âm. Nếu β(.) trong định nghĩa trên không phụ vào t 0 thì nghiệm 0 của hệ (2.1) được gọi là ổn định mũ đều. D + f Đặt V (t, x): W = R + R n R, D + f V (t + h, x + hf) V (t, x) V (t, x) = lim h 0+ h V được gọi là đạo hàm Dini trên của V (.) dọc theo quỹ đạo của (2.1). Với x(t) là nghiệm của (2.1), ta kí hiệu d + V (t, x(t)) là đạo hàm trên bên phải của V (t, x(t)). d + V (t + h, x(t + h)) V (t, x(t)) V (t, x(t)) = lim. h 0 + h Định nghĩa 2.1.2. Hàm V (t, x): W R là Lipschitz theo x thỏa mãn với mọi t R + nếu tồn tại số L > 0 sao cho với mọi t R +, V (t, x 1 ) V (t, x 2 ) L x 1 x 2, (x 1, x 2 ) R n R n. 29

Xét hệ phương trình vi phân với g(t, u) là hàm liên tục theo t và u. u(t) = g(t, u), t 0, (2.6) Mệnh đề 2.1.1. Cho u(t) là nghiệm cực đại của hệ (2.6) với u(t 0 ) = u 0. Nếu tồn tại hàm liên tục v(t) với v(t 0 ) = u 0 thỏa mãn khi đó Ta đặt d + v(t) g(t, u(t)), t 0, v(t) v(t 0 ) D f V (t, x) = t t 0 g(s, u(s))ds, t 0. dv (t, x) dt + dv (t, x) f(t, x). dx Định nghĩa 2.1.3. Hàm V (t, x): W R được gọi là hàm tựa Lyapunov của (2.1) nếu V (t, x) khả vi liên tục với t R +, x R n và tồn tại các số dương λ 1, λ 2, λ 3, K, p, q, r, δ sao cho λ 1 x p V (t, x) λ 2 x q, (t, x) W, (2.7a) D f V (t, x) λ 3 x r + Ke δt, t 0, x R n \ {0}. (2.7b) Định nghĩa 2.1.4. Hàm V (t, x): W R gọi là hàm tựa Lyapunov suy rộng của (2.1) nếu V (t, x) liên tục theo t, Lipschitz theo x, tồn tại các hàm dương λ 1 (t), λ 2 (t), λ 3 (t), với λ 1 (t) là hàm không giảm và tồn tại các số dương K, p, q, r, δ sao cho λ 1 (t) x p V (t, x) λ 2 (t) x q, (t, x) W, (2.8a) D + f V (t, x) λ 3(t) x r + Ke δt, t 0, x R n \ {0}. (2.8b) Định lý 2.1.4. Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu tồn tại hàm tựa Lyapunov và hai điều kiện sau thỏa mãn với mọi (t, x) W δ > λ 3 [λ 2 ] r / q, (2.9a) γ > 0 sao cho V (t, x) V (t, x) r / q γe δt. 30 (2.9b)

Chứng minh. Với t 0 0, x(t) là nghiệm của (2.1). Đặt Khi đó Q(t, x) = V (t, x)e M(t t 0), M = λ 3 [λ 2 ] r / q. Q(t, x(t)) = D f V (t, x)e M(t t 0) + MV (t, x)e M(t t 0). Kết hợp với (2.7b), ta được Q(t, x(t)) ( λ 3 x r + Ke δt) e M(t t 0) + MV (t, x)e M(t t 0). (2.10) Vì x q V (t, x) λ 2 nên do đó Vì Q(t, x) nên ta có { Q(t, x) M Kết hợp với (2.9b), ta được [ V (t, x) x r V (t, x) r / q λ 3 [λ 2 ] r / q + Ke δt λ 2 } ]r / q, M = λ 3 [λ 2 ] r / q, t 0, e M(t t 0) + MV (t, x)e M(t t 0). {V (t, x) V (t, x) r / q } e M(t t 0) + Ke (M δ)(t t 0). Q(t, x) (K + Mγ) Ke (M δ)(t t 0). Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên với cận từ t 0 đến t, ta được t Q(t, x(t)) Q(t 0, x 0 )) (K + Mγ)e (M δ)(s t0) ds, t 0 1 { } = (K + Mγ) e (M δ)(t t 0). M δ 31

Đặt δ 1 = (M δ), theo điều kiện (2.9a) suy ra δ 1 > 0 và Q(t, x(t)) Q(t 0, x 0 ) + K + Mγ δ 1 Q(t 0, x 0 ) + K + Mγ δ 1. Vì Q(t 0, x 0 ) = V (t 0, x 0 ) λ 2 x 0 q nên ta có Q(t, x) λ 2 x 0 q + K + Mγ δ 1. K + Mγ δ 1 e (M δ)(t t 0) Đặt suy ra λ 2 x 0 q + K + Mγ δ 1 = β( x 0 ) > 0, Q(t, x(t)) β( x 0 ), t 0. (2.11) Mặt khác, ta có λ 1 (t) x(t) p V (t, x(t)), { } V (t, x(t)) 1/p x(t). (2.12) Thay V (t, x) = Q(t, x)/e M(t t0) vào (2.12) ta được { } Q(t, x(t)) 1/p x(t). e M(t t 0) λ 1 (2.13) Từ (2.11) và (2.13) suy ra { } β( x0 ) 1/p { } β x0 1/p x(t) = e M e M(t t p (t t0), 0) λ 1 λ 1 t t 0. (2.14) Vậy hệ (2.1) là ổn định mũ. Ví dụ 2.1.5. Xét tính ổn định của phương trình vi phân phi tuyến ẋ(t) = 1 5 x 1 5 (t) + x(t) e 2t. (2.15) Chọn hàm V (t, x): R + D R +, V (t, x) = x 6, với D = {x: x 1}. V (t, x) là hàm tựa Lyapunov, thật vậy λ 1 32

V (t, x) là hàm khả vi liên tục, V (t, x) = x 7 x 6 x 6 với x 1. Khi đó, điều kiện (2.7a) thỏa mãn với λ 1 = λ 2 = 1; p = 7; q = 6. Xét hàm V (t, x) = 6x 5 ẋ = 6x ( 5 1 ) 5 x 1 5 + x e 2t suy ra λ 3 = 6 26 ; K = 6; δ = 2; r = 5 5. Mặt khác = 6 5 x 26 5 + 6x 6 e 2t 6 5 x 26 5 + 6e 2t, V (t, x) V (t, x) r/q = x 6 x 26/5 ) = x 26 5 (x 4 5 1 0 < e 2t. Vậy hệ (2.15) là ổn định mũ. Định lý 2.1.5. Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu tồn tại hàm tựa Lyapunov suy rộng V (t, x) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau δ > inf t R + λ 3 (t) > 0, (2.16a) r/q [λ 2 (t)] γ > 0 sao cho V (t, x) [V (t, x)] r/q γe δt. Chứng minh. Xét hàm Q(t, x(t)) = V (t, x(t))e M(t t 0), với Ta có M < δ và M = inf t R + λ 3 (t) [λ 2 (t)] r/q. D + f Q(t, x) = D+ f V (t, xem(t t 0) ) + MV (t, x(t))e M(t t 0). lập luận tương tự định lý 2.1.4 ta được (2.16b) D + f Q(t, x) ( λ 3 (t) x r + Ke δt) e M(t t 0) + MV (t, x(t))e M(t t 0). 33

Từ (2.8a) với giả thiết λ 2 (t) > 0 t R + suy ra hay x p x r V (t, x) λ 2 (t), [ ] V (t, x) r/q. λ 2 (t) Do đó, ta có { } D + f Q(t, x) V (t, x) r/q λ 3 (t) + Ke δt e M(t t0) +MV (t, x)e M(t t0). r/q [λ 2 (t)] Vì M λ 3(t) [λ 2 (t)] r/q, t 0, kết hợp với (2.16b) ta được D + f Q(t, x) { V (t, x) V (t, x) r/q} e M(t t 0) + Ke (M δ)(t t 0) Mγe δt e M(t t 0) + Ke δt e M(t t 0) = (K + Mγ)e δt e M(t t 0) (K + Mγ)e δ(t t 0) e M(t t 0). Do đó, D + f Q(t, x) (K + Mγ)e(M δ)(t t 0). Áp dụng mệnh đề (2.1.1) với ta được v(t) = Q(t, x(t)), g(t, u(t)) = (K + Mγ)e (M δ)(t t 0), t Q(t, x(t)) Q(t 0, x 0 ) (K + Mγ)e (M δ)(s t0) ds, t 0 1 { } = (K + Mγ) e (M δ)(t t0) 1. M δ Đặt δ 1 = (M δ), từ điều kiện (2.16a) ta có δ 1 > 0 và Q(t, x(t)) Q(t 0, x 0 ) + K + Mγ δ 1 Q(t 0, x 0 ) + K + Mγ δ 1. 34 K + Mγ δ 1 e (M δ)(t t 0)

Vì Q(t 0, x 0 ) = V (t 0, x 0 ) λ 2 (t 0 ) x 0 q nên Đặt suy ra Q(t, x(t)) λ 2 (t 0 ) x 0 q + K + Mγ δ 1. λ 2 (t 0 ) x 0 q + K + Mγ δ 1 = β( x 0, t 0 ) > 0, Q(t, x(t)) β( x 0, t 0 ), t t 0. (2.17) Mặt khác, theo định nghĩa hàm tựa Lyapunov suy rộng ta có suy ra λ 1 (t) x(t) p V (t, x(t)), { } V (t, x(t)) 1/p x(t). λ 1 (t) Vì λ 1 (t) là hàm không giảm, λ 1 (t) λ 1 (t 0 ) nên { } V (t, x(t)) 1/p x(t), λ 1 (t 0 ) với suy ra x(t) V (t, x) = Q(t, x) e M(t t 0), { } Q(t, x(t)) 1/p. e M(t t (2.18) 0) λ 1 (t 0 ) Từ (2.17) và (2.18) ta có { } β( x0, t 0 ) 1/p { } β( x0, t 0 ) 1/p x(t) = e m e M(t t p (t t0), t t 0 0) λ 1 (t 0 ) λ 1 (t 0 ) suy ra hệ (2.1) là ổn định mũ. Định lý được chứng minh. Chú ý 2.1.1. Trong định lý 2.1.5 ta giả thiết λ 1 (t) là hàm không giảm. Nếu λ 1 (t) thỏa mãn điều kiện a > 0 : a < M, λ 1 (t) e αt, t 0, (2.19) 35

khi đó, ta có thể thay giả thiết không giảm bởi điều kiện (2.19) với M = inf t R + λ(t) [λ(t)] r/q. Ví dụ 2.1.6. Xét tính ổn định mũ của hệ phương trình ẋ(t) = 1 x 5 et x 3 3t 4 + + e 2 cos x. (2.20) 10 Chọn hàm Lyapunov V (t, x): R + D R + ; D = {x: x 1} V (t, x) = e t 2 x 5. Ta có e t 2 x 5 V (t, x) x 5, chọn λ 1 (t) = e t 2; λ 2 (t) = 1; p = q = 5. Xét V (t, x) = 1 ( 2 e 1 2 x 5 + 5e t 2 x 4 1 ) x 5 et x 3 3t 4 + + e 2 cos x 10 = 1 2 e t 2 x5 e t 19 1 2 x 4 + 2 e t 2 x 5 + 5e 2t x 4 cos x = 1 2 e t 2 x5 + 5e 2t x 4 cos x 1 2 e t 2 x5 + 5e 2t, x D. Chọn λ 3 (t) = e 2, t r = 19 4, K = 5, δ = 2. Ta có Xét inf t R + λ 3 (t) = inf r/q [λ 2 (t)] e t 2 = 1 2 = δ. t R + V (t, x) V (t, x) r/q = e t 2 x 5 (e ) t 19/20 2 x 5 Vậy hệ đã cho là ổn định mũ. = e t 2 x 5 e 19t 40 x 19/4 e t 2 e 19t 40 với x D ) e t 2 (1 e t 40 0 < e 2t. 36

Ví dụ 2.1.7. Xét tính ổn định mũ của hệ ẋ(t) = 1 3 x 1 2 + xe 2t. (2.21) Xét V (t, x) = x 3 ; D = {x: x 1} suy ra { x 3 nếu 0 x 1, V (t, x) = x 3 nếu 1 x < 0. Ta có D + f ( 3x 2 1 ) V (t, x) = 3 x 1 2 + xe 2t nếu 0 x 1, ( 3x 2 1 ) 3 x 1 2 + xe 2t nếu 1 x < 0. { x 5 2 + 3x = 3 e 2t nếu 0 x 1, x 5 2 3x 3 e 2t nếu 1 x < 0. Do đó D + f V (t, x) = x 5/2 + 3 x 3 e 2t, x D. x 5/2 + 3e 2t. Chọn K = 3; p = q = 3; λ 1 (t) = λ 2 (t) = λ 3 (t) = 1; r = 5 2 ; δ = 2. Xét V (t, x) [V (t, x)] r/q = x 3 ( x 3) 5/6 Vậy hệ đã cho là ổn định mũ. = x 3 x 5/2 ( ) = x 5/2. x 1/2 1 0 < e 2t, x D. 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Xét hệ phương trình phi tuyến ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + f(x(t), u(t)), (2.22) 37

trong đó A R n n, B R n m, f : R n R m R n là hàm phi tuyến liên tục thỏa mãn điều kiện f T (x, u)f(x, u) α x 2 + β u 2, (2.23) với α > 0, β > 0, (x, u) R n R m. Định lý 2.2.1. Hệ (2.22) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng P > 0 thỏa mãn bất đẳng thức ma trận A T P + P A + αi P P (I + 3β ) 1 < 0 (2.24) BBT điều khiển ổn định hóa là u(t) = 3 β BT P x(t), t 0. (2.25) Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x) = P x, x cho hệ đóng với hàm điều khiển (2.25), ta có V (x) = 2 P ẋ, x = 2 P (Ax + Bu + f(x, u), x = 2P Ax, x + 2P Bu, x + 2 P f(x, u), x = (A T P + P A 6 β P BBT P )x, x + 2 P f(x, u), x. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 P f(x, u), x f(x, u), f(x, u) + P 2 x, x, suy ra V (x) (A T P + P A 6 β P BBT P )x, x + f(x, u), f(x, u) + P 2 x, x. Kết hợp với điều kiện (2.23) ta được V (x) (A T P + P A 6 β P BBT P + αi)x, x + β u, u + P 2 x, x (A T P + P A + 3 β P BBT P + αi + P 2 )x, x. 38

Vì A T P + P A + αi P P (I + 3β ) 1 < 0, (2.26) BBT theo bổ đề Schur ta có A T P + P A + αi + P (I + 3β BBT ) P < 0, hay A T P + P A + 3 β P BBT P + αi + P 2 < 0, suy ra V (x) < 0. Vậy hệ (2.22) có hàm Lyapunov chặt, tức là hệ đóng đã cho ổn định tiệm cận. Ví dụ 2.2.1. Xét phương trình vi phân ẋ(t) = 8x(t) + 3u(t) + 6x(t)u(t), t 0. Ta có 6x(t)u(t) 3x 2 (t) + 3u 2 (t), chọn α = 3; β = 3. Ta cóa = 8, B = 3, theo định lý 2.2.1 ta cần tìm P > 0 sao cho A T P + P A + 3I + P (I + 3 β BBT )P < 0. Ta tìm được P = 2 > 0 thật vậy, với P = 2 suy ra A T P + P A + 3I + P (I + 3 β BBT )P = 21 8 < 0. Vậy hệ đã cho là ổn định hóa được với điều khiển u(t) = 2 3 x(t). Ví dụ 2.2.2. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến x 1 (t) = 3x 1 (t) x 2 (t) + 1 2 ( 2 u 1(t) u 2 (t) + x 1 (t) + ) 3u 2 (t) 2 x 2 (t) = 1 2 ( 2 x 1(t) 7x 2 (t) + 2u 1 (t) + u 2 (t) + x 2 (t) ) 3u 1 (t) 2 e x 2(t) e x 1(t) 39

Ta thấy f(x(t), u(t)), f(x(t), u(t)) = 1 ( x 1 (t) + ) 2 3u 2 (t) e 2 x 2 (t) 2 + 1 ( x 2 (t) ) 2 3u 1 (t) e 2 x 1 (t) 2 x 2 1(t) + x 2 2(t) + 3u 2 1(t) + 3u 2 2(t) x(t) 2 + 3 u(t) 2. Chọn α = 1; β = 3. Ta có 3 1 1 A = 1 ; B = 2 1. 7 2 2 1 Theo định lý (2.2.1) ta phải tìm ma trận P đối xứng, P > 0 thỏa mãn Ta tìm được nghiệm A T P + P A + P BB T P + I + P 2 < 0 ( ) 1 0 P = 0 2. Thật vậy A T P = 3 1 ( ) ( ) 2 1 0 3 1 =, 0 2 1 14 1 7 ( ) 3 1 ( ) 1 0 3 1 P A = 1 =, 0 2 7 1 14 2 ( ) 1 1 0 P BB T P = 2 1 1 ( ) 5 2 2 1 0 = 4 0. 0 2 0 2 2 1 1 1 0 20 suy ra A T P + P A + P BB T P + I + P 2 = 11 0 4 < 0. 0 3 40

Vậy hệ đã cho ổn định hóa được với điều khiển 1 2 u(t) = 2 x(t). 1 2 Sau đây là một số ứng dụng dựa trên các kết quả thu được về tính ổn định bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov. Xét bài toán ổn định hóa hệ ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t 0, (2.27) trong đó x(t) R n, u(t) R m, f(t, x(t)u(t)): R + R n R m R n. Dựa trên các kết quả về tính ổn định từ định lý 2.1.4 ta thu được điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của hệ điều khiển phi tuyến (2.27) sau Định lý 2.2.2. Giả sử tồn tại hàm h(x): R n R m, h(0) = 0 với h(x) liên tục theo biến x sao cho với hệ (2.27) ta có thể chọn được hàm tựa Lyapunov thỏa mãn (2.9a) và (2.9b), khi đó hệ đóng điều khiển phi tuyến ẋ(t) = f(t, x(t), h(x(t))), t 0. trong đó h(x): R n R m là ổn định mũ với điều khiển ngược u(t) = h(x(t)). Bằng cách sử dụng hàm tựa Lyapunov suy rộng ta đã thu được kết quả về tính ổn định mũ của hệ ẋ = f(t, x(t)), t 0. Áp dụng kết quả thu được từ định lý 2.1.5 ta có định lý sau: Định lý 2.2.3. Giả sử tồn tại hàm h(x): R n R m với h(0) = 0 và h(x) liên tục theo x sao cho hệ (2.27) ta có thể chọn được hàm tựa Lyapunov suy rộng thỏa mãn (2.16a) và (2.16b), khi đó hệ điều khiển đóng ẋ(t) = f(t, x(t), h(x(t))), t 0, trong đó h(x): R n R m là ổn định mũ với hàm điều khiển ngược u(t) = h(x(t)). 41

Kết Luận Trong luận văn này tôi đã trình bày lại một cách có hệ thống về việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân phi tuyến với thời gian liên tục bằng phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov cho một số dạng phương trình đặc biệt và phương pháp hàm Lyapunov, mở rộng đối với các hàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng và vận dụng các kết quả đó giải bài toán ổn định hóa. Ngoài phần đọc hiểu, tôi có đóng góp trong việc chứng minh chi tiết các định lý về tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến và xây dựng một số ví dụ mới minh họa. 42

Tài liệu tham khảo [1] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2001. [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định. Nhà xuất bản giáo dục, 2003. [3] N. M. Linh, V. N. Phát, Exponential stability of nonlinear time- varying differential equations and applications. Electronic Journal of Differential Equations, 2001(2001), No. 34, pp. 1-13. [4] N. P. Bhatia, G. P. Szegő, Stability Theory of Dynamical Systems. Springer, Boston, 2002. [5] N. Rouche, P. Habets, M. Laloy, Stability Theory by Lyapunov s Direct Method. Springer, New York, 1977. [6] L. Boyd, El Ghaaui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. SIAM, Philadelphia, 1994. [7] Lien C. H., Global exponential stabilization for Several classes of uncertain nonlinear systems with time - varying delay. Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 4(1)(2004) 15-30. [8] Lee E. and Markus L., Foundation of Optimal Control Theory. John Wiley, New York, 1967. 43