Programación de Extensiones Multimedia

ÊÉÍÁÌ ÌÍÊ Ë ÅÍÄÌÁÅ Á Ó ÁÌÁ ËÁËÌ Å Ë ÈÊý ÌÁ ½ ÈÊÇ Ê Å Á Æ Ì ÆËÁÇÆ Ë ÅÍÄÌÁÅ Á Å ÖÞÓ ¾¼½¼ ÔØÓº ÁÒ Ò Ö Ý Ì ÒÓÐÓ ÓÑÔÙØ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ÅÙÖ

ÈÊÇ Ê Å Á Æ Ì ÆËÁÇÆ Ë ÅÍÄÌÁÅ Á ÓÒÚÓ ØÓÖ ÂÙÒ Ó ÒØÖ Ð ÔÖ Ø ÄÙÒ ÂÙÒ Ó ¾¼½¼ Ê ÉÍÁËÁÌÇË ÆÌÊ Å ÑÓÖ ÑÔÖ ÕÙ ÒÐÙÝ ÈÓÖØ ÓÒ Ð Ø ØÙÐÓ Ð ÔÖ Ø Ý ÐÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð ÖÙÔÓº Ò º ÜÔÐ Ò ÕÙ ÐÐÓ Ô ØÓ Ö Ð Ú ÒØ ÙÒÓ ÐÓ Ö Ó º Ä Ø Ó ÑÔÖ Ó ÓÑ ÒØ Ó Ð Ó» Ô Ö ÙÒÓ ÐÓ Ö Ó º Ð Ó Ö Ð Ù Ö º Ë ÙÒØ Ö Ð Ñ ÑÓÖ ÙÒ ÕÙ Ø 1/2 ÓÒ Ð Ó Ù ÒØ ÐÓ Ö Ó º Ð ÕÙ Ø Ö ÖÓØÙÐ Ó ÓÒ Ð ÒÓÑ Ö ÐÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð ÖÙÔÓº ÁÑÔÓÖØ ÒØ Ë Ú ÐÓÖ Ö Ð Ð Ö ÑÓ ÙÐ Ö Ý ÓÖÖ Ò Ð Óº Ä ÔÖ Ø ÕÙ ÒÓ Ù Ø Ò Ð ÓÒ ÓÒ ÒØÖ ÆÇ Ë ÊýÆ Î ÄÍ Ëº Î ÄÇÊ Á Æ Ä ÈÊý ÌÁ Ø ÔÖ Ø ÙÔÓÒ Ð ¼ ± Ð ÒÓØ ÐÓ Ð ÔÖ Ø Ð Ò ØÙÖ º Ä Ð Ò Ø ÔÖ Ø Ö Ð Þ Ö Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ù ÒØ ÔÓÒ Ö Ò Ö Ó ½ ¾¼ ±º Ö Ó ¾ ¼ ±º Ö Ó ¼ ±º ¾»½¼

Â Ê Á ÁÇ ½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ï Ú Ð Ø Ö Ö Ò Ó Ý ÔÙ ÓÑÔ Ð Ö ÓÒ icc Ó icpc Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÔÐ Ò ÕÙ Ó Ø Ò Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ Ï Ú Ð Ø ½ Ù ¹ ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ Ú ÐÓÖ Ö Ð Ò Ö Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ º Ê ÕÙ ØÓ ÙÒ ÓÒ Ð Ó Ð ØÓÖ Ó Ö ÔÓ Ð ØÖ Ú ÙÒ ÒØ Ö Þ Ð Ò ÓÑ Ò Ó Ø Ð Ö µ Ð Ò Ñ ÖÓ Ú ÐÓÖ ÐÓ ÕÙ ÔÐ ÖÐ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ý µ ÙÒ Ò Ò Ý ÕÙ ÑÓ ØÖ Ö Ó ÒÓ ÔÓÖ Ô ÒØ ÐÐ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÓÖ Ò Ð Ý Ù ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Ä ÓÑ Ò ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÔÓÒ Ö Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ò ÐÓ Ó Ù ÒØ Ú ÐÓÖ ÔÓÖ ØÓ 10000000 Ý falseº Ä ÔÐ Ò ÑÓ ØÖ Ö Ù Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ø ÑÔÓ ÒÚ ÖØ Ó Ò Ð ÐÙÐÓ Ð ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ½ º Ê ÕÙ ØÓ ÒØ ÖÒÓ Ó Ð ØÓÖ Ó ÍØ Ð Þ Ö Ð Ò ØÖÙ ÓÒ ËÁÅ ¾ ÕÙ ÓÒ Ö Ò ÔÖÓÔ Ô Ö Ñ ÓÖ Ö Ð Ö Ò ¹ Ñ ÒØÓ Ð ÔÐ Òº È Ö ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÐÓ ÕÙ Ð ÐÙÐ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÒØ ÙÒ Ó Ò Á ÑÔÐ ÔÖ Òº ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ ÑÓ Ó Ù ÒØ Ö ÔÓ Ð ÓÑÔ Ð Ö Ó ÔÐ ÓÒ ÙÒ ÕÙ Ö Ð ÐÓ ÐÙÐÓ Ð Ö Ý ÓØÖ ÕÙ Ù Ø ØÙÝ ÐÓ ÐÙÐÓ Ð Ö ÔÓÖ Ò ØÖÙ ÓÒ ËÁÅ º Ê ÕÙ ØÓ ÒØ ÖÒÓ ÓÔ ÓÒ Ð Ô ÖØ Ð Ò ØÖÙ ÓÒ ËÁÅ Ú ÐÓÖ Ö Ð ÔÐ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ø Ò ÓÔØ Ñ Þ Ò ÓÒ Ðº ËÙ ÒÐÙ Ò Ö Ø Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ò Ð Ó Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ø Ú µ ÓÒ Ó ØÓ ÔÓ Ö Ú Ö Ö ÐÑ ÒØ Ð Ñ ÓÖ ÕÙ Ó Ö Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ Ø Ò Ð ÑÔÐ ÒØ Ò» Ø Ò» ÓÔØ Ñ Þ Òº Ê ÕÙ ØÓ Ô Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ö Ô Ò Ð Ò Ö Ó Ò Ð ÕÙ Ö Ð Þ Ò Ð Ù ÓÒ ÓÒØ ÜØÓ Ö Û Ö Ý Ó ØÛ Ö µº ÁÒ Ò ÐÓ ÖÓ Ù ÒØ Ð Ö Ø Ú ÓÑÔ Ð Ò ÙØ Ð Þ Ý Ð ÓÑ Ò Ó ÑÔÐ Ó Ô Ö Ð ÓÑÔ Ð Ò ÔÐ Òº Ö Ú Ñ ÒÙ Ð Ù Ù Ö Óº ÜÔÓ Ò Ø ÙÐ Ö Ð ÔÖÙ Ù Ò Ö Ð Þ º Ò ÔÖÙ Ò Ö Ó Ò Ö Ð Ñ ÒÓ µ Ð ÔÐ Ò ÓÒ Ð ÕÙ Ö Ð Þ µ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÒØÖ µ Ð Ø ÑÔÓ Ù Ò ÒÚ ÖØ Ó Ý µ Ð Ô ¹ÙÔ ÐÓ Ö Óº ÜÔÓ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ý Ö ÙÑ ÒØ Ò Ö ÞÓÒ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ø ÒØÓ Ð Ñ ÓÖ Ò Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ ÓÒ Ð Ô Ö ÓÑÓ ÒÓº ½ Ë Ô Ð Ø ÑÔÓ Ù Ò Ò Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ò ÕÙ ÐÙÐ Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ Ï Ú Ð Øº Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ Ô ÖØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ò Ö Ò Ò Ñ ÖÓ Ð ØÓÖ Ó ÕÙ Ö ÜÐÙ º ¾ ÜØ Ò ÓÒ ÑÙÐØ Ñ º Ä ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÓÒ Ö ÓÑÓ ÓÔ ÓÒ Ð Ø ÒØÓ Ù Ö Ò Ø ÒÙÒ Ó ÓÑÓ ÔÖÓÔÙ Ø ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ó ÖÙÔÓ ÔÙ ÙÔÓÒ Ö ÙÒ ÒÖ Ñ ÒØÓ Ò Ð Ð Ò Ð Ö Ó Ø ÙÒ ±º ÓÖÑ Ó Ð ØÓÖ Ø Ò Ö Ò Ò Ù ÒØ Ó ÔÐ ÓÒ Ä ÕÙ Ø ÐÙÐÓ Ñ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ý Ð Ú Ö Ò ËÁÅ º ÆÓ Ó Ø ÒØ Ð Ù Ó Ø Ò ÓÔØ Ñ Þ Ò ÓÒ Ð Ø Ñ Ò Ö Ø Ò Ö Ù Ö Ó Ò Ð Ø Ð Ô Ö ÔÓ Ö Ú ÐÓÖ Ö Ù ÒØ Ø Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ñ ÓÖ ÐÓ Ö ÓÒ ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö º Ì ÑÔÓ Î Ö Ò Ð Ö» Ì ÑÔÓ Î Ö Ò ÇÔØ Ñ Þ»½¼

Â Ê Á ÁÇ ¾ ÐÙÐÓ ÒØ Ö Ð Ò Ö Ö Ò Ó Ý ÔÙ ÓÑÔ Ð Ö ÓÒ icc Ó icpc Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÔÐ Ò ÕÙ Ó Ø Ò Ð Ö ØÙ ÔÓÖ Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ú Ö Ð Ö Ð ÒØÖ Ó Ú ÐÓÖ Ó ÒØ Ö Ð Ò µº Ê ÕÙ ØÓ ÙÒ ÓÒ Ð Ó Ð ØÓÖ Ó Ä ÙÒ Ò ÓÒ Ö Ö Ö f(x) = sen(x) º Ä ÒØ Ö Ð Ó Ø Ò Ö ÔÓÖ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÔÐ Ò Ó Ð Ê Ð Ð ÈÙÒØÓ Å Ó ÓÒ ÙÒ Ò ÙÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø Ô Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ð Ý ÓÒ ÙÒÓ Ð Ñ Ø Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ð º Ð Ø ÔÓ ØÓ ÕÙ ÙØ Ð Ø ÒØÓ Ô Ö x ÓÑÓ Ô Ö f(x) Ö ÒØ Þ Ö ÙÒ ÔÖ Ò ÔØ Ð Ò ÐÓ Ö ÙÐØ Ó º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ó ÕÙ π/2 0 sen(x) dx = 1 Ð Ö ÙÐØ Ó Ð ÔÖÙ 2000π/2 0 sen(x) dx Ö Ö ¾¼¼¼ Ý ÒÓ ¾¼¼½ Ò ½ ÔÓÖ ÑÔÐÓµº Ö ÔÓ Ð ØÖ Ú ÙÒ ÒØ Ö Þ Ð Ò ÓÑ Ò Ó Ø Ð Ö µ ÐÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ö Ð Ò Ý µ Ð Ú ÐÓÖ Ø Ôº Ä ÓÑ Ò ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÔÓÒ Ö Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ò ÐÓ Ó Ù ÒØ Ú ÐÓÖ ÔÓÖ ØÓ [0,2000] Ý 0.00001º Ä ÔÐ Ò ÑÓ ØÖ Ö Ù Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ø ÑÔÓ ÒÚ ÖØ Ó Ò Ð ÐÙÐÓ Ð ÒØ Ö Ð Ò º Ö ÐÓ ÖÓÒÓÑ ØÖ Ö Ð ÙÒ Ò ÕÙ ÐÙÐ Ð ÙÑ Ô Ö Ð Ö Ý ÒÓ Ð Ô ÖØ ÔÖ Ú Ð ÔÐ Ò ÕÙ ÒØÖÓ ÙÞ Ò ÙÒ ÖÖ Ý ÐÓ Ú ÐÓÖ f(x) ÒØ ÖÚ Ò ÒØ º Ê ÕÙ ØÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÓÔ ÓÒ Ð ÓÒ Ð Ñ ÑÓ Ó Ù ÒØ Ù Ò Ó Ö Ø Ú Ô Ö Ò Ö Ö ÙØ Ð Ø ÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒ Ñ ÑÓ ÙØ Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÔØ Ó Ö Ø Ð Ð ÑÔÐ Ò Ð ÐÙÐÓ Ö Ð Ó Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ f(x) = x 2 Ý f(x) = 1 x+1 º Ê ÕÙ ØÓ ÒØ ÖÒÓ Ó Ð ØÓÖ Ó ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ö Ó ½º Ê ÕÙ ØÓ ÒØ ÖÒÓ ÓÔ ÓÒ Ð ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ö Ó ½º Ê ÕÙ ØÓ Ô Ö Ð Ñ ÑÓÖ ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ö Ó ½º Ú ÑÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ð ÕÙ Ý ÕÙ ÐÙÐ Ö Ð Ö [a, b] Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ n Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ Ù Ð Ø Ñ Ó Ô Ö ÔÙ Ö ÙÑÙÐ Ò Ó ØÖ Ú ÙÒ ÙÐ ÕÙ Ú a b ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ step f(x) Ò Ó step Ð Ò ÙÖ ÐÓ Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ö Ó º

Â Ê Á ÁÇ Ø Ò ÓÖ Ò Ñ Ò Ö Ö Ò Ó Ý ÔÙ ÓÑÔ Ð Ö ÓÒ icc Ó icpc Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÔÐ Ò ÕÙ Ô ÖØ Ö ÙÒ Ñ Ò ÒØÖ Ò Ö ÓÑÓ Ð ÓØÖ Ñ Ò Ò Ð ÒÓ Ý Ò ÖÓ Ò Ð ÕÙ ÑÙ ØÖ Ò Ò Ñ ÒØ ÐÓ ÓÖ Ð Ñ Ò ÒØÖ ÓÖ Ò Ðº Ê ÕÙ ØÓ ÙÒ ÓÒ Ð Ó Ð ØÓÖ Ó ØÖ Ú ÙÒ ÒØ Ö Þ Ð Ò ÓÑ Ò Ó Ò Ö Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ð ÖÙ¹ Ø ÙÒ Ö ÚÓ ÑÔ ÒØÖ º Ø ÑÔ ÓÒØ Ò Ö ÙÒ Ñ Ò Ò Ð Ö Ø ÔÖÓ ÙÒ ÓÐÓÖµ º Ä ÔÐ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ô ÖØ Ö Ø Ñ Ò ÒØÖ ÙÒ Ñ Ò Ð ÓÒ ÓÒ Ó Ð ÒÓ Ò Ð ÕÙ ÐÓ ÑÙ ¹ ØÖ Ò Ò Ò ÖÓ ÐÓ Ô Ü Ð ÕÙ Ñ Ö Ò Ð ÐÙ Ø Ó ÓÖ Ð Ñ Ò ÒØÖ º ÆÓ Ô ÑÓ ØÖ Ö ÔÓÖ Ô ÒØ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Ð ÒØÖ Ò Ð Ð µ ÒÓ ÐÓ Ö Ö ÙÒ ÖÓ ÑÔ ÓÒ Ð Ñ Ò Ð º ÑÓ Ó ÑÔÐÓ ÑÙ ØÖ Ò ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ Ñ Ò ÒØÖ Ý Ù Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÖ ½ ÁÑ Ò ÒØÖ ÙÖ ¾ ÁÑ Ò Ð Ë ÒÓ ÔÓÒ Ñ Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÔÙ Ö ÙÖÖ Ö Ð ÔÐ Ò ÁÅÈ ÔÖ ÒØ Ò ØÓ Ð ØÖ Ù ÓÒ Ä ÒÙÜ Ô Ö ÓÒÚ ÖØ Ö Ù ÐÕÙ Ö Ñ Ò Ê ¾ Ø ÔÖÓ ÙÒ ÓÐÓÖ Ò ÓØÖ Ñ Ò Ò Ð Ö Ø ÔÖÓ ÙÒ ÓÐÓÖº Ò Ð Ò ÜÓ ½ ÜÔÓÒ Ð ÓÖÑ ØÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ó ÐÓ ÖÓ ÑÔº ÍÒ Ú Þ ÓÒÓ Ó Ó ÓÖÑ ØÓ Ö ÙÐØ Ö Ò ÐÐÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Ð ØÙÖ Ð Ñ Ò ÒØÖ ÓÑÓ Ð ÚÓÐ Ó Ò Ð Ó Ð Ñ Ò Ð º

Ð Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ð Ø Ò ÓÖ Ð Ò Ð Ð Ø ØÓÖ ÓÖ ÒÒݺ ÓÒÖ Ø Ñ ÒØ Ô Ù Ö Ö Ð Ø Ô Ù ÒØ ½º Ä Ö Ð Ñ Ò Ð ÖÓ ÑÔ ÒØÖ Ý ÐÓ ÖÐ Ò Ñ ÑÓÖ ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð Ö Ô Ø Ò Ó Ð ÓÖ Ò Þ Ò ÐÓ Ô Ü Ð ÑÔÙ Ø ÔÓÖ Ð ÓÖÑ ØÓ ÑÔº ¾º ÍÒ Ú Þ Ð Ð Ñ Ò ÒØÖ ÐÙÐ Ö Ù Ö Ú Ò Ò Ð ÐØÖÓ ËÓ Ð Ü Ý Ù Ö Ú Ò Ò Ð ÐØÖÓ ËÓ Ð Ü º º ÓÒ Ö Ö Ô Ö Ô Ü Ð Ð Ñ Ò ÒØÖ Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ö ÒØ Ó Ó ÙÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ x y ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ö Ú Ó ¹ Ø Ò Ò Ð Ø Ô ÒØ Ö ÓÖº Ë Ó Ñ ÙÐÓ ÙÔ Ö ÖØ ÓØ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÔÓÖ ØÓ Ö 64 Ô ÖÓ ÕÙ Ò ØÓ Ó Ó Ö Ö Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ð Ô ÒØ Ö Ò ÖÓ Ð Ô Ü Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ý Ò Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ô ÒØ ÖÐÓ Ð ÒÓ ½¼ º º ÍÒ Ú Þ ØÙ Ð Þ Ó Ð Ð ÒÞÓ Ð ÐÚ Ö Ò Ó Ð Ñ Ò Ö Ô Ø Ò Ó Ð ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ ØÓ ÑÔº Ä ÔÐ Ò ÑÓ ØÖ Ö Ù Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ø ÑÔÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÙÑ Ó ÔÓÖ Ð ÔÖÓ Ó Ø Ò ÓÖ º ÆÓ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ð ØÙÖ Ð Ñ Ò ÒØÖ Ò Ø ÑÔÓÓ Ð Ø ÑÔÓ Ö ØÙÖ Ð Ñ Ò Ð ½½ º Ê ÕÙ ØÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÓÔ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ø Ò ÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ð Ö Ø ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó ÒÒÝ ÐÙÐÓ Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ú ØÓÖ Ö ÒØ ÓÑÔ Ö Ò ÓÒ Ð Ò Ú Ð Ö ÐÓ Ô Ü Ð Ú ÒÓ Øµº Ê ÕÙ ØÓ ÒØ ÖÒÓ Ó Ð ØÓÖ Ó ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò ÐÓ Ö Ó ½ Ý ¾º Ê ÕÙ ØÓ ÒØ ÖÒÓ ÓÔ ÓÒ Ð ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò ÐÓ Ö Ó ½ Ý ¾º Ê ÕÙ ØÓ Ô Ö Ð Ñ ÑÓÖ ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò ÐÓ Ö Ó ½ Ý ¾º Ð Ò ÜÓ ¾ ÓÒØ Ò ÙÒ ÜÔÐ Ò Ø ÐÐ Ö Ð ÐØÖÓ ËÓ Ð Ý Ó Ö Ð Ö ØÓ Ð Ñ ØÓ Ó ÒÒݺ ½¼ Ä ÜÔÖ Ò Ô ÒØ Ö ÙÒ Ô Ü Ð ÒÓ ÐÙ Ð Ó Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ñ ÒØ Ó Ô Ü Ð ÒÓ Ð ØÙ Ð Þ Ò Ù Ò Ú Ð Ö Ò Ð Ð ÒÞÓ Ù Ö Ó Ò Ñ ÑÓÖ º ½½ È Ö ÕÙ Ð ÓÑÔ Ö Ò Ø ÑÔÓ ÒØÖ Ð Ø ÒØ Ú Ö ÓÒ Ð ÔÐ Ò Ö ÙÐØ ÒØ ÓÒ ËÁÅ Ý Ò ËÁÅ ÔÓÖ ÑÔÐÓµ ÐÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ò Ø Ú Ö ÓÑ Ò ØÖ Ö ÓÒ Ñ Ò ÒØÖ Ö Ò Ø Ñ Ó Ô ÖØ Ö ¼ Ü ¾ ¼ ¼ ÓÐÙÑÒ Ý ¾ ¼ Ð µº

Æ Ç ½ ÓÖÑ ØÓ ÅÈ ÅÈ Ó Ï Ò ÓÛ ØÑÔ Ô ÙÒ ÓÖÑ ØÓ ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ Ö Ó ÖÖÓÐÐ Ó ÔÓÖ Å ÖÓ Ó Ø Ò Ð ÕÙ Ð Ñ Ò Ù Ö Ø Ð Ù Ð Ö Ò Ö ÙÖÖ Ö Ò Ò Ò Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÑÔÖ Òº ÆÓ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ Ô Ö Ð Ò Ð Ñ Ò Ý Ñ Ù Ú Ù Ð Þ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ò ÑÙÝ Ö Ô º ËÙ Ö Ò Ø Ñ Ó ÒÓ Ó Ø ÒØ Ð Ò Ù Ô Ö ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ø Ð Ñ Ø º ÍÒ ÖÓ ÑÔ ÓÒ Ø Ó Ô ÖØ Ö Ý ØÓ º Ä Ö Ö Ð Ö Ø Ö Ø Ð ÞÓÒ ØÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ Ò ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ü Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÐÓÖ Øµ Ð ÞÓÒ ØÓ ÐÑ Ò ÐÓ Ô Ü Ð ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð Ð ÒÞÓ Ó ÒÚ Ð Ñ Òº ØÓ Ô Ü Ð Ù Ö Ò ÓÖÑ ÓÒØ Ù Ó ÖÖ Ý ÞÕÙ Ö Ö Ò Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ü Ð Ð ÕÙ Ò Ò Ö ÓÖ ÞÕÙ Ö Ý Ð ÐØ ÑÓ Ð ÙÔ Ö ÓÖ Ö º ÓÒØ ÒÙ Ò Ð Ø Ò ÐÓ ÑÔÓ Ñ Ò Ø ÚÓ ÙÒ Ö ÑÔ ÝØ ¼ ½ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ÓÒØ Ò Ó Á ÒØ Ò Ð Ø ÔÓ ÖÓ ÑÔº ËÙ ÓÒØ Ò Ó Ò Ö ÐÑ ÒØ BMº Æ Ó ÝØ Ò ÓÒ ÓÑ ÒÞ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ü Ð Ð Ñ Òº Ð ÓÖ Ó Ø Ò Ö ÔÙÒØ ÖÓ ÓÒ Ö Ö ÓÑÓ Ú ÐÓÖ Ñ ÒÓ Ò Ø ÚÓ Ð ÝØ ½¼º ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ö [10] + 256 [11] + 65536 [12] + 16777216 [13]º Ø ÔÖ Ò Ô Ó ÔÐ Ð ØÓ Ó ÕÙ ÐÐÓ ÑÔÓ ÕÙ ÓÒ ÙÑ Ò Ñ ½ ÝØ Ý ÕÙ ÐÑ Ò Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Óº Ò ÙÖ Ð ÑÔ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ Ô Ü Ð º ÐØÙÖ Ð ÑÔ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ Ô Ü Ð º Æ Ó Ø Ò Ö Ó Ô Ö Ù Ö Ö Ð ÓÐÓÖ Ô Ü Ðº Î ÐÓÖ Ñ ØÙ Ð Ð Ö ÙÒ Ò Ó Ò Ðµ Ý ¾ ÒØÖ Ð Þ Ó ÐÓ Ò Ð ÐÙ Ö Ò Ý Ê ÓÒ ½ ÝØ Ô Ö ÓÐÓÖ Ô Ü Ðµº Ù ÖÓ ½ Ö ÙÒ ÖÓ ÑÔ ÄÓ ÔÓ Ð ÓÐÓÖ ÙÒ Ô Ü Ð Ó Ò ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,255]º Ò Ñ Ò Ò Ð Ö ÓÒ ÙÒ Ò Ó Ò Ð Ð Ú ÐÓÖ ¼ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÓÐÓÖ Ò ÖÓ Ý Ð Ú ÐÓÖ ¾ Ð ÓÐÓÖ Ð ÒÓº Ò Ñ Ò ¾ Ø ÔÖÓ ÙÒ ÓÐÓÖ ØÓ Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ò Ð Ð ÓÐÓÖ Ô Ü Ð Ö ÕÙ Ö ØÖ ÝØ Ò Ó Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÐÓ Ù Ò Ú Ð ÐÙ Ð ÙÒ Ó Ù Ò Ú Ð Ö Ò Ý Ð Ø Ö ÖÓ Ù Ò Ú Ð Ö º Ø ÑÓ Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ø ÖÒ (0,0,0) Ö ÔÖ ÒØ Ð ÓÐÓÖ Ò ÖÓ (255,0,0) Ð ÞÙÐ ÔÙÖÓ (0,255,0) Ð Ú Ö ÔÙÖÓ (0,0,255) Ð ÖÓ Ó ÔÙÖÓ Ý (255,255,255) Ð ÓÐÓÖ Ð ÒÓº

ÑÔÐÓ ½ ÁÑ Ò Ò Ð Ö Ñ Ò ÓÒ 640 480 ¼ ÓÐÙÑÒ Ý ¼ Ð µº Ä ÞÓÒ ØÓ ÓÑ ÒÞ Ò Ð ÝØ Ð Ó ÔÓÖ Ð ÔÙÒØ ÖÓ lienzo ½¾ º Î ÐÓÖ Ö Ð Ô Ü Ð ¼ ¼µ ¹ÓÐÙÑÒ ¼ Ý Ð ¼¹ Ð ÒÞÓ 0 º Î ÐÓÖ Ö Ð Ô Ü Ð ½¼ µ ¹ÓÐÙÑÒ ½¼ Ý Ð ¹ Ð ÒÞÓ (4 640) + 105 Ð ÒÞÓ 2665 º Î ÐÓÖ Ö Ð Ô Ü Ð µ ¹ ÕÙ Ò ÙÔ Ö ÓÖ Ö ¹ Ð ÒÞÓ (479 640) + 639 Ð ÒÞÓ 307199 º ÑÔÐÓ ¾ ÁÑ Ò ¾ Ø Ñ Ò ÓÒ 640 480º Ä ÞÓÒ ØÓ ÓÑ ÒÞ Ò Ð ÝØ Ð Ó ÔÓÖ Ð ÔÙÒØ ÖÓ lienzoº Î ÐÓÖ ÓÐÓÖ Ð Ô Ü Ð ¼ ¼µ Ð ÒÞÓ 0 Ô Ö Ð ÞÙÐ Ð ÒÞÓ 1 Ô Ö Ð Ú Ö Ý Ð ÒÞÓ 2 Ô Ö Ð ÖÓ Óº Î ÐÓÖ ÓÐÓÖ Ð Ô Ü Ð ½¼ µ Ð ÒÞÓ 3 ((4 640) + 105) Ð ÒÞÓ 7995 Ô Ö Ð ÞÙÐ Ð ÒÞÓ (3 ((4 640)+105))+1 Ð ÒÞÓ 7996 Ô Ö Ð Ú Ö Ý Ð ÒÞÓ (3 ((4 640)+105))+2 Ð ÒÞÓ 7997 Ô Ö Ð ÖÓ Óº Î ÐÓÖ ÓÐÓÖ Ð Ô Ü Ð µ Ð ÒÞÓ 3 ((479 640)+639) Ð ÒÞÓ 921597 Ô Ö Ð ÞÙÐ Ð ÒÞÓ (3 ((479 640)+640))+1 Ð ÒÞÓ 921598 Ô Ö Ð Ú Ö Ý Ð ÒÞÓ (3 ((479 640) + 640)) + 2 Ð ÒÞÓ 921599 Ô Ö Ð ÖÓ Óº ½¾ Ð Ö Ó ÓÑÓ unsigned char *lienzo

Æ Ç ¾ Ø ØÓÖ ÓÖ ÒÒÝ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ØÓ ÔÓÖ Â ÓÒ ÒÒÝ Ò ½ Ô Ö Ø Ø Ö ÓÖ Ù Ò Ó ØÙ ÐÑ ÒØ ÙÒÓ ÐÓ Ñ ØÓ Ó ÐÓ Ð Þ Ò ÓÖ Ñ Þ ½ Ý ÒØ º ÌÓÑ ÓÑÓ ÒØÖ ÙÒ Ñ Ò Ò Ð Ö ½ Ý ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÓÑÓ Ð ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ô Ü Ð Ð ÒÓ Ò ÖÓ Ò ÓÒ ÙÒ Ô Ü Ð Ò ÖÓ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ ÓÖ Ý ÙÒÓ Ð ÒÓ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ò ÔÙ Ö Ð Ö Ú Ð Ö ÙÐØ Ó Ò Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÕÙ Ó Ø Ò Ö ÑÓ ÓÖ Ð ÒÓ Ó Ö ÓÒ Ó Ò ÖÓµº ËÙ ÒØÖ Ð ÑÙÝ ÑÔÐ Ë ÓÒ ÑÓ Ð Ñ Ò ÙÝÓ ÓÖ ÕÙ Ö ÑÓ Ó Ø Ò Ö ÒÓ ÓÑÓ ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÑÓ Ö ÐÓ ØÙ Ð ÒÓ ÓÑÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ú Ö Ð ÒØ Ö x y Ò Ó Ø Ú Ö Ð Ð ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ô Ü Ð Ý f(x,y) Ù ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ú ÐÓÖ Ö ÑÙÝ Ò ÐÐÓ ÜØÖ Ö ÐÓ ÓÖ ÒÓ Ð Ñ Ø ÑÓ Ñ Ö Ö Ó Ö Ð Ð ÒÞÓ ÕÙ ÐÐÓ Ô Ü Ð (x,y) Ô Ö ÐÓ ÕÙ Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ö ÒØ f(x,y) ÙÔ Ö ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÓØ Ñ Ò Ñ ½ º ÓÒØ ÒÙ Ò Ö ÑÓ ÐÓ Ô Ó Ó Ð Ø ØÓÖ ÓÖ ÒÒÝ ½ ½º È Ö Ô Ü Ð Ð Ñ Ò ÐÙÐ Ö Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ö Ô ØÓ ÔÓÖ ËÓ Ð 3 3 ÔÐ Ò Ó Ð Ù ÒØ Ñ Ö ÓÒÚÓÐÙ Ò ¹½ ¼ ½ ¹¾ ¼ ¾ ¹½ ¼ ½ Ù ÖÓ ¾ ÐØÖÓ ËÓ Ð 3 3 Ö Ú Ä ÒØ Ö ÓÖ Ñ ØÖ Þ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑÓ Ù Ð Ô Ü Ð ÒØÖ Ð Ð ÔÙÒØÓ Ð ÕÙ Ð ÐÙÐ Ð Ö Ú º Ø Ð Ö ÙÐØ Ó ÙÑ Ö ÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ô Ö Ð Ó Ø Ò Ó Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ö Ú ÒÓ ÔÓÖ Ù ØÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ ØÖ Þ ÓÒÚÓÐÙ Ò Ò ØÓØ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ó ÜÐÙ ÑÓ ÐÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ø Ó ÔÓÖ Ð ØÓÖ ¼µº ÐÙÐ Ö Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ö Ô ØÓ ÔÓÖ ËÓ Ð 3 3 ÔÐ Ò Ó Ð Ù ÒØ Ñ Ö ÓÒÚÓÐÙ Ò ¹½ ¹¾ ¹½ ¼ ¼ ¼ ½ ¾ ½ Ù ÖÓ ÐØÖÓ ËÓ Ð 3 3 Ö Ú ½ Ø Ø ÓÖ ÓÖÖ ØÓ Ý ÒÓ Ñ Ö ÓÑÓ ÓÖ Ð Ñ Ø Ò Ü Ø ÒØ º ½ Ä Ñ Ú ÐÓÖ Ö Ú ÔÓÖ Ø ÒØÓ Ð ¼ Ò ÖÓµ Ð ¾ Ð ÒÓµº ½ Ð Ö ÒØ ÙÒ ÙÒ Ò Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒÕÙ Ø ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ Ò¹ ÓÒ µ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÓÑ Ò Ó ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÝ Ö Ò Ò Ò Ð ÙÒ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ÝÓÖ Ú Ö Ò Ù Ú ÐÓÖ Ò Ø Ó Ú ÐÓÖ ÙÒ Ò Ú Ð Ö µº Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ö ÒØ ÔÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ Ñ Ð ÒØ Ò Ó Ô Ò ÒØ Ú Ö Ò ½ Ð Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ö ØÓ ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ Ò Ð ÒÓ Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ò ÑÔÐ Ð Ñ ÑÓº ÄÓ ÓÖ Ó Ø Ò Ó ÒÓ Ó Ø ÒØ Ù Ò Ø Ò Ò Ó Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ð ÑÙÝ ÔØ Ð Ý Ñ Ø Ú Ö Ò Ò ÐÐ ÖÚ ÑÙ Ó Ñ ÓÖ ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ø Ó Ð ÔÖ ÒØ Ö Ó

¾º È Ö Ô Ü Ð Ð Ñ Ò ÐÙÐ Ö Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ö ÒØ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ x y ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ö Ú Ô Ö Ð ÐÙÐ Ò Ð Ô Ó ÒØ Ö ÓÖ ½ µº Ë Ð Ñ ÙÐÓ Ó Ø Ò Ó ÙÔ Ö ÖØÓ ÙÑ Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ð µ Ñ Ö Ö ÓÑÓ ÒØ Ö ÒØ Ð ÓÖ Ð Ô Ü Ð ÔÖÓ Óº º ÇÔ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ô Ö Ô Ü Ð Ð Ñ Ò ÕÙ Ý Ó Ñ Ö Ó ÓÑÓ ÓÖ ÐÙÐ Ö Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ú ØÓÖ Ö ÒØ Ð Ø Ò ÒØ Ø Ò ÙÐÓ Ú Ò ÔÓÖ Ð Ó ÒØ Ò ÔÙÒØÓ ÒØÖ Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ö Ô ØÓ Ý Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ö Ô ØÓ ½ µº Ñ Ö Ö ÓÑÓ ÓÖ Ð Ô Ü Ð Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ö ÒØ Ô Ö Ô Ü Ð ÒÓ ÙÒ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð Ò Ð Ö Ò Ò ÔÓÖ Ð Ö ÒØ º ØÓ ÐØ ÑÓ Ö ÓÑÔ Ö Ò Ó Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ö ÒØ Ò Ð Ô Ü Ð ÔÖÓ Ó Ð Ò ØÓ ÓÖ µ ÓÒ Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ö ÒØ Ó Ù Ó Ó Ú ÒÓ º Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ó Ú ÒÓ ÓÒ ÐÓ ÕÙ Ý ÕÙ ÓÒ Ö Ö Ò Ø ÓÑÔ Ö Ò Ð Ó ÕÙ Ô Ò Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ö ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ö ÒØ Ø ÔÖ Ü ÑÓ ÐÓ 90 Ó Ó ÖÓÒ ÐÓ 90 Ó Ò Ö ÒØ µ ÐÓ Ó Ú ÒÓ ÕÙ Ý ÕÙ ØÓÑ Ö Ô Ö ÓÑÔ Ö Ö Ö ÒØ ÓÒ Ð Ô Ü Ð ÖÖ Ý Ð Ó ÔÓÒ Ò Ó ÓØÖÓ ÑÔÐÓ Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ö ÒØ Ø Ò ØÓÖÒÓ ¼ Ó Ó ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ ½ ¼ Ó ÐÓ Ó Ú ÒÓ ÕÙ Ý ÕÙ ÓÒ Ö Ö ÓÒ Ð Ð Ö Ý Ð Ð ÞÕÙ Ö º Ä Ù ÒØ ÙÖ ÐÙ ØÖ ØÓ Ó ÐÓ Ó ÔÓ Ð º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ô Ü Ð ÔÖÓ Ó Ø Ò Ú ÒÓ Ú Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò ØÓÖ ÖÙÐ Ö Ý Ð Ò ÐÓ Ó Ú ÒÓ Ò ÙÒ Ò Ò ÕÙ ØÓÖ Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ö ÒØ º ÙÖ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ú Ö Ò Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ö ÒØ Ö ÙÑ ÒØÓ Ë ØÓÖ ½ ÒØÖ 3π 8 Ý 5π 8 Ë ØÓÖ ¾ ÒØÖ pi 8 Ý 3π 8 Ë ØÓÖ ÒØÖ pi 8 Ý π 8 Ó ÒØÖ 7π 8 Ý 7π Ë ØÓÖ ÒØÖ 7pi 8 Ý 5π 8 È Ü Ð Ú ÒÓ ÓÒ Ö Ö 8 ËÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ 5π Ó ÒØÖ 8 Ý 3π 7π Ó ÒØÖ 8 Ý 5π 8 ËÙÔ Ö ÓÖ Ö Ó Ò Ö ÓÖ ÞÕÙ Ö Ó 8 Ö Ó ÞÕÙ Ö Ó 3π Ó ÒØÖ 8 Ý π 8 ÁÒ Ö ÓÖ Ö Ó Ý ÙÔ Ö ÓÖ ÞÕÙ Ö Ó Ù ÖÓ Ð Ò ÐÓ Ó Ú ÒÓ ÓÒ ÐÓ ÕÙ ÓÑÔ Ö Ö Ñ ÙÐÓ Ö ÒØ ½ Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ú ØÓÖ (x, y) p x 2 + y 2 º ½ Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ö ÒØ arctan derivaday derivadax º ½¼»½¼