ÍÊËÇ ÆÁÎ Ä Á Æ Ä ØÙÖ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Å Ó Ö Ú ØÓÖ Ê Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð ÐÑ Ò Ò Ð Ñ ÖÓ Ð Ç ÖÚ ØÓÖ Ó È Ó Ä ÈÐ Ø ¾¼½¾

ÍÊËÇ ÆÁÎ Ä Á Æ Ä ØÙÖ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Å Ó Ö Ú ØÓÖ Ê Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð ÐÑ Ò Ò Ð Ñ ÖÓ Ð Ç ÖÚ ØÓÖ Ó È Ó Ä ÈÐ Ø ¾¼½¾

½ Å Ó Ö Ú ØÓÖ Ò Ø Ò Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ØÓ Ð ÔÖÓÔ ÒÙÒ Ò Ð Ô ØÙÐÓ Î ØÓÖ º Ñ Ú Ö ÑÓ ÑÓ ÔÙ Ö Ö Ð ÜÔÖ Ò ÙÒ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ú ØÓÖ Ðº ÈÖÓÔ Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÒØÖ Ú ØÓÖ ÈÖÓÔ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ½º ÓÒÑÙØ Ø ÚÓ A B = B A ½µ ØÓ ÑÙ ØÖ ÐÑ ÒØ A B = A x B x +A y B y +A z B z = B x A x +B y A y +B z A z = B A ¾º ØÖ ÙØ ÚÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÙÑ Ý Ð Ö Ø A ( B ± C) = A B ± A C ¾µ

¾ Ä ÑÓ ØÖ Ò Ð Ù ÒØ A ( B ± C) = A (B x ±C x,b y ±C y,b z ±C z ) = A x (B x ±C x )+A y (B y ±C y )+A z (B z ±C z ) = A x B x ±A x C x +A y B y ±A y C y +A z B z ±A z C z = (A x B x +A y B y +A z B z )±(A x C x +A y C y +A z C z ) = A B ± A C º ÈÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö ÐÙ Ó k( A B) = (k A) B = A (k B) µ Ä ÑÓ ØÖ Ò ÒÑ Ø ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ö ÑÓ Ö Ð Ð ØÓÖº º Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ñ ÑÓ Ù Ð Ð Ù Ö Ó Ù Ñ ÙÐÓ A A = ( A) 2 = A 2 = A 2 µ ØÓ Ó Ø Ò ÔÐ Ò Ó Ð Ò Ò ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö Ý Ð Ò Ò Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ú ØÓÖ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ø Ñ Ò Ð Ö ÑÓ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ð Ð ØÓÖº º Ù Ö Ó ÙÒ ÒÓÑ Ó Ú ØÓÖ ( A± B) 2 = ( A) 2 ±2 A B +( B) 2 µ È Ö ÑÓ ØÖ ÖÐÓ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÔÖÓÔ Ó Ø Ú Ý ÓÒÑÙØ Ø Ú ( A± B) 2 = ( A± B) ( A± B) = A 2 ± A B ± B A+ B 2 = A 2 ±2A B + B 2 Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ñ ÑÓ Ø Ñ Ò ÔÙ Ö Ö ÕÙ ( A± B) 2 = A± B 2 = A 2 ±2 A B + B 2 = A 2 ±2 A B + B 2

ÈÖÓÔ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ½º ÒØ ÓÒÑÙØ Ø ÚÓ A B = ( B A) µ È Ö ÑÓ ØÖ Ö Ø ÔÖÓÔ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÐ ÑÓ Ð Ò Ò ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ( B A) = [(B y A z B z A y )ĭ (B x A z B z A x ) j +(B x A y B y A x ) k] = (B y A z B z A y )ĭ+(b x A z B z A x ) j (B x A y B y A x ) k = ( B y A z +B z A y )ĭ+(b x A z B z A x ) j +( B x A y +B y A x ) k = (B z A y B y A z )ĭ ( B x A z +B z A x ) j +(B y A x B x A y ) k = (A y B z A z B y )ĭ (A x B z A z B x ) j +(A x B y A y B x ) k = A B ¾º ØÖ ÙØ ÚÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÙÑ Ý Ð Ö Ø A ( B ± C) = A B ± A C µ Ä ÑÓ ØÖ Ò ÑÔÐ º ÈÖ Ñ ÖÓ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð ÙÑ Ý ÔÙ Ú ÑÓ Ö Ð Þ Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ðº ÄÙ Ó Ú ÑÓ Ö ÓÑÓ Ö Ð Ó Ô Ö ÐÐ Ö Ð ÜÔÖ Ò Ð ÙÒ Ó Ñ Ñ ÖÓº ÒØÓÒ B ± C = (B x ±C x,b y ±C y,b z ±C z ) ÄÙ Ó A ( B ± C) = [A y (B z ±C z ) A z (B y ±C y )]ĭ [A x (B z ±C z ) A z (B x ±C x )] j +[A x (B y ±C y ) A y (B x ±C x )] k = [A y B z ±A y C z A z B y A z C y ]ĭ [A x B z ±A x C z A z B x A z C x ] j +[A x B y ±A x C y A y B x A y C x ] k = (A y B z A z B y )ĭ+(±a y C z A z C y )ĭ (A x B z A z B x ) j (±A x C z A z C x ) j +(A x B y A y B x ) k +(±A x C y A y C x ) k = [(A y B z A z B y )ĭ (A x B z A z B x ) j +(A x B y A y B x ) k] +[(±A y C z A z C y )ĭ (±A x C z A z C x ) j +(±A x C y A y C x ) k] = [(A y B z A z B y )ĭ (A x B z A z B x ) j +(A x B y A y B x ) k] ±[(A y C z A z C y )ĭ (A x C z A z C x ) j +(A x C y A y C x ) k] = A B ± A C

º ÈÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö Ë k ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö ÐÙ Ó k( A B) = (k A) B = A (k B) µ È Ö ÑÓ ØÖ Ö Ø ÔÖÓÔ ÔÐ ÑÓ Ð Ò Ò Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð Ý ÐÙ Ó Ö Ð Þ ¹ ÑÓ Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÒØÖ ÙÒ Ú ØÓÖ Ý ÙÒ Ð Öº k( A B) = k[(a y B z A z B y )ĭ (A x B z A z B x ) j +(A x B y A y B x ) k] = k(a y B z A z B y )ĭ k(a x B z A z B x ) j +k(a x B y A y B x ) k = [(ka y )B z (ka z )B y ]ĭ [(ka x )B z (ka z )B x ] j +[(ka x )B y (ka y )B x ] k = (ka) B Ð Ñ ÑÓ ÑÓ Ó ÑÙ ØÖ ÕÙ k( A B) = A (k B)º º Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ñ ÑÓ Ù Ð Ð Ú ØÓÖ ÒÙÐÓ A A = 0 µ Ä ÑÓ ØÖ Ò ÑÙÝ ÑÔÐ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ö ÑÓ Ö Ð Ð ØÓÖº º Ð Ú ØÓÖ Ö ÙÐØ ÒØ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÐÓ Ú ØÓÖ ÒÚÓÐÙ¹ Ö Ó Ò Ð ÔÖÓ ÙØÓ A B = C = C A y C B ½¼µ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ú ÑÓ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ù ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÒÙÐÓº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ý ÕÙ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ C A = 0 Ý ÕÙ C B = 0º ÓÖ ÓÑÓ C = A B ÒØÓÒ C = (A y B z A z B y )ĭ (A x B z A z B x ) j +(A x B y A y B x ) kº ÄÙ Ó C A = (A y B z A z B y )A x (A x B z A z B x )A y +(A x B y A y B x )A z = A y B z A x A z B y A x A x B z A y + A z B x A y + A x B y A z A y B x A z = 0 C B = (A y B z A z B y )B x (A x B z A z B x )B y +(A x B y A y B x )B z = A y B z B x A z B y B x A x B z B y + A z B x B y + A x B y B z A y B x B z = 0

º Ó Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð A ( B C) = B( A C) C( A B) ½½µ Ø ÔÖÓÔ Ð Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÔÓÖ Ô ÖØ º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ B C = (B y C z B z C y )ĭ (B x C z B z C x ) j +(B x C y B y C x ) k ÐÙÐ ÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ Ñ ÖÓ Ð Ù Ð A ( B C) = [A y (B x C y B y C x )+A z (B x C z B z C x )]ĭ [A x (B x C y B y C x ) A z (B y C z B z C y )] j +[ A x (B x C z B z C x ) A y (B y C z B z C y )] k ÓÖ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö ÐÓ Ó Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ Ó Ñ Ñ ÖÓº ÒØÓÒ B( A C) = B x (A x C x +A y C y +A z C z )ĭ +B y (A x C x +A y C y +A z C z ) j +B z (A x C x +A y C y +A z C z ) k C( A B) = C x (A x B x +A y B y +A z B z )ĭ +C y (A x B x +A y B y +A z B z ) j +C z (A x B x +A y B y +A z B z ) k B( A C) C( A B) = B x (A x C x +A y C y +A z C z )ĭ +B y (A x C x +A y C y +A z C z ) j +B z (A x C x +A y C y +A z C z ) k C x (A x B x +A y B y +A z B z )ĭ C y (A x B x +A y B y +A z B z ) j C z (A x B x +A y B y +A z B z ) k = [ B x A x C x +B x A y C y +B x A z C z C x A x B x C x A y B y C x A z B z ]ĭ +[B y A x C x + B y A y C y +B y A z C z C y A x B x C y A y B y C y A z B z ] j +[B z A x C x +B z A y C y + B z A z C z C z A x B x C z A y B y C z A z B z ] k = [A y (B x C y B y C x )+A z (B x C z B z C x )]ĭ [A x (B x C y B y C x ) A z (B y C z B z C y )] j +[ A x (B x C z B z C x ) A y (B y C z B z C y )] k = A ( B C)

ÕÙ ÔÙ Ú Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ÒÓ Ó Ø ÚÓ A ( B C) ( A B) C ÕÙ ( A B) C = C ( A B) = [ A( C B) B( C A)] = B( C A) A( C B) = B( A C) A( C B) º ÈÖÓ ÙØÓ Ñ ÜØÓ A ( B C) = ( A B) C ½¾µ È Ö ÑÓ ØÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö ÐÓ Ó Ñ Ñ ÖÓ Ý Ú Ö ÕÙ ÓÒ Ù Ð º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ Ñ ÖÓ Ö Ð ÙÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ Ö A B C = A ( B C) = A [(B y C z B z C y )ĭ (B x C z B z C x ) j +(B x C y B y C x ) k] = A x (B y C z B z C y ) A y (B x C z B z C x )+A z (B x C y B y C x ) A B C = ( A B) C = [(A y B z A z B y )ĭ (A x B z A z B x ) j +(A x B y A y B x ) k] C = (A y B z A z B y )C x (A x B z A z B x )C y +(A x B y A y B x )C z = A y B z C x A z B y C x A x B z C y +A z B x C y +A x B y C z A y B x C z = A x (B y C z B z C y ) A y (B x C z B z C x )+A z (B x C y B y C x ) = A B C

ÜÔÖ Ò Ú ØÓÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ð Ô ØÙÐÓ ØÙ ÑÓ ÓÖÑ Ø ÐÐ Ð ÙÒ Ò Ð Ò Ð Ý Ú ÑÓ Ö ÒØ ÓÖÑ Ó Ø Ò Ö Ù ÓÖÑ ÙÒ ÓÒ Ðº ÓÖ Ú ÑÓ Ú Ö ÑÓ ÔÙ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÙÒ Ö Ø Ñ Ò Ö Ú ØÓÖ Ðº È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ú ØÓÖ Ð ÙÒ ÙÒ Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ó ÓÒÓ Ö ÙÒ Ú ØÓÖ u ÓÒØ Ò Ó Ó Ô Ö Ð ÐÓµ Ð Ö Ø Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ô ÖØ Ò ÒØ ÐÐ º ØÓ Ó ÔÙÒØÓ Ð Ô Ó Ð ÔÙ Ó Ö ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÝÓ ÓÖ Ò Ó Ò ÓÒ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ý Ù ÜØÖ ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ Ò Ù Ø Òº Ø ÑÓ Ó ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ð Ú ØÓÖ P = (p x,p y ) Ó Ó Ð ÔÙÒØÓ P º ÄÙ Ó ØÓÑ ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ó Ö Ð Ö Ø Ý Ð Ó ÑÓ Ð Ú ØÓÖ x = (x,y)º À Ò Ó Ð Ö Ò x P Ó Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ú ØÓÖ u ÓÒ ÓÖ Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ý ÜØÖ ÑÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (x,y) ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð Ö Ø º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ u Ô Ö Ð ÐÓ u ÐÙ Ó Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ½ k Ø Ð ÕÙ u = k uº Ò ÐÑ ÒØ Ð ÜÔÖ Ò Ú ØÓÖ Ð Ð Ö Ø Ò ÒØ x P = k u (x,y) (p x,p y ) = k(u x,u y ) (x p x,y p y ) = (ku x,ku y ) È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð ÓÖÑ ÜÔÐ Ø Ý ÕÙ Ö Ö Ð ÜÔÖ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖÓ Ô Ö ÓÑÔÓ¹ ½ µ Ô Ò Ó k Ò Ñ ÜÔÖ ÓÒ Ö ÙÐØ ÕÙ x p x = ku x y p y = ku y ½ µ x p x u x = y p y u y (x p x ) u y u x +p y = y u y u x }{{} =a x u y p x +p y = y u } x {{} =b ax+b = y ½ Ä Ü Ø Ò ÙÒ Ð Ö k Ø Ð ÕÙ u = k u ÓÒ u Ý u ÓÒ Ó Ú ØÓÖ Ô Ö Ð ÐÓ Ù Ð ÕÙ Ö ÑÙ ØÖ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ò Ò Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö u u = u x u x +u yu y º È ÖÓ ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÕÙ u = k u Ö ÙÐØ ÕÙ u x = ku x Ý u y = ku y º ÒØÓÒ u u = k(u 2 x+u 2 y) = k u 2 º Ò ÐÑ ÒØ ÒÓÒØÖ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ð Ö k = u u u 2