ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Khả Hòa PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN TĨNH CỦA VỎ BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Chuyên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Khả Hòa PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN TĨNH CỦA VỎ BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã Số: 6440 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 04

Công trình được hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đào Văn Dũng - Đại học Khoa học Tự nhiên Phản biện :. Phản biện :. Phản biện 3:. Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại: Đại học Khoa học Tự nhiên Vào hồi. giờ. ngày. tháng. năm 0. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỞ ĐẦU. Tính cấp thiết của đề tài Các kết cấu chế tạo từ vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally graded Material-FGM) được sử dụng ngày càng nhiều trong công nghiệp hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân và các lĩnh vực làm việc trong môi trường nhiệt độ cao hoặc chịu tải phức tạp. Do các tính chất cơ lý biến đổi trơn và liên tục từ mặt này đến mặt kia nên các kết cấu FGM tránh được sự tập trung ứng suất trên bề mặt tiếp xúc giữa các lớp, tránh được sự bong tách và rạn nứt trong kết cấu. Do vậy nghiên cứu về ổn định, dao động và độ bền của các kết cấu FGM đã thu hút được sự chú ý đặc biệt của cộng đồng các nhà khoa học trong và ngoài nước. Hiện nay, những kết cấu FGM phức tạp như vỏ nón, vỏ cầu, tấm và vỏ gấp nếp lượn sóng hay có gân gia cường vẫn là những bài toán khó, còn ít được nghiên cứu. Trong khi đó những kết cấu loại này đã trở nên phổ biến trong ứng dụng. Nghiên cứu về ứng xử cơ học của chúng là bài toán không chỉ có ý nghĩa khoa học mà còn có ý nghĩa thực tiễn to lớn. Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết đã nêu ở trên, luận án đã chọn đề tài là Phân tích ổn định phi tuyến tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên làm nội dung nghiên cứu.. Mục tiêu của luận án Nghiên cứu ổn định tĩnh của các kết cấu FGM thường được sử dụng trong thực tế chịu tải cơ. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận án Đối tượng của luận án là Panel trụ và vỏ trụ tròn FGM không hoàn hảo, không gia cường, vỏ trụ tròn và vỏ nón có gân gia cường lệch tâm. Phạm vi nghiên cứu của luận án là phân tích ổn định tĩnh của vỏ mỏng làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên bằng tiếp cận giải tích. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell-Karman và phương pháp san đều tác dụng gân của Leckhnitsky để thiết lập các phương trình chủ đạo theo hàm ứng suất và độ võng. Áp dụng phương pháp Galerkin để xây dựng hệ thức hiển cho phép tìm tải tới hạn và vẽ đường cong tải - độ võng sau tới hạn. 3

5. Bố cục của luận án Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung, phần kết luận, danh mục các công trình nghiên cứu của tác giả liên quan đến nội dung luận án, tài liệu tham khảo và phụ lục. CHƢƠNG : TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Chương này trình bày khái niệm, tính chất và một số quy luật cơ bản của vật liệu cơ tính biến thiên. Phân tích những ưu điểm nổi bật và sự ứng dụng hiệu quả của các kết cấu FGM. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới đối với bài toán ổn định và dao động của kết cấu làm bằng vật liệu này. Phân tích các vấn đề đã được nghiên cứu, những vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu. Từ đó đề xuất mục tiêu, nội dung và phương pháp của luận án. CHƢƠNG : PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA VỎ FGM KHÔNG HOÀN HẢO KHÔNG GÂN GIA CƢỜNG.. Ổn định phi tuyến của panel trụ mỏng FGM không hoàn hảo chịu nén dọc trục với hệ số Poisson thay đổi ν=ν(z)... Đặt vấn đề Nghiên cứu ổn định tĩnh, phi tuyến bằng giải tích của panel trụ FGM tựa đơn chịu nén dọc trục với hệ số Poisson ν=const, đã được trình bày trong công trình [3]. Phần này của luận án nghiên cứu lời giải giải tích cho hai bài toán sau đây: Bài toán : Mở rộng kết quả nghiên cứu của [3] khi xét hệ số Poisson ν là hàm của z-hướng bề dầy của vỏ, với điều kiện biên panel trụ tựa đơn tại bốn cạnh. Bài toán : Phân tích ổn định phi tuyến, tĩnh của panel trụ FGM tựa đơn tại hai cạnh cong và ngàm tại hai cạnh thẳng. 4

Kết quả chính của phần này được trình bày trong bài báo [] * (Vietnam Journal of Mechanics, VAST 34(): 7 44). Ở đây dấu * để chỉ bài báo [] trong danh mục công trình của tác giả luận án.... Panel trụ FGM và các phƣơng trình cơ bản... Panel trụ FGM Xét panel trụ FGM với độ dầy h không đổi, bán kính mặt giữa là R và độ dài a, cạnh vòng b. Chọn hệ tọa độ trụ x, y R, z sao cho trục x, y là các hướng dọc trục và hướng vòng, và trục z vuông góc với mặt giữa của vỏ trụ, có chiều dương hướng vào trong (Hình.). Panel trụ chịu nén dọc trục với cường độ r trên cạnh x 0, x a. p 0 trên 0 cạnh y=0, y=b và áp lực đều với cường độ Q 0.... Các phương trình cơ bản Sử dụng lý thuyết vỏ mỏng Donnell với tính phi tuyến hình học von Karman, sau khi đưa hàm ứng suất vào ta thu được hệ phương trình ổn định R * * 4 4 * 3, xx 4, yy, xx, xx C C w w w w w w w Q 0,, xy, xy, xy, xx, yy, yy 0 4 4 * * * C w C w, xy w, xxw, yy w, xx R w, xyw, xy w, xxw, yy w, yyw, xx / 0, trong đó C J / A, C / J A, C J J, C J A J A J A. 0 0 0 3 0 4 0 (.4) (.5) 5

Khác với những tài liệu trước đó khi nghiên cứu hệ số Poisson thay đổi, ở đây các hệ số độ cứng A ij được cho dưới dạng hiển. Đây là một phần đóng góp mới của luận án. Các phương trình (.4) và (.5) là phương trình chủ đạo được dùng để phân tích ổn định phi tuyến của mảnh trụ có cơ tính biến thiên không hoàn hảo có tính đến hệ số Poisson là hàm của z...3. Điều kiện biên và nghiệm của bài toán..3.. Các điều kiện biên Trƣờng hợp. Bốn cạnh của panel trụ tựa đơn, khi đó ta có w 0, M 0, N 0, N r h tại x = 0, x = a, x xy x w 0, M 0, N 0, N p h tại y = 0, y = b. y xy y Trƣờng hợp. Hai cạnh x 0 và x a là tựa đơn, hai cạnh còn lại y 0, y b bị ngàm, khi đó ta có w 0, M 0, N 0, N r h tại x = 0, x = a, x xy x w w 0, 0, N y 0, Nxy 0 y 0 0 0 tại y = 0, y = b...3.. Giải bài toán panel trụ FGM với điều kiện biên bốn cạnh tựa đơn Dựa vào điều kiện (.6), độ võng w, độ không hoàn hảo suất υ được chọn dưới dạng mx ny wwsin sin, a b mx ny F sin sin ( x) ( y), a b * mx ny w hsin sin, m, n,,3,... a b * w và hàm ứng 6

Thay các biểu thức (.8) và (.9) vào các phương trình (.4) và (.5) sau đó áp dụng phương pháp Galerkin ta thu được quan hệ tải độ võng của panel không hoàn hảo chỉ chịu nén dọc trục p 0, Q 0 : ( ) C 3 W E h C + C W + E h C + C 7 0 0 4 W m Ba n Eh C3 ERa m B a r0 D C C W Bh m Ba R ( m Ba n ) 6nh 3 3 * 3bm W 3 6mnRa Ba E W(3W 4 ) 5n Ba E Bh m Ba n W Bh m Ba n WW ( ), 3 ( ) 9 ( ) (.3) Với mảnh trụ hoàn hảo ( 0 ) chỉ chịu lực nén dọc trục r 0, phương trình (.3) sẽ là 4 ( m Ba n ) C Eh C3 ERa m Ba 0 3 Bh m Ba R ( m Ba n ) r D C C 3 nh 6mnRa Ba E 5n Ba E E h C 3 C W W W h a h a 6. 3 b m B ( m B n ) 9 B ( m B n ) (.5) Từ đây cho W 0, ta thu được tải vồng cận trên 4 ( m Ba n ) C Eh C3 ER am Ba 0 upper 3 Bh m Ba R ( m Ba n ) r D C C. (.6) Tải vồng cận dưới được tìm bằng cách giải phương trình dr0 / dw 0 sau đó thay vào (.5) ta được 4 ( m Ba n ) C Eh C3 ERa m Ba 3 a h a 0 lower 3 Bhm B R a ( m Ba n ) 4b 4 hbh ( m Ba n ) 9m Ra Ba E Eh C3 C 3 Eh C3 C 4b m BaE 4 ( m Ba n ) R B B h r D C C 3Ra Ba Ba E ( m Ba n ) Eh C3 C 3mR aba E h C3 C, 4b 8 ( m Ba n ) bmba E (.7)

..3.3. Giải bài toán panel trụ FGM với hai cạnh cong tựa đơn và hai cạnh thẳng là ngàm Xét mảnh trụ FGM chỉ chịu nén dọc trục với cường độ r 0 trên hai cạnh x 0, x a và áp lực đều với cường độ Q 0. Hai cạnh y 0, y b là ngàm, hai cạnh còn lại tựa bản lề. Khi đó, nghiệm thỏa mãn điều kiện biên (.7) được chọn là mx ny wwsin cos, a b mx ny " F sin sin ( y), F ( y) r0 h, a b * mx ny w hsin cos, m, n,,3,... a b (.33) Tương tự như trong phần..3., bằng phương pháp Galerkin, ta thu được biểu thức tải độ võng cho panel trụ chỉ chịu nén dọc trục 4 a W W ( W ) r0 3 W 4h W ( W ), (.38) 3bm hw W Nếu vỏ trụ là hoàn hảo 0, biểu thức (.38) trở thành 4a 0 3 4 r W hw 3bm h. (.39) Từ đây thu được biểu thức tải vồng cận trên và tải vồng cận dưới là r 4a m C 3bm h RA a 0upper 3 4 4 64a C m 56C a C 4 m 4 3 B B, 7m n h a 7n Rh 3m h a (.40) r 4a 3bm h 0lower 3 4 h 4 8. (.4)

..4. Các kết quả số và thảo luận Bài toán..: Kết quả so sánh Để khẳng định độ tin cậy của quá trình tính toán, trong phần này, luận án thực hiện so sánh với kết quả của Turvey (977) và Shen (00) [7]. Bài toán..: Khảo sát ổn định của panel trụ với điều kiện biên khác nhau Trong phần này của luận án có khảo sát ảnh hưởng của độ không hoàn hảo, chỉ số tỉ phần thể tích, các thông số hình học, điều kiện biên và mode vồng đến khả năng mang tải của panel trụ tựa đơn tại bốn cạnh và tựa đơn hai cạnh, ngàm hai cạnh... Ổn định phi tuyến tĩnh của vỏ trụ tròn mỏng FGM không hoàn hảo... Đặt vấn đề Bằng phƣơng pháp Ritz, năm 009, Huang và Han [47] đã nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ FGM hoàn hảo chịu nén dọc trục với tính chất vật liệu theo quy luật lũy thừa. Trong phần nghiên cứu này, luận án đã phát triển kết quả của bài báo [47] nghiên cứu trạng thái tới hạn và sau tới hạn của vỏ trụ FGM không hoàn hảo chịu nén dọc trục bằng phƣơng pháp Galerkin. Ngoài quy luật lũy thừa, luận án còn xét trường hợp tính chất vật liệu biến đổi theo quy luật mũ. Đã nhận được biểu thức hiển để tìm tải tới hạn và vẽ đường cong tải - độ võng sau tới hạn. Trường hợp vỏ trụ hoàn hảo, các kết quả đưa về bài báo [47]. Kết quả chính của phần này được trình bày trong bài báo [] * (Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 34 (3), pp. 39 56).... Đặt bài toán Xét vỏ trụ mỏng FGM với bán kính mặt giữa là R, độ đầy h và độ dài L (hình.8) chịu nén dọc trục với cường độ σ 0x. Môđun đàn hồi Young và hệ số Poisson của vật liệu biến đổi theo chiều dầy theo quy luật lũy thừa hoặc theo quy luật mũ. 9

Giả thiết vỏ trụ chịu nén dọc trục với cường độ p và có điều kiện biên tựa đơn tại hai đầu tức là w0, M x 0 tại x = 0, x=l...3. Phƣơng pháp giải Dựa theo các tài liệu [47, 00], hàm độ võng w độ không hoàn hảo w * được chọn là kết quả đã được đề xuất nhờ quan sát từ thực nghiệm và có dạng (sin sin sin 0), * * 0 w f x y F x F w f (sin xsin y F sin x F ), Thay (.4) vào phương trình tương thích (.5) suy ra hàm ứng suất sau đó áp dụng phương pháp Galerkin, suy ra * * * * * * h 0 x * a ( a a ) 3 ( *) ( a a ) 6 4 ( * ) a 5 R L * h h * * * * C 3 *. a 4 ( * ) a 5 * ( * ) R L R C, (.54) R L * L h 4 * * * * * * h 0x ( a a ) 6 4 ( *) a 5 R 4 * h h * 6 * C 4 3 * a ( * ) L R ( * ) * * 4 * h h 4 * h a 6 * C 4 3 * 8 * C 4, L R L (.55) Từ hai phương trình (.54) và (.55) ta có thể vẽ được hai mặt cong mô tả quan hệ σ 0x - (ξ, ξ ), giao của hai mặt cong cho ta đường cong tải độ võng σ 0x - ξ, từ đây ta có thể tìm tải tới hạn và vẽ đường cong tải - độ võng sau tới hạn của vỏ trụ FGM không hoàn hảo chịu nén dọc trục. 0

..4. Vỏ trụ hoàn hảo Trong trường hợp riêng khi vỏ trụ là hoàn hảo, thì kết quả của luận án trở về kết quả của Huang và Han [47] và nếu vỏ trụ hoàn hảo đẳng hướng thì ta được biểu thức lực nén tới hạn nén dọc trục đã được trình bày trong tài liệu Volmir [00]...5. Kết quả số và thảo luận Trong phần này, luận án thực hiện so sánh với kết quả số của Huang and Han [47], lập trình khảo sát ảnh hưởng của thông số hình học, mode vồng, độ không hoàn hảo đến khả năng chịu nén của vỏ trụ và thực hiện so sánh giữa tải tới hạn phi tuyến và tuyến tính của vỏ trụ FGM không hoàn hảo với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật lũy thừa và quy luật mũ..3. Kết luận chƣơng Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell với tính phi tuyến hình học von Karman và phương pháp Galerkin, bằng tiếp cận giải tích, chương này của luận án đã đạt được các kết quả mới sau đây:. Giải bài toán ổn định phi tuyến của panel trụ mỏng FGM chịu nén dọc trục, tựa đơn trên bốn cạnh với hệ số Poisson là hàm của tọa độ z theo hướng bề dầy. Đã tìm được biểu thức hiển để tìm lực tới hạn và đường cong tải - độ võng sau tới hạn. Khi ν=const, nhận được kết quả của bài báo [3].. Giải bài toán trên với điều kiện biên tựa đơn hai cạnh đặt lực và hai cạnh không đặt lực là ngàm. 3. Giải bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn mỏng FGM không hoàn hảo với hàm độ võng được chọn ba số hạng. Đã thu được biểu thức hiển để tìm lực tới hạn và vẽ đường cong tải - độ võng sau tới hạn. Trường hợp vỏ hoàn hảo, nhận được kết quả của tác giả Huang và Han [47]. 4. Nghiên cứu ảnh hưởng của các yếu tố hình học, chỉ số tỉ phần thể tích, độ không hoàn hảo, điều kiện biên, quy luật biến đổi vật liệu FGM đến khả năng ổn định tĩnh phi tuyến và tuyến tính của kết cấu panel trụ và vỏ trụ.

CHƢƠNG 3: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TRỤ TRÕN MỎNG FGM CÓ GÂN FGM GIA CƢỜNG LỆCH TÂM (ES-FGM) 3.. Đặt vấn đề Kết cấu có gân gia cường từ lâu đã là một chủ đề được sự quan tâm đặc biệt của các nhà thiết kế và xây dựng [0,, 65, 70, 00]. Để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố bằng các gân gia cường. Cách làm này có ưu điểm là trọng lượng thêm vào ít mà khả năng chịu tải của kết cấu lại tăng lên một cách đáng kể, vì vậy không những tối ưu về vật liệu mà còn tối ưu về giá thành. Tuy vậy các nghiên cứu trước đây hầu như chưa đề cập đến các vấn đề ổn định và dao động phi tuyến của kết cấu FGM có gia cường. Gần đây ý tưởng đầu tiên về kết cấu FGM có gân gia cường (ES-FGM) đã được đề xuất bởi tác giả Najafizadeh [60] (năm 009) và tác giả Đào Huy Bích [5] (năm 0) với hai cách tiếp cận: Gân FGM và gân thuần nhất. Trong đó, gân được giả thiết là mau, có kích thước nhỏ, phân bố đều, cùng kích thước, các gân được đặt theo hướng đường sinh và theo hướng vòng. Theo phương hướng gân FGM [60], chương này của luận án nghiên cứu ba bài toán còn để mở như sau: + Ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn ES-FGM hoàn hảo chịu áp lực ngoài. + Ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn ES-FGM hoàn hảo chịu tải xoắn. + Ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn ES-FGM hoàn hảo bao có nền đàn hồi. Dựa trên lý thuyết vỏ mỏng có tính đến tính phi tuyến hình học von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitsky, đã xây dựng được các phương trình chủ đạo cho bài toán ổn định tĩnh phi tuyến. Với độ võng được chọn là tổng ba số hạng, áp dụng phương pháp Galerkin, đã tìm được biểu thức hiển để tìm tải tới hạn và quan hệ hiển tải - độ võng để từ đó khảo sát được ứng xử sau vồng của kết cấu.

Trường hợp vỏ trụ FGM hoàn hảo, không có gân gia cường, các kết quả của luận án trở về các kết quả đã được công bố trong [48, 49]. Kết quả chính của phần này được trình bày trong hai bài báo [3] * (Thin- Walled Structures, 63, pp. 7 4), [4] * (Composites: Part B 5, pp. 300 309). 3.. Các hệ thức cơ bản của vỏ trụ tròn ES-FGM Xét vỏ trụ mỏng FGM có bán kính R, độ dầy h và chiều dài L chịu tải cơ. Mặt giữa của vỏ và hệ tọa độ x, y, z được biểu diễn trên hình 3.a. Vỏ được gia cường ở phía trong bằng các gân dọc và gân vòng. Các gân này được giả thiết bố trí mau và kích thước của gân là nhỏ [5, 65, 00]. Vỏ và gân đều được làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên với môđun đàn hồi Young của vật liệu thay đổi theo quy luật lũy thừa. Sử dụng lý thuyết vỏ mỏng Donnell có tính đến tính phi tuyến hình học von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitsky [5, 60] ta thu được phương trình ổn định của vỏ trụ ES-FGM w w w, xxxx, xxyy 3, yyyy 4, xxxx 5, xxyy 6, yyyy, xx, yyw, xx, xxw, yy, xyw, xy q 0 R, xxxx, xxyy 3, yyyy 4 w, xxxx 5 w, xxyy 6 w, yyyy w w,,,, 0, xy xxw yy w xx R (3.6) (3.7) Hai phương trình (3.6) và (3.7) là các phương trình chủ đạo được dùng để giải bài toán ổn định phi tuyến tĩnh của vỏ trụ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm chịu áp lực ngoài. 3

3. 3. Ổn định phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu áp lực ngoài 3.3.. Đặt bài toán và phƣơng pháp giải Xét vỏ trụ FGM có gân gia cường chỉ chịu áp lực ngoài phân bố đều cường độ q (hình 3.) tựa đơn tại hai đầu x=0 và x=l. Khi đó hàm độ võng được chọn với ba số hạng là [48, 0] w w( x, y) f f sin x.sin y f sin x, (3.8) 0 Tương tự trong phần., sau đó áp dụng phương pháp Galerkin ta thu được biểu thức quan hệ tải độ võng D D f q D D f D f R 03 06 0 04 05 D07 D08 f. (3.9) Biểu thức (3.9) được sử dụng để xác định tải tới hạn và vẽ đường cong tải độ võng phi tuyến sau tới hạn của vỏ trụ FGM có gân gia cường. Sử dụng điều kiện chu vi kín cho ta biểu thức độ võng lớn nhất f * R max 0y 0 04 05 0y 8D03 W C R h D D f D f h / 0 yh D0 D04 f D 05 f D 03. (3.3) Hai phương trình (3.9) và (3.3) là hai phương trình biểu diễn q và W max qua tham số f nên ta có thể sử dụng để khảo sát ảnh hưởng của các thông số đầu vào của vỏ đến đường cong quan hệ tải áp lực ngoài q với độ võng lớn nhất W max. 3.3.. Các kết quả số và thảo luận Trong phần này, luận án thực hiện so sánh lực tới hạn của vỏ trụ đẳng hướng có và không có gân với kết quả trong tài liệu Baruch và Singer [0], Reddy và Starnes [65], Shen [70] và so sánh đường vong tải độ võng của vỏ trụ FGM không gân với kết quả của các tác giả Huang và Han [48]. Để nghiên cứu ổn định của vỏ trụ FGM có gân gia cường chịu áp lực ngoài, ở đây tác giả khảo sát ảnh hưởng của mode vồng, chỉ số tỉ phần thể tích, thông số hình học và số gân đến khả năng mang tải của vỏ. Thực hiện so sánh tải tới hạn của vỏ trụ FGM có gân gia cường và không gân. 4

3.4. Ổn định phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu tải xoắn 3.4.. Đặt bài toán và phƣơng pháp giải Xét vỏ trụ có bán kính R, độ dầy h và độ dài L chịu tải xoắn ở hai đầu của vỏ trụ với cường độ. Hệ tọa độ (x,, z), y 3.0. Vỏ được gia cường bởi các gân dọc và gân vòng ở phía trong của vỏ, trong đó vỏ và gân đều làm bằng vật liệu FGM phân bố theo quy luật lũy thừa, các môđun đàn hồi được cho bởi biểu thức (3.)-(3.3). Điều kiện biên ở hai đầu của vỏ được xét đến ở đây là tựa đơn ở hai đầu: w0, M x 0 tại x=0 và x=l. độ võng 5 R được cho như hình Độ võng được chọn thỏa mãn điều kiện biên theo nghĩa trung bình [49, 00] w w( x, y) f f sin xsin y x f sin x, (3.35) 0 Sau khi áp dụng phương pháp Galerkin ta thu được biểu thức quan hệ tải D4 D6 f DD6 f D D 3 f / h. (3.44) D5 D7f D5 D7f Phương trình (3.44) dùng để phân tích trạng thái tới hạn và vẽ đường cong sau tới hạn phi tuyến của vỏ trụ FGM có gân gia cường. Từ điều kiện chu vi kín ta có biểu thức độ võng lớn nhất Df 6 max W Rf f. (3.47) D5 D7f 8 Kết hợp phương trình (3.44) và (3.47), ta có thể khảo sát ảnh hưởng của của tỉ lệ thể tích vật liệu và thông số hình học đến đường cong tải - độ võng lớn nhất của vỏ.

Dựa vào [00, 09], ta có biểu thức góc xoắn * C h f. (3.49) 33 4 Khi f 0, Biểu thức (3.49) cho ta thấy rằng quan hệ giữa góc xoắn ψ và tải xoắn là tuyến tính. Khi f 0, Kết hợp (3.44) với (3.49), ta có thể vẽ đường cong quan hệ của vỏ. Trong trường hợp vỏ không gân h s =h r =0, các phương trình (3.44) và (3.45) đưa về phương trình (33) và (34) trong tài liệu [49] khi xét hệ số Poisson là hằng số. 3.4.. Các kết quả số và thảoluận Để minh chứng độ tin cậy kết quả của luận án, tác giả đã thực hiện ba so sánh với các tác giả Shen [75], Nash [6], Ekstrom [44], Huang và Han [49]. Để khảo sát vỏ trụ ES-FGM chịu tải xoắn, trong phần này giải quyết các bài toán: Cách xác định tải xoắn phi tuyến tới hạn; ảnh hưởng của mode (m, n, ), thông số hình học, chỉ số tỉ phần thể tích và số gân đến khả năng mang tải của vỏ; so sánh tải xoắn tới hạn của vỏ trụ không gân và có gân gia cường và nghiên cứu ảnh hưởng của k và Z đến đường cong sau tới hạn. 3.5. Ổn định phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi 3.5.. Đặt vấn đề Trong thực tế, các kết cấu thường nằm trên hoặc nằm trong môi trường nước hoặc đất được mô hình như các nền đàn hồi. Chẳng hạn bản đáy của tàu (đây thường là tấm có gân gia cường) đặt trên mặt nước (được coi như nền đàn hồi một hệ số); hay là đường ống ngầm nằm trong đất (được coi như là nền đàn hồi hai hệ số nền). Những bài toán như vậy dẫn đến cần phải khảo sát ảnh hưởng của nền đến sự ổn định, dao động và độ bền của kết cấu. Đối tượng và mục tiêu nghiên cứu trong mục này là nghiên cứu hai bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn ES-FGM được bao quanh bởi môi 6

trường đàn hồi. Môi trường này được mô hình hóa bởi nền đàn hồi Pasternak - hai hệ số nền. Bằng tiếp cận giải tích, các kết quả thu được ở phần này là sự phát triển tổng quát các kết quả đã thu được trong các mục 3.-3.4. Kết quả chính của phần này được trình bày trong hai bài báo [7] * (Proceeding of the th National Conference on Deformable Solid Mechanics, Ho Chi Minh city 303, pp. 346-354) và [8] * (Submitted to ICEMA3). 3.5.. Hệ phƣơng trình ổn định của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi Bằng cách biến đổi tương tự như mục 3., với việc đưa vào hàm ứng suất, ta đưa được hệ phương trình ổn định đối với độ võng w và υ w w w, xxxx, xxyy 3, yyyy 4, xxxx 5, xxyy 6, yyyy, xx, yyw, xx, xxw, yy, xyw, xy K w, xx w, yy Kw q 0. R, xxxx, xxyy 3, yyyy 4 w, xxxx 5 w, xxyy 6 w, yyyy w w,,,, 0 xy xxw yy w xx R 3.5.3. Vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi chịu áp lực ngoài 3.5.3.. Đặt bài toán và Phương pháp giải 7 (3.5) (3.5) Xét vỏ trụ có gân gia cường, có nền đàn đồi chịu áp suất ngoài phân bố đều với cường độ q (hình 3.). Điều kiện biên ở hai đầu được giả định là tựa đơn tức là w 0 và M 0 tại hai đầu x=0 và x=l. Khi đó, các bước giải được thực hiện tương tự như mục 3.3., sau khi chọn dạng nghiệm của hàm độ võng với ba số hạng như (3.8) và áp dụng phương pháp Galerkin ta được quan hệ tải độ võng x

D 07L D06 D07 L3 L D08 8K K f q D 3 07L D08L f D07 L4 L3 D08 f L4 D08 f (3.6) Phương trình (3.6) được dùng để xác định tải tới hạn và phân tích đường cong tải - độ võng sau tới hạn của vỏ trụ FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi. Độ võng lớn nhất W L q L L f L f max 0 0 03 04 L q L L f L f 3 4 8 / (3.64) Kết hợp (3.6) với (3.64), Ta có thể phân tích đường cong tải - độ võng lớn nhất của vỏ trụ có gân gia cường trên nền đàn hồi. Trong trường hợp vỏ trụ không có nền đàn hồi các biểu thức (3.6), (3.63) và (3.64) dẫn về các biểu thức (3.9), (3.30) và (3.3) trong mục 3.3.. 3.5.3.. Kết quả số và thảo luận Trong phần này, luận án khảo sát ảnh hưởng của nền, thông số hình học, gân và chỉ số tỉ phần thể tích đến khả năng chịu lực của vỏ trụ ES-FGM trên nền đàn hồi. 3.5.4. Vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi chịu tải xoắn 3.5.4.. Đặt bài toán và phương pháp giải Xét vỏ trụ có gân gia cường, bao quanh nền đàn đồi chịu xoắn với cường độ τ (hình 3.30). Điều kiện biên ở hai đầu được giả định là tựa đơn tức là w 0 và M 0 tại hai đầu x=0 và x=l. Các bước giải được thực hiện tương tự như mục 3.4., sau khi áp dụng x

phương pháp Galerkin ta được phương trình liên hệ f h D D f K 4K D6 f KRf D D D 3 f 5 7 D4 D6 f KRf K K 4D5 D7 f K 4K 9 (3.67) Sử dụng phương trình (3.67), ta có thể tìm tải xoắn tới hạn và phân tích đường cong quan hệ f sau tới hạn của vỏ trụ FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi. Nếu KK 0, phương trình (3.67) sẽ trở về phương trình (3.44). Độ võng lớn nhất của vỏ có gân chịu xoắn trên nền đàn hồi D6 f K Rf max 8 4D5 D7 f K 4K W Rf f Góc xoắn của vỏ có gân chịu xoắn trên nền đàn hồi được xác định theo công thức (3.49). 3.5.4.. Kết quả số và thảo luận Trong phần này, tác giả thực hiện so sánh kết quả của luận án với kết quả của các tác giả Huang và Han [49], Sofiyev và Kuruoglu [89]. Khảo sát ảnh hưởng của nền, gân, chỉ số tỉ phần thể tích, thông số hình học đến khả năng chịu xoắn của vỏ trụ ES-FGM trên nền đàn hồi 3.6. Kết luận chƣơng 3 Sử dụng lý thuyết vỏ và kỹ thuật san đều tác dụng gân để nghiên cứu vỏ trụ có gân gia cường, chương này của luận án đã đạt được các kết quả sau:. Đã xây dựng được các phương trình ổn định cho vỏ trụ tròn ES-FGM có và không nền đàn hồi.. Nghiên cứu ổn định phi tuyến vỏ trụ tròn mỏng có gân gia cường chịu tải áp lực ngoài hoặc chịu tải xoắn. Trong đó vỏ và gân được làm bằng vật liệu FGM. Hàm độ võng được chọn một cách chính xác với ba số hạng.

3. Sử dụng mô hình nền đàn hồi của Pasternak, luận án đã phân tích ổn định của vỏ trụ FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi chịu áp lực ngoài hoặc chịu tải xoắn với cường độ đều. 4. Đã đưa ra các biểu thức hiển để xác định tải tới hạn và vẽ đường cong tải độ võng đối với vỏ trụ FGM có gân gia cường chịu áp lực ngoài, vỏ trụ chịu xoắn không có nền và có nền đàn hồi. 5. Lập trình tính toán, khảo sát ảnh hưởng của gân, nền, các thông số hình học và chỉ số tỉ phần thể tích đến khả năng ổn định của vỏ trụ có gân tăng cường trong nền đàn hồi Pasternak. CHƢƠNG 4: PHÂN TÍCH TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ NÓN CỤT FGM CÓ GÂN GIA CƢỜNG 4.. Đặt vấn đề Vỏ nón FGM có gân gia cường là một trong những kết cấu cơ bản hiện đại thường gặp trong các ngành kỹ thuật hiện đại như máy bay, tên lửa, tàu ngầm, lò phản ứng hạt nhân, vv. Song do hình dạng phức tạp hơn các kết cấu tấm và vỏ trụ vì vậy nghiên cứu sự ổn định của các kết cấu này bằng phương pháp giải tích thường gặp những khó khăn sau đây: + Các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo của vỏ nón được xây dựng trong hệ tọa độ cong. + Các phương trình ổn định là các phương trình đạo hàm riêng có hệ số là hàm của tọa độ. + Khoảng cách giữa các gân dọc theo đường sinh của vỏ nón cũng là hàm của tọa độ. Và do vậy bài toán ổn định của vỏ nón ES-FGM là bài toán mới cần được nghiên cứu. Dựa trên lý thuyết vỏ mỏng, kỹ thuật san đều tác dụng gân, có tính đến sự thay đổi khoảng cách giữa các gân dọc và phương pháp Galerkin (sau khi 0

đưa các phương trình ổn định về đồng bậc), chương này nghiên cứu bằng phương pháp giải tích hai bài toán sau đây: + Ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường thuần nhất chịu tải nén dọc trục và áp suất ngoài kết hợp. + Ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường FGM trên nền đàn hồi chịu tải nén dọc trục và áp suất ngoài kết hợp. Sử dụng tiêu chuẩn cân bằng lân cận, đã tìm được biểu thức hiển xác định tải tới hạn, từ đó khảo sát ảnh hưởng của gân, nền, chỉ số tỉ phần thể tích và các thông số hình học đến lực nén tới hạn và áp lực ngoài tới hạn. 4.. Ổn định tuyến tính vỏ nón cụt FGM có gân gia cƣờng thuần nhất Trong phần này nghiên cứu ổn định của vỏ nón có gân gia cường. Vỏ được gia cường bởi các gân dọc và gân vòng thuần nhất. Kết quả chính của phần này được trình bày trong bài báo [5] (Composite Structures 06, pp. 04 3). 4... Đặt bài toán Xét vỏ nón cụt có gân gia cường chịu nén dọc trục với cường độ p và áp lực ngoài với cường độ q. Vỏ nón có độ dầy h, góc bán đỉnh là α, độ dài đường sinh L và bán kính nhỏ R. Đặt vào mặt giữa hệ tọa độ x,, z như trên hình 4.. Vỏ được làm từ vật liệu có cơ tính biến thiên là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal). Tính môđun đàn hồi Young của vỏ là hàm của z theo quy luật lũy thừa được cho bởi công thức (.3) còn hệ số Poisson được coi là không đổi ( const ).

4... Các phƣơng trình cơ bản Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell với độ phi tuyến hình học theo nghĩa von Karman và kỹ thuật san gân của Leckhnitsky ta có phương trình ổn định của vỏ nón là v 0 v 0 T u T T w, (4.5) 3 T u T T w, (4.6) 3 T u T v T w qt w PT w 0, (4.7) 3 3 33 34 35 Hệ ba phương trình (4.5-4.7) dùng để phân tích ổn định và tìm tải tới hạn của vỏ nón FGM có gân gia cường lệch tâm. Đây là hệ ba phương trình đạo hàm riêng có hệ số là hàm của x nên việc giải nó là phức tạp. Luận án đã khắc phục được khó khăn này. 4..3. Phƣơng pháp giải Xét vỏ nón có điều kiện tựa đơn ở hai đầu. Khi đó ta có điều kiện biên là v w 0, M x 0 tại x x0, x0 L. Nghiệm thỏa mãn điều kiện biên (4.9) được chọn là [6, 7] m x x0 n u Acos sin, L m x x0 n v Bsin cos, L m x x0 n w Csin sin, L trong đó m là số nửa sóng dọc đường sinh và n là số sóng theo phương vòng, và A, B và C là các hệ số không đổi. Nhân các phương trình (4.5), (4.6) với x và (4.7) với L A L B L3 C 0, L A L B L3C 0, x sau đó áp dụng phương pháp Galerkin ta được 3 3 33 34 35 0 L A L B L ql PL C, (4.3)

Muốn hệ phương trình thuần nhất (4.3) có nghiệm không tầm thường thì định thức của ma trận hệ số phải bằng không. Khai triển định thức ma trận hệ số ta thu được phương trình của P và q là L L L L L L L L L L L q L P L 3 3 3 3 3 3 34 35 33 LL L L (4.4) Phương trình (4.4) được dùng để xác định tải vồng tới hạn của vỏ nón ES-FGM chịu nén dọc trục và áp lực ngoài. Tải vồng tới hạn P và q vẫn phụ thuộc vào m và n, do đó để thu được giá trị của tải tới hạn P và q cần phải cực tiểu hóa biểu thức này theo m và n. 4..4. Kết quả số và thảo luận Trong phần này tác giả thực hiện so sánh kết quả của luận án với sách chuyên khảo của Brush and Almroth [5, trang 7] đối với vỏ thuần nhất không có gân gia cường chịu áp lực ngoài và so sánh kết quả lực nén tới hạn của vỏ nón thuần nhất không gân với Naj cùng các cộng sự [59] và Baruch cùng các cộng sự []. Khảo sát ảnh hưởng của việc xắp xếp gân, số gân, góc mở α, tỉ số R/h, tỉ số L/R và chỉ số tỉ phần thể tích đến khả năng mang tải của vỏ. 4.3. Ổn định vỏ nón FGM có gân gia cƣờng FGM có nền đàn hồi Trong phần này của luận án, tác giả trình bày nghiên cứu sự ổn định của vỏ nón được gia cường bởi gân dọc và gân vòng trên nền đàn hồi chịu tải nén dọc trục và áp lực ngoài kết hợp. Vỏ nón và gân đều được làm bằng vật liệu FGM có tính chất vật liệu tuân theo quy luật lũy thừa. Mô hình nền đàn hồi với hai hệ số của Pasternak. Kết quả chính của phần này được trình bày trong bài báo [6] (Composite Structures 08, pp. 77 90). 3

4.3.. Các phƣơng trình cơ bản Xét vỏ nón cụt có gân gia cường đặt trên nền đàn hồi chịu nén dọc trục và áp lực ngoài. Vỏ nón có độ dầy h, góc ở đỉnh là α, độ dài đường sinh L và bán kính nhỏ R. Đặt vào mặt giữa hệ tọa độ x,, z như trên hình 4.9. Ở đây, có bốn trường hợp vỏ và gân được nghiên cứu. Tương tự như trong phần 4., ta có phương trình ổn định của vỏ nón ES- FGM trên nền đàn hồi là v 0 v 0 F u F F w, (4.33) 3 F u F F w, (4.34) 3 F u F v F w qf w PF w 0, (4.35) 3 3 33 34 35 Hệ ba phương trình (4.33-4.35) dùng để phân tích trạng thái ổn định và tìm tải tới hạn của vỏ trụ FGM có gân gia FGM cường. Đây là hệ ba phương trình đạo hàm riêng với hệ số là hàm của x nên việc giải là vô cùng phức tạp. 4.3.. Phƣơng pháp giải Thực hiện tương tự như phần 4. ta có phương trình tìm lực tới hạn là s s s s s s s s s s s34q s35p s s s s 3 3 3 3 3 3 ( s s K s K ) 33 36 37 (4.39) Tải vồng tới hạn P và q trong phương trình (4.39) vẫn phụ thuộc vào m và n, do đó để thu được giá trị của tải tới hạn P và q cần phải cực tiểu hóa biểu thức này theo m và n. 4.3.3. Kết quả số và thảo luận Trong phần này, tác giả thực hiện so sánh ứng suất nén của vỏ nón thuần nhất không gân không nền với Seide [67] và Sofiyev [84]. Khảo sát ảnh hưởng của nền, gân, chỉ số tỉ phần thể tích, tỉ số R/h, góc mở α, các trường hợp gân và số gân đến lực tới hạn của vỏ nón ES-FGM trên nền đàn hồi. Thực hiện so sánh vỏ được gia cường bằng gân FGM với gân thuần nhất. 4

4.4. Kết luận chƣơng 4 Trong chương này, bằng cách tiếp cận giải tích, luận án đã nghiên cứu ổn định của vỏ nón có gân thuần nhất gia cường và vỏ nón có gân được làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên gia cường chịu tải nén dọc trục và áp lực ngoài. Trong đó có nghiên cứu tới ảnh hưởng của sự thay đổi khoảng cách của các gân dọc. Phương trình cân bằng và ổn định đã nhận được bằng cách sử dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân và lý thuyết vỏ. Áp dụng phương pháp Galerkin, tác giả đã thu được biểu thức hiển để xác định tải tới hạn. Các kết quả số đã chỉ ra ảnh hưởng của gân, nền, chỉ số tỉ phần thể tích, thông số hình học và góc bán đỉnh đến tải tới hạn của vỏ nón. KẾT LUẬN CHUNG Bằng phương pháp tiếp cận giải tích, luận án đã giải các bài toán ổn định phi tuyến của panel trụ, vỏ trụ FGM không hoàn hảo với hệ số Poisson thay đổi chịu nén dọc trục, vỏ trụ FGM hoàn hảo có gân FGM gia cường chịu áp lực ngoài hoặc chịu tải xoắn có và không có nền, vỏ nón cụt có gân thuần nhất hoặc gân FGM gia cường chịu nén dọc trục và áp lực ngoài kết hợp có hoặc không có nền. Thông qua các bài toán trên luận án thu được một số kết quả mới nổi bật sau: ) Đã tìm được các biểu thức hiển để xác định tải tới hạn và quan hệ hiển tải - độ võng sau tới hạn để phân tích các ứng xử của kết cấu. ) Đề xuất phương pháp tiếp cận giải tích với hàm độ võng là tổng ba số hạng để giải bài toán ổn định phi tuyến của vỏ trụ FGM không hoàn hảo chịu nén, vỏ trụ FGM có gân gia cường FGM chịu áp lực ngoài hoặc chịu xoắn, trong đó hàm ứng suất được xác định trực tiếp từ phương trình tương thích. Hàm độ võng mà luận án lựa chọn là kết quả đã được đề xuất nhờ quan sát từ thực nghiệm nên nó có độ tin cậy cao. 3) Sau đề xuất của tác giả Đào Huy Bích [5] và tác giả Najafizadeh [60] về kết cấu FGM có gân gia cường thì luận án là công trình nghiên cứu một 5

cách chi tiết và đầy đủ về các trường hợp vỏ FGM có gân gia cường đặc biệt là khi gân được làm bằng vật liệu FGM. Đây là những kết cấu ưu việt vì khả năng chịu tải của các kết cấu này tăng một cách đáng kể trong khi chỉ cần tăng trọng lượng một ít nên sẽ tiết kiệm được giá thành. 4) Theo hiểu biết của nghiên cứu sinh thì có rất ít công trình nghiên cứu ổn định của vỏ trụ có gân chịu tải xoắn. Kết quả của luận án là kết quả đầu tiên sử dụng phương pháp Galerkin giải bài toán vỏ trụ FGM có gân FGM gia cường chịu tải xoắn và đã được đăng trên tạp chí SCI [4] *. Kết quả này đã được các nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm và được trích dẫn bởi bốn công trình quốc tế. 5) Luận án là một trong những công trình đầu tiên nghiên cứu về ổn định của vỏ nón FGM có gân gia cường đặc biệt là khi có xét tới yếu tố khoảng cách các gân dọc thay đổi theo tọa độ. Kết quả của luận án đã được đăng trên hai bài báo quốc tế SCIE [5, 6] * và được trích dẫn bởi 07 bài báo trên tạp chí quốc tế. 6) Luận án cũng là một trong số ít công trình nghiên cứu về panel trụ, vỏ trụ không hoàn hảo FGM có hệ số Poisson thay đổi và vật liệu FGM có tính chất vật lý thay đổi theo hai quy luật: quy luật lũy thừa và quy luật mũ. 7) Luận án đã đưa ra các kết quả nghiên cứu ảnh hưởng của một số yếu tố chỉ số tỉ phần thể tích, độ không hoàn hảo, điều kiện biên, quy luật biến đổi các đặc trưng vật liệu, yếu tố phi tuyến, số gân tăng cường, ảnh hưởng của các hệ số nền đến khả năng ổn định của vỏ trụ, panel trụ và vỏ nón. Từ đó rút ra một số kết luận giúp ích cho người thiết kế lựa chọn các thông số kết cấu phù hợp với thực tế. Các kết quả chính của luận án đều là những kết quả mới và đã công bố được bốn bài báo trên tạp chí quốc tế ISI (với 6 trích dẫn trên các tạp chí quốc tế) trong đó một bài trên tạp chí SCI và ba bài trên tạp chí SCIE, hai bài trên tạp chí quốc gia, một bài tại hội nghị quốc gia và một bài đang giửi tham gia hội nghị quốc tế. 6

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. Dao Van Dung, Le Kha Hoa (0), Nonlinear analysis of buckling and postbuckling for axially compressed functionally graded cylindrical panels with the Poisson s ratio varying smoothly along the thickness. Vietnam Journal of Mechanics, VAST 34(), pp. 7 44.. Dao Van Dung, Le Kha Hoa (0), Solving nonlinear stability problem of imperfect functionally graded circular cylindrical shells under axial compression by Galerkin s method. Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 34 (3), pp. 39 56. 3. Dao Van Dung, Le Kha Hoa (03), Nonlinear buckling and postbuckling analysis of eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical shells under external pressure. Thin-Walled Structures, 63, pp. 7 4. 4. Dao Van Dung, Le Kha Hoa (03), Research on nonlinear torsional buckling and post-buckling of eccentrically stiffened functionally graded thin circular cylindrical shells. Composites: Part B 5, pp. 300 309. 5. Dao Van Dung, Le Kha Hoa, Nguyen Thi Nga, Le Thi Ngoc Anh (03), Instability of eccentrically stiffened functionally graded truncated conical shells under mechanical loads. Composite Structures 06, pp. 04 3. 6. Dao Van Dung, Le Kha Hoa, Nguyen Thi Nga (04), On the stability of functionally graded truncated conical shells reinforced by functionally graded stiffeners and surrounded by an elastic medium. Composite Structures 08, pp. 77 90. 7. Dao Van Dung, Le Kha Hoa (03), Torsional buckling and postbuckling of eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical shells surrounded by elastic medium. Proceeding of the th National Conference on Deformable Solid Mechanics, Ho Chi Minh city 303, pp. 346-354. 8. Dao Van Dung, Le Kha Hoa (04), On the nonlinear stability of ES- FGM circular cylindrical shells under external pressure on elastic foundation, Submitted to Proceedings of the third International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3). 7