SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TỐNG VĂN TRÂN THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI Môn: Toán 80 PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH Câu I ( điểm).. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 4 4 +. Tìm m để phương trình 4 + = log m có 4 nghiệm phân biệt.. Câu II ( điểm). +. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 5 + 5 + 0. Giải phương trình: ( + ) = Câu III ( điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y = ; y =. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, BAD = α. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy một góc β. Cạnh SA = a. Tính diện tích ung quanh và thể tích khối chóp S.ABCD. Câu IV ( điểm). Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng: a + b + c + abc a( b + c ) + b( c + a ) + c( a + b ) PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb Câu Va ( điểm). Chương trình cơ bản. Trong mặt phẳng tọa độ Oy cho đường thẳng Δ : + y = 0 và hai điểm A(;0), B(; -4). Hãy tìm trên đường thẳng Δ một điểm M sao cho MA+ MB nhỏ nhất. = t = t. Trong không gian với hệ tọa độ Oyz cho hai đường thẳng: d : y = t và d : y = + t. = + t = t Lập phương trình đường thẳng đi qua M(; 0; ) và cắt cả hai đường thẳng d và d.. Tìm số phức z thỏa mãn: z + z = 0 Câu Vb. ( điểm). Chương trình nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C ): + y = và (C ): ( - 6) + y = 5 cắt nhau tại A(; ). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C ), (C ) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. = t = t. Trong không gian với hệ tọa độ Oyz cho hai đường thẳng: d : y = t và : d y = + t. = + t = t Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d và d.. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z+ + i =, tìm số phức z có modun nhỏ nhất. Hết Gửi: http://laisac.page.tl
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM Câu ý Nội dung Đi TXĐ D = I Giới hạn : lim y =+ ± Sự biến thiên : y = 4-8 y = 0 = 0, =± Bảng biến thiên 0 + y - 0 + 0-0 + y + + - - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0 ),( ; ) ( ; ),( 0; ) + và nghịch biến trên các khoảng Hàm số đạt cực đại tại = 0, y CD =. Hàm số đạt cực tiểu tại = ±, y CT = - 0 0 0 Đồ thị y - O 0 Đồ thị hàm số y = 4 + y y = log m 0 O
- Số nghiệm của phương trình y 4 + = log m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số = 4 + và đường thẳng y = log m. Vậy phương trình có 4 nghiệm khi và chỉ khi log m = 0 hoặc < logm< hay m = hoặc <m<9 0 0 0 II III Viết lại bất phương trình dưới dạng 5+ Đặt t =, t > 0. khi đó Bất phương trình có dạng 5 5+ + 0 5 = t t + 0 t t t+ 0 t + 5+ + log ( ) log ( + ) 5+ 5+ Điều kiện : Phương trình tương đương với ( ) ( ) = 0 (*) Đặt y =, y 0. Khi đó (*) có dạng : (y - ) y y = 0 ( y)( + y+ ) = 0 y = 0( do + y + 0) = 4+ 4=0 = e + tan( ) e + tan( ) e tan( ) = lim.( + + ) + lim.( + + )( + ) = lim( + + ) + lim( + + )( + ) = 9 lim = lim.( + + ) 0 0 0 0 0 0 05 0 05 0
I Kẻ đường cao SI của tam giác SBC. Khi đó AI BC (Định lí đường vuông góc) do đó SIA = β S 0 a AI = a.cot β, AB = AD = cot β sinα, SI = a sin β 0 S V ABCD S. ABCD a cot β = AB. AD.sinα = sinα a cot β = sinα A D 0 S q = S SAB + S SAD S SBC + S SCD BB a cot β =.( + ) sinα sin β C 0 IV Va Ta có a + b + c + abc a( b + c ) + b( c + a ) + c( a + b ) a + b c b + c a c + a b + + ab bc ca 0 cos A+ cos B+ cosc 0 Mặt khác cos A + cos B+ cos C = (cos A+ cos B). (cos Acos B sin Asin B) 05 [(cos A+ cos B) + ]+ [sin A+sin B]- cos Acos sb= Do đó cos A+ cos B+ cosc Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IB. Khi đó I( ; -), J( 5 ; ) 0 Ta có : MA+ MB = ( MA+ MB) + MB = MI + MB = 4MJ
Vì vậy MA+ MB nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J trên đường thẳng Δ Đường thẳng JM qua J và vuông góc với Δ có phương trình : y 8 = 0. = + y = 0 5 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ vậy M( 9 ; ) y 8= 0 9 5 5 y = 5 0 0 0 Vb Đường thẳng d đi qua A(; 0; -) và có vecto chỉ phương là u = ( ;;), đường thẳng d đi qua 0 B(0; ; ) và có vecto chỉ phương là u = (;; ). Gọi ( α),( β ) là các mặt phẳng đi qua M và lần lượt chứa d và d. Đường thẳng cần tìm chính là 0 giao tuyến của hai mặt phẳng ( α) và( β ) Ta có MA = (0;0; ), MB = ( ;;0) n = MA; u = (;;0), n = MB; u = (;; 4) là các vecto pháp tuyến của ( α) và( β ) 0 Đường giao tuyến của ( α) và( β) có vectơ chỉ phương u = n; n = (4; 8; ) và đi qua M(;0;) 0 nên có phương trình = + 4t, y = 8t, z = + t Gọi z = + y.i. Khi đó z = y + y.i, z = yi 0 + = 0 + + ( ) = 0 z z y yi y + = 0 ( = ; y =± ),( = 0; y= 0),( = ; y= 0) ( ) y = 0 0 Vậy có 4 số phức thỏa mãn z = 0, z = - và z = ± i 0 Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C ) và (C ) lần lượt là M và N Gọi M(; y) ( C) + y = () Vì A là trung điểm của MN nên N(4 ; 6 y). Do N ( C ) ( + ) + (6 y) = 5 () + y = Từ () và () ta có hệ ( + ) + (6 y) = 5 0 Giải hệ ta được ( = ; y = ) ( loại) và ( = 7 ; y = 6 5 5 ). Vậy M( 7 ; 6 5 5 ) 0 Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : y + 7 = 0 0 Gọi M (- t ; t ; - + t) d, N(t ; +t - t ) d Đường thẳng d có vecto chỉ phương là u = ( ;;), đường thẳng d có vecto chỉ phương là u = (;; ). MN = (' t + t ;' t t + ; t ' t + ) 0 0
MN là đoạn vuông góc chung của d và d khi và chỉ khi MN. u = 0 ' t t+ = 0 MN. u ' 4 0 = 0 t t = 0 4 Do đó M( ; ; ), N( ; ; 5 5 5 5 5 5 ). Mặt cầu đường kính MN có bán kính R = trình ( ) + ( y 4 ) + ( z+ ) = 0 5 0 t ' = 5 7 t = 5 MN 4 = và tâm I( ; ; ) có phương 0 5 0 0 0 0 Gọi z = + yi, M( ; y ) là điểm biểu diễn số phức z. z+ + i = ( + ) + ( y+ ) = 0 Đường tròn (C) : ( + ) + ( y+ ) = có tâm (-;-) O Đường thẳng OI có phương trình y = Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm Biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa độ O nhất, đó chính là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI và (C) I 0 Khi đó tọa độ của nó thỏa = = + y = 5 5 mãn hệ, ( + ) + ( y+ ) = y = y = + 5 5 0 Chon z = + + i( + ) 5 5 0