TUYỂN TẬP 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY NGUYỄN ĐÌNH THI PHÚ YÊN XUÂN CANH DẦN 2010

TUYỂN TẬP 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY NGUYỄN ĐÌNH THI PHÚ YÊN XUÂN CANH DẦN 00

Lời nói đầu. Bất đẳng thức (BĐT) đng là vấn đề nóng trên hầu khắp các diễn đàn Toán trong và ngoài nước như: mthlinks.ro, mth.vn, mthscope.org, mthvn.org, ddbdt.tk,. Và dĩ nhiên có những BĐT không khó, thậm chí là bình thường, nhưng cũng không ít những BĐT khó, thâm chí rất khó đến nỗi vẫn chư có lời giải (trong đó có một số đã giải và một số vẫn chư). Chính vì thế mà xuất hiện rất nhiều bậc co nhân cùng với những phương pháp mới, xem như là hiện đi tối tân nhất để có thể trị được những vấn đề khó này. Tuy nhiên mục đích củ tác giả cuốn ebook này không phải là lôi các bạn vào những vấn đề khó đó, mà mục đích chính là tuyển tập những BĐT đẹp, hy (đặc biệt là bất đẳng thức biến bởi tính hoán vị củ nó), được tuyển chọn từ các cuộc thi toán các quốc gi, thi chọn đội tuyển thi toán quốc tế, thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh,, các tạp chí toán như: Kvnt, Crux,MthVn ; các cuộc thi toán BĐT trên các diễn đàn toán như: MIC, VIC, VICFJ, cùng với những bài toán được phát triển từ những bài toán đó (làm chặt thêm hy sng tạo từ những cái đã có), các sách thm khảo như: Sáng tạo bất đẳng thức, Bất đẳng thức và những lời giải hy,. Để từ đó rèn luyện kĩ năng giải một bài toán BĐT một cách nhnh nhạy, nói đơn giản là khi gặp một bài toán nào đó thì chỉ cần nhìn vào là biết ngy hướng giải quyết. Tuyển tập này là cuốn tài liệu cuối cùng mà tôi viết nhân dịp năm mới Cnh Dần 00. Nếu có si xót gì thì cũng là do lỗi củ người biên tập, mong các bạn thông cảm và bỏ quá cho. Hi vọng tài liệu này sẽ là hành trng bổ ích cùng các bạn thm dự các cuộc thi học sinh giỏi cấp trường, tỉnh, quốc gi, quốc tế, Tác giả, Nguyễn Đình Thi Pge

500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY Bài. Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b c c 9 b c Bài. Cho các số thực dương, b, c so cho 4 b 4 c 4 =. Chứng minh rằng / b b c c b/ b c b c c b Bài (Phạm Kim Hùng). Cho các số thực không âm, b, c, d. Chứng minh rằng b c d b c d c d b d b c 4 b c d Bài 4 (Phạm Kim Hùng, Vsile). Cho các số thực không âm, b, c. Chứng minh rằng / b/ b c bc b c bc b c b c b c b c c b c b c b c b Bài 5 (Nguyễn Đình Thi). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng b c b c b c b c c b c b > Bài 6 (Võ Quốc Bá Cẩn). cho các số không âm, b, c thỏ b c = 6. Chứng minh rằng 4 b b c 4c 5bc 8 Bài 7 (IMO 00). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng 8bc b b 8c c c 8b Bài 8 (THTT). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng bc b b c c c b Bài 9. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng / b b b c b c c c b c b c b/ b b b c b c c b c c b c Bài 0 (Võ Quốc Bá Cẩn). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng Pge

b c b bc c b b c c 4 Bài (Cezr Lupu Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng ( b c ) b b b c b c c c b c bc c b Bài (Chin TST 006). Cho các số thực dương x, y, z so cho các số thực x y z =. Chứng minh xy xy yz yz yz zx zx zx xy Bài (Chin 005). Cho các số thực các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c Bài 4 (Irn 008). Cho các số thực dương, b, c so cho các số thực b bc c =. Chứng minh b b c c b c Bài 5. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng bc b b c c c b b c b bc c Bài 6 (Jck Grfunkel). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c 5 b c 4 Bài 7 (Phạm Kim Hùng). Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng 9 bc 9 c 9 b 8 Bài 8 (APMO 004). Cho các số thực bất kì, b, c. Chứng minh rằng rằng b c b c Bài 9 (THTT). Cho các số thực dương, b. Chứng minh rằng rằng b b b Bài 0 (Vsile). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng / 8 b c b c b c b c b/ b c b c b c b c 5 Bài (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b c 5 b c b c b c Bài (Vsile). Cho các số dương, b, c. Biết rằng b c và b c =. Chứng minh b c Pge

b c Bài. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b b c b c c b 8 Bài 4. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b c b b c c c b Bài 5. Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c b c Bài 6. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng 5 b 5 b c 5 c b c Bài 7. Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Tìm giá trị nhỏ nhất củ P = b c b c c b Bài 8. Cho các số thực dương, b, c. Tìm giá trị lớn nhất củ biểu thức bc P = bc c b c b c b Bài 9. Cho các số dương, b, c có tích bc =. Chứng minh rằng b b c c 4( b c ) Bài 0 (Dự tuyển IMO 00). Cho các số dương x, x,.., x n. Chứng minh rằng x x x x x x n x x x < n n Bài. Cho các số dương x, x,.., x n so cho x x. x n =. Chứng minh rằng n x n x n x n Bài (IMO 000). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c c Bài (Chin 005). Cho các số thực dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng bc b c c b Bài 4. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c b c c c b b c c 4 Bài 5 (APMO 007). Cho các số thực dương x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x yz x (y z) y zx y z x z xy z x y Pge 4

Bài 6. Cho các số x, y, z ( ; ). Chứng minh rằng x y z x y z Bài 7 (Ng 00). Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c b bc c Bài 8. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b c b b c c Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y t đều có x y y x > c b Bài 40 (Võ Quốc Bá Cẩn). cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng bc b c c b Bài 4. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b bc c bc bc b bc c bc Bài 4. Cho các số thực bất kì, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b b c b c c b Bài 4. Cho các số thực dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng b b c c Bài 4 (Mĩ 994). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x x y y z z xyz xyz Bài 44. Cho các số x, y, z. Chứng minh rằng x x yz y y zx z z xy xyz xy yz zx Bài 45. Cho các số dương x, y, z thỏ xyz =. Chứng minh rằng x y z y z x z x y 4 Bài 46. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x x x y x z y y y z y x z z z x z y Bài 47. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 9 bc (b c) c b 8 b c Bài 48. Cho các số dương x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x y z x y ( z) Bài 49. Cho các số dương x, y, z so cho xy yz zx =. Chứng minh rằng x y z y z x z x y 4 9 Bài 50. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b b c bc c b c bc Pge 5

Bài 5. Cho các số thwucj dương, b, c. Chứng minh rằng bc b c b c c c b b c b Bài 5. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c b c c 7 b c Bài 5. Cho các số dường, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c c Bài 54. Cho các số dương, b, c, d. Chứng minh rằng b c d c b d Bài 55. Cho các số thực, b, c. Chứng minh rằng b b b bc c c c b bc c Bài 56. Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng bc b c c b Bài 57 (Phạm Kim Hùng). Cho các số thực không âm, b, c so cho không có số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng ( b) ( b c) ( c ) b bc c Bài 58. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c c bc b c b b c c b b c b c Bài 59. Cho các số dương, b, c. Đặt x = b, y = b c, z = c Chứng minh rằng xy yz zx x y z Bài 60. Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng b c b c b c b c b b c c Bài 6. Cho các số dương x, y, z thỏ mãn x y z =. Chứng minh rằng x 4 y 4 y 4 z 4 z 4 x 4 Bài 6. Cho các số dương, b, x, y, z. Chứng minh rằng x y bz y z bx z x by b Bài 6. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng c bc b c b c c b b Bài 64 (IMO). Cho các số thực cùng dấu, b, c, d, e. Chứng minh rằng b c d e b c b d b e b c d c e c c b d e d d b d c e e b e c e d 0 Pge 6

Bài 65. Cho các số dương, b, c, x, y, z. Chứng minh rằng y z b z x c x y b c c b x y (x z) y z (y x) z x (z y) x y z Bài 66. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c c b b c b c c b b c 5 Bài 67. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng / b b c b c c c b 0 b/ b b c c ( b) ( b c) ( c ) b c c b ( b c) Bài 68. Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b bc c 7 8 Bài 69. Chứng minh rằng nếu 0 < y x < thì x x x y y y Bài 70. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b b c b c c b Bài 7. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 4 b b 4 b 4 b c c 4 c 4 c 4 bc b b c c c b Bài 7. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c bc b c Bài 7. Cho các số thực bất kì, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c 0 Bài 74 (Phn Thành Nm). Cho các số thực, b, c thỏ b c = 0. Chứng minh rằng b b b c c c 0 Bài 75 (Phn Thành Nm). Cho các số thực, b, c. Chứng minh rằng b b b b c b c c c c 0 Bài 76 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực, b, c. Chứng minh rằng b c b b c b c c c b 0 Bài 77 (Phn Thành Nm). Cho các số thực, b, c so cho b b c (c ) 0. Chứng minh rằng b b b c c c b b c c 8 Bài 78. Cho các số thực không âm, b, c. Chứng minh rằng Pge 7

4 b c 4b c 4c b 5 Bài 79. Cho các số x, x,, x n. Chứng minh rằng x x x n n n x x x n Bài 80 (VMO 99). Cho các số thực x y z > 0. Chứng minh rằng x y z y z x z x y x y z (xy yz zx) Bài 8 (Nguyễn Đức Toàn). Cho các số thực x y z > 0. Chứng minh rằng x y z y z x z x y x y z x y y z z x xyz x y z Bài 8. Cho các số thực không âm, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c b c c b Bài 8. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 4 b 4 c 4 b b c c b b c c b bc c Bài 84. Cho các số dương, b, c [; ]. Chứng minh rằng b c b c 0 Bài 85 (Thái Nhật Phượng). Cho các số dương x, y, z thỏ xyz =. Chứng minh rằng x y x y x 7 y 7 y z y z y 7 z 7 z x z x z 7 x 7 Bài 86 (Cezr Lupu). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b bc b c b c b c b Bài 87. Cho các số dương, b, c thỏ b c = = 4bc. Chứng minh rằng b c b bc c Bài 88. Cho các số thực dương, b, c thỏ bc 8. Chứng minh rằng b b c c c b c c b Bài 89 (Chin 006). Cho các số dương x, x, x n so cho x x x n =. Chứng minh rằng x x x n n x x x n n Bài 90 (Romni 006). Cho các số dương, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng b c b c Bài 9. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b c b c c c b c bc Bài 9 (Phạm Kim Hùng). Cho các số dương, b, c so cho bc. Chứng minh rằng Pge 8

b c b b c c Bài 9. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b 4 b c Bài 94 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c 5c b c 5 c b 5b b c Bài 95. Cho các số x, y dương so cho x 9 y 9 =. Chứng minh rằng x y xy Bài 96 (Trần Quốc Anh). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c 9 Bài 97. Cho các số thực khác nhu đôi một, b, c. Chứng minh rằng b b c c b b c c Bài 98 (Trần Quốc Luật, Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương bất kì, b, c, x, y, z và số nguyên dương k. Chứng minh rằng / b/ k x x y b x x y k b k y y z bc y y z bk c z c b c z y k z z y ck b c Bài 99 (Turkey Ntionl Olympid 008). Cho bc,, 0 so cho bc. Chứng minh b b c c c b b b bc c b c c b bc c Bài 00 (Nguyễn Đình Thi). Cho x, y, z là các số thực dương và k là số thực tùy ý. Chứng minh rằng k k k k k k b ( b) b c ( b c) c ( c ) ) với k k 0 k k k k k k k k k c b b c b c b bc c b) k k k k k k b b b c b c c c ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k c b b c b c bc với k 0 Bài 0 (Nguyễn Đình Thi). Cho, b, c là các số thực dương, chứng minh các bất đẳng thức su: b b c c ) b c.. bc b bc c b b c c b).. b c b bc c bc Bài 0. Cho các số dương, b, c. Chứng minh bất đẳng thức su với mọi k Pge 9

k k k k k k b c b c c b k k k b c bc b c c b Bài 0 (Trần Quốc Anh). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh b c b c c b 8 Bài 04 (Nguyễn Đình Thi). Cho, b, c > 0 và k không nhỏ hơn. Chứng minh bất đẳng thức b bc c b c (k ) (k ) b kc (k ) b (k ) c k (k ) c (k ) kb 6k Bài 05 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng x 5 x y y 5 y z z 5 z x x y z Bài 06 (Olympic 0/4). Cho các số thực dương, b, x, y, z. Chứng minh rằng x P = y bz z by y z bx x bz z x by y bx b Bài 07 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, x, y, z. Chứng minh rằng x P = x by y bx y y bz z by z z bx x bz ( b ) Bài 08 (Interntionl Zhutykov Olympid 006). Cho các số thực bất kì, b, c, d so cho b c d = 0. Chứng minh b c d bc bd cd 6 bc bcd cd db Bài 09 (Nguyễn Đình Thi). Cho, b, c, d là các số không âm. Chứng minh b c d d b c 8 c c b d b d Bài 0 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực không âm, b, c. Chứng minh rằng 4bc b b c b b c b c c c b ( b c) b b c c Bài. Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác so cho b c =. Chứng minh rằng b c bc Bài (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng 4 b 4 c 4 b bc c b b bc b c c c b c Bài (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh: b c ( b c) 5 c ( c ) 5 ( b) 5b Bài 4 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b c b c c c b b c Bài 5 (Dương Đức Lâm). Cho các số thực không âm so cho b c =. Chứng minh rằng Pge 0

P = b c 4 b c 4 c b 4 Bài 6. Cho các số thực dương x, y, z so cho xyz xy yz zx. Chứng minh bất đẳng thức y z x xyz x y z z x y ( ) 8 Bài 6 (Romni 007). Cho các số thực dương bc,, so cho Chứng minh rằng b c b bc c Bài 7. Cho các số thực dương bc,, so cho b c. Chứng minh rằng b c b c 9 b c bc b c b b c c Bài 8 (Polnd 99). Cho các số thực x, y, z so cho x y z. Chứng minh rằng x 9 y z x y z 0 Bài 9 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương bc,, so cho b bc c Chứng minh rằng b c bc Bài 0 (Mthlinks Contest). Cho các số thực dương bc,, so cho. Chứng minh b c b c c b bc Bài (Serbin Ntionl Olympid 008). Cho các số thực dương x, y, z so cho x y z. Chứng minh rằng 7 yz x zx y xy z x y z Bài. Cho các số thực dương bc,, so cho b bc c bc 4. Chứng minh rằng b c b c Bài. Cho bc,, là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng b c c b bc b c c b b c Bài 4 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực không âm bc.,, Chứng minh 4 4b 4c b bc c bc b b c c b b c c bc 7 Bài 5 (UK TST 005). Cho các số thực dương bc,, so cho bc. Chứng minh rằng b c ( ) ( b) ( c) Bài 6. Cho các số thực không âm bc.,, Chứng minh bất đẳng thức Pge

4( ) 7 b c b bc c bc Bài 7. Cho các số thực không âm bc.,, Chứng minh bất đẳng thức b c ( b b c c ) ( b bc c ) Bài 7. Cho bclà,, độ dài b cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng Bài 8. Cho các số thực không âm bc,, so cho b b c c b bc c b c b c. Chứng minh b bc c bc Bài 9 (Phn Thành Nm). Cho các số thực không âm bc,, thỏ b c. Chứng minh ( b c)( b)( b c)( c ) 4 Bài 0. Cho các số thực không âm bc.,, Chứng minh bất đẳng thức b c bc b c c b b bc c Bài (Vsile). Cho các số thực bất kì bc.,, Chứng minh rằng b c b b c c Bài. Cho bc,, 0. Chứng minh Bài. Cho bc,, 0. Chứng minh Bài 4. Cho các số dương, b, c. Chứng minh b c b c b bc c c c b b b c b c c b ( ) ( ) ( ) b c b c c b b c b c c b b c b c c b Bài 5. Cho các số thực không âm bc.,, Chứng minh rằng Bài 6. Cho bc,, 0. Chứng minh 4 4 4 b c b c b bc c c c b b ( b c) b ( c ) c ( b) b bc c b c c b Bài 7. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b c b c c c b Bài 8. Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng ( ) b b c c Pge

Bài 9 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực bất kì, b, c thỏ mãn 8 b 8 c 8 = Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất củ b c Bài 40. Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh b b c c 6bc b bc c 5 Bài 4. Cho các số thực bất kì, b, c. Chứng minh rằng b c 4 b c Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z so cho x y z = 4xyz. Chứng minh xy yz zx x y z Bài 4 (VMO 996). Cho các số thực không âm, b, c so cho b bc c bc = 4. Chứng minh b c b bc c Bài 44. Cho các số thực dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b c b bc c Bài 45 (VMO 006). Cho các số thực dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng ( b c) b c Bài 46 (IMO 008). Cho x, y, z là các số thực khác và thoả mãn xyz. Chứng minh rằng x y z ( x ) ( y ) ( z ) Bài 47 (Kvnt). Cho,b,c là các số thực phân biệt. Chứng minh b c 5 b b c c Bài 48 (Nguyễn Đình Thi). Cho x, y, z là các số thực khác và thoả mãn xyz, và số thực bất kì m. Chứng minh rằng t luôn có bất đẳng thức x m y m z m x y z Bài 49 (Trần Nm Dùng). Cho k là một số thực thuộc khoảng ; và cho bclà,, b số thực đôi một khác nhu. Chứng minh rằng t có bất đẳng thức su 9( k) b c k( b bc c) ( b) ( b c) ( c ) 4 Bài 50 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực bcso,, cho bc. Chứng minh b c 47 ( ) ( b) ( c) 6 Bài 5 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực phân biệt bc,, và số thực bất kì k [0;]. Chứng minh kb b b kc c c k ( b) ( b c) ( c ) 7 8 Pge

Bài 5 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực bc,, so cho bc 0. Chứng minh b bc c 5 c b 4 Bài 5. Cho bc,, là các số thực. Chứng minh b b c c 5 b c c b Bài 54 (Phạm Kim Hùng). Cho các số thực tuỳ ý bc.,, Chứng minh: ( b) ( b c) ( c ) 7 b c Bài 55. Cho các số thực phân biệt bc.,, Chứng minh rằng b b c c ( b) ( b c) ( c ) Bài 56 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực không âm bc.,, Tìm giá trị nhỏ nhất củ biểu thức ( ) P b bc c ( b ) ( b c ) ( c ) Bài 57 (Dương Đức Lâm). Cho các số bc,, [0;]. Chứng minh bất đẳng thức b b c c Bài 58 (Võ Quốc Bá Cẩn). Cho x, y ;( x y 0). Chứng minh x xy y x y Bài 59. Cho các số thực x, y, z so cho x y z 0. Chứng minh x y z x y z Bài 60 (VMO 008). Cho các số thực không âm bc.,, Chứng minh bất đẳng thức 4 ( b) ( b c) ( c ) b bc c Bài 6. Cho các số thực không âm phân biệt bc.,, Chứng minh rằng 5 5 b c b b c c 6 Bài 6 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực không âm bc.,, Chứng minh b c 4 ( b c) ( c ) ( b) b c Bài 6 (Trần Quốc Anh). Chứng minh rằng với mọi số thực bc,, t có Pge 4

( b) ( c) ( b c) ( c ) ( c ) ( c b) b c c b c Bài 64 (Brzilin Mth Olympids). Cho các số thực x, y, z so cho x y z xy yz zx. Chứng minh rằng x y z x y z Bài 65 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực bất kì bc,, so cho b bc c hoặc b c bc. Chứng minh rằng b c b c Bài 66 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực không âm, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng ( b b )(b bc c ) b bc c (c c ) (c c )( b b ) Bài 67. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng x x y y x y y x Bài 68. Cho các số thực dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c c Bài 69. Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n t có n b b b n c b c c n c 0 Bài 70. Cho các số không âm so cho không có số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng b c bc c b c b b c c b b bc c Bài 7 (Dương Đức Lâm). Cho các số thực không âm, b, c. Chứng minh rằng 5 4 b b b bc c c c ( b bc c) ( b c ) Bài 7. Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh 8 b c b b c c Bài 7. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh x y x xy y y z y yz z z x z zx x x y z Bài 74 (Chọn đội tuyển Việt Nm 009). Cho các số thực bất kì, b, c. Hãy tìm tất cả các số thực k để bất đẳng thức su đúng k b c k b c k c b k Bài 75. Chứng minh rằng với mọi số thực dương, b, c, x, y, z, bất đẳng thức su được thỏ mãn x x by b y cz b c x y z c z b c x y z Pge 5

Bài 76. cho các số thực bất kì, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c b c c b Bài 77. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng x 7 z x 5 y z y 6 y7 z 6 y 5 z 4 x z x x 6 yz 7 Bài 78. Cho các số thực, b, c. chứng minh b c b bc c Bài 79. Cho các số thực dương, b, c thỏ mãn b c. Chứng minh b c b c b c bc b c b c Bài 80. Cho các số nguyên, b, c khác 0 so cho. Chứng minh b c b c 4 4 4 b c 4 b c 0 b c Bài 8. Cho, b, c, x, y, z là các số thực thy đổi thỏ mãn x y c b z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất củ F = b c x y z x by cz Bài 8. Cho các số dương, b, c. chứng minh bất đẳng thức b c b c c b b c b c c b Bài 8. Cho các số dương,,, n thỏ mãn n =. Chứng minh rằng ( ) n n Bài 84 (APMO). Cho, b, c > 0. Chứng minh b c b c b c bc Bài 85 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, c so cho b c. Chứng minh rằng b b b b c c c c 0 Bài 86 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực không âm, b, c so cho b bc c =. Chứng minh b b bc b c c c 4 Bài 87 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực không âm, b, c so cho P b c b bc c c c b b 4 b c. Chứng minh Pge 6

Bài 88. (Co Minh Qung - THTT). Cho các số dương, b, c so cho b c = 6. Chứng minh rằng b b c c Bài 89. (Lê Xuân Đại - THTT). Xét các số thực dương, b, c, x, y, z thỏ mãn hệ cy bz = z cx = b bx y = c Tìm giá trị nhỏ nhất củ biểu thức x y z P = x y z Bài 90. (Lê Xuân Đại - THTT). Cho các số thực dương, b, c thỏ mãn b c và b c = b c. Chứng minh rằng b c Bài 9. (Lê Xuân Đại - THTT). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng b bc bc c c b bc b c c b Bài 9. (Trịnh Minh Tuấn - THTT). Cho các số, b, c ;. Chứng minh bất đẳng thức b c b c 45 Đẳng thức xảy r khi nào? Bài 9. (Nguyễn Mạnh Tuấn THTT). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b b b bc c c c Bài 94. (Hoàng Ngọc Minh THTT). Cho các số thực không nhỏ hơn. Chứng minh rằng b b c c b b c c Bài 95. (Lê Văn Lục THTT). Cho các số thực, b, c thỏ mãn điều kiện 4 b c = 9. Tìm giá trị nhỏ nhất củ P = b b b c c c Bài 96. (Võ Quốc Bá Cẩn THTT). Cho các số thực dương, b, c thỏ mãn bc =. Chứng minh rằng 8c b 8c c 8 Bài 97. (Trần Tuấn Anh THTT). Cho các số thực không âm có tổng băng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củ P = b c b c c b Bài 98 (Áo 97). Cho các số thực dương, b, c, x, y, z so cho b c. Chứng minh rằng c x y z x by cz x 4c y b z c Pge 7

Bài 99. Cho các số thực, b, c thỏ bc > 0. Chứng minh rằng b c 8 b 8 c 8 b c Bài 00 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x y z x y x z y z x y z y x z x y z x z y x y z Bài 0 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x y z xy yz zx x xy y y yz z z zx x Bài 0 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng xyz x y z x y z x y z xy yz zx Bài 0 (Tạp chí Crux Mth). Tìm giá trị lớn nhất củ b f, b, c = b với, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác không tù. 9 b c c b c c Bài 04 (Tạp chí Crux Mth). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác và x, y, z là các số thực. chứng minh rằng x y z xc y b zb c b c yz b zx c xy Bài 05 (Tạp chí Crux Mth). Cho, b, c là các số không âm so cho b c =. Chứng minh rằng b bc c b c 6bc b c b c bc Bài 06 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm x, y, z. Chứng minh rằng xy yz zx x y z 9xyz x y z Bài 07 (Tạp chí Crux Mth). Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z t luôn có x y z x y z x y y z z x xy yz zx 0 Bài 08 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số thực dương x, x,, x n (n ) so cho x x x n =. Chứng minh rằng x x x n x x x n x x x n n Bài 09 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x x y y y z z z x x y z Bài 0 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số x, y, z > 0. Chứng minh rằng x xy y y yz z z zx x xy yz zx Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho 0 < x, y, z <, và đặt u = z y, v = x z, w = y x. Chứng minh rằng Pge 8

u v w u v w Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm x, y, z so cho x 4 y 4 z 4 =. Tìm giá trị nhỏ nhất củ x x 8 y y 8 z z 8 Bài (Tạp chí Crux Mth). Chứng minh rằng với mọi số x y t có x x y y y x y x y x x y Bài 4 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số thực dương, b, c, d so cho b c d =. Chứng minh rằng b b c c d d 6 5 Bài 5 (Tạp chí Crux Mth). Chứng minh rằng v w bc w u c u v.. u s v s b w. b 4 b c s c với, b, c, s là độ dài cạnh và nữ chu vi tm giác và u, v, w là các số dương bất kì. Bài 6 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm x, y, z so cho xy yz zx =. Tìm giá trị lớn nhất củ x y z y z x z x y Bài 7 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x x x y x z y y y z y x z z z x z y Bài 8 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c, x, y, z. Chứng minh rằng b y z z x c xy yz zx x y b c c b x y z Bài 9 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số thực, b, c, x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất củ x y z by bz bx cz cx cy Bài 0 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng x 4 y 4 x y x y y x x y Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho < b < c < 0 và b c =. Chứng minh rằng 4 c b b b c c 4 Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c c b b c b c b c bc Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng Pge 9

b c 6 b c Bài 4 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng mx b b c c ; b c b c b c b c Bài 5 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số, b, c. Chứng minh rằng b c c b Bài 6 (Tạp chí Crux Mth). Cho > 0 và x > y > z. Chứng minh rằng x y z y z x z x y 0 Bài 7 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c 4 b c c b bc Bài 8 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương,, n ; b,, b n. Chứng minh rằng n n i i= i= b n i b i n i= i= i b i i b i Bài 9 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số,, n > 0 và n N. Chứng minh rằng n n k b k n n k n n b k k= k= k= Bài 0 (Tạp chí Crux Mth). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng b c bc c c b b b c 0 Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm x, y, z. Chứng minh rằng x y y z z x xyz x y z x y z x y z Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c bc Bài (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x y z x y z 9 xyz Bài 4 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số, b, c > 0 và x bc b cx c x bx b c. Chứng minh rằng bc Bài 5 (Tạp chí Crux Mth). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng Pge 0

b c b c b c c b b c Bài 6 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c bc c b c b c b b c Bài 7 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c bc c c b b c b b c c Bài 8 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số x, y, z 0 so cho x y z =. Chứng minh rằng x yz y zx z xy Bài 9 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c 9 b c bc b c Bài 40 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b bc c c b b c b c 0 Bài 4 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c b c b c b c c b Bài 4 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x,, x n. Chứng minh rằng x x x x x x x x x n x n x x n 9 b c Bài 4 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng xy yz zx 7 8 Bài 44 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng 7 8 x y y z z x Bài 45 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c so cho b c = bc. Tìm giá trị nhỏ nhất củ b c Bài 46 (Tạp chí Crux Mth). Cho, b, c là cạnh tm giác. Chứng minh rằng 4 b 4 c 4 b bc c b c b c Pge

Bài 47 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số không âm x, y so cho không có số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng x 4 y 4 x y 4 xy x y 5 8 Bài 48 (Tạp chí Crux Mth). Chứng minh rằng với các số thực x, y, z t luôn có x y z xyz 4 x y y z z x Bài 49 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x, y, z so cho x y z minh rằng = 4 x yz y zx z xy. Chứng x y z 64 Bài 50 (Tạp chí Crux Mth). Cho, b, c là độ dài cạnh củ tm giác không tù. Chứng minh rằng b c. b c b c. b c b c. b c b bc c Bài 5 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b bc c b bc c Bài 5 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số x, y 0. Và x y x y 4. Chứng minh rằng x y Bài 5 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c 7 b c bc c b b b c c ư Bài 54 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương x,, x n (n ). Chứng minh rằng x x n x x x x n n x n x Bài 55 (Tạp chí Crux Mth). Cho cá số dương x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x y z x y z 4 x y z x y z Bài 55 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số dương, b, c và các số nguyên m, n so cho m n. Chứng minh rằng m bm c m b m c m c m m m b m b n c n c n n n b n Bài 56 (Tạp chí Crux Mth). Cho các số thực bất kì, b, c. Chứng minh rằng b b b bc c c c b bc c Bài 57 (Tạp chí Mĩ). Cho các số dương, b, c so cho bc 9. Chứng minh rằng b c bc Bài 58 (The Mthemticl Gzette ). Cho các số 0 <, b, c, d <. Chứng minh rằng n bn cn Pge

b cd b c d c d b d bc > Bài 59. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 5 b 5 b b b b5 c 5 b c b c b c c5 5 c c c < b c Bài 60 (Russi 999). Cho các số dương x, y, z có tích bằng. Chứng minh rằng nếu x y x y z z thì x k y k z k xk y k z k Bài 6 (APMO 00). Cho các số dương, b, c thỏ b bc c = bc. Chứng minh rằng bc b c c b bc b c Bài 6. Cho các số thực không âm, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b c c 7 Bài 6 (THTT). Cho các số thực không âm có tổng bằng. Chứng minh rằng b bc c b b c c 8 b c Bài 68. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng bc b c c b b bc c b b c c Bài 69 (Moldov Tem Selection Test 009). Cho m, n N, n và các số i > 0, i =, n, so cho n i. Chứng minh rằng i m n m n n m n n nm n n n Bài 70 (Irn 996). Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng b b c c 9 4 b bc c Bài 7. Cho các số thực không âm, b, c. Chứng minh rằng b b b bc c c c 9 b c Bài 7. Cho các số thực không âm, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng b b c c 5 Bài 7. Cho các số thực không âm, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng b b c c Pge

Bài 74 (Việt Nm TST 006). Cho các số, b, c ;. Chứng minh rằng b c b c 6 b c b c c b Bài 75 (Moldov TST 006). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng b c c b c b 0 Bài 76 (Chin TST 004). Chứng minh rằng, b, c, d là các số thực dương có tích bằng. Chứng minh rằng b c d Bài 77 (IMO Shortlish). Cho các số không âm, b, c, x, y, z thỏ b c = x y z. Chứng minh rằng x by cz xyz 4bc Bài 78. Cho các số thực bất kì, b, c. Chứng minh rằng / b b b c c c 0 b/ b 5 b b c 5 c c 5 0 Bài 79. Cho các số dương có tích bằng. Chứng minh rằng b b c b c c Bài 80 (Phạm Kim Hùng). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c c b c b Bài 8. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c c b b c 4 b c b b c c Bài 8 (Vsile). Cho các số dương, b, c, d. Chứng minh rằng b c b c c d d d b 9 Bài 8 (Phạm Kim Hùng). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c 8 b c 8 b c Bài 84 (Cezr Lupu). Cho các số dương, b, c thỏ mãn Chứng minh rằng b c b b c c Pge 4

b b c c Bài 85. Cho các số không âm, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng bc b b c c c b Bài 86 (Phn Thành Nm). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c bc Bài 87 (Phn Thành Nm). Cho các số không âm, b, c có tổng bằng. Chứng minh rằng b b c c Bài 88. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b c b c Bài 89. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b bc b c 5 Bài 90. Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng bc b b c bc c b 4 Bài 9. Cho các số dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng b b b c b c c c 5 Bài 9 (Vsile). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b bc c 9 Bài 9 (Chin TST 005). Cho các số dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng bc b c c b Bài 94 (Phạm Kim Hùng, Klmkin). Cho các số, b, c 0 so cho b c =. Chứng minh rằng / b b b bc c c c b/ b b b bc c c c Bài 95 (Võ Quốc Bá Cẩn). cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng bc 6 b b c c 4 Bài 96. Cho các số thực không âm, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng Pge 5

b c b c c b Bài 97. Cho các số dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng b b c c b bc c 9 Bài 98. Cho các số thực phân biệt, b, c. Chứng minh rằng / b/ b b b c b c b c b c c c c b Bài 99. Cho các số thực, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng / b c bc b/ b c bc Bài 00. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng b b b bc c b bc c c c c c b b b c Bài 0. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng 4 bc b b 4 b bc c c 4 c bc b c b c Bài 0. Cho các số không âm, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng b c Bài 0. Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b c b bc c Bài 04. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng bc b b b bc c c c bc Bài 05. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c b c Bài 06. Cho các số dương, b, c, d so cho b c d = 0. Chứng minh rằng b c d b c d b c d 6 Pge 6

Bài 07. Cho các số không âm, b, c, x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x b y c z b x c y z c x y b z b c Bài 08. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng b b c c b bc c Bài 09. Cho các số không âm x, y, z so cho x y z =. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất củ x y y z z x P = x y y z z x Bài 0. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c b c b c 4 b b c c b c Bài. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c 8bc b b c c Bài. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b c b c Bài (Trần Nm Dũng). Cho các số thực không âm bất kì bc.,, Chứng minh rằng bc [( ) ( b) ( c ) ] b c Bài 4. Cho các số thực dương bcso,, cho b c bc 4. Chứng minh rằng min{( ),( ) bc b bc,( c) } 4 Bài 5. Cho x, y, z >. Chứng minh rằng 4 4 4 x y z y z x 48 Bài 6. Cho các số không âm, b, c và số nguyên k. Chứng minh rằng b k c k b ck k bc b c c k b k c b k b k c k Bài 7. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c bc b c b c c b c b b c b c 7 Bài 8. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng ( bc)(b c) b c c b c b bc 4 b c Pge 7

Bài 9. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng bc b b bc c b bc c c bc c bc bc b b c Bài 0. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng b c c b bc b c c b 6 Bài. Cho các số thực dương, b, c thỏ bc = 8. Chứng minh rằng b c Bài. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b bc b c c b c b c 4 Bài. Cho các số dương, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất củ c b c 4b b c 8c b c Bài 4. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c 4 Bài 5. Cho các số dương, b, c thỏ b c. Chứng minh rằng b c b bc bc c b c Bài 5. Chứng minh rằng nếu, b, c, x, y, z > 0 thì b c x b c y c b z xy yz zx x y z Bài 6. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b b bc c c Bài 7 (Olympic 0/4). Chứng minh rằng nếu 0 x thì c c x 9 x x 6 Bài 8. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng 6 b c 6b c 6c b 9 Bài 9. Cho các số dương x, y, z thỏ x y z =. Chứng minh rằng x y z 4 x y z Bài 0. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng Pge 8

b b c c 0 b c Bài. Chứng minh rằng với mọi tm giác nhọn ABC t có sinasinb sinc sinbsinc sina sincsina sinb 9 4 Bài. Cho các số dương x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x y z y z x z x y 9 4 Bài. Cho các số dương, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng bc b c b c c c b b Bài 4. Chứng minh rằng nếu, b, c 0 thì bc b bc c b c c c c b b b 6 Bài 5. Chứng minh rằng nếu, b, c 0 thì bc b bc c b bc c bc Bài 6 (Tạp chí Koml). Cho các số thực, b, c. Chứng minh rằng c bc bc b b b c c Bài 7 (Romni TST 00). Chứng minh rằng nếu, b, c (0; ) t có bc b c < Bài 8. Cho các số thực, b, c so cho b c =. Tìm giá trị lớn nhất củ b c bc Bài 9 (Ukrin 00). Cho các số dương, b, c, x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x by cz xy yz zx b bc c b c Bài 40. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b 9 4 b c Bài 4 (Gzet Mtemtic). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 4 b b 4 b 4 b c c 4 c 4 c 4 bc b b c c c b Bài 4 (JBMO 00). Cho các só dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b c b c b c c b Bài 4 (Gzet Mtemtic). Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng Pge 9

xyz x x 8y y 9z (z 6) < 7 4 Bài 44. Cho các số thực dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng 5 b c 6 b c Bài 45. Cho các số, b, c (; ). Chứng minh rằng b 4b c c c b 4c b c 4 b b c Bài 46. Cho các số dương, b, c so cho bc. Chứng minh rằng b b c c b c Bài 47 (Romni 00). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b c 6 b bc c Bài 48 (JBMO 00). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b b c c Bài 49. Cho các số dương x, y, z so cho x y z = xyz. Chứng minh rằng xy yz zx x y z Bài 50 (JBMO 00). Cho các số x, y, z >. Chứng minh rằng x y z y z x z x y Bài 5. Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b c b c c c b Bài 5 (Tạp chí Kvn 998). Cho các số dương, b, c so cho 4 b 4 c 4 b b c c. Chứng minh rằng b c b bc c Bài 5 (Gzet Mtemtic). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c. b c b c c. b c b c b. c c b 4 Bài 54 (Indi 00). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c c b b c c b c b Bài 55 (Russi 00). Cho các số dương, b, c, x, y, z so cho x = b y = c z =. Chứng minh rằng bc xyz y bz cx Pge 0

Bài 56. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b bc c bc b c Bài 57. Cho các số thực, b, c so cho mx, b, c min, b, c. Chứng minh rằng b c 6bc b b c c Bài 58. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 7 bc b c c b 6 b c b c Bài 59. Cho các số, b, c (0; ) so cho b bc c =. Chứng minh rằng b b c c b c 4 b c Bài 60. Cho các số, b, c và b c =. Chứng minh rằng b c 7 0 Bài 6. Chứng minh rằng nếu x y z = t có x y z 5 xyz x y y z z x Bài 6 (IMO Shorlish 987). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c bc Bài 6. Cho các số dương, b, c, d. Chứng minh rằng b b c c d d b c c d d b 0 Bài 64 (MOSP 00). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c c 4 b c Bài 65 (Tạp chí Kvn 988). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c b b c c b c bc Bài 66. Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c c b c b bc b c b c 4 Bài 67. Cho các số dương x, y, z. So cho x y z = xyz. Chứng minh rằng x y z 6 0 Bài 68 (Tạp chí Kvn 989). Cho các số thực, b, c, x, y, z. Chứng minh rằng x by cz b c x y z b c x y z Bài 69. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng Pge

b bc. b b c. Bài 70 (USA TST 000). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c bc mx b, b c, c Bài 7 (Việt Nm 004). Cho các số dương, b, c so cho b c = bc. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củ x 4 y 4 z 4 x y z 4 Bài 7 (Nhật 997). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c c b b c b c c b b c 5 Bài 7 (Vsile). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b b c b c c b Bài 74 (BMO 005). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b c 4 b b c Bài 75 (Romni 005). Cho các số dương, b, c so cho b b c c =. Chứng minh rằng b bc c 4 Bài 76 (Romni 005). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b c b c c b Bài 77 (Romni 005). Cho các số dương, b, c thỏ b c b c. Chứng minh rằng b c c b c b b c b b c Bài 78 (Nhật 005). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c b c c b Bài 79 (Đức 005). Cho các số dương, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng b c b b b b c c Bài 80 (Việt Nm 005). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c Bài 8 (Chin 005). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng 8 Pge

0 b c 9 5 b 5 c 5 Bài 8 (Polnd 005). Cho các số dương, b, c và b bc c =. Chứng minh rằng b c 6bc 9 Bài 8 (Bltic Wy 005). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c c Bài 84. Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b c c Bài 85 (In 005). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b c b c Bài 86 (Austryli 005). Cho các số dương, b, c, d. Chứng minh rằng b c b c d d bcd Bài 87 (Modovl 005). Cho các số dương, b, c so cho 4 b 4 c 4 =. Chứng minh rằng 4 b 4 bc 4 c Bài 88 (APMO 005). Cho các số dương, b, c so cho bc = 8. Chứng minh rằng b b b c c c 4 Bài 89 (IMO 005). Cho các số dương x, y, z so cho xyz. Chứng minh rằng x 5 x x 5 y z y5 y y 5 z x z5 z z 5 x y 0 Bài 90 (IMO Shortlish 004). Cho các số dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng 6b b 6c c 6 bc Bài 9 (Ltvi 00). Cho các số dương, b, c so cho 4 b 4 c 4 d 4 =. Chứng minh rằng bcd Bài 9 (Anbni 00). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c b c b c Bài 9 (Cnd 00). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng bc b c c b c b Bài 94 (BMO 00). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng Pge

b b c b c c 7 b c Bài 95 (Greece 00). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b c c b b c c 4 Bài 96 (Irelnd 00). Cho các số không âm, b so cho b =. Chứng minh rằng b b Bài 97 (BMO 00). Cho các số, b, c 0 so cho b c bc. Chứng minh rằng Bài 98. Cho các số dương, b. Chứng minh rằng b c bc b b b b Bài 99 (Mcedoni 000). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x y z (xy xz) Bài 400 (Tukey 999). Cho các số c b 0. Chứng minh rằng ( b0 b 4c c 60bc Bài 40 (Mcedoni 999). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c bc 4 Bài 40 (Polnd 999). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b c bc Bài 40 (Irn 998). Cho các số dương x, y, z so cho =. Chứng minh rằng x y z x y z x y z Bài 404 (Belrus 998). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c b b c b c b Bài 405 (Belrus 997). Cho các số dương, x, y, z. Chứng minh rằng y z x z x y x y z x y z x y z x y x y z z Bài 406 (Irelnd 997). Cho các số dương, b, c so cho b c bc. Chứng minh rằng b c bc Bài 405 (Bugri 997). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c c b c Pge 4

Bài 406 (Romni 997). Cho các só dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng 9 b 9 6 b b 6 b 9 c 9 b 6 b c c 6 c 9 9 c 6 c 6 Bài 407 (Estoni 997). Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng x y x y y x Bài 408 (Romni 997). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng bc b b c c c c bc bc c b c b c b Bài 409 (Việt Nm 996). Cho các số dương, b, c, d so cho b c = d bc bd cd bc bcd cd db = 6. Chứng minh rằng b c d (b c d bc bd cd) Bài 40 (Belrus 996). Cho các số dương, b, c so cho b c = bc. Chứng minh rằng b bc c 9( b c) Bài 4 (Bltic Wy 995). Cho các số dương, b, c, d. Chứng minh rằng c b d c d b b b c c d d 4 Bài 4 (Polnd 99). Cho các số dương x, y, u, v. Chứng minh rằng xy xv uy uv xy x y u v x y uv u v Bài 4 (IMO Shortlish 99). Cho các số không âm, b, c, d so cho b c d =. Chứng minh rằng bc bcd cd db 7 76 7 bcd Bài 44 (Polnd 99). Cho các số thực, b, c. Chứng minh rằng b c b c c b b c b c c b Bài 45 (IMO 968). Cho các số dương x, x và các số thực y, y, z, z ; x y > z, x y > z. Chứng minh rằng x y z x y z 8 x x y y z z Bài 46. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c c 8 b bc c Bài 47. Cho các số, b, c 0. Chứng minh rằng b c b c b c b c c b c Bài 48. Cho các số, b, c 0. Chứng minh rằng c b b c b Pge 5

b c b b c c c b Bài 49 (Vsile). Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng b c ( b b c c ) Bài 40 (Chin 005). Cho tm giác nhọn ABC. Chứng minh rằng cos A cosa cos B cosb cos C cosc Bài 4 (Nguyễn Anh Cường). Cho các số không âm x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x y y z z x xy yz zx Bài 4 (Võ Quốc Bá Cẩn THTT). Cho, b, c là độ dài b cạnh tm giác có chu vi bằng. Chứng minh rằng b < b c b c c < Bài 4 (Irn 009). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b c c 4 Bài 44 (Phn Thành Việt). cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 4 b b b 4 b bc c c 4 c c b c b c Bài 45 (Trần Nm Dũng THTT). Cho các số không âm bất kì, b, c. Chứng minh rằng bc b c b c Bài 46. Cho các số không âm, b, c so cho không có số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng b b b b bc c c b bc c c c b c Bài 47 (Võ Quốc Bá Cẩn). Cho các số không âm, b, c so cho không có số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng với mọi k, bất đẳng thức su được thỏ mãn kb b b b kbc c c c kc k b bc c. k b c Bài 48 (MÓP 007). Cho các số dương,,, n thỏ mãn n =. Chứng minh rằng n n n n Bài 49 (Võ Quốc Bá Cẩn). cho các số dương x, y, z so cho xyz =. Chứng minh rằng x x y y z z Bài 40. Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c c Pge 6

Bài 4 (Vũ Đình Qúy). cho các số dương x, y, z so cho xyz =. Chứng minh rằng x x y y z z Bài 4 (Gbriel Dospinescu, Mthemticl Relfections 009). Cho các số thực bất kì, b, c. Chứng minh rằng b b b bc c c c ( b b c c )(b bc c ) Bài 4 (Ivn Borsenco, Mthemticl Relfections 009). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh b c b b c c b b b bc c c c Bài 44 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương, b, c. Chứng minh rằng b bc c b b c c b b b bc c c c Bài 45 (Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Kim Hùng). Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng 4b bc 4c b 4c c 4 c 4 b 4b Bài 46 (Trần Quốc Anh). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 4b c b b 4c b bc c 4 bc c Bài 47. Cho các số dương, b, c thỏ bc =. Chứng minh rằng 8 8b 8c ( b c) Bài 48. Cho các số dương,,, n. Chứng minh rằng với mọi số k 0 t có n k k k k n k k Bài 49. Cho các số dương, b, c so cho b c = Chứng minh rằng b bc c Bài 440. Tìm số thực k lớn nhất so cho bất đẳng thức su b c b c c c b b b c đúng với mọi số thực dương, b, c k( b c b bc c) Bài 44. Cho các số dương, b, c, x, y, z so cho x by cz = xyz. Chứng minh rằng x y z > b b c c Bài 44 (Thái Nhật Phượng). cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c b b c c c c b Pge 7

Bài 44. Cho các số x, y, z ;. Tìm giá trị lớn nhất củ x y y z z x z x y Bài 444 (IMO 006). Cho các số thực, b, c. Chứng minh rằng b b bc b c c c 9 6 b c Bài 445. Cho các số dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng bc b c c b Bài 446 (Võ Quốc Bá Cẩn). cho các số không âm, b, c thỏ b bc c =. Chứng minh rằng b b b bc c c c Bài 447 (Võ Quốc Bá Cẩn). Cho các số không âm, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng b b b bc c c c 4 Bài 448. Cho tm giác ABC có độ dài các cạnh là, b, c. Chứng minh rằng B C b c tn tn b C A c tn tn c A B b tn tn Bài 449. Cho, b, c là độ dài cạnh củ tm giác ABC. Chứng minh rằng B b c tn4 C tn4 b C c tn4 A tn4 c A b tn4 B tn4 Bài 450. Cho các số thực không âm, b, c. Chứng minh rằng bc c b b b c c c cb b b b c c b bc c Bài 45. Cho các số dương, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng bc b c b bc c b c bc bc bc Bài 45 (Phn Thành Nm). Cho tm giác nhọn ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất củ P = tna tnb 5tnC Bài 45. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm, b, c t luôn có b b c c b c 8 b b c c Bài 454 (Cezr Lupu). Cho x, y, z là các số dương so cho xy yz zx mx x, y, z. Chứng minh 8x y z xy yz zx x xy yz zx y xy yz zx z x y z xy yz zx Bài 455 (Trần Nm Dũng). Cho, b, c là các số thực không âm không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng t có bất đẳng thức Pge 8

b c. ( b c) b ( c ) c ( b) Bài 456 (USA Tem Selection Test 009). Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) xyz[ xy( x y) yz( y z) zx( z x) Bài 457 (Germny Tem Selection Tests 009). Cho, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng ( b)( c) ( b c)( b d) ( c d)( c ) ( d )( d b) 0 b c b c d c d d b Bài 458 (Indi Ntionl Olympid 009). Cho các số dương, b, c so cho b = c. Chứng minh b c 6( c)( cb) Bài 459 (Serbi Tem Selection Tests 009). Cho các số dương x, y, z so cho x y z = xy yz zx. Chứng minh rằng x y y z z x Bài 460 (USA USAMO 009). Cho ( n ) n n các số thực dương. Chứng minh rằng mx(,,., ) 4 min(,,., ) n n với n và,, n là Bài 46 (Serbi Junior Blkn Tem Selection Test 009). Cho các số dương thực dương bất kì x, y, z so cho. Chứng minh rằng x y z x y z Bài 46 (Chin 009). Cho x, y, z là các số thực lớn hơn. Chứng minh rằng x x y y z z xyz xyz Bài 46 (Nguyễn Việt Anh). cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b b bc c c b c c c Bài 464. Cho các số thực không âm, b, c so cho không có số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng bc bc b c b c c b c b Bài 465 (Võ Quốc Bá Cẩn. Trần Qung Hùng). Cho các số thực không âm, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b b bc c b bc c c c c c b b 4 8 Bài 466 (Chin 007). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác so cho b c =. Tìm giá trị nhỏ nhất củ Pge 9

b c 4 bc Bài 467 (Croti 007). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng b b c c b c Bài 468 (Romni 007). Cho các số không âm x, y, z. Chứng minh rằng x y z xyz x y y z z x 4 Bài 469 (Yugoslvi 007). Cho số nguyên dương k và các số dương x, y, z có tổng băng. Chứng minh x k y k z k x k y k z k y k z x k z k x k y k 7 Bài 470 (Romni 007). Cho n N, n, i, b i R, i n, so cho n = b b n =, b n b n = 0. Chứng minh rằng n i= i n b i Bài 47 (Frnce 007). Cho các số dương, b, c, d so cho b c d =. Chứng minh rằng i= n 6 b c d b c d 8 Bài 47 (Irish 007). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b c b c bc c b Bài 47 (Việt Nm TST 007). Cho tm giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất củ cos A B B C C A cos cos C cos cos cos A cos cos cos B Bài 474 (Greece 007). Cho, b, c là độ dài cạnh củ một tm giác. Chứng minh rằng c b 4 4 4 b c b c b bc c b c b b c c c b Bài 475 (Polnd 007). Cho, b, c, d là các số dương so cho = 4. Chứng minh rằng b c d b b c c d d b c d 4 Bài 476 (Turkey 007). Cho các số dương, b, c có tổng bằng. Chứng minh rằng b c c bc c b b b bc c Bài 477 (British 007). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b c b c b c c b Bài 478 (Brzilin 007). Cho các số thực, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b c b c b c b c 6 b b c c b c b c Bài 479 (Ukrin 007). Cho các số dương, b, c so cho bc. Chứng minh rằng Pge 40

/ b b c c 7 8 b/ 7 b b b c c c 64 b b (c c ) Bài 480 (Moldov 007). Cho các số,, n so cho i, với i =, n. cứng min rằng i n n n n! ( n n ) Bài 48 (Irnin 008). Cho các số dương x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x y z y 8 z 8 x 8 9 xy yz zx 7 Bài 48 (Mcedoni 008). Cho các số dương, b, c so cho b b c c = 8. Chứng minh rằng b c 7 b c Bài 48 (Federtion of Bosni 008). Cho các số thực x, y, z. Chứng minh rằng x y z xy yz zx mx 4 x y, 4 y z, 4 z x Bài 484 (Federtion of Bosni 008). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh 5 b 5 b b b5 c 5 bc b c c5 5 b bc c c c Bài 485 (RMO 008). Cho, b 0;. Chứng minh rằng b b b Bài 486 (Romni TST 008). Cho các số dương, b, c so cho b bc c =. Chứng minh rằng b c b c c b bc Bài 487 (Zhutykov 008). Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b b c b c c Bài 488 (Ukrin 008). Cho các số dương x, y, z so cho x y z =. Chứng minh rằng x x y z y y z x z z x y Bài 489 (Polishi 008). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 4 b b c c 4c b Bài 490 (Romnin 008). Tìm số k lớn nhất để bất đẳng thức su đúng với mọi số không âm, b, c thỏ b c = b bc c b c b b c k k c Bài 49 (Cnd 008). Cho các số dương, b, c so cho b c =. Chứng minh rằng bc b c c b bc b c c b Pge 4

Bài 49 (Phạm Kim Hùng). Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng 4 b 4 c 4 b bc c b c b b c c Bài 49. Cho các số dương, b, c so cho bc =. Chứng minh rằng b c b c Bài 494. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b b b c c c bc b b c c Bài 495. Cho các số dương, b, c. Chứng minh rằng b c b b c c 4 b b c c bc b b c c Bài 496. Cho các số không âm, b, c. Chứng minh rằng bc b bc c b c c c c b b b Bài 497. Cho các số dương, b, c thỏ b c =. Chứng minh rằng 8 b c bc b c c b Bài 498. Cho các só dương, b, c. Chứng minh rằng bc b b c b b c c b c 8 Bài 499. Cho các số không âm, b, c so cho b c = 4. Tìm giá trị lớn nhất củ P, b, c = b b c c bc b bc c bc Bài 500. Cho các số dương, b, c thỏ b c và b c =. Chứng minh rằng c c b bc Pge 4