CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG ) Vecơ gọi là vcp của đường hẳng d nếu giá của song song hoặc rùng d. Vcp của đường hẳng d hường ký hiệu là d. ) Cho đường hẳng d đi qua điểm M(x o,y o,z o ) và có vcp d (a,b,c) Phương rình ham số của d: (: ham số, ÎR) Phương rình chính ắc của d: (abc ) II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường hẳng: d qua điểm A và có vcp d qua điểm B và có vcp ) d và d cùng nằm rên mp ó [ ]. ) d và d chéo nhau ó [ ]. 9
3) d và d cùng nằm rên mp ó [ ]. 4) d và d chéo nhau ó [ ]. 5) d và d cắ nhau ó ìé ù ê ad, a ú d ë û 6) d // d ó í é ù ¹ ê ad, AB ú îë û 7) d d ó [ ] [ III. KHOẢNG CÁCH Cho đường hẳng chéo nhau: d qua điểm A và có vcp d qua điểm B và có vcp / Khoảng cách ừ điểm M đến đường hẳng d : d(m,d ) é ê AM, a ë a d d ù ú û / Khoảng cách giữa đường hẳng d và d [ a ] d, a d. d(d,d ) [ ad, ad ] Chú ý: Nếu d // d hì: d(d,d ) d(m,d ) với M Î d AB. 3
d(n,d ) với N Î d IV. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường hẳng d, d có vcp lần lượ là Góc giữa d và d cho bởi: cos(d,d ) cos( ) a a d d. d a a d V. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẮNG VÀ MẶT PHẲNG Cho đường hằng d có vcp là và mp (P) có vp là Góc giữa d và mp (P) cho bởi: sin æ è ö ø a. n ( d, ( P) ) cosç a, n Bổ sung kiến hức về mặ cầu: / Vị rí ương đối của mặ cầu và mặ phẳng: Cho mặ cầu (S) âm I, bán kính R và mp (P). Ta có: (P) iếp xúc (S) ó d(i,(p)) R a n 3
3 (P) cắ (S) ó d(i,(p)) < R (P) và (S) không có điểm chung ó d(i,(p)) > R Chú ý: *Nếu d(i,(p)) < R hì (P) cắ (S) heo mộ đường ròn có: Tâm H là hình chiếu vuông góc của I rên (P). Bán kính: r *Nếu (P) qua âm I của (S) hì (P) cắ (S) heo mộ đường ròn gọi là đường ròn lớn. Tâm và bán kính của đường ròn lớn cũng là âm và bán kính của mặ cầu. *Nếu (P) iếp xúc (S) hì (P) còn gọi là iếp diện của (S) / Vị rí ương đối của mặ cầu và đường hẳng: Cho mặ cầu (S) âm I, bán kính R và đường hẳng. Nếu d(i, ) < R hì cắ (S) ại điểm phân biệ. Nếu d(i, ) R hì và (S) chỉ có điểm chung M. Khi đó gọi là iếp uyến của (S) ại M và M gọi là iếp điểm của và (S). Nếu d(i, ) > R hì và (S) không có điểm chung. Các dạng oán liên quan đến đường hẳng và mặ phẳng Dạng : Viế phương rình ham số (hoặc chính ắc) của đường hẳng d biế d là giao uyến của mặ phẳng α và β. *Phương pháp: - Tìm vcp của d: [ ] - Tìm điểm M Îa β - d chính là đường hẳng qua M và có vcp
Ví dụ: Viế phương rình ham số của đường hẳng d biế d là giao uyến của mặ phẳng: Giải: α: 4x - y + 3z và β: 3x + y + z 5 Ta có: (4,-,3), (3,,) > [ ] (-7,,) Chọn điểm M(,,) Îa β > d: Dạng : Viế phương rình đường hẳng d. * Phương pháp : Tìm điểm và vcp của d. * Phương pháp : - Tìm mặ phẳng α và β khác nhau cùng qua d. - d α β Ví dụ: Cho đường hẳng d: và mặ phẳng α: x y + 3z - 6 Viế phương rình đường hẳng qua giao điểm A của d và α và song song đường hẳng d : Giải: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương rình: 33
ó ó 34 > A(-3,-6,) // d > (4,-3,) > : Ví dụ : Cho điểm A(,,-3), B(4,-,-) và mp (P): x + y + z + 4 Viế phương rình đường hẳng d nằm rên (P) sao cho mọi điểm của d cách đều A và B. Giải: Gọi (Q) là mp rung rực của AB > d (P) (Q) Trung điểm của AB: I(3,-,-), Q (,-,) (,-,) > (Q): (x-3) (y+) + (z+) ó x y + z Ta có: d [ P, Q ] (3,,-) Chọn điểm M(-,-3,) Î (P) (Q) > d: Dạng 3: Viế phương rình mặ phẳng (P) đi qua điểm M và đường hẳng d Phương pháp: - Tìm A Î d và d. - (P) là mặ phẳng qua M (hay qua A) và có P [, d] Ví dụ: Viế phương rình mặ phẳng (P) đi qua điểm M(,-,3) và đ d: x + y - z -
Giải: Chọn A(-,,) Î d, d (,,-) (,-,) > P [, d] (,3,3) 3(,,) > (P): (y+) + (z-3) ó y + z - Dạng 4: Viế phương rình mặ phẳng (P) qua điểm M và vuông góc đường hẳng d. Phương pháp: (P) là mặ phẳng qua M và có P d Ví dụ: Viế phương rình mặ phẳng (P) qua điểm M(,,4) và vuông góc đường hẳng Giải: d: Ta có: P d (3,6,3) 3(,,) > (P): (x-) + (y-) + (z-4) ó x + y + z 8 Dạng 5: Chứng minh đường hẳng d và d chéo nhau Phương pháp: - Tìm A Î d, B Î d và, - Chứng minh: [, ]. Ví dụ: Cho đường hẳng d : ; d : 35
Tìm m để d và d chéo nhau. Giải: Chọn A(,m,-m) Î d, B(m,,-m) Î d, (m,,-3) (-,m,) Ta có: [, ]. 4m 7m - Do đó: d và d chéo nhau ó [, ]. ó 4m 7m ó m và m Dạng 6: Viế phương rình mặ phẳng (P) đi qua đường hẳng d và song song đường hẳng d (d và d chéo nhau) Phương pháp : - Tìm A Î d và,. - (P) là mặ phẳng qua A và có [, ] Áp dụng: Tính khoảng cách giữa d và d : Phương pháp : d(d,d ) d(b,(p)) với B là điểm bấ kỳ huộc d. Phương Pháp : Sử dụng công hức ính khoảng cách giữa đường hẳng chéo nhau. * Chú ý: Khoảng cách giữa đường hẳng chéo nhau AB và CD: d(ab,cd) 36
Ví dụ: Cho đường hẳng: d d a/ Chứng minh d và d chéo nhau. b/ Viế phương rình mặ phẳng (P) đi qua d và song song d c/ Tính khoảng cách giữa d và d Giải: a/ Chọn A(,,3) Î d, (,,-): ; B(-3,-,) Î d, (-,,3) Ta có: [, ]. -8 > d và d chéo nhau. b/ [, ] (5,-,3) >(P): 5x (y-) +3(z-3) ó 5x y + 3z 5 c/ d(d,d ) d(b,(p)) Cách khác: (sử dụng công hức) d(d,d ) Dạng 7: Viế phương rình mặ phẳng (P) đi qua đường hẳng d và vuông góc α. Phương pháp - Tìm A Î d, và. - (P) là mặ phẳng qua A và có [ ] Ví dụ: Cho 3 mặ phẳng: α: x y + 3z 4 37
β: 3x + y z γ: x y + 5 Viế phương rình mặ phẳng (P) đi qua giao uyến của mặ phẳng α, β và vuông góc mặ phẳng γ. Giải: Ta có: (, -, 3 ), n b ( 3,, - ), n (, -, ) g Gọi d α β > [, ] (-,,7) [ ] (4,7,-8) Chọn M(,7,6) Î α β > (P): 4x + 7(y-7) 8(z-6) ó 4x + 7y 8z Dạng 8: Viế phương rình đường vuông góc chung d của đường hẳng chéo nhau d và d. Phương pháp : - Gọi M d d, N d d. - d là đường vuông góc chung của d và d nên: - Từ điều kiện rên a ìm được ọa độ của M,N Þ p của d. Phương pháp : - d có vcp [ ] - Gọi α (d,d ); β (d,d ) α qua A Î d và có [ ] β qua B Î d và có [ ] - d α β 38
Trường hợp đặc biệ: Nếu d, d chéo nhau và vuông góc nhau hì đường vuông góc chung d là giao uyến của mặ phẳng: Mặ phẳng α chứa d và ^ d. Mặ phẳng β chứa d và ^ d. Ví dụ: Cho đường hẳng d : ; d : a/ Chứng minh d và d chéo nhau. b/ Viế p đường vuông góc chung d của d và d. c/ Tính khoảng cách giữa d và d. Giải: a/ Chọn A(,,-5) Î d, (,,); B(,4,5) Î d, (,-,3) Ta có: [ ]. -36 > d và d chéo nhau b/ Gọi M d d, N d d. > M(+,,-5+), N(,4-,5+3 ) (,,), (,-,3), (--,4-,+3 -) d là đường vuông góc chung của d và d nên: 39
ó ó > M(4,,-), N(,6,), (-,3,) x > d: - 4 y z+ - 3 c/ d(d,d ) MN Ví dụ: Cho đường hẳng d : ; d : a/ Chứng minh d và d không cắ nhau nhưng vuông góc nhau. b/ Viế p đường vuông góc chung d của d và d. Giải: a/ Chọn A(,,) Î d, (,-,) Ta có: góc nhau. B(-,-,) Î d, (-,,) > d,d không cắ nhau và vuông b/ Gọi α là mp đi qua d và vuông góc d ; β là mp đi qua d và vuông góc d. > d α β α qua A, (-,,) β qua B, > α: -x + z + 4
> β: x y + z + [, ] (,5,) Chọn điểm M(,-3,-) Î α β > d: Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M rên đường hẳng. Phương pháp : Tìm ọa độ điểm H ừ điều kiện: ìhîd í îmh.a D Phương pháp : -Viế phương rình mặ phẳng (P) qua M và ^ - H (P) Áp dụng: / Tìm điểm đối xứng M của M qua : Do H là rung điểm MM nên: / Tính khoảng cách ừ điểm M đến : Phương pháp :: d(m, ) MH Phương pháp: Sử dụng công hức ính khoảng cách ừ điểm đến đường hẳng. Chú ý: Khoảng cách ừ điểm M đến đường hẳng AB: 4
d(m,ab) Ví dụ : Cho đường hẳng : và điểm M(,-,3) a/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M rên b/ Tìm điểm M đối xứng với M qua c/ Tính khoảng cách ừ M đến Giải a/ Chọn A(,,) Î và (,-,3) H Î > H(+,-,3) > Ta có: (-,3-,3-3). ó > H(3,,3) b/ Do H là rung điểm MM nên: >M (4, 3, 3) c/ d(m, ) MH Cách khác : (Sử dụng công hức): d(m, ) (-6, 3, 5) d(m, ) 4
Ví dụ : điểm A(,, ), B(,, 8) và điểm C sao cho (, 6, ) a/ Tìm hình chiếu H của C rên đương hẳng AB b/ Tính khoảng cách ừ rung điểm I của BC đến đường hẳng OA Giải: a/ Gọi C(x, y, z) > ( x, y, z) (, 6, ) ó >C(, 6, ) Đường hẳng AB qua A và có vcp (-,, 8) ( -,, 4) >AB: H Î AB > H(,, 4) > (-, -6, 4) Ta có:. ó > H(,, ) A b/ Ta có: I(, 3, 4); (, 8, -6) d (I, OA) 5 Dạng : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M rên mặ phẳng (P). Phương pháp : - Viế phương rình đường hẳng d qua M và ^ mặ phẳng (P) - H d (P) Phương pháp : Tìm ọa độ điểm H ừ điều kiện: 43
Áp dụng: Tìm điểm M đối xứng với M qua mặ phẳng (P) Phương pháp: Sử dụng công hức H là rung điểm MM suy ra ọa độ M Ví dụ: Cho mặ phẳng (P): x + y z và điểm M(, -, 5) a/ Tìm hình chiếu H của M rên (P) b/ Tìm điểm M đối xứng với M qua (P) Giải: a/ Gọi d là đường hẳng qua M và vuông góc (P) > (,, -) Ta có: >d: H d (P) Thay () vào p của (P): + + 4 5 + Û Cách khác: 6) >H (3,, 4) H Î (P) > H (x, y, x + y ) > Ta có: cùng phương Û (x, y +, x + y ó ó Þ H( 3,, 4 ) 44
b/ H là rung điểm MM nên: Dạng : ìx íy îz M M M x y z H H H - x - y - z M M M 4 3 3 > M (4, 3, 3) Tìm hình chiếu vuông góc d của đường hẳng d rên mặ Phương pháp: Viế phương rình mặ phẳng (Q) đi qua d và ^ (P) d (P) (Q) Phươg pháp: Tìm A d (P) Tìm hình chiếu B của B Î d (B khác A) rên d là đường hẳng qua điểm A, B Ví dụ : Tìm hình chiếu của đường hẳng d: rên mặ phẳng (Oxy) Giải: Lấy điểm A(, -, ), B(3,, 3) huộc d A, B có hình chiếu rên (Oxy) lần lượ là A (, -, ), B (3,, ) Hình chiếu của đường hẳng d rên mp (Oxy) là đ A B (,, ) > A B : 45
Ví dụ : Cho điểm A(, -, 3), B(3,, ) và mặ phẳng (P): x y + z 7. Viế p hình chiếu của đường hẳng AB rên (P) Giải: * Cách : (,, -), (, -, ) là mp qua A, B và ^ (P) (-, -, -3) - (,, 3) (Q): x + y + 3z 9 ình chiếu của đường hẳng AB rên (P) là đường hẳng d (P) (Q) a d ' [ P nq] * d : n, (8,, -4) (4,, -) điểm A(,-, 3) Î (P) (Q) Nhận hấy đường hẳng AB cắ (P) ại A vì AÎ (P). Gọi B là hình chiếu của B rên (P) > đường hẳng AB là hình chiếu của đường hẳng AB rên (P). Ta có: B Î (P) > B (x, y, -x + y + 7) > (x 3, y, -x + y + 5) cùng phương ó ó Þ B (, -, ) 46
(,, - ) (4,, -) Dạng : AB : Viế p mặ phẳng (P) đi qua điểm A, B và hỏa điều kiện cho sẵn Phương pháp: - Gọi (a, b, c) (a + b + c ) - (P) qua A > (P): a(x x A ) + b(y y A) + c(z z A ) ó ax + by +cz - ax A - by A cz A - B Î (P) > ax B + by B + cz B - ax A - by A cz A (*) - Dùng điều kiện (*) và điều kiện cho sẵn ìm được a, b, c > p của (P) Chú ý: Có hể hay điều kiện (*) bởi điều kiện Ví dụ: Viế p mặ phẳng (P) đi qua điểm A(,, ), B(,, -) và iếp xúc mặ cầu: Giải: (S) có âm O, bán kính R (S): x + y + z Gọi (a, b, c) (a + b + c ) (P) qua A > (P): a(x ) + b(y ) + cz ó ax + by + cz a b 47
B Î (P) > a c a b > c a-b Ta có: (P) iếp xúc (S) ó d(o,(p)) R ó ó a + b + 4ab c ó a + b + 4ab (a b) ó 6ab ó a v b a > c -b (P): by bz b ó y z (a phài có b vì nếu b > a b c : mâu huẩn) b > c a (P): ax + az a ó x + z Dạng 3: Viế p mặ phẳng (P) đi qua đường hẳng d và hỏa điều kiện cho sẵn. * Phương pháp: Tìm điểm A, B Î d > A, B Î (P) (dạng ) * Phương pháp; - Tìm điểm A Î d và - Gọi (a, b, c) (a + b + c ) - (P) qua A > (P): a(x x A ) + b(y y A) + c(z z A ) - Dùng điều kiện. và điều kiện cho sẵn ìm được a, b, c > p của (P) Ví dụ: Viế p mặ phẳng (P) đi qua rục Oz và hợp với mặ phẳng (Q): x + y - z góc 6 48
Giải: Gọi (a, b, c) (a + b + c ) Oz có vcp (,, ); (,, - ) Ta có: ó c ó ó a a+ b + b. ( do c ) ó 3a + 8ab 3b ó a v a -3b. / a > (, b, ) (, 3, ) (P) qua O > (P): x + 3y / a -3b > ( -3b, b, o) b(-3,, ) ð (P): -3x + y Dạng 4: Tìm ọa độ iếp điểm M của iếp diện (P) và mặ cầu (S) âm I * Phương pháp : -Viế p đường hẳng d qua I và ^ (P - M d (P) * Phương pháp ; Tìm ọa độ điểm M ừ điều kiện: 49
Ví dụ: Viế p mặ cầu (S) âm I (,, 3) và iếp xúc mặ phẳng (P): 3x 4y. Tìm ọa độ iếp điểm của (S) và (P) Giải: Bán kính của (S): R d(i,(p)) 3 >(S): (x ) + (y ) + (z 3) 9 Tìm ọa độ iếp điểm của (S) và (P): * Cách : Gọi d là đường hẳng qua I và vuông góc (P) > (3, -4, ) > d: Gọi M d (P) > M chính là iếp điểm của (S) và (P) M Îd > M ( + 3, 4, 3 ) M Î(P) > 3 + 9 8 + 6 ó Vậy M (, -, 3 ) * Cách : Gọi M là iếp điểm của (S) và(p) M Î(P) > M (x,, z ) (x, (3, -4, ) Ta có: ìx- 3k 3x-8 cùng phương ó k. óí -4k 4 î z- 3 ó 5
Vậy M ( Dạng 5: Tìm ọa độ iếp điểm M của iếp uyến d và mặ cầu (S) âm I * Phương pháp : Tìm oạ độ điểm M ừ điều kiện: ì M Î d í î IM. ad * Phương pháp : Tìm ọa độ điểm M ừ điều kiện: Ví dụ: Viế p mặ cầu (S) âm I(, -, 3) và iếp xúc đường hẳng : Tìm ọa độ iếp điểm của (S) và. Giải: Chọn A(, 3, 6) và (-3, 4, ) (, -5, -3 ), (, 7, -) Bán kính của (S): R d(i, ) >(S): (x ) + (y + ) + (z 3) 6 Tìm ọa độ iếp điểm của (S) và : * Cách : Gọi M là iếp điểm của (S) và ; M > M (-3, 3 + 4, 6 + ) ( -3, 4 + 5, + 3) 5
* Cách : ó ó -> M ( 3, -, 4) ó (-3 ) + (5 + 4) + (3 + ) 6 ó 9 + 58 + +9 ó - > M (3, -, 4 ) Cần nhớ các ính chấ quan rọng / Cho vecơ không cùng phương và Nếu đường hẳng d vuông góc với và hì d có vcp là [, ] / Nếu đường hẳng d qua điểm A và vuông góc đường hẳng d hì d nằm rong mặ phẳng qua A và vuông góc d. 3/ Nếu đường hẳng d qua điểm A và cắ đường hẳng d hì d nằm rong mặ phẳng qua A và d. 4/ Nếu đường hẳng d qua điểm A và song song mặ phẳng (P) hì d nằm rong mặ phẳng qua A và song song (P). Chú ý: Cách ìm giao điểm của đường hẳng d và d ( d chưa biế p, d đã biế p) - Tìm mặ phẳng α chứa d - Tìm giao điểm M của α và d : M cũng chính là giao điểm của d và d Sau đây là các dạng oán hường gặp cần sử dụng các ính chấ rên: Dạng : Viế p đường hẳng qua điểm A và vuông góc đường hẳng d, d. * Phương pháp: > > 5
là đường hẳng qua A và có vcp Ví dụ: Viế p đường hẳng qua điểm A ( -,, 6 ) và vuông góc đường hẳng Giải: d : ; d : Ta có: (, -, ), (,, -3) > (, 7, 3) > : Dạng : Viế p đường hẳng qua điểm A, nằm rên mặ phẳng (P) (hay song song mặ phẳng (P))và vuông góc đường hẳng d. * Phương pháp: - > > có vcp là - là đường hẳng qua A và có vcp Ví dụ: Cho đường hẳng d:, mặ phẳng (P): x 5y 3z + 8 và điểm A(3, -4, ) a/ Viế p đường hẳng qua A, nằm rên (P) và vuông góc d b/ Viế p đường hẳng qua A, song song mặ phẳng (Oxy) và vuông góc d Giải: a/ Ta có: (, -, 3), (, -5, -3) > (-8, -, 8) -(9, 6, -4) 53
> : b/ Mặ phẳng (Oxy) có vp (,, ) ìd //( Oxy) í îd ^ d > (,, ) > : Dạng 3: Viế p đường hẳng đi qua điểm A, vuông góc đường hẳng d và cắ đường hẳng d * Phương pháp : - Tìm mặ phẳng (P) qua A và ^ d - Tìm B (P) d - là đường hẳng qua điểm A, B. * Phương pháp : - Gọi B d - Tìm ọa độ điểm B ừ điều kiện :. ad AB - là đường hẳng qua điểm A, B Ví dụ: Cho đường hẳng d : và d : Viế p đường hẳng đi qua điểm A(,, ), vuông góc đường hẳng d và cắ đường hẳng d 54
Giải: * Cách : Gọi (P) là mp qua A và ^ d > (3,, ) > (P): 3(x ) + (y ) + (z ) ó 3x + y + z Gọi B (P) d > B(-,, 3) (-,, ) > : * Cách : Gọi B d > B(-,, +) Ta có: (-, -, ); (3,, ) ^ d <> ó -3 + + ó > (-,, ) > : Dạng 4: Viế p đường hẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắ đường hẳng d. (Đây là rường hợp đặc biệ của dạng 3) *Phương pháp: - Tìm mặ phẳng (P) qua A và ^ d. - Tìm B (P) d. - là đường hẳng qua điểm A,B. *Phương pháp: - Gọi B d. - Tìm ọa độ điểm B ừ điều kiện: 55
là đường hẳng qua điểm A,B. Ví dụ: Cho đường hẳng d là giao uyến của mặ phẳng: α: 5x + y + z + ; β: x y + z + Viế p đường hẳng đi qua điểm A(,-,), vuông góc và cắ đường hẳng d. Giải: Cách : Ta có: (5,,), (,-,) > [ ] (3,-9,-6) 3(,-3,-) Gọi (P) là mp qua A và ^ d > 3(,-3,-) > (P): (x-) 3(y+) z ó x 3y z -5 Gọi B (P) d Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ p: ó > B(,-,-) (-,,-) > : Cách : Chọn điểm M(,-,-) Î α β > d: Gọi B d > B(,--3,--) > (-,-3,--) Ta có: ^ d ó. ó > (-,,-) > : 56
Dạng 5: Viế p đường hẳng đi qua điểm A, song song mặ phẳng (P) và cắ đường hẳng d * Phươg pháp : - Tìm mặ phẳng (Q) qua A và song song (P) - Tìm B (Q) d. - là đường hẳng qua điểm A,B. * Phương Pháp : - Gọi B d - Tìm ọa độ điểm B ừ điều kiện:. - là đường hẳng qua điểm A,B. Ví dụ: Viế phương rình chính ắc của đường hẳng đi qua điểm A(3,-,-4), cắ rục Oy và song song mặ phẳng (P): x + y Giải: * Cách : Gọi (Q) là mp qua A và // (P) > (Q): x + y + D (D ) A Î (Q) > 6 + D > D -5 > (Q): x + y 5 Gọi B (Q) Oy > B(,5,) > (-3,6,4) > : x - 3 y- 5 6 z 4 * Cách : Gọi B Oy > B(,,) (-3,+,4), (,,) Ta có: // (P) ó. ó -6 + + > 5 57
> (-3,6,4) > : Dạng 6: Viế phương rình đường hẳng qua điểm A và cắ đường hẳng d, d (d,d chéo nhau; A Ï d, A Ï d ) * Phương pháp: - Gọi α là mp qua A và d ; β là mp qua A và d ; α β > là đường hẳng qua A và có vcp [, ] - Chứng minh không cùng phương và (ức là không song song d và d ) > là đường hẳng (duy nhấ) hỏa yêu cầu bài oán Ví dụ: Cho điểm A(,-,) và đường hẳng: d : ; d : a/ Chứng minh d và d chéo nhau. b/ Viế p đường hẳng qua A và cắ đường hẳng d, d. Giải: a/ Chọn M(,,3) Î d và (,,-) N(-,3,) Î d và (,-,) Ta có: [ ] (-,-3,-5), (-3,3,-3) > [ ]. 9 > d và d chéo nhau. b/ Gọi α là mp qua A và d ; β là mp qua A và d ; α β Ta có: (,,), (-3,4,-) [ ] (-3,4,-), [, ] (,,) 58
> [, ] (,,-4) (6,,-7) Nhận hấy không cùng phương với và > là đ hỏa yêu cầu bài oán. Vậy: : Chú ý rằng điều kiện không cùng phương với và là cần hiế, nếu không chưa chắc cắ cả d và d. Ta xem ví dụ sau: Cho điểm A(,-,) và đường hẳng: d : ; d : Chọn M(-,,) Î d, (,3,) N(,-,) Î d, (,,) (3,-,-), [ ] (-,,-) [ ]. -5 > d,d chéo nhau Gọi α là mp qua A và d ; β là mp qua A và d ; α β [, ] (4,4,-8); [ ] (,-,) [, ] (-8,-4,-6) -8(,3,) -8 Ta có cùng phương và không cùng phương > // d và cắ d. Rõ ràng không cắ cả d và d. Dạng 7: Viế p đường hẳng song song đường hẳng d và cắ hai đường hẳng d, d. * Phương pháp : - Gọi α là mặ phẳng qua d và //d; β là mặ phẳng qua d và // d Þ α β. 59
- là đường hẳng qua điểm M Î α β và có vcp (nếu M Ï d) * Phương pháp : - Gọi M d, N d - Tìm ọa độ điểm M,N ừ điều kiện: cùng phương. - là đường hẳng qua M và có vcp (nếu MÏ d) Ví dụ: Viế p đường hẳng song song rục Ox và cắ đường hẳng: Giải d : ; d : Cách : Chọn A(,,) Î d, (,,3) B(,-,-) Î d, (-,3,) Gọi α là mp qua d và // Ox β là mp qua d và // Ox Gọi α β ; Ox có vcp i (,,) [, ] (,3,-) > α: 3y z + [, ] (,,-3) > β: y 3z Chọn điểm M(,, ) Î α β; MÏ Ox Þ là đ qua M và có (,,) > : 6
Cách : P ham số của d, d : d : ; d : Gọi M d, N d > M(,,+3), N(-,-+3,-+ ) (- -+,3 --, -3-); Ox có vcp (,,) // Ox nên: cùng phương ó k ó ó ì k 3 4 í - 5 - î 5 > M( ), MÏ Ox > : Dạng 8: Viế phương rình đường hẳng vuông góc mặ phẳng (P) và cắ đường hẳng d, d. Ta có hể coi bài oàn này huộc dạng 7: Viế phương rình đường hẳng song song đường hẳng d (có vcp ) và cắ đường hẳng d, d. 6
Ví dụ: (ĐH.7A) Cho đ d : ; d : a/ Chứng minh d và d chéo nhau. b/ Viế phương rình đường hẳng vuông góc mp (P): 7x + y 4z và cắ đường hẳng d,d. Giải: a/ d có p ham số: Chọn A(,,-) Î d ; (,-,) B(-,,3) Î d ; (,,) [, ] (-,,4) ; (-,,5) > [ ]. > d, d chéo nhau. b/ Gọi M d d, N d d. > M(, -, -+ ), N(-+,+,3) Ta có: (- -,+,5- ); (7,,- 4) d ^ (P) ó cùng phương ó ó ó >M(,,-) d là đ qua M và có (7,,-4) > d: Dạng 9: Viế phương rình đường hẳng nằm rên mặ phẳng (P) và cắ đường hẳng d, d. 6
* Phương pháp: - Tìm A (P) d ; B (P) d. - là đường hẳng qua điểm A,B. Ví dụ: Cho mặ phẳng (P): x y + z 7 và đường hẳng: d : ; d : ìx - íy 4+ îz 3 a/ Viế p đường hẳng nằm rên (P) và cắ đường hẳng d, d. b/ Viế p đường hẳng cắ đường hẳng d, d, biế nằm rên mặ phẳng qua điểm M(-,,-) và song song mặ phẳng (P). Giải: a/ Gọi A (P) d, B (P) d Dễ dàng ìm được : A(,,4), B(3,,3) > (3,,-) > : b/ Gọi (Q) là mp qua M và // (P) > (Q): x y + z + 5 Gọi C (Q) d, D (Q) d Dễ dàng ìm được: C(,-,-4), D(-,,3) Þ (-3,,7) > : Các bài oán liên quan đến giá rị lớn nhấ, giá rị nhỏ nhấ Các phương pháp hường sử dụng: 63
Phương pháp : Sử dụng khảo sá hàm số Ví dụ: (ĐH.7D) Cho điểm A(,4,), B(-,,4) và đường hẳng : a/ Viế phương rình đường hẳng d đi qua rọng âm G của OAB và vuông góc mặ phẳng (OAB) b/ Tìm ọa độ điểm M Î sao cho MA + MB nhỏ nhấ Giải: a/ Trọng âm G(,,) > d: [, ] (,-6,6) 6(,-,) b/ Ta có : ; M Î > M(-,-+,) MA + MB 48 +76 Xé hs f() 48 +76 f () 4 48 ; f () ó - + f () - + f() + + 8 Do đó: MA + MB nhỏ nhấ ó f() nhỏ nhấ ó Vậy M(-,, 4) 64
Cách khác: MA + MB 48 +76 ( -4+ ) Do đó: [(-) + ] (-) + 8 8 " MA + MB nhỏ nhấ ó dấu xảy ra ó > M(-,,4) Phương pháp : Sử dụng am giác vuông Cần nhớ: Cho ABC vuông ại B. Ta có: AB AC, BC AC Ví dụ : (ĐH.8A) Cho điểm A(,5,3) và đường hẳng d: a/ Tìm ọa độ hình chiếu vuông góc của A rên đường hẳng d. b/ Viế phương rình mặ phẳng α chứa d sao cho khoảng cách ừ A đến α lớn nhấ. Giải: a/ d: ; (,,) Gọi H là hình chiếu của A rên d > H(+,,+) Ta có: > (-,-5,-). ó > H(3,,4) 65
b/ Gọi K là hình chiếu của A rên α > AK d(a,α) AKH vuông : AK AH (không đổi) Do đó: AK lớn nhấ ó AK AH ó K H Vậy mp α hỏa ycb khi α qua H và nhận > α: (x-3) 4(y-) + (z-4) ó x 4y +z 3 Ví dụ : (ĐH.9B) (,-4,) làm vp Cho mặ phẳng (P): x y +z 5 và điểm A(-3,,), B(,-,3) Trong các đường hẳng đi qua A và song song (P), hãy viế p đường hẳng mà khoảng cách ừ B đến đường hẳng đó là nhỏ nhấ. Giải: Gọi là đ qua A và // (P) > nằm rong mp (Q) qua A và // (P) (Q): x y + z + D (D -5) A Î (Q) > -3 + + D > D > (Q): x y + z + Gọi H,K lần lượ là hình chiếu của B rên, (Q) > d(b, ) BH BKH vuông: BH BK (không đổi) Do đó: BH nhỏ nhấ ó BH BK ó H K Vậy đ hỏa ycb khi qua điểm A,K > K Î (Q) > K(y z,y,z) > (y z, y+,z-3) cùng phương ó ó 66
> K( ) > (6,,-) > : Phương pháp 3: Sử dụng am giác hường Cần nhớ: Cho ABC. Ta có: AB + AC BC AB - AC BC Ví dụ : Cho đường hẳng d: A(,,-), B( 7,-,3 ) và điểm a/ Chứng minh đường hẳng d và AB cùng nằm rên mộ mặ phẳng. Viế p mặ phẳng ấy. b/ Tính khoảng cách giữa đường hẳng d và AB. c/ Tìm ọa độ điểm M Î d sao cho MA + MB nhỏ nhấ. Giải: a/ta có d: (3,-,), (6,-4,4) và A Ï d > d // AB > d và AB cùng nằm rong mp α Chọn C(-,,) Î d Ta có: [ ] (6,3,4) > α: 6(x-) + 3(y-) + 4(z+) ó 6x + 3y + 4z -8 b/ Vì d // AB nên: d(d,ab) d(a,d) 67
c/ Gọi A là điểm đối xứng của A qua d. Ta có: MA MA > MA + MB MA + MB A B Do đó: MA + MB nhỏ nhấ ó MA + MB nhỏ nhấ ó dấu xảy ra ó M M o A B d Gọi H AA d > H(-+3,-,+) > (3-,-,+3). ó > H(-,,) (chính là điểm C) H là rung điểm AA > A (-3,,5) M o là rung điểm A B > M o (,,4) Vậy M(,,4) Ví dụ : Cho điểm A (,, 3), B (-, 4, -5). Tìm ọa độ điểm M Î mặ phẳng (Oxy) sao cho lớn nhấ Giải: Nhận xé: A và B nằnhận xé : A và B nằm khác phía đối với mp (Oxy) vì z A.z B < Gọi A là điểm đối xứng với A qua mp (Oxy) > A (,, -3) Ta có: MA MA > A B Do đó: lớn nhấ ó lớn nhấ 68
ó Dấu xảy ra ó M M o A B (Oxy) M o Î (Oxy) > M o (x, y, ) (-3, 3, -), (x, y, 3) Ta có: M o, A, B hẳng hàng ó cùng phương ó ó > M o ( ) Vậy M ( ) Phương pháp 4: Sử dụng bấ đẳng hức Ta có hể sử dụng định nghĩa về GTLN, GTNN; các bấ đẳng hức Cauchy, C.B.S, để chứng minh. Ví dụ : Cho điểm A (4, -6, 3), B (5, -7, 3). Tìm điểm M Î Oz để khoảng cách ừ M đến đường hẳng AB nhỏ nhấ. Giải: Ta có: M Î Oz > M (,, z) (-4, 6, z-3), (, -, ), (z 3, z 3, -) d(m, AB) " z ( M, AB) nhỏ nhấ ó d(m, AB) ó z 3 69
Ví dụ : M (,, 3) Viế phương rình mặ phẳng (P) qua điểm M (,, 4) và cắ các ia Ox, Oy, Oz lần lượ ại A, B, C sao cho hể ích ứ diện OABC nhỏ nhấ. Giải: Gọi A (a,, ), B (, b, ), C (,, c) (a, b, c > ) > (P): ; M Î(P)> Thể ích ứ diện OABC: V abc Ta có: 3 (bđ Cauchy) ó abc 6 > V 36 Do đó: V nhỏ nhấ ó Dấu xảy ra ó ó Þ (P): Giải oán Hình không gian bằng phương pháp ọa độ Phương pháp: - Tìm 3 đường hẳng đôi mộ vuông góc mhau ại mộ điểm (ví dụ O). 7
- Chọn hệ rục ọa độ có gốc là O và 3 rục ọa độ nằm lần lượ rên 3 đường hẳng đó. - Xác định ọa độ của các điểm cần ìm rồi dùng các công hức và các ính chấ của hình học rong không gian Oxyz để giải. Chú ý: Nếu chỉ có đường hẳng vuông góc nhau hì a vẽ hêm đường hẳng nữa sao cho 3 đường hẳng này ạo nên mộ hệ rục ọa độ. Ví dụ (ĐH.9A): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình hang vuông ại A và D ; ABADa CDa ; góc giữa hai mặ phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 6. Gọi I là rng điểm AD. Biế hai mặ phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mặ phẳng (ABCD). Tính hể ích khối chóp S.ABCD heo a. Giải: Diện ích hình hang ABCD: S ABCD ( AB + CD) AD (a+ a)a 3a Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc (ABCD) nên: SI ^ (ABCD) Vẽ đường hẳng: Iy//AB. Ba đường hẳng IA,Iy,IS đôi mộ vuông góc nhau ại I. Chọn hệ rục ọa độ Ixyz như hình vẽ. Gọi S(,,z) (z>).ta có: B(a,,), C(-a,a,). Mp(SBC) có vp: n [ BC, BS] (-az,az,3a ) Mp(ABCD) có vp k (,,) Ta có: cos((sbc),(abcd)) cos6 n. k 3a Û Û 4 n k a z + 4a z + 9a 7
Û z 7a 5 3a Û z 5 5 Þ SI 3a 5 5 3 3a 5 3a 5 Thể ich khối chóp: V S ABCD. SI.3a. 3 3 5 5 Ví dụ (ĐH.9D): Cho hình lăng rụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là am giác vuông ại B, ABa, AA a, A C3a. Gọi M là rung điểm A C, I là giao điểm của AM và A C. Tính heo a hể ích khối ứ diện IABC và khoảng cánh ừ A đến mp(ibc) Giải: *Thể ích ứ diện IABC: AC A ' C - AA' 9a - 4a 5a Þ AC a 5 BC AC - AB 5a - a 4a Þ BC a Diện ích am giác ABC: S ABC AB. BC a Ba đường hẳng AB, BC, BB đôi mộ vuông góc nhau ại B. Chọn hệ rục ọa độ Bxyz như hình vẽ. Ta có: A(a,,), A (a,,a), C(,a,), C (,a,a), B(,,) a M là rung điểm A C nên M(, a,a) ì a x a- a AM (-, a,a) Þ AM : íy a z a î 7
ìx-a' A ' C (-a,a,-a) Þ A' C : íy a+ a' îz-a' IAM Ç A' CÞ I( a a 4,, a ) 3 3 3 4a Þ d(i,(abc)) 3 Thể ích ứ diện IABC: 3 V. d( I,( ABC)) 3 S 4a 4a. a. ABC 3 3 9 * Khoảng cách ừ A đến (IBC): 3 8a 4a 4a Mp(IBC) có vp n [ BI, BC] (-,, ) - (,,-) 3 3 3 a Þ (IBC): x-z Þ d(a,(ibc)) 5 Ví dụ 3 (ĐH.8A): Cho lăng rụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng a, đáy ABC là am giác vuông ại A, ABa, ACa 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A rên mặ phẳng (ABC) là rung điểm của cạnh BC. Tính heo a hể ích khối chóp A.ABC và ính cosin của góc giữa hai đường hẳng AA và B C. Giải: * Thể ích khối chóp A.ABC: BC Ta có: BC a, AH a, A Ha 3 3 a V S ABC. A' H.. AB. AC. A' H 3 3 * Tính cosin của góc giữa hai đường hẳng AA và B C : Vẽ đường hẳng Az vuông góc mp(abc). 73
Ba đường hẳng AB, AC, Az đôi mộ vuông góc nhau ại A. Chọn hệ rục ọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: BC//B C Þ (AA,B C ) (AA,BC)a a a 3 A(,,), B(a..), C(,a 3,), A (,, a 3) a a 3 AA ' (,, a 3), BC (-a, a 3,) a 3a - + AA'. BC Do đó: cos a AA'. BC a 3a + + 3a. a 4 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài : Cho đường hẳng d : ; d : + 3a a/ Viế p đường hẳng song song Ox và cắ đường hẳng d, d. b/ Viế p đường hẳng vuông góc mặ phẳng (Oxz) và cắ đường hẳng d, d. c/ Viế p đường hẳng 3 nằm rên mặ phẳng α: 5x -3y + z và cắ đường hẳng d, d. d/ Gọi AB là đường vuông góc chung của d và d ( A Î d, B Î d ). Viế p mặ cầu (S) đường kính AB. Giải a/ p ham số của d, d 4 d : ; d : Gọi M d, N d > M (, -, -4 + ), N (-8 +, 6 +, ) 74
( 8, + + 4, - + 4) ; Ox có vcpi (,,) Vì // Ox nên: cùng phương ó k. ó ó ìk -7 í 8 î - > M (8, -6, 3); (,, ); M Ï Ox. > : b/ Gọi C d, N d > C (,, -4 + ), D (-8 +, 6 +, ) ( 8, + + 4, - + 4); (Oxz) có vp (,, ) vuông góc (Oxz) ó cùng phương ó m ó ó > C (4, -, 4); (,, ) > : c/ Gọi E α d, F α d > 3 là đ qua điểm E, F. Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ p: 75
ó > E (,, -) Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ p: ó > F (-, 9, 7) 3 là đ qua E và có vcp (-3, 8, 9) Þ 3 : d/ta có: A Î d Þ A(,, -4 +); BÎ d Þ B( -8 +, 6 +, ) AB ( 8, + + 4, - + 4 ) a (,,), a (,, ) d - d - Đường hẳng AB là đường vuông góc chung của d và d nên: ì AB. a í î AB. a d d ì6+ -6 ì Ûí Ûí î+ 6-6 î 4 Þ A(,, ), B(,, 6 ) (S) có âm I(, 5, 3 ), bán kính R IA + 5+ 9 35 Þ (S): ( x ) + ( y 5 ) + ( z 3 ) 35 76
Bài : Cho mặ phẳng: α: x y + z + ; β: x + y + z a/ Chứng minh rằng α và β cắ nhau. Tính góc giữa α và β. b/ Tìm điểm M huộc rục Ox sao cho khoảng cách ừ M đến α bằng 3 lần khoảng cách ừ M đến β. c/ Viế p đường hẳng d đi qua A( 3,, - ) và song song với mặ phẳng α và β. d/ Viế p mặ phẳng (P) đi qua B(, 4, - ) và vuông góc với mặ phẳng α và β. Giải a/ Ta có: - ¹ Þ α và β cắ nhau. n (, -, ) ; a n (,, ) b cos(α, β) n a n a. n b. n b 3 6. 6 Þ ( a, b ) 6 b/ MÎ Ox Þ M( m,, ) Ta có: d(m,α) 3d(M,β) m+ m- Û 3 Û 6 6 m+ 3 m- Û m 5Ú m 5 æ ö Vậy có điểm M: M( 5,, ) và M ç,, è 5 ø c/ d // α và d // β Þ a é ù ê ë n n d a, bú ( -3, -3, 3 ) -3(,, - ) û 77
Þ d: x- 3 y- z+ - d/ (P) ^ α và (P) ^ β > n p é ù ê n a, ë n bú -3(,, -) û > (P): (x ) + (y 4) (z + ) ó x + y z -5 Bài 3: Cho điểm A (,, -3), B (,, -) và mặ phẳng (P): 3x 8y + 7z a/ Tìm điểm C Î (P) sao cho ABC vuông cân ại C b/ Tìm điểm D Î (P) sao cho ABD nhận điểm G ( làm rọng âm. c/ Tìm điểm E huộc giao uyến của mặ phẳng (P) và (Oxz) sao cho ABE có diện ích bằng 4. d/ Tìm điểm F Î (P) sao cho đường hẳng IF song song đường hẳng d: biế I là rung điểm của AB. Giải: a/ Ta có: C Î (P) > 3x 8y + 7z - () (x, y, z + 3); (x, y, z + ) ABC vuông cân ại C ó ó ó () và () cho : z - x-, y 78
Thay vào (3): x(x ) + + (- x + )(-x) ó 9x - x + 4 ó x > y -, z - Vậy C (, - ) b/ Ta có: D Î (P) > D (x, y, ) G là rọng âm ABD nên: ìx íy îz ó A A A + x + y + z B B B + x + y + z D D D 3x 3y 3z G G G ó Vậy D ( c/ Ta có: E Î (P) (Oxz) > E (x,, (,, ); (x, o, ) > (, Điều kiện x > S ABE Do đó: S ABE 4 ó 4 ó x 5 v x - 79
Vậy có điểm E: E (5,, -) và E ( -, o, ) d/ Ta có: F Î (P) > F (x, y, - 3 x+ 8y+ ) 7 æ - 3x+ 8y+ 5ö I (,, - ), (,, ); ç x -, y, è 7 ø IF // d ó cùng phương ó ó ìx- y í î3x- y 5 Vậy F(7, 6, 4) Bài 4: Cho đường hẳng: ó ìx 7 í îy 6 d: ; d : x- y - 3x+ 8y+ 5 7 Viế phương rình đường hẳng qua giao điểm M của d và d, biế ạo với rục Ox góc 6 o và ạo với rục Oz góc 45 o Giải: Dễ dàng ìm được M (,, -) Gọi (a, b, c) là vcp của ( a + b + c ) Vcp của Ox, Oz lần lượ là (,, ), (,, ) Ta có: ó ó 8
ó ó Thay () vào (): ó ó a ±b. a - b > b óc ± b > (-b, b, ± b )b(-,,± ) (a phải có b vì nếu b > ac: mâu huẩn vì a + b + c ) > : ab > b óc±b > (b, b, ±b )b(,,± ) > : Bài 5: Cho đường hẳng d: và điểm A (-,, ) Viế phương rình đường hẳng qua A, cắ d và ạo với d góc 3 o Giải: Gọi B d > B (, -, + ) Ta có: ( +, -, ), (, -, ) cos(,d) cos 3 o ó ó ó ó ± 8
: : > : x+ y z- + - - > : Bài 6: Cho mặ phẳng: α: x + y + z + 4 ; β: x + y + Viế p mặ phẳng (P) qua điểm M (-,, ), vuông góc mặ phẳng α và hợp với mặ phẳng β góc 6 o Giải: Gọi: ( a + b + c ) Ta có: (,, ), n b (,,) (P) ^ α ó ó a + b + c ó c - a b cos (P, β) cos 6 o ó ó ó a +b c + 4ab ó a +b (a + b) + 4ab ó ab ó a v b a > c - b > > (P): (y ) (z ) ó y z b > c - a > n R (a,,-a)a(,,-) > (P): (x + ) (z ) ó x z + 8
Bài 7: Cho mặ phẳng (P): x + y z + 5 và đường hẳng d:. Viế phương rình mặ phẳng (Q) đi qua d và hợp với (P) mộ góc nhỏ nhấ. Giải: Chọn A (-, -, 3) Î d, (,, ), (,, -) Gọi (a, b, c) ( a + b + c ) Ta có: ó a + b + c ó c - a b cos (P,Q) Hai rường hợp: / a > b : cos (P,Q) / a : cos (P,Q) 6 b 3+ 3 a b 5+ a b + 4 a ( > cos (P,Q). Xé hàm số: f(). > f (). f () Û - 83
- - + f () - + f() >O f() < ó O cos (P,Q) < ó O cos(p,q) < 84 Hai rường hợp rên cho : O cos(p,q) Do đó: (P,Q) nhỏ nhấ ó cos (P,Q) lớn nhấ ó cos (P,Q) > a > c - b > (, b, -b) b(,, -) > (Q): (y + ) (z 3) ó y z + 4 Bài 8: Cho mặ phẳng (P): x y + z và điểm A (,, ), B(-,, ) a/ Tìm điểm C Î (P) sao cho đường hẳng OC qua rung điểm I của AB (O là gốc ọa độ) b/ Tìm điểm DÎ (P) sao cho đường hẳng ID vuông góc đường hẳng d: và ID c/ Tìm độ dài nhỏ nhấ của vecơ + khi M di động rên mặ phẳng (P) d/ Tìm giá rị nhỏ nhấ của MA+MB khi M di động rên mặ phẳng (P) Giải: a/ C Î (P) > C (y z +, y, z) > (y z +, y, z)
I (,, ) > (,, ) Đường hẳng OC qua I ó O, C, I hẳng hàng ó k ó ó Vậy C (, -, -) b/ D Î (P) > D (y z +, y, z) > (y z +, y -, z - ); (, -, -) Do đó: ó ó ìy- z+ - y+ - z+ í î( y- z+ ) + ( y-) + ( z-) ìy 3z- 4 ó í ( ) ( ) 5z- 7 + 3z- 5 + ( z- ) î ó ìy 3z- 4 í ó î35z -z+ 64 æ 7 Vậy có điểm D: D (3,, ) và D ç-,- è 7 44, 35 3ö 35 ø c/ Ta có: MI MI nhỏ nhấ ó IM ^ (P) 85
> Giá rị nhỏ nhấ của là: d (I,(P)) d/ Đặ: f(x, y, z) x y + z - > f(x A, y A, z A ). f(x B, y B, z B ) (- 6 ) - < > A và B nằm khác phía đối với (P) Bài 9: Ta có: MA + MB AB (không đổi) Dấu xảy ra khi M AB (P) Þ Giá rị nhỏ nhấ của MA + MB là AB Cho đường hẳng d: và điểm A (,, ), B (, -5, -) a/ Chứng minh đường hẳng AB và d cùng nằm rên mặ phẳng b/ Tìm ọa độ điểm M Î d sao cho lớn nhấ. Giải: a/ta có d: Chọn M(-,, ) và N (, -, ) Î d ; (, -3, -) Ta có: (-,, ), (, -, -), (, -6, -3) > (-, -, 4) > > A, B, M, N đồng phẳng > AB và d cùng nằm rên mp 86
Cách khác: P đường hẳng AB: Xé hệ p: ó Hệ này có nghiệm duy nhấ > d cắ AB ại điểm I(, -, ) > d và AB cùng nằm rên mô mặ phẳng. b/ Ta có: (,, ), (, -4, -) - > A, B nằm khác phía đối với d Gọi A là điểm đối xứng của A qua d. Ta có: MA MA > A B Do đó: lớn nhấ ó lớn nhấ ó Dấu xảy ra ó M M o d A B Gọi H AA d > H(-+,-3,-) (-+,-3,-). ó -4 + 4 3 + 9 + ó > H(, ) 87
88 H là rung điểm AA > A (-,,) M o Î d > M o (-+,-3,-) (,-3,-), B A' (,-5,-) M o,a,b hẳng hàng ó cùng phương ó 5 3 - - - - Û - > M o (-3,5,). Vậy M(-3,5,) Bài : Cho đường hẳng: d : ; d : z y x và mặ phẳng (P): x y + z Tìm ọa độ các điểm M Î d và N Î d sao cho đường hẳng MN // (P) và MN Giải: Ta có: M Î d > M(--,,+) N Î d > N(,, ) (,-,), ( ++, -, --) Vì đ MN // (P) và MN nên: ó î( ) ( ) ( ) í ì - - + - + + + - - + + - + + ó ( ) ( ) ( ) î í ì + + - - + + - 3 ó î í ì + - 8 4 ó
: M(-,,), N(,,) > MN nằm rên (P) (loại), : M( ), N( ) Bài : Cho mặ cầu (S): x + y + z + 4x 6y + m và đường hẳng d là giao uyến của mặ phẳng: α: x y z +, β: x + y z 4 Tìm m để d cắ (S) ại điểm M, N sao cho MN 9 Giải: (S) có âm I(-,3,), bán kính R (m < 3) [ ] (6,3,6) 3(,,) Chọn A(-,,-3) Î α β > d: < 3) Gọi H là hình chiếu của I rên d > H(-+,, -3+), HM (, -3, -3+). ó > H(,,-) > IM IH + HM Mà: R IM ó R IM ó 3-m ó m (hỏa đk m Bài : Cho 3 điểm A(,-,), B(,,3), C(3,,-). Viế p mặ cầu (S) có âm huộc mặ phẳng (Oyz) và iếp xúc mặ phẳng (ABC) ại A. 89
Giải: Gọi I Î (Oyz) là âm của (S) > I(,y,z) Ta có: (-,y+,z-), (,,), (,3,-3) (S) iếp xúc mp (ABC) ại A nên: ó ó > I(,, ) (-,, ) > R > (S): x + (y + ) + (z- ) Bài 3: Cho mặ phẳng: α: mx + y z ; β: x + my z 4 Định m để giao uyến của α và β vuông góc đường hẳng : Giải: Ta có: (m,,-), (,m,-), (,-,-) [ ] (m-,m-,m -) α và β cắ nhau ó [ ] ó m Gọi d α β > (m-,m-,m -) d ^ ó. ó m m + m + ó m ± Do điều kiện m nên m - Bài 4: Cho điểm A(,,-), B (,,-) và mặ phẳng α: x + 3y +z a/ Viế p mặ phẳng (P) đi qua đường hẳng AB và vuông góc α 9
b/ Viế p mặ phẳng (Q) đi qua đường hẳng AB và hợp với mặ phẳng (Oxy) góc 45 o Giải: a/ Ta có: (-,,), (,3,) [ ] (,4,-7) > (P): x + 4(y-) 7(z+) ó x + 4y 7z b/ Gọi (a,b,c) (a + b + c ), (,,) (Q) đi qua AB >. ó -a + b ó b a cos((q),(oxy)) cos45 o ó ó ó c ó c 5a ó c ±a c a > (a,a,a ) a(,, ) >(Q): x + (y-) + (z+) ó x + y + z 4 + c - a > (a,a,- a ) a(,,- ) >x + y - z 4 - Bài 5: Cho điểm A(-,4,3) và mặ phẳng (P): x 3y + 6z + 9 a/ Viế p mặ phẳng (Q) qua A và song song (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q) b/ Viế p mặ cầu (S) iếp xúc (Q) ại A và iếp xúc (P) Giải a/ (Q) // (P) > (Q): x 3y + 6z + D (D 9) A Î (Q) Þ - 4 - + 8 + D > D - 9
> (Q): x 3y + 6z - 4-+ 8+ 9 d((p),(q)) d(a,(p)) 3 4+ 9+ 36 b/ Gọi d là đ qua A và ^ (Q) > (,-3,6) > d: Gọi I là âm của (S) > I Î d > I(-+,4-3,3+6) (S) iếp xúc với (P) và (Q) nên: d(i,(p)) d(i,(q)) ó ó ó 7 65 > I( -,, ) 7 4 7 3-4 Bán kính của (S): R d((p),(q)) 7 > (S): (x+ ) 65 + (y - ) + (z - ) 7 4 7 Bài 6: Cho điểm A(,-,), B(,,-) và mặ phẳng (P): x + y + z +. Tìm ọa độ điểm C Î (P) sao cho mp(abc) vuông góc mp(p) và ABC có diện ích bằng. Giải: Ta có : C Î (P) > C(x,y,-x-y-) (,,-), (x-,y+,-x-y-), (,,) 9
[ ] (-x, x+y+,-x+y+) (ABC) ^ (P) ó. ó y x S ABC [ ] ó 4x + (x+y+) + (-x+y+) 56 ó 4x 56 ó x 4 ó Vậy có điểm C: C(,,-7) và C(-,-6,9) Bài 7: Cho 4 điểm: A(3,-,), B(,-7,3) và C(-,,-), D(5,4m-,m ) a/ Tìm m để 4 điểm A,B,C,D ạo hành ứ diện có hể ích nhỏ hơn 8. b/ Tìm ọa độ điểm M Î mặ phẳng (Oxz) sao cho độ dài của vecơ + + 3 nhỏ nhấ. Giải a/ Bốn điểm A,B,C,D ạo hành ứ diện ó A,B,C,D không đồng phẳng ó [ ]. Ta có: (-3,-6,3), (-5,,-), (,4m,m ) [, ] (,-8,4) > [ ]. -7m+4m ó m và m 3 V ABCD [ ]. 4m m Do đó: V ABCD < 8 ó 4m -m < 8 ó -8 < 4m -m < 8 ó ì m - 3m+ > í î m - 3m- < 93
ó < m < Ú < m < Do điều kiện m và m 3 nên: m Î (,) È (, )\{,3} b/ M Î (Oxz) > M(x,,z) + +3 (-3-6x,-,3-6z) > + + 3 " x,z Do đó: + + 3 nhỏ nhấ ó dấu xảy ra ó ó Vậy: M(,, ) Bài 8: Cho ABC có A(,-,6), B(-3,-,-4), C(5,-,) Tính bán kính của đường ròn nội iếp ABC Giải (-5,,-), (3,,-6), (8,,4) 4 4 > ABC vuông ại C Gọi p, r lần lượ là nữa chu vi và bán kính của đường ròn nội iếp ABC Diện ích ABC: S AC.BC pr > r 94
AB 5, AC 3, BC 4, p (AB+AC+BC) 6 > r Bài 9: Viế p chính ắc của đường hẳng qua A(3,-,-4), cắ rục Oy và song song mặ phẳng α: x + y Giải:.Cách : Gọi β là mp qua A và // α và B β Oy > là đ qua A,B Ta có: β // α > β: x + y + D (D ) A Î β > 6 + D > D -5 > β: x + y 5 B β Oy > B(,5,) (-3,6,4) > :.Cách : Gọi B Oy > B(,y,) (-3,y+,4), (,,) Ta có: // α ó. ó -6 + y + > y 5 > (- 3,6,4) > : Bài : Cho đường hẳng d: và mặ phẳng: (α): 5x 4y + z 6 ; (β): x y + z + 7 95
a/ Gọi A là giao điểm của d và (α). Tìm ọa độ điểm M huộc (β) sao cho đường hẳng AM vuông góc (α) b/ Viế p mặ cầu (S) âm A, biế (β) cắ (S) heo đường ròn có chu vi bằng π Giải: a/ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ p: ó > A(,,) M Î (β) > M(x,y,-x+y-7) ( x, y, - x + y 8 ), ( 5, -4, ) Vì AM ^ (α) nên: cùng phương ó ó ì4x+ 5y 4 í ó îx- 5y-39 Vậy M ö ç æ 7 8 -,, è 3 3 3 ø b/ Gọi r là bán kính của đường ròn giao uyến Ta có: πr π > r h d(a,β) Gọi R là bán kính của (S): R r + h Vậy (S): (x-) + y + (z-) 96
Bài : Cho 3 đường hẳng: d: ; d : ; d : Viế p đường hẳng song song đường hẳng d và cắ đường hẳng d,d. Giải Cách : Chọn A(,,) Î d và (,,-) B(,-,) Î d và (,-,3) Gọi α là mp qua d và // d; β là mp qua d và // d > α β // d > (,-,) [ ] (,3,3) 3(,,) [ ] (-,-,-) -(,,) α: y + z β: x + (y+) + z ó x + y + z + Chọn M(,-,) Î α β, M Ï d. > qua M và có vcp (,-,) > : Cách : Gọi M d, N d > M(+,,-), N(,--,3 ) > ( --,- --,3 +) Vì // d nên: 97
ó ó cùng phương '-- - ' -- 3' + - ó ì - í î > M(-,-,) và (,-,) (,-,); M Ï d > : Bài : Cho mặ cầu (S): x + y + z + my 4z + m -3 và đ : Gọi là hình chiếu của rên mặ phẳng (Oyz). Tìm m để iếp xúc (S). Giải (S) có âm I(,-m,), bán kính R Lấy điểm rên : A(,,-3) và B(-4,3,) A và B có hình chiếu rên mp(oyz) lần lượ là A (,,-3) và B (,3,) chính là đường hẳng qua điểm A,B > có vcp (,,4) Ta có: d(i, ) Do đó: iếp xúc (S) ó d(i, ) R ó ó m Ú m 98
Bài 3: Cho mặ cầu (S): (x-) + (y+) + z và đường hẳng: d : ; d : a/ Viế p mặ phẳng (P) iếp xúc (S) và song song với đường hẳng d, d d,d b/ Viế p đường hẳng qua âm của (S) và cắ đường hẳng Giải: a/ (S) có âm I(,-,), bán kính R Chọn A(,-,) Î d và (,,) B(-,,) Î d và (,,) Ta có: [ ] (-3,,) > (P): -3x + y + z + D (P) iếp xúc (S) ó d(i,(p)) R ó ód 5 Ú D -7 Vậy có mp (P): -3x + y +z + 5 và -3x +y +z 7 b/ Gọi α là mp qua I và d ; β là mp qua I và d > α β Ta có: [ ] (-,3,-); [ ] (,,-5) > a [ ] (-3,-6,-5); không cùng phương D x > : - y+ z -3-6 - 5 Bài 4: Cho mặ phẳng (P): 3x + 5y z + 3, đường hẳng d: và điểm A(,,-) a/ Viế p đường hẳng d qua A, song song (P) và vuông góc d. b/ Viế p đường hẳng d qua A, song song (P) và cắ d. 99
c/ Tìm ọa độ điểm B sao cho (P) là mặ phẳng rung rực của đoạn AB Giải: a/ Ta có: > > d có vcp là [ ] (3,5,-), (,4,) > (9,-5,) > d : b/ Cách : Gọi (Q) là mp qua A và // (P); M (Q) d > d là đ qua điểm A, M Ta có: (Q) // (P) > (Q): 3x + 5y z + D (D 3) A Î (Q) > 3 + + D > D -4 > (Q): 3x + 5y z 4 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ p: ó > M(-3,3,) (-4,3,3) > d : Cách : d có p ham số: Gọi M d d > M(-5+,-+4,+) 3
Ta có: (-6,4-,+); (3,5,-) d // (P) ó. ó 6 8 + 5 ó > (-4,3,3) > d : x - y + z - 4 3 3 c/ Gọi H là hình chiếu của A rên (P) > H là rung điểm của AB Ta có H Î (P) > H(x, y, 3x + 5y + 3) > (x, y, 3x + 5y + 3) x 3 5 3 cùng phương ó - y x+ + y 3 5 - Bài 5: ó Þ H (-, -5, ) H là rung điểm của AB > B (-5, -, ) Cho đường hẳng d: ; d : a/ Tìm a để d và d cắ nhau b/ Gọi A là giao điểm của d và d. Viế p đường hẳng MN( M Î d, N Îd )sao cho điểm H (,, - ) là hình chiếu vuông góc của A rên đường hẳng MN. Giải: a/ Xé hệ p: ó Hệ này có nghiệm duy nhấ nên d, d cắ nhau. Vậy a 3
, -5) b/ Ta có: A (,, 3); d: ìx íy îz-+ M Î d, N Î d > M (,, - + ), N (-, +, 3 ) (-, -+, - +4), (,, + ), (-, ì- ' ' -+ - ' -+ 4 ó í - + î--- 5 ì 3 ' 3 ó í 3 - î 5 æ 3 ö æ 3 69 3ö 3 M ç, -,- ; MN ç -,, (- 5,3,) è 5 5 ø è 3 5 5ø 5 ì x - 5 3 MN: íy- + 3 5 z- + î 5 Bài 6: Cho mặ phẳng: α: kx + y z + ; β: x ky + z a/ Chứng minh rằng mặ phẳng α và β luôn cắ nhau với mọi k b/gọi d là giao uyến của α và β. Tìm k để d nằm rên mặ phẳng (Oyz) Giải: a/ (k,, -), (, -k, ) 3
Ta có: (-k, --k, -k -) " k (vì -k - " k) > α và β luôn cắ nhau " k b/ * Cách : d nằm rên (Oyz) ó vô số nghiệm ó vô số nghiệm ó vô số nghiệm * Cách : ó k Nhận hấy điểm A (,, ) Î α β > d và (Oyz) có điểm chung là A " k Bài 7: Ta có:, (,, ) Do đó: d nằm rên (Oyz) ó ó - k ó k Cho mặ phẳng α: x + mz m ; β: ( m)x my Tìm m để α và β cắ nhau. Trong rường hợp đó chứng ỏ giao uyến d của α và β luôn nằm rên mặ phẳng cố định khi m hay đổi. Giải: Ta có: (,, m), ( m, - m, ) > (m, m m, -m) 33
Do đó: α và β cắ nhau ó ó m Ta có: d α β > (m, m m, -m) Nhận hấy điểm A (,, ) Î α β > A Î d Gọi (P) là mp cố định qua A và có (a, b, c) ( a + b + c ) Ta có: D Ì (P) " m ó a. n " m d P ó am + b(m m ) cm " m ó (a b)m + (b c)m " m ó ó a b c > (a, a, a) a(,, ) (Ta phải có a. Vì nếu a > a b c : mâu huẫn) > (P): x + y + (z ) ó x + y + z Bài 8: (ĐH.3A) Trong không gian ọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhậ ABCD.A B C D có A rùng với gốc O, B (a,, ), D (, a, ), A (,, b) (a>, b> ). Gọi M là rung điểm CC. với nhau a/ Tính hề ích khối ứ diện BDA M heo a và b b/ Xác định ỉ số để mặ phẳng (A BD) và (MBD) vuông góc Giải: a/ Ta có: A(,, ), M (a, a, ) 34
(-a, a, ), (, a, ) (-a,, b), V b/ mp(a BD) có pv (ab, ab, a ) mp (MBD) có pv ( ) Do đó: (A BD) ^ (MBD) ó Bài 9: (ĐH.B) ó ó a (b a ) ó a b ó a b (do a >, b > ) ó Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a a/ Tính heo a khoảng cách giữa đường hẳng A B và B D b/ Gọi M, N, P lần lượ là các rung điển của các cạnh BB, CD, A D. Tính góc giữa đường hẳng MP và C N Giải: a/ Chọn hệ rục ọa độ A xyz như hình vẽ. Ta có: A (,, ), B (a,, ), D (, a, ), B (a,, a), C(a, a, a), D (, a, a), 35
C (a, a, ), M (a,, ), N ( ), P (,, ) (a,, a), (-a, a, a) (- a, - a, a ), (a,, ) > d(a B,B D) b/ (- a,, (- > - > > (MP,C N) 9 o BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài : a) Cho 3 điểm A ( ; 5; 3 ), B ( 3; 7; 4), C ( x; y; 6 ) Tìm x, y để A, B, C hẳng hàng. b) Cho điểm A ( -; 6; 6 ); B ( 3; -6; - ). Tìm điểm M huộc mp ( Oxy ) sao cho MA + MB nhỏ nhấ. Bài : Cho hình hộp ABCD.A B C D. Biế A ( ; ; ); B ( ; ; ); D ( ; -; ); C ( 4; 5; -5). Tìm oạ độ các đỉnh còn lại. Bài 3: Chứng ỏ 4 điểm sau đây là 4 đỉnh của mộ hình bình hành và ính diện ích của hình bình hành đó: ( ; ; ), ( ; 3; 4 ), ( 6; 5; ), ( 7; 7; 5 ). Bài 4: a) Tìm rên rục Oy điểm cách đều hai điểm A ( 3; ; ), B ( - ; 4; ). 36
b) Tìm rên mp Oxz điểm cách đều 3 điểm A ( ; ; ), B ( -; ; ), C( 3; ; -) Bài 5: Cho điểm A( ; -; 7 ), B( 4; 5; - ). Đường hẳng AB cắ mp (Oyz) ại điểm M. Điểm M chia đoạn hẳng AB heo ỷ số nào? Tìm oạ độ điểm M. Bài 6: Cho u ( ; -; ), v ( m; 3; - ), w ( ; ; ). Tìm m để 3 vecơ đồng phẳng. Bài 7: a) Cho vecơ a ( ; m; - ) và b ( ; ; 3 ). Tìm m để a ^ b. ^ b. b) Cho vecơ a ( ; log 3 5; m ) và b ( 3; log 5 3; 4 ). Tìm m để a c) Cho vecơ a ( ; -; ). Tìm b cùng phương với a, biế rằng a. b Bài 8: a) Cho vecơ a ( ; -; 3 ). Tìm b cùng phương với a, biế rằng b ạo với Oy mộ góc nhọn và b 4 b) Vecơ u có độ dài bằng, ạo với vecơ a ( ; ; ) góc 3, ạo với vecơ b ( ; ; ) góc 45. Tìm oạ độ vecơ u. c) Vecơ u vuông góc với vecơ a ( ; ; ) và vecơ b ( ; -; 3 ), u ạo với rục Oz mộ góc ù và u 3. Tìm oạ độ vecơ u. Bài 9: Trong không gian oạ độ Oxyz cho 4 điểm: A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ), D( ; ; ). 37
a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính hể ích ứ diện ABCD. b) Tìm oạ độ rọng âm của am giác ABC, rọng âm ứ diện ABCD. c) Tính diện ích các mặ của ứ diện. d) Tính độ dài các đường cao của khối ứ diện. e) Tính góc giữa đường hẳng AB và CD. f) Viế p mặ cầu ngoại iếp ứ diện ABCD. Bài : Trong không gian oạ độ Oxyz cho 3 điểm A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ) a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của am giác. b) Tính chu vi, diện ích am giác ABC. c) Tìm oạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành. d) Tính độ dài đường cao h A của am giác ABC. e) Tính các góc của am giác ABC. f) Xác định oạ độ rực âm am giác ABC. g) Xác định oạ độ âm đường ròn ngoại iếp am giác ABC. Bài : Trong không gian oạ độ Oxyz, cho am giác ABC có A( ; ; - ), B( ; -; 3 ), C( -4; 7; 5 ) a) Tính độ dài đường cao h A của am giác kẻ ừ đỉnh A. b) Tính độ dài đường phân giác rong của am giác vẽ ừ đỉnh B. Bài : Cho ứ diện ABCD có: A( ; ; - ), B( 3; ; ), C( ; -; 3 ) và D huộc rục Oy. Biế V ABCD 5. Tìm oạ độ đỉnh D. Bài 3: Cho 4 điểm A( ; ; ), B( ; 4; ), C( ; ; 6 ), D( ; 4; 6 ). Tìm ập hợp những điểm M sao cho: MA + MB+ MC+ MD 4. 38
Bài 4: a) Bốn điểm A( -; ; 3 ), B( ; -4; 3 ), C( 4; 5; 6 ), D( 3; ; ) có huộc cùng mộ mp không? b)tìm a để 4 điểm A( ; ; ), B( ; a; ), C( 4; -; 5 ), D( 6; 6; 6 ) huộc cùng mộ mặ phẳng. c) Cho 3 điểm A( ; ; ), B( 3; -; ), C( -; ; ). Điểm C có huộc mp rung rực của đoạn hẳng AB không? Bài 5: Viế p mp đi qua điểm M( ; ; 4 ), cắ các rục oạ độ Ox, Oy, Oz ại các điểm A, B, C sao cho OA OB OC. Bài 6: Viế p mp đi qua điểm M( ; ; ), cắ các ia Ox, Oy, Oz ại các điểm A, B, C sao cho hể ích của ứ diện OABC có giá rị nhỏ nhấ. Bài 7: a) Tìm a để mp x - y- z+ 5 và 4 3 x sina+ y cosa+ z sin a+ vuông góc nhau. b) Tìm a để u ( sina ; ; sina cosa ) song song với mp ( P ): x + y + z + 6 Bài 8: Cho điểm A( ; ; -3 ), B( ; ; - ) và mp ( P ): 3x 8y + 7z a) Tìm oạ độ giao điểm I của đường hẳng AB với mp ( P ). b) Tìm oạ độ điểm C nằm rên mp (P) sao cho am giác ABC là am giác đều. Bài 9: a) Viế p mp (P) chứa rục Oz và ạo với mp(a ): x + y- 5z mộ góc 6. b) Viế p mp (Q) qua A( 3; ; ), C( ; ; ) và ạo với mp ( Oxy) mộ góc 6. Bài : Cho ứ diện ABCD với A( 3; 5; - ), B( 7; 5; 3 ), C( 9; -; 5), D( 5; 3; -3 ). Viế phương rình mặ phẳng (P) qua đđường hẳng AB v chia ứ diện ABCD lm hai phần cĩ hể ích bằng nhau 39
3 Bài : Tìm p đường hẳng rong mỗi rường hợp sau: a) Đi qua A( 4 ; 3; ) và song song với đường hẳng î í ì + - + D z y x 3 3 : b) Đi qua A( ; ; - ) và song song với đường hẳng î í ì - + - + - + D 4 5 3 : z y x z y x c) Đi qua A( -; ; ) và vuông góc với mp (a ) : x + y z + d) Đi qua A( ; -; ) và vuông góc với đường hẳng: î í ì - + + z x y x và î í ì - + z y x Bài : Viế p hình chiếu của đường hẳng d: î í ì + + - + z y x 3 3 lần lượ rên các mp (Oxy),(Oxz),(Oyz) và mp a :x+y+z-7 Bài 3: a) Tìm ập hợp các điểm rong không gian cách đều 3 điểm A( ; ; ), B( -; ; ), C( ; -3; ). b) Tìm quỹ ích các điểm M cách đều rục oạ độ Ox, Oy và điểm A(; ; ). Bài 4: Trong không gian với hệ oạ độ Oxyz cho đường hẳng: î í ì - + - + + D : z y x y x, î í ì + - + - + D 3 3 : y x z y x Chứng minh D, D cắ nhau.
3 Bài 5: Cho đường hẳng î í ì + z y x d 3 : và mp ( a ): x + y z + 5. Chứng ỏ d song song với ( ) a. Tìm khoảng cách ừ d đến ( ) a Bài 6: a) Tìm góc giữa đường hẳng 3 - - + z y x và mỗi rục oạ độ. b) Tìm góc giữa mỗi cặp đường hẳng: î í ì + + - + z y x 4 3 ) a và î í ì + + - - ' 4 ' 3 ' z y x 4 3 ) + + - z y x b và î í ì - + + - + 3 z x z y x Bài 7: Tìm góc giữa đường hẳng D và mp ( a ) rong các rường hợp sau: a) î í ì - + - + D z y x 3 : và ( a ): x y + z b) 5 5 4 3 : z y x - - - - D và ( a ): 3x y + z
Bài 8: a) Tìm oạ độ hình chiếu (vuông góc) của điểm M( ; -; ) rên mp ( a ):x y + z +. b) Cho 4 điểm A( 4; ; 4 ), B( 3; 3; ), C( ; 5; 5 ), D( ; ; ). Tìm oạ độ hình chiếu của D rên mp ( ABC ). c) Cho 3 điểm A( ; ; ), B( -; ; - ), C( ; -; - ). Tìm oạ độ hình chiếu của gốc O rên mp ( ABC ). Bài 9: Tìm oạ độ điểm đối xứng của M( ; -3; ) qua mp ( a ): x + 3y z +. Bài 3: a) Cho điểm A( 3; ; ), B( -9; 4; 9 ) và mp ( a ): x y + z +. Tìm ọa độ điểm M rên ( a ) sao cho MA- MB đạ giá rị lớn nhấ. 3 b) Cho đểm A( 3; ; ), B( 7; 3; 9 ) và mp ( a ): x + y + z + 3. Tìm M rên ( a ) để MA + MB đạ giá rị nhỏ nhấ. Bài 3: a) Cho 3 điểm A( -; 3; ), B( 4; ; -3 ), C( 5; -; 4 ). Tìm oạ độ hình chiếu H của điểm A rên đường hẳng BC. x+ y+ z b) Cho đường hẳng d : và điểm M( 4; -3; 3 - ). Tìm oạ độ hình chiếu H của điểm M rên đường hẳng d. Bài 3: a) Tìm oạ độ điểm đối xứng của M( ; -; ) qua đường ìx + hẳng d: íy-- îz b)tìm ọa độ điểm đối xứng của M( -3,,-) qua đường hẳng d l giao uyến của hai mp 4x-3y-3 v y-x+5 Bài 33: Viế p đường vuông góc chung của các cặp đường hẳng sau:
a) x- y- 3 z+ 4 d : và 3-5 x+ y- 4 z- 4 d ': 3 - - ìx + b) d : íy - v giao uyến của mp x + z-, îz y - 3 c) d l giao uyến mp x + y+ z- 3, y + z- và d l giao uyến của mp x - y- z+ 9, y - z+ Bài 34: Trong không gian với hệ oạ độ Oxyz cho đường hẳng: ìx + d : íy-+ và d l giao uyến của mp 3 x - z- 7, îz - 3 x + 3y- z-7 a) Chứng minh d và d chéo nhau và vuông góc nhau. b) Viế p mp (P) qua d và vuông góc với d. Tìm oạ độ giao điểm H của d và (P). c) Viế p đđường vuơng gĩc chung của d v d' Bài 35: Trong không gian với hệ oạ độ Oxyz, xé đường hẳng ìmx+ y- mz- D m : í îx- my+ z- m a) Chứng minh góc giữa D m và rục Oz không đổi; khoảng cách giữa D m và Oz không đổi. b) Tìm ập hợp các giao đđiểm M của D m và mp ( Oxy ) khi m hay đổi. 33
Bài 36: Trong không gian oạ độ Oxyz cho đưòng hẳng : d l giao uyến của mp x - 8 z+ 3, y - 4 z+ v d l giao uyến của mp x - z- 3, y + z+ a) Viế p các mp P, P lần lượ đi qua d, d và song song với nhau. b) Tính khoảng cách giữa d và d. c) Viế p đường hẳng D song song với Oz, cắ d và d. Bài 37: Trong không gian oạ độ Oxyz, xé mặ phẳng: ( ): 3mx+ 5 - m y+ 4mz+ a, m Î [ -; ]. m cố định. a) Tính khoảng cách ừ gốc O đến ( a m ). b) Chứng minh "m Î [ -; ], ( a m ) iếp xúc với mộ mặ cầu c) Với giá rị nào của m, hai mp ( a m ) và ( Oxz ) cắ nhau? Khi m hay đổi, chứng minh rằng các giao uyến đó song song hoặc rùng nhau. Bài 38: Trong không gian oạ độ Oxyz cho đường hẳng d và mặ x- y- 9 z- phẳng ( P ) có phương rình: d :, ( P ): 3x + 4 3 5y z a) Tìm oạ độ giao điểm A của đường hẳng d với mp (P). Tính góc giữa d và (P). b) Viế p mp ( P ) qua điểm M( ; ; - ) và vuông góc với đường hẳng d. c) Viế p hình chiếu vuông góc d của d rên mp ( P ). d) Cho điểm B( ; ; - ), hãy ìm oạ độ điểm B sao cho mp ( P ) là mp rung rực của đoạn hẳng BB. 34
e) Viế p đường hẳng D nằm rong mp ( P ), vuông góc và cắ đường hẳng d. Bài 39: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh là a. Xé điểm M Î AD', NÎ DB sao cho AM DN k ( < k < a ) và P là rung điểm của B C. a) Tính cosin của góc giữa đường hẳng AP và BC. b) Tính hể ích khối ứ diện APBC. c) Chứng minh MN luôn song song với mp ( A D CB ) khi k biến hiên. d) Tìm k để đoạn MN ngắn nhấ. e) Khi đoạn MN ngắn nhấ, CMR: MN là đường vuông góc chung của AD và DB và MN song song với A C. Bài 4: Viế phương rình đường hẳng đi qua điểm M( ; -; )và cắ ìx + ìx-+ đường hẳng sau (d ): íy ; (d ): íy 3- îz 3- îz Bài 4: Viế p đường hẳng nằm rong mp (P): y + z và cắ cả ìx - ìx - đường hẳng:( d ): íy ; (d ): íy 4+ îz 4 îz ì5x- 3y+ z- 5 Bài 4: Chứng ỏ đường hẳng í nằm rong mp îx- y- z- 4x 3y + 7z 7 Bài 43: Cho đường hẳng d l giao uyến của mp x - z, 3 x- y+ z- 3 và mp (a ): ( m + 4 )x + ( 5m 6 )y + ( 3m 8 )z 7. Tìm m để (d) ^ (a ) Bài 44: Cho mp ( P ): x + y + z và đường hẳng d l giao uyến của mp x + y- 3, 3 x - z- 7 35
36 a) Xác định giao điểm A của (d) và (P). b) Viế p đường hẳng (D) đi qua A, vuông góc với (d) và nằm rong mp (P). Bài 45: Lập p đường hẳng qua A( ; ; ) vuông góc với đường hẳng z ìx- x- y+ và cắ đường hẳng íy 3 îz + Bài 46: DABC có A( ; -; - ), B( -; ; 6 ) và C( 5; 9; - ) a) Tìm oạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên BC. b) Viế p mp chứa BC và vuông góc với mp (ABC). Bài 47: Cho mp (P): x + y z 6. Tìm điểm đối xứng của gốc O qua mp (P). Bài 48: Tìm điểm đối xứng của A( -3; ; - ) qua đường hẳng d l giao uyến của mp 4 x - 3y-3, y - z+ 5 Bi 49: Viế p hình chiếu vuông góc của đường hẳng x 6 (d): : + y - d z rên mặ phẳng (P): 3x y z + 5. - 4 5 ìx - í îz- Bài 5: Cho đường hẳng ( D ) y ;( D ) : a) CMR: (D ) và (D ) chéo nhau. ìx : íy - îz b) Lập p đường vuông góc chung của đường hẳng rên. c) Tìm điểm nối (D ) và (D ) mà khoảng cách giữa chúng ngắn nhấ. ìx-8z+ 3 d) Bài 5: Cho đường hẳng (d ): í îy- 4z+ ìx- z- 3 (d ): í îy+ z+ và