PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ THAM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỊNH LÝ VI-ET Bài viết này ứng dụng máy tính cầm tay CASIO f-570vn PLUS để kiểm tra lại kết quả. MỤC LỤC I. KIẾN THỨC CHUNG.... CƠ SỞ.... CÔNG THỨC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP... II. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 05.... Đề thi Toán (Chuyên) tỉnh Bạc Liêu năm học 05 06.... Đề thi Toán (Chuyên) tỉnh Bạc Liêu năm học 05 06... 3 3. Đề thi Toán (Chuyên) tỉnh Bình Định năm học 05 06... 4 4. Đề thi Toán tỉnh Bình Dương năm học 05 06... 5 5. Đề thi Toán tỉnh Bình Phước năm học 05 06... 6 6. Đề thi Toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 05 06... 7 7. Đề thi Toán (chung) trường THPT Chuyên Nam Định năm học 05 06... 8 8. Đề thi Toán (chung) trường THPT Chuyên Thái Bình năm học 05 06... 9 9. Đề thi Toán tỉnh Đồng Nai năm học 05 06... 9 0. Đề thi Toán Hà Nội năm học 05 06... 0. Đề thi Toán tỉnh Khánh Hòa năm học 05 06.... Đề thi Toán tỉnh Phú Thọ năm học 05 06... 3. Đề thi Toán tỉnh Quảng Bình năm học 05 06... 3 III. MỘT SỐ ĐỀ THI CỦA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH... 5. Đề thi Tuyển sinh 0 năm 05-06... 5. Đề thi Tuyển sinh 0 năm 04-05... 5 3. Đề thi Tuyển sinh 0 năm 03-04... 6 4. Đề thi Tuyển sinh 0 năm 0-03... 7 IV. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC CÓ TRONG ĐỀ THI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ VÀ CÁC QUẬN, HUYỆN... 7 ) Đề kiểm tra học kỳ II, năm học 05 06, tỉnh Đồng Nai.... 7 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay
I. KIẾN THỨC CHUNG. CƠ SỞ Phương trình bậc hai đối với ẩn R là phương trình có dạng: a b c 0 a 0 a) Cách giải. Tính b 4ac Nếu 0 thì phương trình () vô nghiệm. b Nếu 0 thì phương trình () có nghiệm kép. a Nếu 0 thì phương trình () có hai nghiệm phân biệt b b, a a b) Định lý Vi-et Dấu các nghiệm. Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn R: a b c 0 a 0 có hai b c nghiệm, thì S, P.. a a Dấu các nghiệm: Phương trình () có hai nghiệm trái dấu P 0. 0 Phương trình () có hai nghiệm cùng dấu. P 0 0 Phương trình () có hai nghiệm cùng dương P 0. S 0 0 Phương trình () có hai nghiệm cùng âm P 0. S 0. CÔNG THỨC BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP II. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 05. Đề thi Toán (Chuyên) tỉnh Bạc Liêu năm học 05 06 Cho phương trình 5² + m 8 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm phân biệt, thỏa mãn điều kiện 5 + =. Phương trình 5² + m 8 = 0 Δ = m² + 560 > 0 với mọi m Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay
Nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt,. Ta có: + = m/5 () = 8/5 () 5 + = (3) Từ (3) suy ra = ( 5 )/ (4) Thay (4) vào () suy ra 5 ( 5 ) = 56 5 ² 5 56 = 0 = 8/5 hoặc = 7/5 Với = 8/5 = 7/ Thay vào () ta có 8/5 7/ = m/5 m = 9/ Với = 7/5 = 4 7/5 + 4 = m/5 suy ra m = 3. Đề thi Toán (Chuyên) tỉnh Bạc Liêu năm học 05 06 Cho phương trình 4 (m )² + m 6 = 0. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt. a. 4 (m )² +m 6 = 0. () Đặt t = ² (t 0) () t² (m )t + m 6 () Δ = (m )² (m 6) = m² 6m + 0 = (m 3)² + > 0 với mọi m. Kiểm tra bằng máy tính: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 3
Phương trình () luôn có nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi nghiệm t > 0 thì phương trình () có nghiệm phân biệt. Do đó, phương trình () có 4 nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình () có hai nghiệm phân biệt dương. m 6 > 0 và (m ) > 0 m > 3. Vậy m > 3 thỏa mãn yêu cầu. 3. Đề thi Toán (Chuyên) tỉnh Bình Định năm học 05 06 Cho phương trình: + ( m) 3 + m = 0, m là tham số. a) Giải phương trình với m = 0 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau. a) Thay m = 0 vào phương trình đã cho ta được: + 3 = 0 ta có a + b + c = + 3 = 0, phương trình có hai nghiệm là: = ; = -3 vậy m = 0 phương trình có hai nghiệm là: = ; = -3 b) Ta có: = ( m) (-3 + m) = m m + + 3 m = m 3m + 4 = với mọi giá trị m. Kiểm tra bằng máy tính : 3 7 m 4 > 0 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 4
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. c) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. Nên phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: + = 0 Hay -( m) = 0 m = Vậy m = thì phương trình có hai nghiệm đối nhau. 4. Đề thi Toán tỉnh Bình Dƣơng năm học 05 06 Cho phương trình m m ( ) 0 (m là tham số) ) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. ) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương. 3) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. ) = 4m + 8 > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. ) Để phương trình có hai nghiệm cùng dương mà > 0 với mọi m thì ta phải có: P> 0 m> 0 m> 0 m> 0 S> 0 m > 0 m> 3) Theo Viet: S = m + ; P = m. Suy ra: S P = + = là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 5
5. Đề thi Toán tỉnh Bình Phƣớc năm học 05 06 Cho phương trình: ) Giải phương trình () khi m 4. m 0 (), m là tham số. ) Tìm giá trị của m để phương trình () có nghiệm, thỏa mãn 7. Khi m = 4, ta có pt: + 4 + = 0 (*) Pt (*) có = 3 > 0 Suy ra :, = 3 Vậy khi m = 4, pt () có nghiệm, = 3. Pt () có nghiệm, = m 4 0 m 4 m m m. S m Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (): P. Theo đề bài: 7. 4 4 7 4 + 4 > 7(. ) ( ) + ( ) > 7(. ) ( + ). > 7(. ) [( + ). ] > 9(. ) [ ( m). ] > 9. ( m ) > 9 m > 3 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 6
m 3 m 3 m 5 m (voâ nghieäm) Với m > 5 m > 5 m 5 m 5 (thỏa ĐK) Vậy khi m > 5 hoặc m < 5 thì pt () có nghiệm thỏa 7. 6. Đề thi Toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 05 06 Cho phương trình + + m - = 0 (). a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình () có hai nghiệm phân biệt ; thỏa mãn + - =. b) Giải phương trình 0 a) Cho phương trình + + m - = 0 (). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình () có hai nghiệm phân biệt ; thỏa mãn + - =. + Để pt có nghiệm phân biệt thì = 9-4m > 0 m < 9 4 + Khi m < 9 4 thì pt có nghiệm phân biệt nên theo Viet: + = - = -- + Ta có + - = + (-- )- (-- ) = 0 + = 0 + Với = 0; ta có 0. = m - m = (n); Với = -; ta có = - -(-) = 0 (-).0 = m - m = (n); b) Giải phương trình 0 ( ) 0. ĐK:. () Đặt t = 0 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 7
() t 0 t t -t - = 0. Giải ra được nghiệm: ;. 7. Đề thi Toán (chung) trƣờng THPT Chuyên Nam Định năm học 05 06 Cho phương trình a) Giải phương trình với m 3. m m 6 0 () (với m là tham số). b) Với giá trị nào của m thì phương trình () có các nghiệm, thỏa mãn 6 a) Với m 3, ta có phương trình () trở thành 4 3 0 Ta có a b c 4 3 0 nên phương trình có nghiệm phân biệt ; 3 Vậy với m 3, phương trình đã cho có nghiệm phân biệt ; 3 m m 6 0 () b) Phương trình () là phương trình bậc ẩn có ' m m 6 7 m 7 Phương trình () có các nghiệm, ' 0 7 m 0 m (*) m ;. m 6 Khi đó theo định lý Viét ta có Do đó Vậy m m m m 4 6 8 6 m 0 6 m 8m 6 6 m 4 Kết hợp điều kiện (*) ta có m 0 là giá trị thỏa mãn. Kiểm tra bằng máy tính: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 8
8. Đề thi Toán (chung) trƣờng THPT Chuyên Thái Bình năm học 05 06 Cho phương trình m + (m ) 3 = 0 (m là tham số). ) Giải phương trình khi m =. ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại. Khi m ta có phương trình 8 0 Giải phương trình ta được hai nghiệm: ; 4 ' m m Tính được 3 m m 0 (*) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 3 Gọi ; là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có Giả sử thay vào () ta được m ; m Thay hai nghiệm ; vào () ta được m 0 m m m m 3m 0 m 3 m () 3 m () Khẳng định hai giá trị m vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận 9. Đề thi Toán tỉnh Đồng Nai năm học 05 06 ) Chứng minh phương trình = 0 có hai nghiệm phân biệt,. Tính T = +.( 3 ). ) Chứng minh 3 + 5 > 0, với mọi số thực. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 9
. Chứng minh phương trình 0 luôn có nghiệm phân biệt: ' b' ac 3 ' 0 nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt. + = ;. = -. Tính T = + ( - 3 ) = ( + )- 3. =.() -3.(-)= 0. Chứng minh - 3 + 5 > 0 với mọi - 3 + 5 = 3 3 3 -.. + 5 3 > 0 4 Kiểm tra bằng máy tính CASIO f-570vn PLUS: 0. Đề thi Toán Hà Nội năm học 05 06 Cho phương trình : m m ( 5) 3 6 0 ( là ẩn số). ) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm, là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. ) ( m5) 4(3m 6) m m ( m) 0, m Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 0
Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m. ) Ta có m 5 và 3m 6. Để 0, 0 điều kiện là m 5 và m m (Điều kiện để S >0, P>0) Yêu cầu bài toán tương đương : 5 ( ) 5 ( m5) (3m 6) 5 (Do m 5 và 3m 6), m > - m 4m 0, m m = hay m = -6, m > - m. Đề thi Toán tỉnh Khánh Hòa năm học 05 06 Tìm giá trị của m để phương trình m + = 0 có hai nghiệm phân biệt, thoả mãn hệ thức. = (-m) - 4..= m 4 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: m 4 0 m hoặc m- Theo hệ thức Viet, ta có: + = m;. = Ta có:. ( ) ( ) 0 Suy ra: m +m-=0 m= 3 (không thoả đk) hoặc m= 3 (thoả đk) Vậy: m= 3 Kiểm tra bằng máy tính: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay
. Đề thi Toán tỉnh Phú Thọ năm học 05 06 Cho Parabol (P): y và đường thẳng (d) có phương trình: y ( m ) 3m. ) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3. ) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. 3) Gọi ; là hoành độ giao điểm A, B. Tìm m để 0. a) Thay m=3 ta có (d): y8 7 Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) khi m=3 là: 8 7 8 7 0 Giải phương trình: ; 7 Tọa độ giao điểm (P) và (d) là (;); (7; 49) b) Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): ( m ) 3m 0 ' m m 3m m m 3 m 0 m 4 Nên phương trình () có hai nghiệm phân biệt điểm phân biệt A, B với mọi m c) Ta có ; là nghiệm phương trình () vì m 3m m. Suy ra (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai ' 0 m theo Viet ta có: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay
0 0 Thay hệ thức Viet ta có: m 3 0 6 0 3 0 3 m m m m m m m Kiểm tra câu bằng máy tính: 3. Đề thi Toán tỉnh Quảng Bình năm học 05 06 m m m Cho phương trình: 0 () ( m là tham số). ) Giải phương trình () khi m. ) Tìm m để phương trình () có nghiệm phân biệt, thoả mãn: 3 9 Khi m = thì phương trình () trở thành : 5 + 4 = 0 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 3
Phương trình có dạng: a + b +c = 0 hay +(-5) + 4 = 0 Phương trình có hai nghiệm = ; = 4 Ta có: m 4m m 4m 4m 4m 4m 8 9 0 phương trình () luôn có hai nghiệm phân biệt, Theo định lí Viet + = m +, = m + m - Theo đề ra: ( - ) + ( -3 ) = 9 3 = 9 ( ) 5 =9 ( ) 5 = 9 ( ) 7 =9 (m+) 7(m + m -) = 9 4m +4m+ - 7m 7m+4= 9 3m +3m - 6= 0 Phương trình có dạng: a + b +c = 0 hay 3 +3+ (-6) = 0 m = ; m = - Vậy với m = ; m = - thì phương trình () có hai nghiệm phân biệt, và thỏa mãn: ( - ) + ( -3 ) = 9 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 4
III. MỘT SỐ ĐỀ THI CỦA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH. Đề thi Tuyển sinh 0 năm 05-06 Cho phương trình m m 0() ( là ẩn số) a) Chứng minh phương trình () luôn có nghiệm phân biệt với mọi giá trị m b) Định m để hai nghiệm, của () thỏa mãn. 4 : Cho phương trình m m 0() ( là ẩn số) a) Chứng minh phương trình () luôn có nghiệm phân biệt với mọi giá trị m m 4( m ) m 4m 8 ( m ) 4 4 0, m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với mọi m b) Định m để hai nghiệm, của () thỏa mãn. 4 Vì a + b + c = m m 0, m nên phương trình () có nghiệm,, m. Từ () suy ra : m m m m m m m ( )( ). 4. 4 4 m 4 m ( )( ). Đề thi Tuyển sinh 0 năm 04-05 Cho phương trình m 0 () là ẩn số. a) Chứng minh phương trình () luôn có nghiệm trái dấu b) Gọi ; là các nghiệm của phương trình (), tính giá trị của biểu thức: P a) Ta có ac. 0 với mọi m nên phương trình () luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 5
b) Gọi ; là các nghiệm của phương trình (). Tính giá trị biểu thức: P. Ta có m và (do ; thỏa ()) m Do đó P m m m m ; 0 0 (vì 3. Đề thi Tuyển sinh 0 năm 03-04 Cho phương trình 8 8 m 0 (*) ( là ẩn số). a) Định m để phương trình (*) có nghiệm. b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm ; thỏa điều kiện: 4 4 3 3 a) Phương trình (*) có nghiệm b) ' 8 m m.. Khi m thì ta có ' 0 tức là:, khi đó yêu cầu bài toán được giải quyết. Vậy điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là m hay m, ta biến đổi như sau: 4 4 3 3 0 m 0 Điều trên vô lí. Vậy m. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 6
4. Đề thi Tuyển sinh 0 năm 0-03 Cho phương trình m m 0 ( là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi, là các nghiệm của phương trình. 4 Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất 6 a/ Phương trình () có = m - 4m +8 = (m - ) +4 > 0 với mọi m nên phương trình () có nghiệm phân biệt với mọi m. b c b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = m ; P = m a a 4 M = ( ) 8 = 4 6 4m 8m 6 m m 4 6. Khi m = ta có ( m ) 3nhỏ nhất ( m ) 3 6 M ( m ) 3 lớn nhất khi m = 6 M ( m ) 3 nhỏ nhất khi m = Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - khi m = IV. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC CÓ TRONG ĐỀ THI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ VÀ CÁC QUẬN, HUYỆN: Một số dạng toán khác có trong đề thi các Tỉnh và các Quận, huyện. ) Đề kiểm tra học kỳ II, năm học 05 06, tỉnh Đồng Nai. Cho phương trình: 005 0 ( là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm ;. m m Tìm giá trị của m để biểu thức CÁCH : 680 M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm m để hai nghiệm phân biệt này thỏa mãn điều kiện: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 7
Áp dụng Định lí Vi-et, ta có: b m a c 005m a Biến đổi biểu thức: 680 680 00m 680 M m 00m 680 Bài toán đưa về tìm m để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất. m 00m 680 Biểu thức m nhận giá trị là M khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm: 00m 680 m ( a ở đây thay cho M để tránh nhầm lẫn ký hiệu). a am m a 00 680 0 () + Trường hợp (): 680 4 a 0 m 00 3 + Trường hợp (): a 0. Để () có nghiệm thì ' 005 a a 680 0005 a 680a 305 a a 335 305 a 0 305 a 0 ' 0 a 335 0 a 335 0 a305 a305 a 335 a 335 335 a 305 Kiểm tra lại bằng máy tính, giải bất phương trình bằng cách bấm: wr3p=680=0005= Màn hình hiển thị: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 8
Tìm lại m trong phương trình am m a 00 680 0 tương ứng với a 335; a 305 : Kết luận: + M đạt giá trị nhỏ nhất là -335 khi và chỉ khi m 3. + M đạt giá trị lớn nhất là 305 khi và chỉ khi CÁCH : m. (làm thêm). 3 Biến đổi như sau: M 00 m 680 am 00 m a 680 a m m Tìm a để kép. am 00m a 680 (*) là bình phương của nhị thức, nghĩa là (*) có nghiệm ' 005 a a 680 0005 a 680a 305 a a 335 a 335 ' 0 a 305 + Trường hợp : a 335, ta được: M m 3 335 335 m. + Trường hợp : a 305, ta được: M 305m 3 305 305 m. Ta cũng có kết luận tương tự. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 9
) Đề KSCL lớp 9, năm học 05 06, tỉnh Bắc Ninh. Tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: CÁCH : A Biểu thức nhận giá trị là A khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm: A () ( a ở đây thay cho M để tránh nhầm lẫn ký hiệu). + Trường hợp (): 680 4 a 0 m 00 3 + Trường hợp (): a 0. Để () có nghiệm thì ' 005 a a 680 0005 a 680a 305 a a 335 305 a 0 305 a 0 ' 0 a 335 0 a 335 0 a305 a305 a 335 a 335 335 a 305 Kiểm tra lại bằng máy tính, giải bất phương trình bằng cách bấm: wr3p=680=0005= Màn hình hiển thị: Tìm lại m trong phương trình am m a 00 680 0 tương ứng với a 335; a 305 : Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 0
Kết luận: + M đạt giá trị nhỏ nhất là -335 khi và chỉ khi m 3. + M đạt giá trị lớn nhất là 305 khi và chỉ khi CÁCH : m. (làm thêm). 3 Biến đổi như sau: M 00 m 680 am 00 m a 680 a m m Tìm a để kép. am 00m a 680 (*) là bình phương của nhị thức, nghĩa là (*) có nghiệm ' 005 a a 680 0005 a 680a 305 a a 335 a 335 ' 0 a 305 + Trường hợp : a 335, ta được: M m 3 335 335 m. + Trường hợp : a 305, ta được: M 305m 3 305 305 m. Ta cũng có kết luận tương tự. Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay