Một số vấn đề về đa thức Seminar dành cho HS-GV và các bạn trẻ yêu Toán TS. TRẦN NAM DŨNG Khoa Toán - Tin

Một số vấn đề về đa thức Seminar dành cho HS-GV và các bạn trẻ yêu Toán TS. TRẦN NAM DŨNG Khoa Toán - Tin http://www.hcmus.edu.vn/ trannamdung@yahoo.com Ngày 07 tháng 3 năm 2015 Titan Education (titan.edu.vn) LaTex by Lê Phúc Lữ Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 1 / 26

Outline 1 Giới thiệu về đa thức 2 Về định lý Bézout 3 Tính chất nghiệm của đa thức 4 Số đại số và đa thức bất khả quy Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 2 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Đa thức là gì? Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 3 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Đa thức là gì? Đa thức là một hàm số đặc biệt, nó là tổng của các đơn thức có dạng a n x n với n là số tự nhiên và a n là hệ số thực. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 3 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Đa thức là gì? Đa thức là một hàm số đặc biệt, nó là tổng của các đơn thức có dạng a n x n với n là số tự nhiên và a n là hệ số thực. Câu hỏi Khi nhắc đến đa thức, chúng ta sẽ nghĩ đến các vấn đề gì? Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 3 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Đa thức là gì? Đa thức là một hàm số đặc biệt, nó là tổng của các đơn thức có dạng a n x n với n là số tự nhiên và a n là hệ số thực. Câu hỏi Khi nhắc đến đa thức, chúng ta sẽ nghĩ đến các vấn đề gì? Định lý Viete, định lý Bézout, các tính chất của nghiệm đa thức, đa thức hệ số nguyên, tính bất khả quy, đa thức nội suy, đa thức bậc n thì có đúng n nghiệm thực hoặc phức (định lý cơ bản của đại số),... Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 3 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Khi giảng dạy về đa thức, ta cần tập trung vào các vấn đề gì? Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 4 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Khi giảng dạy về đa thức, ta cần tập trung vào các vấn đề gì? Nghiệm và hệ số của đa thức, bậc và các bài toán xác định đa thức, đa thức với hệ số nguyên. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 4 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Khi giảng dạy về đa thức, ta cần tập trung vào các vấn đề gì? Nghiệm và hệ số của đa thức, bậc và các bài toán xác định đa thức, đa thức với hệ số nguyên. Câu hỏi Định lý nào mang tính nền tảng để xây dựng các vấn đề trong đa thức? Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 4 / 26

Câu hỏi dành cho người tham dự Câu hỏi Khi giảng dạy về đa thức, ta cần tập trung vào các vấn đề gì? Nghiệm và hệ số của đa thức, bậc và các bài toán xác định đa thức, đa thức với hệ số nguyên. Câu hỏi Định lý nào mang tính nền tảng để xây dựng các vấn đề trong đa thức? Định lý Bézout: Nếu đa thức P(x) có nghiệm là x = a thì P(x) = P(a) hay nói cách khác P(x) chia hết cho đa thức x a. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 4 / 26

Bài toán mở đầu Bài toán Rút gọn biểu thức M = a n (a b)(a c) + b n (b c)(b a) + c n (c a)(c b) các số thực phân biệt và n là số tự nhiên không âm. với a, b, c là Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 5 / 26

Bài toán mở đầu Bài toán Rút gọn biểu thức M = a n (a b)(a c) + b n (b c)(b a) + c n (c a)(c b) các số thực phân biệt và n là số tự nhiên không âm. với a, b, c là Ta sẽ phân tích bài toán trong các trường hợp đặc biệt. Với n = 1, ta có M = a (a b)(a c) + b (b c)(b a) + c (c a)(c b) Dễ dàng quy đồng và tính được M = 0. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 5 / 26

Bài toán mở đầu Bài toán Rút gọn biểu thức M = a n (a b)(a c) + b n (b c)(b a) + c n (c a)(c b) các số thực phân biệt và n là số tự nhiên không âm. với a, b, c là Ta sẽ phân tích bài toán trong các trường hợp đặc biệt. Với n = 1, ta có M = a (a b)(a c) + b (b c)(b a) + c (c a)(c b) Dễ dàng quy đồng và tính được M = 0. Với n = 2, ta có M = Ta cũng tính được M = 1. a 2 (a b)(a c) + b 2 (b c)(b a) + c 2 (c a)(c b) Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 5 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Với n = 3, ta có M = a 3 (a b)(a c) + b 3 (b c)(b a) + c 3 (c a)(c b) Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 6 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Với n = 3, ta có M = a 3 (a b)(a c) + b 3 (b c)(b a) + c 3 (c a)(c b) Bậc càng lúc càng cao hơn, ta khó có thể tiếp tục cách quy đồng và phân tích được. Ta thử làm một cách như sau: Chọn đa thức P(x) = a3 (x b)(x c) (a b)(a c) + b3 (x c)(x a) (b c)(b a) + c3 (x a)(x b) (c a)(c b) x 3. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 6 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Với n = 3, ta có M = a 3 (a b)(a c) + b 3 (b c)(b a) + c 3 (c a)(c b) Bậc càng lúc càng cao hơn, ta khó có thể tiếp tục cách quy đồng và phân tích được. Ta thử làm một cách như sau: Chọn đa thức P(x) = a3 (x b)(x c) (a b)(a c) + b3 (x c)(x a) (b c)(b a) + c3 (x a)(x b) (c a)(c b) x 3. Ta nhận thấy rằng đa thức này thỏa mãn P(a) = P(b) = P(c) = 0 và có bậc 3 nên theo định lý Bézout thì nó có thể phân tích thành dạng P(x) = (x a)(x b)(x c) Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 6 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Với n = 3, ta có M = a 3 (a b)(a c) + b 3 (b c)(b a) + c 3 (c a)(c b) Bậc càng lúc càng cao hơn, ta khó có thể tiếp tục cách quy đồng và phân tích được. Ta thử làm một cách như sau: Chọn đa thức P(x) = a3 (x b)(x c) (a b)(a c) + b3 (x c)(x a) (b c)(b a) + c3 (x a)(x b) (c a)(c b) x 3. Ta nhận thấy rằng đa thức này thỏa mãn P(a) = P(b) = P(c) = 0 và có bậc 3 nên theo định lý Bézout thì nó có thể phân tích thành dạng P(x) = (x a)(x b)(x c) Hơn nữa, biểu thức M ban đầu chính là hệ số của x 2 trong đa thức và là a + b + c. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 6 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Tiếp theo, với n = 4, với ý tưởng tương tự, ta xét đa thức P(x) = a4 (x b)(x c) (a b)(a c) + b4 (x c)(x a) (b c)(b a) + c4 (x a)(x b) (c a)(c b) x 4. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 7 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Tiếp theo, với n = 4, với ý tưởng tương tự, ta xét đa thức P(x) = a4 (x b)(x c) (a b)(a c) + b4 (x c)(x a) (b c)(b a) + c4 (x a)(x b) (c a)(c b) x 4. Ta nhận thấy rằng đa thức này cũng thỏa mãn P(a) = P(b) = P(c) = 0 và có bậc 4 nên theo định lý Bézout thì nó có thể phân tích thành dạng P(x) = (x a)(x b)(x c)(x d) với d là biểu thức bậc nhất đối xứng giữa a, b, c. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 7 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Tiếp theo, với n = 4, với ý tưởng tương tự, ta xét đa thức P(x) = a4 (x b)(x c) (a b)(a c) + b4 (x c)(x a) (b c)(b a) + c4 (x a)(x b) (c a)(c b) x 4. Ta nhận thấy rằng đa thức này cũng thỏa mãn P(a) = P(b) = P(c) = 0 và có bậc 4 nên theo định lý Bézout thì nó có thể phân tích thành dạng P(x) = (x a)(x b)(x c)(x d) với d là biểu thức bậc nhất đối xứng giữa a, b, c. Ngoài ra, theo định lý Viète thì dễ thấy a + b + c + d = 0 nên d = (a + b + c) và do đó, ta có P(x) = (x a)(x b)(x c)(x + a + b + c). Biểu thức M lúc này chính là hệ số của x 2 trong đa thức và là (a + b + c) 2 (ab + bc + ca) = a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 7 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Bài toán có thể tiếp tục với các bậc khác cao hơn của n nhưng đó lại là câu chuyện khác. Ở đây, chúng ta thử xem xét cách chọn đa thức và thử đặt ra vấn đề rằng: Tại sao có thể chọn được như thế và đa thức được chọn có đặc điểm gì? Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 8 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Bài toán có thể tiếp tục với các bậc khác cao hơn của n nhưng đó lại là câu chuyện khác. Ở đây, chúng ta thử xem xét cách chọn đa thức và thử đặt ra vấn đề rằng: Tại sao có thể chọn được như thế và đa thức được chọn có đặc điểm gì? Ta chú ý thành phần P a (x) = (x a)(x b) (a b)(a c) có đặc điểm là P a (a) = 1, P a (b) = P a (c) = 0. Ta thấy đây chính là "đa thức đơn vị" dùng để làm nhân tố xây dựng nên đa thức ban đầu. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 8 / 26

Bài toán mở đầu (tiếp) Bài toán có thể tiếp tục với các bậc khác cao hơn của n nhưng đó lại là câu chuyện khác. Ở đây, chúng ta thử xem xét cách chọn đa thức và thử đặt ra vấn đề rằng: Tại sao có thể chọn được như thế và đa thức được chọn có đặc điểm gì? Ta chú ý thành phần P a (x) = (x a)(x b) (a b)(a c) có đặc điểm là P a (a) = 1, P a (b) = P a (c) = 0. Ta thấy đây chính là "đa thức đơn vị" dùng để làm nhân tố xây dựng nên đa thức ban đầu. Điều này cũng xuất hiện nhiều trong các vấn đề trong Toán sơ cấp và cao cấp. Một kết quả khá quen thuộc ở đây chính là Công thức nội suy Lagrange. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 8 / 26

Công thức nội suy Lagrange Bài toán Cho đa thức P(x) có bậc n và n + 1 số thực phân biệt a 1, a 2,..., a n+1 thỏa mãn P(a i ) = b i với b 1, b 2,..., b n+1 là các số thực nào đó. Hãy xác định một đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện này. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 9 / 26

Công thức nội suy Lagrange Bài toán Cho đa thức P(x) có bậc n và n + 1 số thực phân biệt a 1, a 2,..., a n+1 thỏa mãn P(a i ) = b i với b 1, b 2,..., b n+1 là các số thực nào đó. Hãy xác định một đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện này. Với tinh thần của bài toán trên, ta cũng có "đa thức đơn vị" có dạng P i (a i ) = 1 và P i (a j ) = 0 với j i. Dễ dàng chọn được P i (x) = (x a 1)(x a 2 )... (x a i 1 )(x a i+1 )... (x a n ) (a i a 1 )(a i a 2 )... (a i a n ) Và đến đây, ta xây dựng được P(x) = n i=1 b ip i (x). Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 9 / 26

Lĩnh vực lý thuyết số Câu hỏi Trong lý thuyết số, có định lý nào tương tự với công thức nội suy ở trên? Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 10 / 26

Lĩnh vực lý thuyết số Câu hỏi Trong lý thuyết số, có định lý nào tương tự với công thức nội suy ở trên? Đó chính là định lý phần dư Trung Hoa. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 10 / 26

Lĩnh vực lý thuyết số Câu hỏi Trong lý thuyết số, có định lý nào tương tự với công thức nội suy ở trên? Đó chính là định lý phần dư Trung Hoa. Bài toán Cho n số nguyên dương m 1, m 2,... m n đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó, hệ phương trình đồng dư x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 )... x a n (mod m n ) với a 1, a 2,... a n là các số nguyên nào đó sẽ có nghiệm duy nhất trong modulo M = m 1 m 2 m 3... m n. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 10 / 26

Lĩnh vực lý thuyết số (tiếp) Việc chọn các phần tử đơn vị xuất hiện tương đối rõ ràng trong chứng minh định lý này, cụ thể là với modulo m i, ta chọn số nguyên x i nào đó sao cho x i 1 (mod m i ) nhưng x i 0 (mod m j ), j i. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 11 / 26

Lĩnh vực lý thuyết số (tiếp) Việc chọn các phần tử đơn vị xuất hiện tương đối rõ ràng trong chứng minh định lý này, cụ thể là với modulo m i, ta chọn số nguyên x i nào đó sao cho x i 1 (mod m i ) nhưng x i 0 (mod m j ), j i. Việc này thực hiện khá dễ dàng do có khá nhiều sự chia hết ở đây, số x i cần tìm sẽ có dạng k n j=1,j i m j với 0 k m i 1. Do các số m 1, m 2,... m n đã cho nguyên tố cùng nhau nên tồn tại một số k mà x i 1 (mod m i ). Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 11 / 26

Lĩnh vực lý thuyết số (tiếp) Việc chọn các phần tử đơn vị xuất hiện tương đối rõ ràng trong chứng minh định lý này, cụ thể là với modulo m i, ta chọn số nguyên x i nào đó sao cho x i 1 (mod m i ) nhưng x i 0 (mod m j ), j i. Việc này thực hiện khá dễ dàng do có khá nhiều sự chia hết ở đây, số x i cần tìm sẽ có dạng k n j=1,j i m j với 0 k m i 1. Do các số m 1, m 2,... m n đã cho nguyên tố cùng nhau nên tồn tại một số k mà x i 1 (mod m i ). Đến đây, ta chỉ cần chọn x = n i=1 a ix i là bài toán kết thúc. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 11 / 26

Lĩnh vực lý thuyết số (tiếp) Việc chọn các phần tử đơn vị xuất hiện tương đối rõ ràng trong chứng minh định lý này, cụ thể là với modulo m i, ta chọn số nguyên x i nào đó sao cho x i 1 (mod m i ) nhưng x i 0 (mod m j ), j i. Việc này thực hiện khá dễ dàng do có khá nhiều sự chia hết ở đây, số x i cần tìm sẽ có dạng k n j=1,j i m j với 0 k m i 1. Do các số m 1, m 2,... m n đã cho nguyên tố cùng nhau nên tồn tại một số k mà x i 1 (mod m i ). Đến đây, ta chỉ cần chọn x = n i=1 a ix i là bài toán kết thúc. Cuối cùng, để kết thúc chủ đề này, ta xét một số bài toán tương tự để luyện tập thêm. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 11 / 26

Các bài toán tương tự Bài 1 Cho đa thức P(x) bậc 100 thỏa mãn P(k) = 1 k Tính P(101). với k = 1, 2, 3,... 100. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 12 / 26

Các bài toán tương tự Bài 1 Cho đa thức P(x) bậc 100 thỏa mãn P(k) = 1 k Tính P(101). với k = 1, 2, 3,... 100. Bài 2 (Hệ phương trình dạng Vandermonde) Giải hệ phương trình sau với a, b, c phân biệt x + ay + a 2 z = 0 x + by + b 2 z = 0 x + cy + c 2 z = 0 Tiếp theo, ta sẽ xét một khía cạnh khác của đa thức, cụ thể là nghiệm và tính chất nghiệm của đa thức. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 12 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức Bài toán Cho phương trình x 3 3x + 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình này có 3 nghiệm phân biệt là a < b < c thỏa mãn a 2 c = c 2 b = b 2 a = 2. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 13 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức Bài toán Cho phương trình x 3 3x + 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình này có 3 nghiệm phân biệt là a < b < c thỏa mãn a 2 c = c 2 b = b 2 a = 2. Trong các tài liệu, bài toán này thường được giải quyết bằng cách sử dụng công thức Cardano, tức là dùng lượng giác (hoặc số phức), giải hẳn phương trình ra nghiệm cụ thể luôn. Đặt x = 2 cos α với α [0; π] thì ta đưa về cos 3α = 1 2. Suy ra các nghiệm cần tìm là x 1 = 2cos 2π 9, x 2 = 2cos 4π 9, x 3 = 2cos 8π 9. Dễ thấy rằng x 1 > x 2 > x3 nên a = x 3, b = x 2, c = x 1. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 13 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức Bài toán Cho phương trình x 3 3x + 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình này có 3 nghiệm phân biệt là a < b < c thỏa mãn a 2 c = c 2 b = b 2 a = 2. Trong các tài liệu, bài toán này thường được giải quyết bằng cách sử dụng công thức Cardano, tức là dùng lượng giác (hoặc số phức), giải hẳn phương trình ra nghiệm cụ thể luôn. Đặt x = 2 cos α với α [0; π] thì ta đưa về cos 3α = 1 2. Suy ra các nghiệm cần tìm là x 1 = 2cos 2π 9, x 2 = 2cos 4π 9, x 3 = 2cos 8π 9. Dễ thấy rằng x 1 > x 2 > x3 nên a = x 3, b = x 2, c = x 1. Tuy nhiên, đối với các bài toán không thể tìm được các nghiệm thì lời giải trên khó thực hiện tiếp được nữa. Ta sẽ xem xét một lời giải khác dựa trên các biến đổi đại số trực tiếp từ phương trình ban đầu như sau. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 13 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức (tiếp) Ý tưởng là sử dụng định lý Viète thuận và đảo. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 14 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức (tiếp) Ý tưởng là sử dụng định lý Viète thuận và đảo. Ta thấy rằng có thể đưa điều kiện cần chứng minh về hệ a 2 2 = c c 2 2 = a b 2 2 = a Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 14 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức (tiếp) Ý tưởng là sử dụng định lý Viète thuận và đảo. Ta thấy rằng có thể đưa điều kiện cần chứng minh về hệ a 2 2 = c c 2 2 = a b 2 2 = a Như thế, một lần nữa, a 2 2, c 2 2, b 2 2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Dùng Viète, ta lập một phương trình bậc 3 nhận a 2 2, b 2 2, c 2 2 làm nghiệm, với a, b, c là nghiệm của phương trình gốc. Đến đây chỉ cần xét thứ tự các nghiệm nữa là xong. Rõ ràng ý tưởng này khá nhẹ nhàng nhưng vẫn còn một cách khác là biến đổi đại số trực tiếp (vẫn với ý tưởng các nghiệm). Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 14 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức (tiếp) Ta có biến đổi x 3 3x + 1 = 0 x(3 x 2 ) = 1 x 2 (3 x 2 ) 2 = 1 x 6 6x 4 + 9x 2 1 = 0 Đặt y = x 2 2, thay vào thì ta có y 3 3y + 1 = 0 chính là phương trình gốc. Đến đây bài toán coi như được giải quyết. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 15 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức (tiếp) Ta có biến đổi x 3 3x + 1 = 0 x(3 x 2 ) = 1 x 2 (3 x 2 ) 2 = 1 x 6 6x 4 + 9x 2 1 = 0 Đặt y = x 2 2, thay vào thì ta có y 3 3y + 1 = 0 chính là phương trình gốc. Đến đây bài toán coi như được giải quyết. Ý tưởng về việc biện luận tính chất nghiệm của các phương trình cũng xuất hiện nhiều trong các kỳ thi Olympic Toán, ta xét 2 bài toán tương tự. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 15 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức (tiếp) Bài 1 (VMO 2003) Cho 2 đa thức P(x) = 4x 3 2x 2 15x + 9 và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 7x + 1. 1 Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có 3 nghiệm thực phân biệt. 2 Gọi α, β là 2 nghiệm lớn nhất của mỗi đa thức. Chứng minh rằng α 2 + 3β 2 = 4 Chú ý rằng ở câu hỏi thứ 2, tính chất đó không chỉ đúng với cặp nghiệm lớn nhất và nó cũng còn đúng với 2 cặp tương ứng còn lại. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 16 / 26

Bài toán về tính chất nghiệm của đa thức (tiếp) Bài 1 (VMO 2003) Cho 2 đa thức P(x) = 4x 3 2x 2 15x + 9 và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 7x + 1. 1 Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có 3 nghiệm thực phân biệt. 2 Gọi α, β là 2 nghiệm lớn nhất của mỗi đa thức. Chứng minh rằng α 2 + 3β 2 = 4 Chú ý rằng ở câu hỏi thứ 2, tính chất đó không chỉ đúng với cặp nghiệm lớn nhất và nó cũng còn đúng với 2 cặp tương ứng còn lại. Bài 2 (USA MO) Giả sử a, b là 2 trong 4 nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình x 4 + x 3 1 = 0. Chứng minh rằng ab là nghiệm của phương trình x 6 + x 4 + x 3 x 2 1 = 0. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 16 / 26

Số đại số Định nghĩa Số α được gọi là số đại số nếu tồn tại một đa thức P(x) có hệ số nguyên sao cho x = α là nghiệm của đa thức đó. Số không phải là số đại số được gọi là "số siêu việt". Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 17 / 26

Số đại số Định nghĩa Số α được gọi là số đại số nếu tồn tại một đa thức P(x) có hệ số nguyên sao cho x = α là nghiệm của đa thức đó. Số không phải là số đại số được gọi là "số siêu việt". Trong các đa thức như thế, tồn tại một đa thức có bậc nguyên dương nhỏ nhất và bậc đó cũng là bậc của số đại số. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 17 / 26

Số đại số (tiếp) Vào thế kỷ thứ XIX, người ta đã chứng minh được rằng tồn tại số siêu việt và cách xây dựng nó. Thêm nữa, các nhà Toán học cũng chứng minh được số π và số e là các số siêu việt. Đến đầu thế kỷ XX, trong một kỳ Đại hội Toán học, David Hilbert đã phát biểu một bài toán liên quan: "Số có dạng a b với a là số đại số và b là số vô tỉ dương có phải là số siêu việt hay không?" mà mãi đến 30 năm sau, bài toán đó mới có lời giải hoàn chỉnh. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 18 / 26

Số đại số (tiếp) Vào thế kỷ thứ XIX, người ta đã chứng minh được rằng tồn tại số siêu việt và cách xây dựng nó. Thêm nữa, các nhà Toán học cũng chứng minh được số π và số e là các số siêu việt. Đến đầu thế kỷ XX, trong một kỳ Đại hội Toán học, David Hilbert đã phát biểu một bài toán liên quan: "Số có dạng a b với a là số đại số và b là số vô tỉ dương có phải là số siêu việt hay không?" mà mãi đến 30 năm sau, bài toán đó mới có lời giải hoàn chỉnh. Ta sẽ cùng tìm hiểu một số tính chất liên quan đến số đại số. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 18 / 26

Tính chất Định lý Nếu α là số đại số và đa thức P(x) là đa thức có bậc nguyên dương nhỏ nhất nhận α làm nghiệm thì mọi đa thức Q(x) nhận α là nghiệm sẽ thỏa mãn Q(x) chia hết cho P(x). Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 19 / 26

Tính chất Định lý Nếu α là số đại số và đa thức P(x) là đa thức có bậc nguyên dương nhỏ nhất nhận α làm nghiệm thì mọi đa thức Q(x) nhận α là nghiệm sẽ thỏa mãn Q(x) chia hết cho P(x). Chứng minh tính chất này dễ dàng như phép chia đối với số nguyên, tức là đặt Q(x) = P(x)R(x) + S(x) với bậc của S(x) nhỏ hơn bậc của P(x). Giả sử Q(x) không chia hết cho P(x) thì bậc của R(x) dương. Nếu α là nghiệm của P và Q thì P(α) = Q(α) = 0 và do đó R(α) = 0, nhưng bậc của R(x) nhỏ hơn của Q(x) nên mâu thuẫn với định nghĩa P(x). Điều mâu thuẫn này cho ta đpcm. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 19 / 26

Tính chất Định lý Nếu α là số đại số và đa thức P(x) là đa thức có bậc nguyên dương nhỏ nhất nhận α làm nghiệm thì mọi đa thức Q(x) nhận α là nghiệm sẽ thỏa mãn Q(x) chia hết cho P(x). Chứng minh tính chất này dễ dàng như phép chia đối với số nguyên, tức là đặt Q(x) = P(x)R(x) + S(x) với bậc của S(x) nhỏ hơn bậc của P(x). Giả sử Q(x) không chia hết cho P(x) thì bậc của R(x) dương. Nếu α là nghiệm của P và Q thì P(α) = Q(α) = 0 và do đó R(α) = 0, nhưng bậc của R(x) nhỏ hơn của Q(x) nên mâu thuẫn với định nghĩa P(x). Điều mâu thuẫn này cho ta đpcm. Ta cũng suy ra rằng đa thức P(x) là bất khả quy. Do sự liên quan này, ta sẽ cùng xem xét một số vấn đề về đa thức bất khả quy với tiêu chuẩn Eisenstein nổi tiếng. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 19 / 26

Tiêu chuẩn Eisenstein Định lý Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và P(x) = n i=0 a ix i. Nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho đa thức P(x) thỏa mãn: 1 a n không chia hết cho p. 2 a 0 không chia hết cho p 2. 3 a 0, a 1,..., a n 1 chia hết cho p. Khi đó, đa thức P(x) bất khả quy. Chẳng hạn: P(x) = x n + 5x n 1 + 5 là bất khả quy vì từ a n 1 đến a 0, các hệ số đều chia hết cho 5 nhưng a 0 không chia hết cho 5 2 = 25. Dưới đây, ta sẽ cùng tìm hiểu chứng minh chi tiết cho định lý này. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 20 / 26

Tiêu chuẩn Eisenstein (tiếp) Chứng minh. Giả sử ngược lại là đa thức P(x) = Q(x)R(x) với Q(x) = k n k b i x i và R(x) = c i x i với b i, c i Z i=0 i=0 Lúc đó, ta thực hiện nhân 2 đa thức này lại rồi so sánh với P(x) và thu được các đẳng thức như sau a 0 = b 0 c 0 a 1 = b 0 c 1 + b 1 c 0 a 2 = b 0 c 2 + b 2 c 0 + b 1 c 1... a n = b k c n k Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 21 / 26

Tiêu chuẩn Eisenstein (tiếp) Chứng minh. Do a 0 chia hết cho p nhưng không chia hết cho p 2 nên chỉ có 1 trong 2 số b 0, c 0 chia hết cho p, giả sử là b 0 chia hết cho p, còn c 0 thì không. Khi đó, từ đẳng thức thứ hai, dễ thấy b 1 chia hết cho p. Tiếp tục, từ đẳng thức thứ ba, dễ thấy b 2 chia hết cho p và cứ như thế. Đến một lúc nào đó thì sẽ có b k chia hết cho p và dẫn đến a n cũng chia hết cho p, mâu thuẫn. Định lý được chứng minh xong. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 21 / 26

Tiêu chuẩn Eisenstein (tiếp) Câu hỏi Tuy nhiên, nếu trong điều kiện thứ 3, dãy hệ số không kéo dài đến a n 1 mà chỉ đến a n t thì sao? Định lý sẽ thay đổi thế nào. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 22 / 26

Tiêu chuẩn Eisenstein (tiếp) Câu hỏi Tuy nhiên, nếu trong điều kiện thứ 3, dãy hệ số không kéo dài đến a n 1 mà chỉ đến a n t thì sao? Định lý sẽ thay đổi thế nào. Theo dõi lại cách chứng minh, ta thấy định lý trên sẽ được điều chỉnh lại như sau: Nếu đa thức P(x) phân tích được thành tích của 2 đa thức Q(x), R(x) thì bậc của 1 trong 2 đa thức này phải bé hơn k. Đây cũng là nội dung của tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 22 / 26

Tiêu chuẩn Eisenstein (tiếp) Một bài toán áp dụng tiêu chuẩn trên trong kỳ thi IMO 1992: Bài toán Chứng minh rằng đa thức P(x) = x n + 5x n 1 + 3 bất khả quy. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 23 / 26

Tiêu chuẩn Eisenstein (tiếp) Một bài toán áp dụng tiêu chuẩn trên trong kỳ thi IMO 1992: Bài toán Chứng minh rằng đa thức P(x) = x n + 5x n 1 + 3 bất khả quy. Khi áp dụng tiêu chuẩn trên, nếu P(x) được phân tích thành tích của 2 đa thức Q(x), R(x) nào đó thì phải có 1 đa thức bậc nhỏ hơn 2, tức là P(x) là đa thức bậc nhất nên nó sẽ có nghiệm nguyên. Điều này mâu thuẫn do với mọi x nguyên thì P(x) luôn là số lẻ, không thể bằng 0, tức là nó không có nghiệm nguyên. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 23 / 26

Các vấn đề khác Có lẽ bài toán trên cũng là một sản phẩm của việc mở rộng các định lý có sẵn. Qua đó, ta thấy rằng nếu nắm vững các định lý, các chứng minh thì có thể khai thác, phát triển và biến đổi thành nhiều vấn đề thú vị. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 24 / 26

Các vấn đề khác Có lẽ bài toán trên cũng là một sản phẩm của việc mở rộng các định lý có sẵn. Qua đó, ta thấy rằng nếu nắm vững các định lý, các chứng minh thì có thể khai thác, phát triển và biến đổi thành nhiều vấn đề thú vị. Nhiều người đã từng sử dụng được các định lý để giải Toán nhưng không hiểu rõ cách chứng minh hoặc không nhớ các bước. Điều này dễ gây ra một vấn đề không nhỏ là khi gặp một bài phát triển từ vấn đề, định lý cũ nhưng được chỉnh sửa, thêm bớt thì lúng túng, tìm cách nào khác mà không tìm cách "cứu vãn" phương pháp cũ. Nếu nắm rõ cách chứng minh, ta chỉ cần ra soát lại trong các bước lập luận để dễ dàng điều chỉnh lại cho phù hợp. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 24 / 26

Các vấn đề khác Có lẽ bài toán trên cũng là một sản phẩm của việc mở rộng các định lý có sẵn. Qua đó, ta thấy rằng nếu nắm vững các định lý, các chứng minh thì có thể khai thác, phát triển và biến đổi thành nhiều vấn đề thú vị. Nhiều người đã từng sử dụng được các định lý để giải Toán nhưng không hiểu rõ cách chứng minh hoặc không nhớ các bước. Điều này dễ gây ra một vấn đề không nhỏ là khi gặp một bài phát triển từ vấn đề, định lý cũ nhưng được chỉnh sửa, thêm bớt thì lúng túng, tìm cách nào khác mà không tìm cách "cứu vãn" phương pháp cũ. Nếu nắm rõ cách chứng minh, ta chỉ cần ra soát lại trong các bước lập luận để dễ dàng điều chỉnh lại cho phù hợp. Trong các kỳ thi Olympic, các bài toán cũng thường được xây dựng theo hướng này. Thậm chí cả trong kỳ thi IMO, ít khi nào gặp một vấn đề mới hoàn toàn mà không dựa trên một kết quả nào có sẵn trước đó. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 24 / 26

Các vấn đề khác Nếu nhìn ở góc độ tổng quát, đa thức có một mối liên hệ mật thiết với số học. Và một điều thú vị là các bài toán tương ứng của số học lại khó hơn của đa thức. Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 25 / 26

Các vấn đề khác Nếu nhìn ở góc độ tổng quát, đa thức có một mối liên hệ mật thiết với số học. Và một điều thú vị là các bài toán tương ứng của số học lại khó hơn của đa thức. Chẳng hạn: số nguyên tố với đa thức bất khả quy, phương trình Pell của số nguyên và của đa thức,... Hay thậm chí là định lý Fermat đối với đa thức cũng đã được giải quyết một cách nhẹ nhàng hơn thông qua định lý Mason về mối liên hệ giữa nghiệm của các đa thức P(x), Q(x), R(x) với điều kiện P(x) + Q(x) = R(x). Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 25 / 26

Kết thúc Xin cảm ơn mọi người đã theo dõi. Hẹn gặp lại ở seminar tiếp theo vào ngày 21/03/2015! Trần Nam Dũng (Đại học KHTN TPHCM) Một số vấn đề về đa thức 07/03/2015 26 / 26