turanuj.dvi

ÌÍÊýÆ Ì Ì ÄÃ Ê Ø Ñ Ö Ò Þ Ð ÐÐ ò Ö Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ À ÒÝ Ð Ð Ø Ý n Ý Þ Öò Ö Ò Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ö ÒØ Ú Ð Ñ ÐÝ ÓØØ H Ö ÓØ ÐÐ ØÚ H 1,...,H s Ö Ó Ý Ø Ñµ Ø Ñ Ö Ð Ö Ñ ÒÝ ÌÙÖ Ò È Ð Ð ØØ Ñ Ö Ñ ÖØ ÚÓÐØ ÞÓÒ Ò Þ Ñ ÒÝ ÞØ ÒØ Ø Ñ Þ ÞØ Ñ Ø Ù Ú Þ Ð Ø Ø ½ ¼ Ö Ðº Å ÒØ Ð Ø Ø Ð ½ ¼ µº À Þ n G Ý Þ Öò Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÖÓÑ Þ Ø ÓÖ Ð Ò Þ Ñ E(G) n 2 /4º Å Ð ØØ ÞÓÒÝ Ø Ö Ö Ø Ö Ò Ý ÞÞ Ñ Ó Ý n Ô ÖÓ ÓÖ Ý ÓÐÝ Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ö Ò Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ø Ó ÞØ ÐÝ Ò n/2 ÔÓÒØ Ú Ò ÔÔ Ò n 2 /4 Ð Ú Ò Ý Þ Ö Ñ ÒÝ Ð º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò x, y V (G) Ø ÐÐ Ð Þ Ø ØØ Þ Þ {x, y} E(G)µº ÓÖ x¹ò y¹ò Ò Ñ Ð Ø Þ ÞÓÒ Þ Ú Ý G(x) G(y) Ð Ð Þ x¹ Þ Ð ÐÐ ØÚ y¹ò Ð Þ Ø ØØ Ó ÐÑ Þ Ø ÓÖ G(x) G(y) Þ ÙÒ Ø º Å Ú Ð G(x) Ð Ñ Þ Ñ ÔÔ Ò x Ó Ú Ý d(x) Ý ÞØ Ô Ù Ó Ý d(x) + d(y) n, x, y V (G) : {x, y} E(G). Þ Ú Ð Ò Ý E(G) = e Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð ÐÐ Ý ÒÐ ØÐ Ò ¹Ö Ò Þ Öº À Þ Ø Þ Ù ÓÖ Ð ÓÐ ÐÓÒ Ý Ö Þ Ø ØØ x Ó ÒÒÝ ÞÓÖ ÓÖ ÙÐ Ð ÒÝ Ú Ð Þ Ø ØØ y¹ø ØÙ ÙÒ Ø Ð ÐÒ Ú Ý d(x)¹ Þ Öº Ý ÞØ Ô Ù Ó Ý (d(x)) 2 ne. Å Ú Ð Ó Þ ÑÓ Þ 2e Ð ÐÑ Þ Ø Ù Þ ÑØ Ò Ò ÝÞ Ø Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ñ Þ Ö ÒØ 2 d(x) n (d(x)) 2. Ð 4e 2 n (ne) Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ô Ù Ñ Ð Ú Ð Ò e n 2 /4 Ú Ø Þ º Þ ÑØ Ò Ò ÝÞ Ø Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò ÐÝ ØØ Ú Ø ÓÞ ØØÙÒ ÚÓÐÒ ÖÖ Ó Ý Þ f(x) = x 2 Ú ÒÝ Þ ÓÖ Ò ÓÒÚ Ü Ý f((x 1 +... + x k )/k) (f(x 1 ) +... + f(x k ))/k Ú Ý ( d(x)/n) 2 ( (d(x)) 2 )/nº Î Þ Ð Ù Ñ Ñ ÓÖ Ð Ø Ý ÒÐ Ø Ø Ð Òº Þ ÐÐ Ó Ý Ñ Ò Ò Ó ¹ Þ Ñ ÞÓÒÓ Ð Ý Ò ÓÖ Ð Ø Ý ÒÐ Þ ÑØ Ò Ñ ÖØ Ò Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Òµ Ò ÙÐ d(x) + d(y) n Ý ÒÐ ØÐ Ò Ò Ý ÒÐ ¹ Ð Ý Ò Ñ Ò Ò {x, y} ÐÖ º ýðø Ð Ò Ý ØÐ Ò ÓÐÝ Ò {x, y} ÐØ Ø Ð ÐÙÒ

Ñ ÐÝÖ d(x) + d(y) = n Ñ Ö ÓÖ Ú Ø Þ Ó Ý G Ô ÖÓ Ö Ñ ÐÝÒ Ø Ó ÞØ ÐÝ G(x) ÐÐ ØÚ G(y)º ÒÒ Ð ÞÒ Ð Ú Ð e = n 2 /4 Ý Ð Ø n Ô ÖÓ G Ø Ð Ô ÖÓ Ö Ø n/2 Ñ Ö Øò Ó ÞØ ÐÐÝ Ðº À ÓÒÐ Ò Ú Þ Ð Ø Ù Ñ ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ n Ô Ö ØÐ Òº ÓÖ Þ e n 2 /4 Ú Ð Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý e (n 2 1)/4 Ý ÒÐ Ø Ò G ÓÐÝ Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ö Ñ ÐÝÒ Ó ÞØ ÐÝ (n + 1)/2 (n 1)/2º Ý ÑÓÒ Ø Ù Å ÒØ Ð Ø Ø Ð Ð Þ Ø Øº Ã Þ Ø Å ÒØ Ð Ø Ø Ð Þº À ÖÓÑ Þ Ñ ÒØ G Ö Ð Þ Ñ [n 2 /4] ÓÖ G ÓÐÝ Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ö Ñ ÐÝÒ Ó ÞØ ÐÝ n/2 n Ô ÖÓ (n ± 1)/2 n Ô Ö ØÐ Òº ÖÓÑ Þ Ð Ó Ø Ó Þ Ö ÒØ Ø Ð Ö ÒØ ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ö Ð Ø Ú Òº Ì ÖÑ Þ Ø Ñ Ò ÞÒ Ó Ý Ñ Ø ÖØ Ò Ó Þ ÖØ Þ Ö Ù º ÞØ Ö Ø Ý Þ Ñ ÐÑ Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ò Ö È Ð Þ ½ ¼¹ Ú Ò Ú Þ ÐØ Ñ º Ì Ø Ðº À Þ n G Ý Þ Öò Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ö ÒØ Ó Þ ÖØ Ö Ú Ò G C 4 ¹Ñ ÒØ µ ÓÖ Ð Þ Ñ Ö Ø Ð Ðº E(G) n 4 (1 + 4n 3) ÞÓÒÝ Ø º Å Þ ÑÓÐ Ù Ø Ð ÔÔ Ò Ö Ò Î Øò Ø Ö ÞÒÝ Øµ Ú Ý Þ ÓÐÝ Ò ÐÔ ÖÓ Ø Ñ ÐÝ Ò Ý Ú ÔÓÒØ Þ º ÈÓÒØÖ Ð ÔÓÒØÖ Þ ¹ ÑÓÐÚ Î Øò Þ Ñ ÔÔ Ò ( d(x) ) 2 º Å Ö ÞØ Þ Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð Ó Ý Ù Ý Ò ÖÖ ÔÓÒØÔ ÖÖ Ø Î ØòØ Ð Ò ÐÐ ÞØ Ò Ñ ÖØ ÞÓ Ý ØØ C 4 ¹ Ø Ð ÓØÒ Ò º Ý ( ) ( ) d(x) n 2 2 Ó ÓÐ Ð Þ Þ ÔÓÒØÔ ÖÓ Þ Ñ µº Þ Ð Þ ÑÓØ e¹ú Ð Ð ÐÚ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò¹ Ø ¾¹Ú Ð Ñ ÞÓÖÓÞÚ Ö Ò ÞÚ (d(x)) 2 2e n(n 1) Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ô Ù º Å ÒØ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÞ ÓÒÐ Ò Þ ÑØ Ò Ò ÝÞ Ø Þ Ô ÞØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞÒ ÐÚ Ð Ñ ÐÝ Þ e¹ Ò Ñ Ó Ó (2e) 2 2e n(n 1) 0 n 4e 2 2en n 2 (n 1) 0 Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ô Ù º Ð ÓÐ Ð Ú ÒÝ Ö ÓÒ Ð Ð ÐÐ Ô Ö ÓÐ Ý e Ø Ý Þ ØØ ÐÐ Ð Ý Òº Ø Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ð Ó ÓÐ Ð ÔÔ Ò Þ Ý ÒÐ Ø ÔÓÞ Ø Ú Ý Ñ Ý Ò Ø Úµº ¾

Ä Ø Ù Ó Ý Ð ÒÝ Ð Ò Ú Ò C 3 C 4 Þ Ö Þ Øغ Þ Ð Ø¹ Ò cn 2 Ð Ð Ø ØØ Ñ Ó Ò ÞÓÒ Ò ÒÒ Ð Ò Ý Ö Ò Ð Ú º ÒÒ Ó Ö ÌÙÖ Ò Ø Ø Ð ÙØ Ò Ú Þ Ø Ö Ò º Þ ÖØ C 4 Ø Ò Ò Ñ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ø Ø Ð Ð ¹ º Å ÒÒÝ Ø ÑÙØ ØÙÒ Ñ Ó Ý Ð Ð Ò Ý Ö Ò Þ Þ cn nµ ÐÝ º È Ð ÃÐ Ò ÞØ Öµº È ÖÓ Ö ÓØ Ó ÙÒ Þ Ø Ò Ñ ÐÝ ÞÓ Ó ÓÓÖ Ò Ø ¹ ÓÑ ØÖ ÑÓ p Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÞÒ Ð º Ô ÖÓ Ö Ø Ó ÞØ ÐÝ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Ò Ò Ò Ú ÞÞ Þ Ò Ò Ð Ñ Øغ Ä Ý Ò p Ö Þ Ø ØØ ÔÖ Ñ Þ Ñº ÈÓÒØÓ Þ (x, y) Ô ÖÓ ÓÐ x, y Ø Ø Þ Ð ÑÓ p Ñ Ö Ó ÞØ ÐÝ Ý Ò [c] [m, b] Þ Ñ ÐÙÑÓ Ñ ÐÝ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Þ x = c Ý Ò¹ Ð Øò Ð Ú Ð Ñ ÒØ Þ y = mx + b Ý ÒÐ Øò Ö Ý Ò Ò ÐÓ ÓÒ Ð Þ (x, y) ÔÓÒØÓØ ÓÖ ÓÖ Ø Þ [c] ÝÒ Ð x = c (x, y) [m, b] Þ ØØ Ô ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò Ð y = mx + bº ËÞ Ú Ð Þ Ð ÞØ Þ Ó Ý ÔÓÒØ Ö Ø Ú Ò Þ Ý Ò Òµº Ò Ð Ô Ò Ò Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý ÔÓÒØÓ Þ Ñ p 2 Þ Ý Ò p + p 2 Ô ÖÓ Ö ÙÒ Ò Ô p 2 (p + 1) Ð Ú Òº Þ ÙØ ÓÞ ÞØ ÐÐ Ñ ÓÒ Óй ÒÙÒ Ó Ý Ñ Ò ÒØ ÔÓÒØ ¹Ò p + 1 Ó ½ Ð p Ö Ý Ò Ð Ú Ò Þ ØÚ µ Ñ Ò Ò Ý Ò Ô p ÔÓÒØØ Ð Ú Ò Þ ØÚ º À n = p + 2p 2 ÓÖ Þ Ð Þ Ñ n n/ 2º Þ Ó Ý Ö ÙÒ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ C 4 ¹ Ø Ð Ú Ø Þ Ó Ý Ù Ý Ò ÞÓ Ð ÔÐ Ø Ð Ð Ø Ñ Ø ÖÓÞÒ Ø ÔÓÒØ Þ Ø Ý Ò Ø Ñ ÒØ Ú Ð Ù Ð Þ ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ p ÐÐ Þ ÑÓÐÒÙÒ º Å Ð ØØ ÌÙÖ Ò Ø Ø Ð Ö Ö Ø ÖÒ Ò ÞÞ Ò Ð Ò ÒÝ ÓÐ Óغ Ý Ö r¹ ÖÓ¹ Ñ Ø Ù Ú Ý r¹ó ÞØ ÐÝ r Ò Ñ¹ Ö Ö ÞÖ Ó ÞØ ÐÝÖ µ Ó ÞØ Ø Ý Ó Ý Ö Þ Ò Ð Ð Ò Ñ Ò Ò Ð Þ Ó ÞØ ÐÝÓ Þ Ý¹ Ý Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ ØØ Ó Ò Ð ÐÒ Ñ µº Ô ÖÓ Ö Ó ÔÔ Ò ¾ Ó ÞØ ÐÝ Ö Ó º Ý r¹ó ÞØ ÐÝ Ö Ø Ð Ð Ò Þ Ö Þ Ó Þ Ú ÒÒ ØÚ º Þ Ð Ö Ñ Ø Ñ ÓÒ ÓÐÙÒ Ó Ý Ñ ÐÝ r¹ó ÞØ ÐÝ Ö Ò Ú Ò Ð Ø Ð º Ä ÑÑ º Þ n r Ó ÞØ ÐÝ Ö Ó Þ Ð ÒÒ Ø Ð r¹ó ÞØ ÐÝ Ö Ò Ú Ò Ð Ø Ð Ñ ÐÝ Ò ÖÑ ÐÝ Ø Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ö Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ö Ðº Þ Ñ Þ Ú Ð ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ñ Ò Ò Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ö Ø n/r Ð Ú Ý Ð Þ Ö Þ º ÞÓÒÝ Ø º Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ö Ò Ø Ð r¹ó ÞØ ÐÝ Ö Ò ÐÐ Ð ÒÒ Ö Þ Ó ÞØ ÐÝÓ Ñ Ö Ø º Â Ð Ð Þ Ó ÞØ ÐÝÓ Ñ Ö Ø Ø n 1,...,n r º Å Ú Ð Ú Ó Ð Ø n i ¹ ÓÖÓÞ Ø Ú Ò ÞØÓ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ñ ÐÝÖ Þ Ð Þ Ñ Ñ Ü Ñ Ð º Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ö Ø Ð Ð ¾¹Ú Ð Ð Ò Þ ÑÓÒ Ù Ð Ý Ò n 1 n 2 + 2º Ì Ý Ò Ø Ý ÓØ Ñ Ó Ó ÞØ ÐÝ Ð Þ Ð º ÓÖ Þ Ö Ø r¹ó ÞØ ÐÝ Ø Ð Ö Þ ØØ Ø Ð ÙØ Ò Ö Ð Ø Ð Ò ÞÒ Þ Þ Ð Ø Ó ÞØ ÐÝ Þ ØØ Ñ Ò Ð Ú ÐØÓÞÒ º Þ Ö Ø Ò Þ Þ Ñ n 1 n 2 Þ Ò (n 1 1)(n 2 + 1)º Þ ÙØ n 1 n 2 + (n 1 n 2 ) 1 Ý Ò ÝÓ Þ Ö Ø Ð Þ ÑÒ Ðº Þ ÐÐ ÒØÑÓ Þ Þ n i n j 1 Ñ Ò Ò i, j¹ö º Ò º Þ n r Ó ÞØ ÐÝ ÌÙÖ Ò¹ Ö Þ Þ ÞÓÑÓÖ Ö Ý ÖØ ÐÑò µ Ø Ð r¹ó ÞØ ÐÝ Ö Ñ ÐÝ Ò ÖÑ ÐÝ Ø Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ö Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ö Ð

ÝÑ Ø Ðº Ì Ø Ôк r Ó ÞØ n¹ Ø ÓÖ Ñ Ò Ò Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ö Ø n/rºµ Þ n r Ó ÞØ ÐÝ ÌÙÖ Ò Ö ÓØ T(n, r) Ð Ð º À r = 2 ÓÖ ÌÙÖ Ò Ö Å ÒØ Ð Ø Ø Ð ÙØ Ò Ø Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ø Ð Ô ÖÓ Ö Ñ ÐÝÒ Ó ÞØ ÐÝ n/2 ÓØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ n Ô ÖÓ (n + 1)/2 (n 1)/2 ÓØ n Ô Ö ØÐ Òº Ö Ù Ð ÌÙÖ Ò¹ Ö Ð Þ Ñ Ø Ð Ð Ò Þ Ø Ò r Ó ÞØ n¹ غ T(n, r) ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö r Ö Þ ÙÒ Ø K n/r Ý E(T(n, r)) = ( ) ( n 2 r n/r ) 2 º Þ ÙÖÚ Ò Þ ÑÓÐÚ n 2 /2 r(n/r) 2 /2 = (1 1/r)n 2 /2 Ú Ý Ø Ð Ö Ð Þ Ñ Ò ÙÖÚ Ò Þ (1 1/r)¹ Þ Ö º Ò Ý Ö Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ ÓÖ Ñ r Ò Ñ Ó ÞØ n¹ò º ÌÙÖ Ò Ø Ø Ð ÖÖ Ö Ö Ú Ð ÞØ Ó Ý Ý n Ö Ò ÒÝ Ð Ð Ø Ð Ð Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ K r+1 ¹ Ø Þ Þ Ø Ð r + 1 Ö Þ Ö Óصº Î Ý ÞÖ Ó Ý Ý ØÐ Ò r Ó ÞØ ÐÝ Ö Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø K r+1 ¹ غ Î Ð Ò Ð ÒÒ Ö Ò K r+1 ÓÖ ØÙÐÝ ÐÚ Þ Ö ÒØ Ý K r+1 ¹Ò Ø ÞÓÒÓ Ó ÞØ ÐÝ Ò ÓÖ Ò Ñ Ð ØÒ Þ ØÚ ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ý Ö Þ Ó Ý Ð Ø¹ Ý K r+1 ¹ Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Ò T(n, r)¹ò Ð Ø Ð º ÌÙÖ Ò Ø Ø Ð º À Þ n G Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ K r+1 ¹ Ø Ö Þ Ö ÒØ ÓÖ Ð Ð ÒÒÝ Ð Ð Ø Ñ ÒØ T(n, r) ÌÙÖ Ò Ö Ò º À G¹Ò ÔÔ Ò ÒÒÝ Ð Ú Ò ÓÖ G Ò Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÒØ T(n, r)º ÞÓÒÝ Ø º Ð Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Þ Ý ÒÐ Ð Ö Ø Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ð Ñ ÓÒ ÓÐ Ø Ð ÒÒ º ÑÓ Ø Ð ÖØ ÞÓÒÝ Ø Ö È ÐØ Ð Þ ÖÑ Þ º ÞØ Ó Ù Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò r¹ó ÞØ ÐÝ H Ö Ñ ÐÝ G Ò Ú Ò Ò ÐÚ Þ Þ V (G) = V (H)µ Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò G¹ Ð Ó Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ Þ ÐÐ Ø H¹ Ð Ó ÓÖÑ Ð Ò d G (x) d H (x) Ñ Ò Ò x V (G)¹Ö µº Ð Ñ Ö Ú Ø Þ Ó Ý H¹Ò Ð Ð ÒÒÝ Ð Ú Ò Ñ ÒØ G¹Ò Þ Ò Ó Þ ÑÓ Þ Þ Ð Þ Ñ Ø Þ Ö º Î Ð ÞÙÒ Ý v Ñ Ü Ñ Ð Ó ÓØ Ð Ð N v¹ú Ð Þ Ò Ñ Ø ØØ Ó ÐÑ Þ Øº Ã Þ Ø Ð G¹ Ð Þ Ð G v Ö ÓØ Ø Ö Ð Þ ØÐ Ò N¹ Ò Ð Ð Ð Ø N Ñ Ò Ò Ø Ù Þ V (G) \ N Ñ Ò Ò Ú Ðº V (G) \ N ÞØ Ð Ø Ò Ú ÐØÓÞØ Ù º ÔÓØØ G v Ö Ò ØÓÚ Ö Ò K r+1 Ñ ÖØ Ð ÒÒ ÓÖ V (G) \ N¹ Ò Ð ÒÒ K r º ÓÖ Ú ÞÓÒØ Þ Ö Ø G¹ Ò Þ ÓÞÞ Ú Ú v¹ø K r+1 ¹ Ø ÔÒ Ò º Å Ö ÞØ Ú ÞÓÒØ Ñ Ò Ò x ÔÓÒØÖ G v ¹ Ð Ó Þ Ñ Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ G¹ Ð º Þ N ÔÓÒØ Ö Ñ ØØ Ø Ð Ð Ó Ý v Ó Þ Ñ Ñ Ü Ñ Ð ÚÓÐØ Þ x V (G) \ N¹ Ð ÔÓÒØÓ Ö Ô Þ ÖØ Ñ ÖØ V (G) \ N¹ Ð Ð Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ ØØÙ G¹ Ò ÓÖ Ò x Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò ÚÓÐØ Ñ Ò Ò N¹ Ð ÔÓÒØØ Ð Þ ØÚ º ÞÙØ Ò Ù Ý Ò ÞØ Þ Ð Ö Ø ÓÐÝØ Ø Ù G Ö V (G) \ N ÔÓÒØ ÐØ Ð Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ö º Ò Ö Ò ÓÖ Ñ ÝÞ Ò Þ Ö ÒØ Ò Ò Ò K r º À ÔÖ ¹ Þ Ú ÝÙÒ ÓÖ ÞØ r Þ Ö ÒØ Ò Ù Ú Ð Ð ØÒ Ñ Ó ÐÑ ÞÒ V (G) \ N ÐÑ ÞÓÒ Ú Ò ÓÐÝ Ò G (r 1)¹Ó ÞØ ÐÝ Ö Ñ ÐÝÒ Ó Þ Ñ Ð Ð G Ö V (G) \ N ÔÓÒØ ÐØ Ð Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ò Ó Þ Ñ º ÒÒ G ¹Ò ÔÓÒØ Ø Ø Þ N ÔÓÒØ Ú Ð Ý Ô Ù G v Ö Óغ Å º ýðø Ð Ò Þ ÖØ H Ö ÖÓÑ Ø Ù Þ Ñ r+1 ÓÖ H Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø

Ð T(n, r) ÌÙÖ Ò¹ Ö Òº À Ù Ý Ò Ö Þ Ö Ð ÒÒ T(n, r)¹ò ÓÖ H¹ Ò ÌÙÖ Ò¹ Ö Ò ÞÓÒÓ Ó ÞØ ÐÝ Ó Ø ÞÓÒÓ Þ ÒÖ Þ Ò ÞÚ H¹Ò Ý r Þ ÒÒ Ð Ú Ð Þ Ò Þ Ø ÔÒ Ò º Ð ÞØ Ð Ø Ø Ù Ó Ý χ(h) = r + 1 ÓÖ Ð Ø Ðò H¹Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Ò Ð Ð ÒÒÝ Ð Ú Ò Ñ ÒØ T(n, r) ÌÙÖ Ò¹ Ö Ò º Ö ËØÓÒ Ë ÑÓÒÓÚ Ø ÑÙØ ØØ Ñ Ó Ý Þ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ý Ú Ò Ð Ø Ðò H¹Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö e Ð Þ Ñ Ö χ(h) 3º e χ(h) 2 2(χ(H) 1) n2,